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2020年全国数学中考试题精选50题（9）——图形的初步认识与三角形
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2020年全国数学中考试题精选50题（9）——图形的初步认识与三角形
一、单选题
1.（2020·玉林）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，则A，B，C三岛组成一个（ ）
A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形
2.（2020·玉林）一个三角形木架三边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm和120cm的两根木条.要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（ ）
A. 一种 B. 两种 C. 三种 D. 四种
3.（2020·玉林）已知：点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，如图所示.
求证：DE∥BC，且DE＝ BC.
证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，又AE＝EC，则四边形ADCF是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：
①∴DF BC；②∴CF AD.即CF BD；③∴四边形DBCF是平行四边形；④∴DE∥BC，且DE＝ BC.则正确的证明顺序应是（ ）
A. ②→③→①→④ B. ②→①→③→④ C. ①→③→④→② D. ①→③→②→④
4.（2020·河池）如图，在 中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA=3，EB=5，ED=4.则CE的长是（ ）
A. 5 B. 6 C. 4 D. 5
5.（2020·河池）观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是（ ）
A. B. C. D.
6.（2020·河池）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则sinB的值是（ ）
A. B. C. D.
7.（2020·河池）如图，AB是 O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F.若BF=FE=2，DC=1，则AC的长是（ ）
A. B. C. D.
8.（2020·铁岭）一个零件的形状如图所示， ，则 的度数是（ ）
A. 70° B. 80° C. 90° D. 100°
9.（2020·铁岭）如图，矩形 的顶点 在反比例函数 的图象上，点 和点 在 边上， ，连接 轴，则 的值为（ ）
A. B. 3 C. 4 D.
10.（2020·盘锦）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题.原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是 尺.根据题意，可列方程为（ ）
A. B. C. D.
11.（2020·盘锦）如图，在 中， ， ，以 为直径的⊙O交 于点 ，点 为线段 上的一点， ，连接 并延长交 的延长线于点 ，连接 交⊙O于点 ，若 ，则 的长是（ ）
A. B. C. D.
12.（2020·锦州）如图，在菱形 中，P是对角线 上一动点，过点P作 于点E. 于点F.若菱形 的周长为20，面积为24，则 的值为（ ）
A. 4 B. C. 6 D.
13.（2020·锦州）如图，在 中， ， ， 平分 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
14.（2020·丹东）如图，在四边形 中， ， ， ， ，分别以 和 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ，直线 与 延长线交于点 ，连接 ，则 的内切圆半径是（ ）
A. 4 B. C. 2 D.
15.（2020·丹东）如图， 是 的角平分线，过点 作 交 延长线于点 ，若 ， ，则 的度数为（ ）
A. 100° B. 110° C. 125° D. 135°
16.（2020·朝阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形 ，且点C在反比例函数 的图象上，则k的值为（ ）
A. -12 B. -42 C. 42 D. -21
17.（2020·朝阳）如图，四边形 是矩形，点D是BC边上的动点（点D与点B、点C不重合），则 的值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 无法确定
18.（2020·雅安）如图， 内接于圆， ，过点C的切线交 的延长线于点 ．则 （ ）
A. B. C. D.
19.（2020·雅安）如图，在 中， ，若 ，则 的长为（ ）
A. 8 B. 12 C. D.
20.（2020·绵阳）下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（ ）
A. B. C. D.
21.（2020·绵阳）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（ ）
A. 16° B. 28° C. 44° D. 45°
22.（2020·绵阳）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分线BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点，若AE＝3，CD＝2，则GH＝（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
23.（2020·眉山）如图，四边形 的外接圆为⊙O， ， ， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
24.（2020·眉山）一副三角板如图所示摆放，则 与 的数量关系为（ ）
A. B. C. D.
25.（2020·凉山州）如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于 ，则 （ ）
A. B. C. D.
26.（2020·凉山州）点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段 ，则线段BD的长为（ ）
A. 10cm B. 8cm C. 8cm或10cm D. 2cm或4cm
27.（2020·淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A. AC＝DE B. ∠BAD＝∠CAE C. AB＝AE D. ∠ABC＝∠AED
28.（2020·淄博）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ）
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
29.（2020·淄博）如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝ 的图象上，则k的值为（ ）
A. 36 B. 48 C. 49 D. 64
30.（2020·淄博）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（ ）
A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
二、填空题
31.（2020·徐州）在 中，若 ， ，则 的面积的最大值为________.
32.（2020·徐州）如图，在 中， ， ， .若以 所在直线为轴，把 旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于________.
33.（2020·徐州）如图，在 中， ， 、 、 分别为 、 、 的中点，若 ，则 ________.
34.（2020·徐州）如图， ，在 上截取 .过点 作 ，交 于点 ，以点 为圆心， 为半径画弧，交 于点 ；过点 作 ，交 于点 ，以点 为圆心， 为半径画弧，交 于点 ；按此规律，所得线段 的长等于________.
35.（2020·河池）如图，菱形ABCD的周长为16，AC，BD交于点O，点E在BC上，OE∥AB，则OE的长是________.
36.（2020·铁岭）如图，以 为边，在 的同侧分别作正五边形 和等边 ，连接 ，则 的度数是________.
37.（2020·铁岭）如图，在 中， ，以 为圆心，以适当的长为半径作弧，交 于点 ，交 于点 ，分别以 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 的内部相交于点 ，作射线 ，交 于点 ，点 在 边上， ，连接 ，则 的周长为________.
38.（2020·铁岭）一张菱形纸片 的边长为 ，高 等于边长的一半，将菱形纸片沿直线 折叠，使点 与点 重合，直线 交直线 于点 ，则 的长为________ .
39.（2020·盘锦）如图，直线 ， 的顶点 和 分别落在直线 和 上，若 ， ，则 的度数是________.
40.（2020·盘锦）如图，菱形 的边长为4， ，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 两点，直线 交 于点 ，连接 ，则 的长为________.
三、综合题
41.（2020·徐州）如图， ， ， . ， 与 交于点 .
（1）求证： ；
（2）求 的度数.
42.（2020·玉林）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD＝ AB.
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若H是边AB上一点（H与A，B不重合），连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G.设四边形BGEF的面积为s1 ， 以HB，BC为邻边的矩形的面积为s2 ， 且s1＝s2.当AB＝2时，求AH的长.
43.（2020·玉林）如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC.
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长.
44.（2020·河池）如图
（1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC=BC，∠1=∠2.求证： .
（2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD=BC，∠3=∠4.探究AE与BE的数量关系，并说明理由.
45.（2020·铁岭）在等腰 和等腰 中， ， ，将 绕点 逆时针旋转，连接 ，点 为线段 的中点，连接 .
（1）如图1，当点 旋转到 边上时，请直接写出线段 与 的位置关系和数量关系；
（2）如图2，当点 旋转到 边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由.
（3）若 ，在 绕点 逆时针旋转的过程中，当 时，请直接写出线段 的长.
46.（2020·铁岭）如图，四边形 内接于 是直径， ，连接 ，过点 的直线与 的延长线相交于点 ，且 .
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长.
47.（2020·盘锦）如图， 是 的直径， 是 的弦， 交 于点 ，连接 ，过点 作 ，垂足为 ， .
（1）求证： ；
（2）点 在 的延长线上，连接 .
①求证： 与 相切；
②当 时，直接写出 的长.
48.（2020·盘锦）如图， 两点的坐标分别为 ，将线段 绕点 逆时针旋转90°得到线段 ，过点 作 ，垂足为 ，反比例函数 的图象经过点 .
（1）直接写出点 的坐标，并求反比例函数的解析式；
（2）点 在反比例函数 的图象上，当 的面积为3时，求点 的坐标.
49.（2020·锦州）已知 和 都是等腰直角三角形 ， .
（1）如图1：连 ，求证： ；
（2）若将 绕点O顺时针旋转，
①如图2，当点N恰好在 边上时，求证： ；
②当点 在同一条直线上时，若 ，请直接写出线段 的长.
50.（2020·阜新）如图，正方形 和正方形 （其中 ）， 的延长线与直线 交于点H.
（1）如图1，当点G在 上时，求证： ， ；
（2）将正方形 绕点C旋转一周.
①如图2，当点E在直线 右侧时，求证： ；
②当 时，若 ， ，请直接写出线段 的长
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD∥AE交AB于点D，
∴∠DCA＝∠EAC＝35°，
∵AE∥BF，
∴CD∥BF，
∴∠BCD＝∠CBF＝55°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝35°+55°＝90°，
∴△ABC是直角三角形.
故答案为：C.
【分析】如图，过点C作CD∥AE交AB于点D，可得∠DCA＝∠EAC＝35°，根据AE∥BF，可得CD∥BF，可得∠BCD＝∠CBF＝55°，进而得△ABC是直角三角形.
2.【答案】 B
【解析】【解答】解：长120cm的木条与三角形木架的最长边相等，则长120cm的木条不能作为一边，
设从120cm的木条上截下两段长分别为xcm，ycm（x+y≤120），
由于长60cm的木条不能与75cm的一边对应，否则x、y有大于120cm，
当长60cm的木条与100cm的一边对应，则 ，
解得：x＝45，y＝72；
当长60cm的木条与120cm的一边对应，则 ，
解得：x＝37.5，y＝50.
答：有两种不同的截法：把120cm的木条截成45cm、72cm两段或把120cm的木条截成37.5cm、50cm两段.
故答案为：B.
【分析】分类讨论：长120cm的木条与三角形木架的最长边相等，则长120cm的木条不能作为一边，设从120cm的一根上截下的两段长分别为xcm，ycm（x+y≤120），易得长60cm的木条不能与75cm的一边对应，所以当长60cm的木条与100cm的一边对应时有 ；当长60cm的木条与120cm的一边对应时有 ，然后分别利用比例的性质计算出两种情况下得x和y的值.
3.【答案】 A
【解析】【解答】证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，
∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴AD＝BD，AE＝EC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴CF AD.即CF BD，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF BC，
∴DE∥BC，且DE＝ BC.
∴正确的证明顺序是②→③→①→④，
故答案为：A.
【分析】证出四边形ADCF是平行四边形，得出CF AD.即CF BD，则四边形DBCF是平行四边形，得出DF BC，即可得出结论.
4.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，
∴∠BEC=∠DCE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BC=BE=5，
∴AD=5，
∵EA=3，ED=4，
在△AED中， ，即 ，
∴∠AED=90°，
∴CD=AB=3+5=8，∠EDC=90°，
在Rt△EDC中， .
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的性质，可证得AB=CD，AD=BC，AB∥CD，再利用角平分线的定义及平行线的性质可以推出∠BEC=∠BCE，利用等角对等边，就可求出BC的长，即可得到AD的长；再利用勾股定理的逆定理证明△ADE是直角三角形，由此可证△DEC是直角三角形，利用勾股定理求出CE的长。
5.【答案】 B
【解析】【解答】解：作AB边的垂直平分线，
交AB于点D，
连接CD，
所以CD为△ABC的边AB上的中线.
故答案为：B.
【分析】根据题意可知应该作出AB的垂直平分线交AB于点D，从而可知CD为△ABC的边AB上的中线。
6.【答案】 D
【解析】【解答】解：如图所示：
∵∠C=90°，BC=5，AC=12，
，
.
故答案为：D
【分析】利用勾股定理求出AB的长；再利用锐角三角函数的定义求出sin∠B的值。
7.【答案】 B
【解析】【解答】解：连接BC，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCF=90°，
∵BF⊥CD，
∴∠CFB=90°，
∴∠CBF+∠BC=90°，
∴∠ACE=∠CBF，
∵AE⊥CD，
∴∠ZEC=∠CFB=90°，
，
∴ ，
∵FB=FE=2，FC=1，
∴CE=CF+EF=3， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】连接BC，利用直径所对圆周角是直角，可证得∠ACB=90°，再利用垂直的定义及余角的性质，可证得∠ACE=∠CBF；再利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△ACE∽△CBF，然后利用相似三角形的对应边成比例，就可求出CE的长，利用勾股定理求出AC的长。
8.【答案】 B
【解析】【解答】解：延长DE与BC交于点F，如图：
∵ ，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴∠A=∠F，
在△BDF中， ，
∴ ，
∴∠A=80°；
故答案为：B.
【分析】延长DE与BC交于点F，则四边形ABFD是平行四边形，则∠A=∠F，利用三角形内角和定理，即可求出答案.
9.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵ ， ，x轴⊥y轴，
∴OE=OF=1，∠FOE=90°，∠OEF=∠OFE=45°，
∴ ，
∴ ，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=90°，
∵ 轴，
∴∠DFE=∠OEF=45°，
∴∠ADF=45°， ，
∴
∴D(4，1)，
∴ ，解得 ，
故答案为：C.
【分析】依次可证明△OFE和△AFD为等腰直角三角形，再依据勾股定理求得DF的长度，即可得出D点坐标，从而求得k的值.
10.【答案】 B
【解析】【解答】解：设芦苇的长度是 尺，如下图
则 ， ，
在 中，
即
故答案为：B.
【分析】找到题中的直角三角形，设芦苇的长度是 尺，根据勾股定理即可得出答案.
11.【答案】 C
【解析】【解答】连接OD
OD为 的中位线
又
即
故答案为：C.
【分析】连接OD，易知OD为 的中位线，可以得出 ，再根据对等角相等，可以得出 ，根据相似三角形的性质可以求出半径，再根据特殊角的三角函数值可以得出 ，最后根据弧长公式即可得出答案.
12.【答案】 B
【解析】【解答】解：连接BP，
∵菱形ABCD的周长为20，
∴AB=BC=20÷4=5，
又∵菱形ABCD的面积为24，
∴SABC=24÷2=12，
又SABC= SABP+SCBP
∴SABP+SCBP=12，
∴ ，
∵AB=BC，
∴
∵AB=5，
∴PE+PF=12× = .
故答案为：B.
【分析】连接BP，通过菱形 的周长为20，求出边长，菱形面积为24，求出SABC的面积，然后利用面积法，SABP+SCBP=SABC ， 即可求出 的值.
13.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵在 中， ， .
∴ .
∵ 平分 .
∴ .
∴ .
故答案为：C.
【分析】在 中，利用三角形内角和为 求 ，再利用 平分 ，求出 的度数，再在 利用三角形内角和定理即可求出 的度数.
14.【答案】 A
【解析】【解答】解：有题意得PQ为BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∵∠B=60°，
∴△EBC为等边三角形，
作等边三角形EBC的内切圆，设圆心为M，
∴M在直线PQ上，
连接BM，过M作MH垂直BC于H，垂足为H，
∵
∴BH= BC= AD= ，
∵∠MBH= ∠B=30°，
∴在Rt△BMH中,MH=BH×tan30°= × =4.
∴ 的内切圆半径是4.
故答案为：A.
【分析】分别以 和 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ，连接P，Q则PQ为BC的垂直平分线，可得EB=EC，又∠B=60°，所以△EBC为等边三角形，作等边三角形EBC的内切圆，设圆心为M，则M在直线PQ上，连接BM，过M作BC垂线垂足为H，在Rt△BMH中，BH= BC= AD= ，∠MBH= ∠B=30°，通过解直角三角形可得出MH的值即为△BCE的内切圆半径的长.
15.【答案】 B
【解析】【解答】解： ，
是 的角平分线
则在 中，
故答案为：B.
【分析】先根据三角形的外角性质可求出 ，再根据角平分线的定义、平行线的性质可得 ，然后根据三角形的内角和定理即可得.
16.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵当x=0时， ，∴A(0，4)， ∴OA=4；
∵当y=0时， ，∴x=-3，∴B(-3，0)， ∴OB=3；
过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵∠CBE+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBE =∠BAO.
在△AOB和△BEC中，
，
∴△AOB≌△BEC，
∴BE=AO=4，CE=OB=3，
∴OE=3+4=7，
∴C点坐标为（-7，3），
∵点A在反比例函数 的图象上，
∴k=-7×3=-21.
故答案为：D.
【分析】利用一次函数解析式，由y=0求出对应的x的值，可得到点B的坐标，即可求出OB的长；过点C作CE⊥x轴于E，利用垂直的定义及正方形的性质，去证明AB=BC，∠CBE =∠BAO；再利用AAS证明△AOB≌△BEC，利用全等三角形的对应边相等，可求出BE，OE的长，即可得到点C的坐标；然后利用待定系数法求出k的值。
17.【答案】 A
【解析】【解答】解：如图，过点D作 交AO于点E，
四边形 是矩形
故答案为：A.
【分析】过点D作 交AO于点E，由平行的性质可知 ，等量代换可得 的值.
18.【答案】 B
【解析】【解答】解：连接OC，
∵CP与圆O相切，
∴OC⊥CP，
∵∠ACB=90°，
∴AB为直径，
∵∠P=28°，
∴∠COP=180°-90°-28°=62°，
而OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC=2∠CAB=∠COP，
即∠CAB=31°，
故答案为：B.
【分析】连接OC，根据切线的性质得出∠OCP=90°，再由∠P=28°得出∠COP，最后根据外角的性质得出∠CAB.
19.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵sinB= =0.5，
∴AB=2AC，
∵AC=6，
∴AB=12，
∴BC= = ，
故答案为：C.
【分析】利用正弦的定义得出AB的长，再用勾股定理求出BC.
20.【答案】 D
【解析】【解答】解：正方体展开图的11种情况可分为“1﹣4﹣1型”6种，“2﹣3﹣1型”3种，“2﹣2﹣2型”1种，“3﹣3型”1种，
因此选项D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据正方体的展开图的11种不同情况进行判断即可．
21.【答案】 C
【解析】【解答】解：延长 ，交 于F，
是等腰三角形， ，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】延长 ，交 于F，根据等腰三角形的性质得出 ，根据平行线的性质得出 ，
22.【答案】 B
【解析】【解答】解：过 作 ，交 于点 ，
，
，
，
，
为 中点，
，
，即 ，
，
四边形 为矩形，
，
平分 ， ， ，
，
，
则 ．
故答案为：B．
【分析】过 作 ，交 于点 ，可得 ，得到 与 平行，再由 为 中点，得到 ，同时得到四边形 为矩形，再由角平分线定理得到 ，进而求出 的长，得到 的长．
23.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等及等边对等角，可得 ，根据三角形的内角和可得 ，利用角的和差运算即可求解．
24.【答案】 B
【解析】【解答】解： ∵ ；
∴ ；
∵ ， ；
∴
故答案为：B
【分析】先根据对顶角相等得出 ， ，再根据四边形的内角和即可得出结论
25.【答案】 B
【解析】【解答】如图，过点O作 ， ，设圆的半径为r，
∴△OBM与△ODN是直角三角形， ，
∵等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于 ，
∴ , ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案选B．
【分析】过点O作 ， ，设圆的半径为r，根据垂径定理可得△OBM与△ODN是直角三角形，根据三角函数值进行求解即可得到结果．
26.【答案】 C
【解析】【解答】如图，∵点C是线段AB的中点，
∴AC=BC= AB=6cm
当AD= AC=4cm时，CD=AC-AD=2cm
∴BD=BC+CD=6+2=8cm；
当AD= AC=2cm时，CD=AC-AD=4cm
∴BD=BC+CD=6+4=10cm；
故答案为：C．
【分析】根据题意作图，由线段之间的关系即可求解．
27.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项不符合题意，B选项符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
28.【答案】 D
【解析】【解答】解：由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC＝ ＝ ＝6，△ABC的面积＝ ×AC×BP＝ ×8×12＝48，
故答案为：D．
【分析】由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），即可求解．
29.【答案】 A
【解析】【解答】解：过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，
∵A（0，4），B（3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝ ＝5，
∵△OAB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，
∴PE＝PC，PD＝PC，
∴PE＝PC＝PD，
设P（t，t），则PC＝t，
∵S△PAE+S△PAB+S△PBD+S△OAB＝S矩形PEOD ，
∴ ×t×（t﹣4）+ ×5×t+ ×t×（t﹣3）+ ×3×4＝t×t，
解得t＝6，∴P（6，6），
把P（6，6）代入y＝ 得k＝6×6＝36．
故答案为：A．
【分析】过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，利用勾股定理计算出AB＝5，根据角平分线的性质得PE＝PC＝PD，设P（t，t），利用面积的和差得到 ×t×（t﹣4）+ ×5×t+ ×t×（t﹣3）+ ×3×4＝t×t，求出t得到P点坐标，然后把P点坐标代入y＝ 中求出k的值．
30.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，
又∵∠B＝50°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝40°，
∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝40°．
故答案为：C．
【分析】由AC⊥BC可得∠ACB＝90°，又∠B＝50°，根据直角三角形两个锐角互余可得∠CAB＝40°，再根据平行线的性质可得∠DCA＝∠CAB＝40°．
二、填空题
31.【答案】 9 +9
【解析】【解答】解：作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，
∵弦AB已确定，
∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，
如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，
∵CM⊥AB，CM过O，
∴AM＝BM（垂径定理），
∴AC＝BC，
∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，
∴OM＝AM＝ AB＝ ×6＝3，
∴OA＝ ，
∴CM＝OC＋OM＝ ＋3，
∴S△ABC＝ AB•CM＝ ×6×（ ＋3）＝9 +9.
故答案为：9 +9.
【分析】首先过C作CM⊥AB于M，由弦AB已确定，可得要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，即可得当CM过圆心O时，CM最大，然后由圆周角定理，证得△AOB是等腰直角三角形，则可求得CM的长，继而求得答案.
32.【答案】
【解析】【解答】解：由已知得，母线长 = =5，半径 为3，
∴圆锥的侧面积是 .
故答案为： .
【分析】运用公式 （其中勾股定理求解得到的母线长 为5）求解.
33.【答案】 5
【解析】【解答】解：∵在 中， ， 、 、 分别为 、 、 的中点， ，则根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得AC＝10.根据题意判断DE为中位线，根据三角形中位线的性质，得DE∥AC且DE= AC，可得DE=5.
故答案为DE=5
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得AC的长度，再根据题意判断DE为中位线，根据中位线的性质即可求出DE的长度.
34.【答案】
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴△ 是等边三角形
∴
∴ 是等边三角形
∴
同理可得 是等边三角形
∴
【分析】根据已知条件先求出 的长，再根据外角，直角算出△ 是等边三角形，同理可得出其他等边三角形，即可求出答案.
35.【答案】 2
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的周长为16，
∴AB=BC=CD=AD=4，OA=OC，
∵OE∥AB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴ ，
故答案为：2.
【分析】利用菱形的性质求出DC的长，同时可证得OA=OC，再证明OE是△ABC的中位线，利用三角形的中位线等于第三边的一半，就可求出OE的长。
36.【答案】 66°
【解析】【解答】解：∵五边形 是正五边形，
∴AB=AE，∠EAB=108°，
∵△ABF是等边三角形，
∴AB=AF，∠FAB=60°，
∴AE=AF，∠EAF=108°－60°=48°，
∴∠EFA= .
故答案为：66°.
【分析】由 是正五边形可得AB=AE以及∠EAB的度数，由△ABF是等边三角形可得AB=AF以及∠FAB的度数，进而可得AE=AF以及∠EAF的度数，进一步即可根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出答案.
37.【答案】 12
【解析】【解答】解：根据题意可知，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠FAD，
∵AB=AF=5，AD=AD，
∴△ABD≌△AFD，
∴BD=FD，
∴FD+DC=BD+DC=BC=9，
∵FC=AC AF=8 5=3，
∴ 的周长为：FD+DC+FC=9+3=12；
故答案为：12.
【分析】根据题意，先证明△ABD≌△AFD，则BD=FD，AB=AF=5，则 的周长=BC+CF，即可求出答案.
38.【答案】 或
【解析】【解答】解：由题干描述可作出两种可能的图形.
①MN交DC的延长线于点F，如下图所示
∵高AE等于边长的一半
∴
在Rt△ADE中，
又∵沿MN折叠后，A与B重合
∴
∴
②MN交DC的延长线于点F，如下图所示
同理可得 ， ，
此时，
故答案为： 或 .
【分析】根据题意，分情况讨论：①MN交DC的延长线于点F，利用已知条件可知AE的长，利用折叠的性质可求出EF的长，继而可求出DF的长；②MN交DC的延长线于点F，同理可求出AE，EF的长，然后根据DF=DE-EF，即可求出DF的长。
39.【答案】 20°
【解析】【解答】解：∵直线 ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
故答案为：20°.
【分析】根据两直线平行内错角相等可得到 ，从而计算出 的度数.
40.【答案】
【解析】【解答】解：连接BE，如图：
由题意可知，MN垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴ ，则∠AEB=90°，
在等腰直角三角形ABE中，AB=4，
∴BE=AE= ，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠EBC=∠AEB=90°，
在Rt△BCE中，由勾股定理，则
；
故答案为： .
【分析】连接BE，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得BE=AE= ， 再得∠EBC=90°，利用勾股定理即可求出CE的长度.
三、综合题
41.【答案】 （1）证明：∵ ， ，
∴∠ACB=∠ECD=90°
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE
即∠ACE=∠BCD
又 .
∴△ACE≌△BCD
∴
（2）解：∵△ACE≌△BCD
∴∠A=∠B
设AE与BC交于O点,
∴∠AOC=∠BOF
∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180°
∴∠BFO=∠ACO=90°
故 =180°-∠BFO=90°
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠ACB=∠ECD=90，再证明∠ACE=∠BCD，然后根据SAS证明△ACE≌△BCD，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论。
（2）利用全等三角形的对应角相等可证得∠A=∠B，利用三角形的内角和定理可证得∠BFO=∠ACO，从而可求出∠AFD的度数。
42.【答案】 （1）证明：∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∵OA＝OB＝OC＝OD＝ AB，
∴OA2+OB2＝AB2 ，
∴∠AOB＝90°，
即AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形
（2）解：∵EF⊥BC，EG⊥AG，
∴∠G＝∠EFB＝∠FBG＝90°，
∴四边形BGEF是矩形，
∵将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，
∴∠DHE＝90°，DH＝HE，
∴∠ADH+∠AHD＝∠AHD+∠EHG＝90°，
∴∠ADH＝∠EHG，
∵∠DAH＝∠G＝90°，
∴△ADH≌△GHE（AAS），
∴AD＝HG，AH＝EG，
∵AB＝AD，
∴AB＝HG，
∴AH＝BG，
∴BG＝EG，
∴矩形BGEF是正方形，
设AH＝x，则BG＝EG＝x，
∵s1＝s2.
∴x2＝2（2﹣x），
解得：x＝ ﹣1（负值舍去），
∴AH＝ ﹣1.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定推出四边形是平行四边形，求出AC＝BD，得出四边形是矩形，根据勾股定理的逆定理求出AC⊥BD，根据正方形的判定推出即可；（2）根据已知条件得到四边形BGEF是矩形，根据旋转的性质得到∠DHE＝90°，DH＝HE，根据全等三角形的性质得到AD＝HG，AH＝EG，推出矩形BGEF是正方形，设AH＝x，则BG＝EG＝x，根据题意列方程即可得到结论.
43.【答案】 （1）证明：连接OF，如图1所示：
∵CD⊥AB，
∴∠DBC+∠C＝90°，
∵OB＝OF，
∴∠DBC＝∠OFB，
∵EF＝EC，
∴∠C＝∠EFC，
∴∠OFB+∠EFC＝90°，
∴∠OFE＝180°﹣90°＝90°，
∴OF⊥EF，
∵OF为⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线
（2）解：连接AF，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵D是OA的中点，
∴OD＝DA＝ OA＝ AB＝ ×4＝1，
∴BD＝3OD＝3，
∵CD⊥AB，CD＝AB＝4，
∴∠CDB＝90°，
由勾股定理得：BC＝ ＝ ＝5，
∵∠AFB＝∠CDB＝90°，∠FBA＝∠DBC，
∴△FBA∽△DBC，
∴ ，
∴BF＝ ＝ ＝ ，
∴CF＝BC﹣BF＝5﹣ ＝
【解析】【分析】（1）连接OF，易证∠DBC+∠C＝90°，由等腰三角形的性质得∠DBC＝∠OFB，∠C＝∠EFC，推出∠OFB+∠EFC＝90°，则∠OFE＝90°，即可得出结论；（2）连接AF，则∠AFB＝90°，求出BD＝3OD＝3，CD＝AB＝4，BC＝ ＝5，证明△FBA∽△DBC，得出 ，求出BF＝ ，由CF＝BC﹣BF即可得出结果
44.【答案】 （1）证明：在△ACE和△BCE中，
∵ ，
（2）解：AE=BE.
理由如下：
在CE上截取CF=DE，
在△ADE和△BCF中，
∵ ，
∴ ，
∴AE=BF，∠AED=∠CFB，
∵∠AED+∠BEF=180°，∠CFB+∠EFB=180°，
∴∠BEF=∠EFB，
∴BE=BF，
∴AE=BE.
【解析】【分析】（1）观察图形中隐含了公共边相等，再利用已知条件，根据SAS可证得两三角形全等。
（2）在CE上截取CF=DE，利用SAS证明△ADE≌△BCF，利用全等三角形的性质，可证得AE=BF，∠AED=∠CFB，从而可推出∠BEF=∠EFB，利用等角对等边，可证得BE=BF，即可证得结论。
45.【答案】 （1）解：
理由： ，
与 是直角三角形，
是AB的中点，
，
，
，
，
， ，
，
在 中， ，
，
故 ，OD＝OE.
（2）解：成立.
证法一：延长 交 于点 ，连接
和 是等腰三角形，
∴四边形 是矩形
是 的中点
∵在 中， 是 中点
，则
.
证法二：延长 到点 ，使得 ，连接
是 的中点
和 是等腰三角形，
.
（3）解：如下图，当BC在AC左侧时，∠ACB=60°，
过E作EH⊥DC，与它的延长线交于H，连接DE，
∵△ADC和△BEC为等腰直角三角形，
∴ ,
∴ ，
∴在 中， , ,
∴ ,
在 中, ,
由（2）中的证法2可证得OD⊥OE，OD=OE，
∴ 为等腰直角三角形，
∴在 中， ；
如下图，当BC在AC右侧时，∠ACB=60°，
过E作EH⊥DC，与它交于H，连接DE，
∵△ADC和△BEC为等腰直角三角形，
∴ ,
∴ ，
∴在 中， , ,
∴ ,
在 中, ,
∴ .
综上所述 或 .
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半作答，得出DO＝EO，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质得出 ，从而得出DO EO，问题得解；（2）方法1:延长EB交AD于F，先证明 ,然后证明 ,最后证 问题得以证明；方法2:延长EO到M，使得OM＝OE，先证 是等腰三角形，然后证 OAM OBE，再证 MAD DCE,最后证明 MDE为等腰三角形问题得解.（3）分BC在AC左侧时和BC在AC右侧两种情况，画出对应图形，求得 ，根据含30°角的直角三角形边之间的关系和勾股定理即可求得DE,再结合（2）可证OD⊥OE，OD=OE，根据等腰直角三角形三边关系可求得OD.
46.【答案】 （1）证明：连接 ，如图1
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
是半径，
∴直线 是 的切线.
（2）解：解法一：过点 作 于点 ，如图2，则 ，
是直径，
，
在 中， ，
，
，
∵在 中， ，
，
，
，
，
∵在 中， ，
，
，
，
∵在 中，
，
，
，
解法二：过点 作 交 延长线于点 ，如图3
，
是直径，
，
，
，
，
∵四边形 内接于 ，
，
，
，
，
在△ABD和△CBH中，
，
（ASA），
，
，
，
∵在 中，
，
即 ，
∴ ，
.
【解析】【分析】（1）连接 ，根据圆的半径相等得到∠OCD=∠ODC，因为AC是直径，所以∠ADC=90°，根据∠EDA=∠ACD，得到∠ADO+∠ODC=∠EDA+∠ADO，从而可得∠EDO=90°，所以结论得证；（2）解法一：过点 作 于点 ，由圆周角定理得到 ，根据勾股定理得到AC=10，根据已知得到 ，利用正弦函数求出AB的值，利用圆周角定理得到 ，从而利用正弦函数得到AF的值，所以得到DF的值；解法二：过点 作 交 延长线于点 ，所以 ，根据圆周角定理得到 ，可推出 ，再根据圆内接四边形的性质得到 ，因为AB=CB，利用‘ASA’证明 ，从而得到 ，可得到DH的长，根据勾股定理可求出BD的长.
47.【答案】 （1）证明：
，
即
（2）解：①连接
即
是 的半径
与 相切
②如图，
∵BC为直径，EF⊥AB，
∴∠BAC=∠BFE=90°，
∴AC∥FE，
∴ ，
∵CE=4，
∴BE=10，
∴BC=14，
∴OA=OC=7，
∴ ，
在Rt△AOE中，由勾股定理，得
，
∵ ， ，
∴△AEO∽△GEA，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）由圆周角定理，以及等角的余角相等，得到 ，即可得到结论成立；（2）①连接AO，先证明 ，然后证明 ，即可得到结论成立；②由AC∥EF，得到 ，然后得到BE=10，得到OA=OC=7，OE=3，然后得到AE的长度，再利用△AOE∽△GAE，即可求出GE，即可得到CG的长度.
48.【答案】 （1）解：∵ 两点的坐标分别为 ，
∴ ,
∵线段 绕点 逆时针旋转90°得到线段 ， ，
∴ , ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 点的坐标为 ，
∵反比例函数 的图象经过点 ，
，
，
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）解：∵ ，
∴当 的面积等于3时，以 为底时，得出的高为2，
∵ ，
∴ 点不会在 点的右边；
设点 ，
若点 在第一象限，过点 作 ，垂足为 ，
的面积为3，
，
解得 ，
将 代入 ，解得 ，
，
若点 在第三象限，过点 作 ，垂足为 ，
的面积为3，
，
解得 ，
将 代入 ，解得 ，
，
综上所述，点 的坐标是 或 .
【解析】【分析】（1）由 两点的坐标得出 的长度，由题意得出 ，进而得出 的长度，从而得出 的长度，即可得出 点的坐标；进而求出反比例函数的解析式；（2）分点 在第一象限、第三象限两种情况分类讨论即可.
49.【答案】 （1）证明：即 ，
，
即 .
和 是等腰直角三角形，
，
（2）解：①证明：如图1，连接 .
，
，
即 .
和 是等腰直角三角形，
，
，
，
.
是等腰直角三角形，
，
.
② 或 .
温馨提示：
如图2，当点N在线段 上时，连接 ，设 ，
在 中， ，
；
如图3，当点M在线段 上时，连接 ，设 ，
在 中，
解得： .
【解析】【分析】（1）利用SAS定理证明 即可；（2）①连接 ，证明 ，即可证 ；②当点N在线段 上时，连接 ，在 中构造勾股定理的等量关系；当点M在线段 上时，同理即可求得.
50.【答案】 （1）解：如图1，因为四边形 和 均为正方形，
所以， ，
，
∴ .
∴ .
在 和 中，
∵ ，
∴ .
∴ .
∴ .
（2）解：如图2，
①在线段 上截取 ，连接 .
由（1）可知， ，
∴ .
∴ .
∴
即 .
∴ 为等腰直角三角形.
∴ .
∴ .
② 的长为 或 .
第一种情况：如图3所示，当D，H，E三点共线时， ，连接 .
由①可知 ，且 .
又∵ ，
∴ .
设 ，则 .
∴在 中，有 .
即有 .
解得 ， （舍去）.
第二种情况：如图4所示，当B，H，G三点共线时， ，连接 .
设 ，
∵ ，
∴ .
∴在 中，有 .
即有 .
解得 ， （舍去）.
∴ 的长为 或 .
【解析】【分析】（1）证明 ，即可得到 ，再由角的等量代换即可证明 ；（2）①在线段 上截取 ，连接 ，证明 ，得到 为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的边角性质即可；②分两种情况，一是如图3所示，当D，H，E三点共线时， ，连接 .求出BD，设 ，则 .在 中，利用勾股定理列出方程解答；二是如图4所示，当B，H，G三点共线时， ，连接 .设 ， 中利用勾股定理列出方程即可解答.
2020年全国数学中考试题精选50题（9）——图形的初步认识与三角形
一、单选题
1.（2020·玉林）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，则A，B，C三岛组成一个（ ）
A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形
2.（2020·玉林）一个三角形木架三边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm和120cm的两根木条.要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（ ）
A. 一种 B. 两种 C. 三种 D. 四种
3.（2020·玉林）已知：点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，如图所示.
求证：DE∥BC，且DE＝ BC.
证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，又AE＝EC，则四边形ADCF是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：
①∴DF BC；②∴CF AD.即CF BD；③∴四边形DBCF是平行四边形；④∴DE∥BC，且DE＝ BC.则正确的证明顺序应是（ ）
A. ②→③→①→④ B. ②→①→③→④ C. ①→③→④→② D. ①→③→②→④
4.（2020·河池）如图，在 中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA=3，EB=5，ED=4.则CE的长是（ ）
A. 5 B. 6 C. 4 D. 5
5.（2020·河池）观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是（ ）
A. B. C. D.
6.（2020·河池）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则sinB的值是（ ）
A. B. C. D.
7.（2020·河池）如图，AB是 O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F.若BF=FE=2，DC=1，则AC的长是（ ）
A. B. C. D.
8.（2020·铁岭）一个零件的形状如图所示， ，则 的度数是（ ）
A. 70° B. 80° C. 90° D. 100°
9.（2020·铁岭）如图，矩形 的顶点 在反比例函数 的图象上，点 和点 在 边上， ，连接 轴，则 的值为（ ）
A. B. 3 C. 4 D.
10.（2020·盘锦）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题.原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是 尺.根据题意，可列方程为（ ）
A. B. C. D.
11.（2020·盘锦）如图，在 中， ， ，以 为直径的⊙O交 于点 ，点 为线段 上的一点， ，连接 并延长交 的延长线于点 ，连接 交⊙O于点 ，若 ，则 的长是（ ）
A. B. C. D.
12.（2020·锦州）如图，在菱形 中，P是对角线 上一动点，过点P作 于点E. 于点F.若菱形 的周长为20，面积为24，则 的值为（ ）
A. 4 B. C. 6 D.
13.（2020·锦州）如图，在 中， ， ， 平分 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
14.（2020·丹东）如图，在四边形 中， ， ， ， ，分别以 和 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ，直线 与 延长线交于点 ，连接 ，则 的内切圆半径是（ ）
A. 4 B. C. 2 D.
15.（2020·丹东）如图， 是 的角平分线，过点 作 交 延长线于点 ，若 ， ，则 的度数为（ ）
A. 100° B. 110° C. 125° D. 135°
16.（2020·朝阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形 ，且点C在反比例函数 的图象上，则k的值为（ ）
A. -12 B. -42 C. 42 D. -21
17.（2020·朝阳）如图，四边形 是矩形，点D是BC边上的动点（点D与点B、点C不重合），则 的值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 无法确定
18.（2020·雅安）如图， 内接于圆， ，过点C的切线交 的延长线于点 ．则 （ ）
A. B. C. D.
19.（2020·雅安）如图，在 中， ，若 ，则 的长为（ ）
A. 8 B. 12 C. D.
20.（2020·绵阳）下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（ ）
A. B. C. D.
21.（2020·绵阳）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（ ）
A. 16° B. 28° C. 44° D. 45°
22.（2020·绵阳）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分线BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点，若AE＝3，CD＝2，则GH＝（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
23.（2020·眉山）如图，四边形 的外接圆为⊙O， ， ， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
24.（2020·眉山）一副三角板如图所示摆放，则 与 的数量关系为（ ）
A. B. C. D.
25.（2020·凉山州）如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于 ，则 （ ）
A. B. C. D.
26.（2020·凉山州）点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段 ，则线段BD的长为（ ）
A. 10cm B. 8cm C. 8cm或10cm D. 2cm或4cm
27.（2020·淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A. AC＝DE B. ∠BAD＝∠CAE C. AB＝AE D. ∠ABC＝∠AED
28.（2020·淄博）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ）
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
29.（2020·淄博）如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝ 的图象上，则k的值为（ ）
A. 36 B. 48 C. 49 D. 64
30.（2020·淄博）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（ ）
A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
二、填空题
31.（2020·徐州）在 中，若 ， ，则 的面积的最大值为________.
32.（2020·徐州）如图，在 中， ， ， .若以 所在直线为轴，把 旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于________.
33.（2020·徐州）如图，在 中， ， 、 、 分别为 、 、 的中点，若 ，则 ________.
34.（2020·徐州）如图， ，在 上截取 .过点 作 ，交 于点 ，以点 为圆心， 为半径画弧，交 于点 ；过点 作 ，交 于点 ，以点 为圆心， 为半径画弧，交 于点 ；按此规律，所得线段 的长等于________.
35.（2020·河池）如图，菱形ABCD的周长为16，AC，BD交于点O，点E在BC上，OE∥AB，则OE的长是________.
36.（2020·铁岭）如图，以 为边，在 的同侧分别作正五边形 和等边 ，连接 ，则 的度数是________.
37.（2020·铁岭）如图，在 中， ，以 为圆心，以适当的长为半径作弧，交 于点 ，交 于点 ，分别以 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 的内部相交于点 ，作射线 ，交 于点 ，点 在 边上， ，连接 ，则 的周长为________.
38.（2020·铁岭）一张菱形纸片 的边长为 ，高 等于边长的一半，将菱形纸片沿直线 折叠，使点 与点 重合，直线 交直线 于点 ，则 的长为________ .
39.（2020·盘锦）如图，直线 ， 的顶点 和 分别落在直线 和 上，若 ， ，则 的度数是________.
40.（2020·盘锦）如图，菱形 的边长为4， ，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 两点，直线 交 于点 ，连接 ，则 的长为________.
三、综合题
41.（2020·徐州）如图， ， ， . ， 与 交于点 .
（1）求证： ；
（2）求 的度数.
42.（2020·玉林）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD＝ AB.
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若H是边AB上一点（H与A，B不重合），连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G.设四边形BGEF的面积为s1 ， 以HB，BC为邻边的矩形的面积为s2 ， 且s1＝s2.当AB＝2时，求AH的长.
43.（2020·玉林）如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC.
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长.
44.（2020·河池）如图
（1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC=BC，∠1=∠2.求证： .
（2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD=BC，∠3=∠4.探究AE与BE的数量关系，并说明理由.
45.（2020·铁岭）在等腰 和等腰 中， ， ，将 绕点 逆时针旋转，连接 ，点 为线段 的中点，连接 .
（1）如图1，当点 旋转到 边上时，请直接写出线段 与 的位置关系和数量关系；
（2）如图2，当点 旋转到 边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由.
（3）若 ，在 绕点 逆时针旋转的过程中，当 时，请直接写出线段 的长.
46.（2020·铁岭）如图，四边形 内接于 是直径， ，连接 ，过点 的直线与 的延长线相交于点 ，且 .
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长.
47.（2020·盘锦）如图， 是 的直径， 是 的弦， 交 于点 ，连接 ，过点 作 ，垂足为 ， .
（1）求证： ；
（2）点 在 的延长线上，连接 .
①求证： 与 相切；
②当 时，直接写出 的长.
48.（2020·盘锦）如图， 两点的坐标分别为 ，将线段 绕点 逆时针旋转90°得到线段 ，过点 作 ，垂足为 ，反比例函数 的图象经过点 .
（1）直接写出点 的坐标，并求反比例函数的解析式；
（2）点 在反比例函数 的图象上，当 的面积为3时，求点 的坐标.
49.（2020·锦州）已知 和 都是等腰直角三角形 ， .
（1）如图1：连 ，求证： ；
（2）若将 绕点O顺时针旋转，
①如图2，当点N恰好在 边上时，求证： ；
②当点 在同一条直线上时，若 ，请直接写出线段 的长.
50.（2020·阜新）如图，正方形 和正方形 （其中 ）， 的延长线与直线 交于点H.
（1）如图1，当点G在 上时，求证： ， ；
（2）将正方形 绕点C旋转一周.
①如图2，当点E在直线 右侧时，求证： ；
②当 时，若 ， ，请直接写出线段 的长
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD∥AE交AB于点D，
∴∠DCA＝∠EAC＝35°，
∵AE∥BF，
∴CD∥BF，
∴∠BCD＝∠CBF＝55°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝35°+55°＝90°，
∴△ABC是直角三角形.
故答案为：C.
【分析】如图，过点C作CD∥AE交AB于点D，可得∠DCA＝∠EAC＝35°，根据AE∥BF，可得CD∥BF，可得∠BCD＝∠CBF＝55°，进而得△ABC是直角三角形.
2.【答案】 B
【解析】【解答】解：长120cm的木条与三角形木架的最长边相等，则长120cm的木条不能作为一边，
设从120cm的木条上截下两段长分别为xcm，ycm（x+y≤120），
由于长60cm的木条不能与75cm的一边对应，否则x、y有大于120cm，
当长60cm的木条与100cm的一边对应，则 ，
解得：x＝45，y＝72；
当长60cm的木条与120cm的一边对应，则 ，
解得：x＝37.5，y＝50.
答：有两种不同的截法：把120cm的木条截成45cm、72cm两段或把120cm的木条截成37.5cm、50cm两段.
故答案为：B.
【分析】分类讨论：长120cm的木条与三角形木架的最长边相等，则长120cm的木条不能作为一边，设从120cm的一根上截下的两段长分别为xcm，ycm（x+y≤120），易得长60cm的木条不能与75cm的一边对应，所以当长60cm的木条与100cm的一边对应时有 ；当长60cm的木条与120cm的一边对应时有 ，然后分别利用比例的性质计算出两种情况下得x和y的值.
3.【答案】 A
【解析】【解答】证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，
∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴AD＝BD，AE＝EC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴CF AD.即CF BD，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF BC，
∴DE∥BC，且DE＝ BC.
∴正确的证明顺序是②→③→①→④，
故答案为：A.
【分析】证出四边形ADCF是平行四边形，得出CF AD.即CF BD，则四边形DBCF是平行四边形，得出DF BC，即可得出结论.
4.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，
∴∠BEC=∠DCE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BC=BE=5，
∴AD=5，
∵EA=3，ED=4，
在△AED中， ，即 ，
∴∠AED=90°，
∴CD=AB=3+5=8，∠EDC=90°，
在Rt△EDC中， .
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的性质，可证得AB=CD，AD=BC，AB∥CD，再利用角平分线的定义及平行线的性质可以推出∠BEC=∠BCE，利用等角对等边，就可求出BC的长，即可得到AD的长；再利用勾股定理的逆定理证明△ADE是直角三角形，由此可证△DEC是直角三角形，利用勾股定理求出CE的长。
5.【答案】 B
【解析】【解答】解：作AB边的垂直平分线，
交AB于点D，
连接CD，
所以CD为△ABC的边AB上的中线.
故答案为：B.
【分析】根据题意可知应该作出AB的垂直平分线交AB于点D，从而可知CD为△ABC的边AB上的中线。
6.【答案】 D
【解析】【解答】解：如图所示：
∵∠C=90°，BC=5，AC=12，
，
.
故答案为：D
【分析】利用勾股定理求出AB的长；再利用锐角三角函数的定义求出sin∠B的值。
7.【答案】 B
【解析】【解答】解：连接BC，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCF=90°，
∵BF⊥CD，
∴∠CFB=90°，
∴∠CBF+∠BC=90°，
∴∠ACE=∠CBF，
∵AE⊥CD，
∴∠ZEC=∠CFB=90°，
，
∴ ，
∵FB=FE=2，FC=1，
∴CE=CF+EF=3， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】连接BC，利用直径所对圆周角是直角，可证得∠ACB=90°，再利用垂直的定义及余角的性质，可证得∠ACE=∠CBF；再利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△ACE∽△CBF，然后利用相似三角形的对应边成比例，就可求出CE的长，利用勾股定理求出AC的长。
8.【答案】 B
【解析】【解答】解：延长DE与BC交于点F，如图：
∵ ，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴∠A=∠F，
在△BDF中， ，
∴ ，
∴∠A=80°；
故答案为：B.
【分析】延长DE与BC交于点F，则四边形ABFD是平行四边形，则∠A=∠F，利用三角形内角和定理，即可求出答案.
9.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵ ， ，x轴⊥y轴，
∴OE=OF=1，∠FOE=90°，∠OEF=∠OFE=45°，
∴ ，
∴ ，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=90°，
∵ 轴，
∴∠DFE=∠OEF=45°，
∴∠ADF=45°， ，
∴
∴D(4，1)，
∴ ，解得 ，
故答案为：C.
【分析】依次可证明△OFE和△AFD为等腰直角三角形，再依据勾股定理求得DF的长度，即可得出D点坐标，从而求得k的值.
10.【答案】 B
【解析】【解答】解：设芦苇的长度是 尺，如下图
则 ， ，
在 中，
即
故答案为：B.
【分析】找到题中的直角三角形，设芦苇的长度是 尺，根据勾股定理即可得出答案.
11.【答案】 C
【解析】【解答】连接OD
OD为 的中位线
又
即
故答案为：C.
【分析】连接OD，易知OD为 的中位线，可以得出 ，再根据对等角相等，可以得出 ，根据相似三角形的性质可以求出半径，再根据特殊角的三角函数值可以得出 ，最后根据弧长公式即可得出答案.
12.【答案】 B
【解析】【解答】解：连接BP，
∵菱形ABCD的周长为20，
∴AB=BC=20÷4=5，
又∵菱形ABCD的面积为24，
∴SABC=24÷2=12，
又SABC= SABP+SCBP
∴SABP+SCBP=12，
∴ ，
∵AB=BC，
∴
∵AB=5，
∴PE+PF=12× = .
故答案为：B.
【分析】连接BP，通过菱形 的周长为20，求出边长，菱形面积为24，求出SABC的面积，然后利用面积法，SABP+SCBP=SABC ， 即可求出 的值.
13.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵在 中， ， .
∴ .
∵ 平分 .
∴ .
∴ .
故答案为：C.
【分析】在 中，利用三角形内角和为 求 ，再利用 平分 ，求出 的度数，再在 利用三角形内角和定理即可求出 的度数.
14.【答案】 A
【解析】【解答】解：有题意得PQ为BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∵∠B=60°，
∴△EBC为等边三角形，
作等边三角形EBC的内切圆，设圆心为M，
∴M在直线PQ上，
连接BM，过M作MH垂直BC于H，垂足为H，
∵
∴BH= BC= AD= ，
∵∠MBH= ∠B=30°，
∴在Rt△BMH中,MH=BH×tan30°= × =4.
∴ 的内切圆半径是4.
故答案为：A.
【分析】分别以 和 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ，连接P，Q则PQ为BC的垂直平分线，可得EB=EC，又∠B=60°，所以△EBC为等边三角形，作等边三角形EBC的内切圆，设圆心为M，则M在直线PQ上，连接BM，过M作BC垂线垂足为H，在Rt△BMH中，BH= BC= AD= ，∠MBH= ∠B=30°，通过解直角三角形可得出MH的值即为△BCE的内切圆半径的长.
15.【答案】 B
【解析】【解答】解： ，
是 的角平分线
则在 中，
故答案为：B.
【分析】先根据三角形的外角性质可求出 ，再根据角平分线的定义、平行线的性质可得 ，然后根据三角形的内角和定理即可得.
16.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵当x=0时， ，∴A(0，4)， ∴OA=4；
∵当y=0时， ，∴x=-3，∴B(-3，0)， ∴OB=3；
过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵∠CBE+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBE =∠BAO.
在△AOB和△BEC中，
，
∴△AOB≌△BEC，
∴BE=AO=4，CE=OB=3，
∴OE=3+4=7，
∴C点坐标为（-7，3），
∵点A在反比例函数 的图象上，
∴k=-7×3=-21.
故答案为：D.
【分析】利用一次函数解析式，由y=0求出对应的x的值，可得到点B的坐标，即可求出OB的长；过点C作CE⊥x轴于E，利用垂直的定义及正方形的性质，去证明AB=BC，∠CBE =∠BAO；再利用AAS证明△AOB≌△BEC，利用全等三角形的对应边相等，可求出BE，OE的长，即可得到点C的坐标；然后利用待定系数法求出k的值。
17.【答案】 A
【解析】【解答】解：如图，过点D作 交AO于点E，
四边形 是矩形
故答案为：A.
【分析】过点D作 交AO于点E，由平行的性质可知 ，等量代换可得 的值.
18.【答案】 B
【解析】【解答】解：连接OC，
∵CP与圆O相切，
∴OC⊥CP，
∵∠ACB=90°，
∴AB为直径，
∵∠P=28°，
∴∠COP=180°-90°-28°=62°，
而OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC=2∠CAB=∠COP，
即∠CAB=31°，
故答案为：B.
【分析】连接OC，根据切线的性质得出∠OCP=90°，再由∠P=28°得出∠COP，最后根据外角的性质得出∠CAB.
19.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵sinB= =0.5，
∴AB=2AC，
∵AC=6，
∴AB=12，
∴BC= = ，
故答案为：C.
【分析】利用正弦的定义得出AB的长，再用勾股定理求出BC.
20.【答案】 D
【解析】【解答】解：正方体展开图的11种情况可分为“1﹣4﹣1型”6种，“2﹣3﹣1型”3种，“2﹣2﹣2型”1种，“3﹣3型”1种，
因此选项D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据正方体的展开图的11种不同情况进行判断即可．
21.【答案】 C
【解析】【解答】解：延长 ，交 于F，
是等腰三角形， ，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】延长 ，交 于F，根据等腰三角形的性质得出 ，根据平行线的性质得出 ，
22.【答案】 B
【解析】【解答】解：过 作 ，交 于点 ，
，
，
，
，
为 中点，
，
，即 ，
，
四边形 为矩形，
，
平分 ， ， ，
，
，
则 ．
故答案为：B．
【分析】过 作 ，交 于点 ，可得 ，得到 与 平行，再由 为 中点，得到 ，同时得到四边形 为矩形，再由角平分线定理得到 ，进而求出 的长，得到 的长．
23.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等及等边对等角，可得 ，根据三角形的内角和可得 ，利用角的和差运算即可求解．
24.【答案】 B
【解析】【解答】解： ∵ ；
∴ ；
∵ ， ；
∴
故答案为：B
【分析】先根据对顶角相等得出 ， ，再根据四边形的内角和即可得出结论
25.【答案】 B
【解析】【解答】如图，过点O作 ， ，设圆的半径为r，
∴△OBM与△ODN是直角三角形， ，
∵等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于 ，
∴ , ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案选B．
【分析】过点O作 ， ，设圆的半径为r，根据垂径定理可得△OBM与△ODN是直角三角形，根据三角函数值进行求解即可得到结果．
26.【答案】 C
【解析】【解答】如图，∵点C是线段AB的中点，
∴AC=BC= AB=6cm
当AD= AC=4cm时，CD=AC-AD=2cm
∴BD=BC+CD=6+2=8cm；
当AD= AC=2cm时，CD=AC-AD=4cm
∴BD=BC+CD=6+4=10cm；
故答案为：C．
【分析】根据题意作图，由线段之间的关系即可求解．
27.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项不符合题意，B选项符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
28.【答案】 D
【解析】【解答】解：由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC＝ ＝ ＝6，△ABC的面积＝ ×AC×BP＝ ×8×12＝48，
故答案为：D．
【分析】由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），即可求解．
29.【答案】 A
【解析】【解答】解：过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，
∵A（0，4），B（3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝ ＝5，
∵△OAB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，
∴PE＝PC，PD＝PC，
∴PE＝PC＝PD，
设P（t，t），则PC＝t，
∵S△PAE+S△PAB+S△PBD+S△OAB＝S矩形PEOD ，
∴ ×t×（t﹣4）+ ×5×t+ ×t×（t﹣3）+ ×3×4＝t×t，
解得t＝6，∴P（6，6），
把P（6，6）代入y＝ 得k＝6×6＝36．
故答案为：A．
【分析】过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，利用勾股定理计算出AB＝5，根据角平分线的性质得PE＝PC＝PD，设P（t，t），利用面积的和差得到 ×t×（t﹣4）+ ×5×t+ ×t×（t﹣3）+ ×3×4＝t×t，求出t得到P点坐标，然后把P点坐标代入y＝ 中求出k的值．
30.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，
又∵∠B＝50°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝40°，
∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝40°．
故答案为：C．
【分析】由AC⊥BC可得∠ACB＝90°，又∠B＝50°，根据直角三角形两个锐角互余可得∠CAB＝40°，再根据平行线的性质可得∠DCA＝∠CAB＝40°．
二、填空题
31.【答案】 9 +9
【解析】【解答】解：作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，
∵弦AB已确定，
∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，
如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，
∵CM⊥AB，CM过O，
∴AM＝BM（垂径定理），
∴AC＝BC，
∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，
∴OM＝AM＝ AB＝ ×6＝3，
∴OA＝ ，
∴CM＝OC＋OM＝ ＋3，
∴S△ABC＝ AB•CM＝ ×6×（ ＋3）＝9 +9.
故答案为：9 +9.
【分析】首先过C作CM⊥AB于M，由弦AB已确定，可得要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，即可得当CM过圆心O时，CM最大，然后由圆周角定理，证得△AOB是等腰直角三角形，则可求得CM的长，继而求得答案.
32.【答案】
【解析】【解答】解：由已知得，母线长 = =5，半径 为3，
∴圆锥的侧面积是 .
故答案为： .
【分析】运用公式 （其中勾股定理求解得到的母线长 为5）求解.
33.【答案】 5
【解析】【解答】解：∵在 中， ， 、 、 分别为 、 、 的中点， ，则根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得AC＝10.根据题意判断DE为中位线，根据三角形中位线的性质，得DE∥AC且DE= AC，可得DE=5.
故答案为DE=5
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得AC的长度，再根据题意判断DE为中位线，根据中位线的性质即可求出DE的长度.
34.【答案】
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴△ 是等边三角形
∴
∴ 是等边三角形
∴
同理可得 是等边三角形
∴
【分析】根据已知条件先求出 的长，再根据外角，直角算出△ 是等边三角形，同理可得出其他等边三角形，即可求出答案.
35.【答案】 2
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的周长为16，
∴AB=BC=CD=AD=4，OA=OC，
∵OE∥AB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴ ，
故答案为：2.
【分析】利用菱形的性质求出DC的长，同时可证得OA=OC，再证明OE是△ABC的中位线，利用三角形的中位线等于第三边的一半，就可求出OE的长。
36.【答案】 66°
【解析】【解答】解：∵五边形 是正五边形，
∴AB=AE，∠EAB=108°，
∵△ABF是等边三角形，
∴AB=AF，∠FAB=60°，
∴AE=AF，∠EAF=108°－60°=48°，
∴∠EFA= .
故答案为：66°.
【分析】由 是正五边形可得AB=AE以及∠EAB的度数，由△ABF是等边三角形可得AB=AF以及∠FAB的度数，进而可得AE=AF以及∠EAF的度数，进一步即可根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出答案.
37.【答案】 12
【解析】【解答】解：根据题意可知，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠FAD，
∵AB=AF=5，AD=AD，
∴△ABD≌△AFD，
∴BD=FD，
∴FD+DC=BD+DC=BC=9，
∵FC=AC AF=8 5=3，
∴ 的周长为：FD+DC+FC=9+3=12；
故答案为：12.
【分析】根据题意，先证明△ABD≌△AFD，则BD=FD，AB=AF=5，则 的周长=BC+CF，即可求出答案.
38.【答案】 或
【解析】【解答】解：由题干描述可作出两种可能的图形.
①MN交DC的延长线于点F，如下图所示
∵高AE等于边长的一半
∴
在Rt△ADE中，
又∵沿MN折叠后，A与B重合
∴
∴
②MN交DC的延长线于点F，如下图所示
同理可得 ， ，
此时，
故答案为： 或 .
【分析】根据题意，分情况讨论：①MN交DC的延长线于点F，利用已知条件可知AE的长，利用折叠的性质可求出EF的长，继而可求出DF的长；②MN交DC的延长线于点F，同理可求出AE，EF的长，然后根据DF=DE-EF，即可求出DF的长。
39.【答案】 20°
【解析】【解答】解：∵直线 ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
故答案为：20°.
【分析】根据两直线平行内错角相等可得到 ，从而计算出 的度数.
40.【答案】
【解析】【解答】解：连接BE，如图：
由题意可知，MN垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴ ，则∠AEB=90°，
在等腰直角三角形ABE中，AB=4，
∴BE=AE= ，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠EBC=∠AEB=90°，
在Rt△BCE中，由勾股定理，则
；
故答案为： .
【分析】连接BE，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得BE=AE= ， 再得∠EBC=90°，利用勾股定理即可求出CE的长度.
三、综合题
41.【答案】 （1）证明：∵ ， ，
∴∠ACB=∠ECD=90°
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE
即∠ACE=∠BCD
又 .
∴△ACE≌△BCD
∴
（2）解：∵△ACE≌△BCD
∴∠A=∠B
设AE与BC交于O点,
∴∠AOC=∠BOF
∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180°
∴∠BFO=∠ACO=90°
故 =180°-∠BFO=90°
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠ACB=∠ECD=90，再证明∠ACE=∠BCD，然后根据SAS证明△ACE≌△BCD，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论。
（2）利用全等三角形的对应角相等可证得∠A=∠B，利用三角形的内角和定理可证得∠BFO=∠ACO，从而可求出∠AFD的度数。
42.【答案】 （1）证明：∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∵OA＝OB＝OC＝OD＝ AB，
∴OA2+OB2＝AB2 ，
∴∠AOB＝90°，
即AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形
（2）解：∵EF⊥BC，EG⊥AG，
∴∠G＝∠EFB＝∠FBG＝90°，
∴四边形BGEF是矩形，
∵将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，
∴∠DHE＝90°，DH＝HE，
∴∠ADH+∠AHD＝∠AHD+∠EHG＝90°，
∴∠ADH＝∠EHG，
∵∠DAH＝∠G＝90°，
∴△ADH≌△GHE（AAS），
∴AD＝HG，AH＝EG，
∵AB＝AD，
∴AB＝HG，
∴AH＝BG，
∴BG＝EG，
∴矩形BGEF是正方形，
设AH＝x，则BG＝EG＝x，
∵s1＝s2.
∴x2＝2（2﹣x），
解得：x＝ ﹣1（负值舍去），
∴AH＝ ﹣1.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定推出四边形是平行四边形，求出AC＝BD，得出四边形是矩形，根据勾股定理的逆定理求出AC⊥BD，根据正方形的判定推出即可；（2）根据已知条件得到四边形BGEF是矩形，根据旋转的性质得到∠DHE＝90°，DH＝HE，根据全等三角形的性质得到AD＝HG，AH＝EG，推出矩形BGEF是正方形，设AH＝x，则BG＝EG＝x，根据题意列方程即可得到结论.
43.【答案】 （1）证明：连接OF，如图1所示：
∵CD⊥AB，
∴∠DBC+∠C＝90°，
∵OB＝OF，
∴∠DBC＝∠OFB，
∵EF＝EC，
∴∠C＝∠EFC，
∴∠OFB+∠EFC＝90°，
∴∠OFE＝180°﹣90°＝90°，
∴OF⊥EF，
∵OF为⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线
（2）解：连接AF，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵D是OA的中点，
∴OD＝DA＝ OA＝ AB＝ ×4＝1，
∴BD＝3OD＝3，
∵CD⊥AB，CD＝AB＝4，
∴∠CDB＝90°，
由勾股定理得：BC＝ ＝ ＝5，
∵∠AFB＝∠CDB＝90°，∠FBA＝∠DBC，
∴△FBA∽△DBC，
∴ ，
∴BF＝ ＝ ＝ ，
∴CF＝BC﹣BF＝5﹣ ＝
【解析】【分析】（1）连接OF，易证∠DBC+∠C＝90°，由等腰三角形的性质得∠DBC＝∠OFB，∠C＝∠EFC，推出∠OFB+∠EFC＝90°，则∠OFE＝90°，即可得出结论；（2）连接AF，则∠AFB＝90°，求出BD＝3OD＝3，CD＝AB＝4，BC＝ ＝5，证明△FBA∽△DBC，得出 ，求出BF＝ ，由CF＝BC﹣BF即可得出结果
44.【答案】 （1）证明：在△ACE和△BCE中，
∵ ，
（2）解：AE=BE.
理由如下：
在CE上截取CF=DE，
在△ADE和△BCF中，
∵ ，
∴ ，
∴AE=BF，∠AED=∠CFB，
∵∠AED+∠BEF=180°，∠CFB+∠EFB=180°，
∴∠BEF=∠EFB，
∴BE=BF，
∴AE=BE.
【解析】【分析】（1）观察图形中隐含了公共边相等，再利用已知条件，根据SAS可证得两三角形全等。
（2）在CE上截取CF=DE，利用SAS证明△ADE≌△BCF，利用全等三角形的性质，可证得AE=BF，∠AED=∠CFB，从而可推出∠BEF=∠EFB，利用等角对等边，可证得BE=BF，即可证得结论。
45.【答案】 （1）解：
理由： ，
与 是直角三角形，
是AB的中点，
，
，
，
，
， ，
，
在 中， ，
，
故 ，OD＝OE.
（2）解：成立.
证法一：延长 交 于点 ，连接
和 是等腰三角形，
∴四边形 是矩形
是 的中点
∵在 中， 是 中点
，则
.
证法二：延长 到点 ，使得 ，连接
是 的中点
和 是等腰三角形，
.
（3）解：如下图，当BC在AC左侧时，∠ACB=60°，
过E作EH⊥DC，与它的延长线交于H，连接DE，
∵△ADC和△BEC为等腰直角三角形，
∴ ,
∴ ，
∴在 中， , ,
∴ ,
在 中, ,
由（2）中的证法2可证得OD⊥OE，OD=OE，
∴ 为等腰直角三角形，
∴在 中， ；
如下图，当BC在AC右侧时，∠ACB=60°，
过E作EH⊥DC，与它交于H，连接DE，
∵△ADC和△BEC为等腰直角三角形，
∴ ,
∴ ，
∴在 中， , ,
∴ ,
在 中, ,
∴ .
综上所述 或 .
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半作答，得出DO＝EO，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质得出 ，从而得出DO EO，问题得解；（2）方法1:延长EB交AD于F，先证明 ,然后证明 ,最后证 问题得以证明；方法2:延长EO到M，使得OM＝OE，先证 是等腰三角形，然后证 OAM OBE，再证 MAD DCE,最后证明 MDE为等腰三角形问题得解.（3）分BC在AC左侧时和BC在AC右侧两种情况，画出对应图形，求得 ，根据含30°角的直角三角形边之间的关系和勾股定理即可求得DE,再结合（2）可证OD⊥OE，OD=OE，根据等腰直角三角形三边关系可求得OD.
46.【答案】 （1）证明：连接 ，如图1
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
是半径，
∴直线 是 的切线.
（2）解：解法一：过点 作 于点 ，如图2，则 ，
是直径，
，
在 中， ，
，
，
∵在 中， ，
，
，
，
，
∵在 中， ，
，
，
，
∵在 中，
，
，
，
解法二：过点 作 交 延长线于点 ，如图3
，
是直径，
，
，
，
，
∵四边形 内接于 ，
，
，
，
，
在△ABD和△CBH中，
，
（ASA），
，
，
，
∵在 中，
，
即 ，
∴ ，
.
【解析】【分析】（1）连接 ，根据圆的半径相等得到∠OCD=∠ODC，因为AC是直径，所以∠ADC=90°，根据∠EDA=∠ACD，得到∠ADO+∠ODC=∠EDA+∠ADO，从而可得∠EDO=90°，所以结论得证；（2）解法一：过点 作 于点 ，由圆周角定理得到 ，根据勾股定理得到AC=10，根据已知得到 ，利用正弦函数求出AB的值，利用圆周角定理得到 ，从而利用正弦函数得到AF的值，所以得到DF的值；解法二：过点 作 交 延长线于点 ，所以 ，根据圆周角定理得到 ，可推出 ，再根据圆内接四边形的性质得到 ，因为AB=CB，利用‘ASA’证明 ，从而得到 ，可得到DH的长，根据勾股定理可求出BD的长.
47.【答案】 （1）证明：
，
即
（2）解：①连接
即
是 的半径
与 相切
②如图，
∵BC为直径，EF⊥AB，
∴∠BAC=∠BFE=90°，
∴AC∥FE，
∴ ，
∵CE=4，
∴BE=10，
∴BC=14，
∴OA=OC=7，
∴ ，
在Rt△AOE中，由勾股定理，得
，
∵ ， ，
∴△AEO∽△GEA，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）由圆周角定理，以及等角的余角相等，得到 ，即可得到结论成立；（2）①连接AO，先证明 ，然后证明 ，即可得到结论成立；②由AC∥EF，得到 ，然后得到BE=10，得到OA=OC=7，OE=3，然后得到AE的长度，再利用△AOE∽△GAE，即可求出GE，即可得到CG的长度.
48.【答案】 （1）解：∵ 两点的坐标分别为 ，
∴ ,
∵线段 绕点 逆时针旋转90°得到线段 ， ，
∴ , ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 点的坐标为 ，
∵反比例函数 的图象经过点 ，
，
，
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）解：∵ ，
∴当 的面积等于3时，以 为底时，得出的高为2，
∵ ，
∴ 点不会在 点的右边；
设点 ，
若点 在第一象限，过点 作 ，垂足为 ，
的面积为3，
，
解得 ，
将 代入 ，解得 ，
，
若点 在第三象限，过点 作 ，垂足为 ，
的面积为3，
，
解得 ，
将 代入 ，解得 ，
，
综上所述，点 的坐标是 或 .
【解析】【分析】（1）由 两点的坐标得出 的长度，由题意得出 ，进而得出 的长度，从而得出 的长度，即可得出 点的坐标；进而求出反比例函数的解析式；（2）分点 在第一象限、第三象限两种情况分类讨论即可.
49.【答案】 （1）证明：即 ，
，
即 .
和 是等腰直角三角形，
，
（2）解：①证明：如图1，连接 .
，
，
即 .
和 是等腰直角三角形，
，
，
，
.
是等腰直角三角形，
，
.
② 或 .
温馨提示：
如图2，当点N在线段 上时，连接 ，设 ，
在 中， ，
；
如图3，当点M在线段 上时，连接 ，设 ，
在 中，
解得： .
【解析】【分析】（1）利用SAS定理证明 即可；（2）①连接 ，证明 ，即可证 ；②当点N在线段 上时，连接 ，在 中构造勾股定理的等量关系；当点M在线段 上时，同理即可求得.
50.【答案】 （1）解：如图1，因为四边形 和 均为正方形，
所以， ，
，
∴ .
∴ .
在 和 中，
∵ ，
∴ .
∴ .
∴ .
（2）解：如图2，
①在线段 上截取 ，连接 .
由（1）可知， ，
∴ .
∴ .
∴
即 .
∴ 为等腰直角三角形.
∴ .
∴ .
② 的长为 或 .
第一种情况：如图3所示，当D，H，E三点共线时， ，连接 .
由①可知 ，且 .
又∵ ，
∴ .
设 ，则 .
∴在 中，有 .
即有 .
解得 ， （舍去）.
第二种情况：如图4所示，当B，H，G三点共线时， ，连接 .
设 ，
∵ ，
∴ .
∴在 中，有 .
即有 .
解得 ， （舍去）.
∴ 的长为 或 .
【解析】【分析】（1）证明 ，即可得到 ，再由角的等量代换即可证明 ；（2）①在线段 上截取 ，连接 ，证明 ，得到 为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的边角性质即可；②分两种情况，一是如图3所示，当D，H，E三点共线时， ，连接 .求出BD，设 ，则 .在 中，利用勾股定理列出方程解答；二是如图4所示，当B，H，G三点共线时， ，连接 .设 ， 中利用勾股定理列出方程即可解答.
