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2020年全国数学中考试题精选50题（10）——四边形
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2020年全国数学中考试题精选50题（10）——四边形
一、单选题
1.（2020·盘锦）下列命题正确的是（ ）
A. 圆内接四边形的对角互补 B. 平行四边形的对角线相等
C. 菱形的四个角都相等 D. 等边三角形是中心对称图形
2.（2020·镇江）如图①，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB.设AP＝x，QD＝y.若y关于x的函数图象（如图②）经过点E(9，2)，则cosB的值等于（ ）
A. B. C. D.
3.（2020·泰州）如图，半径为10的扇形 中， ， 为 上一点， ， ，垂足分别为 、 .若 为 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
4.（2020·眉山）下列说法正确的是（ ）
A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
5.（2020·烟台）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品—“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cm2的是（ ）
A. B. C. D.
6.（2020·烟台）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（ ）
A. B. C. D.
7.（2020·威海）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②），已知 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
8.（2020·威海）如图，在平行四边形ABCD中，对角线 ， ， ， 为 的中点，E为边 上一点，直线 交 于点F，连结 ， ．下列结论不成立的是（ ）
A. 四边形 为平行四边形 B. 若 ，则四边形 为矩形
C. 若 ，则四边形 为菱形 D. 若 ，则四边形 为正方形
9.（2020·滨州）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF；把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点 处，得到折痕BM，BM与FF相交于点N．若直线B A’交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为（ ）
A. B. C. D.
10.（2020·滨州）下列命题是假命题的是（ ）
A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形． B. 对角线互相垂直的矩形是正方形．
C. 对角线相等的菱形是正方形． D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形．
11.（2020·呼伦贝尔）如图，在 中， 分别是边 上的中线， 于点O，点 分别是 的中点，若 ， ，则四边形 的周长是（ ）
A. 14 B. 20 C. 22 D. 28
12.（2020·鄂尔多斯）将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝125°，则∠BFG的大小为（ ）
A. 125° B. 115° C. 110° D. 120°
13.（2020·永州）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（ ）
A. 4 B. 2 C. D.
14.（2020·南县）如图， 的对角线 ， 交于点O，若 ， ，则 的长可能是（ ）
A. 10 B. 8 C. 7 D. 6
15.（2020·南县）如图，在矩形 中，E是 上的一点， 是等边三角形， 交 于点F，则下列结论不成立的是（ ）
A. B. C. D.
16.（2020·云南）如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点O，E是 的中点，则 与 的面积的比等于（ ）
A. B. C. D.
17.（2020·内江）如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连结EF ． 已知 ，则EF的长为（ ）
A. 3 B. 5 C. D.
18.（2020·上海）下列命题中，真命题是( )
A. 对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D. 对角线平分一组对角的梯形是直角梯形
19.（2020·上海）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是( )
A. 平行四边形 B. 等腰梯形 C. 正六边形 D. 圆
20.（2020·山西）如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）
A. B. C. D.
21.（2020·山西）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到 ， ， 两点之间的距离为 ，圆心角为 ，则图中摆盘的面积是（ ）
A. B. C. D.
22.（2020·通辽）如图， 分别与 相切于 两点， ，则 ( )
A. B. C. D.
23.（2020·通辽）如图， 是 的中线，四边形 是平行四边形，增加下列条件，能判断 是菱形的是( )
A. B. C. D.
24.（2020·呼和浩特）命题①设 的三个内角为A、B、C且 ，则 、 、 中，最多有一个锐角；②顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；③从11个评委分别给出某选手的不同原始评分中，去掉1个最高分、1个最低分，剩下的9个评分与11个原始评分相比，中位数和方差都不发生变化．其中错误命题的个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
25.（2020·邵阳）如图，四边形 是平行四边形，点E ， B ， D ， F在同一条直线上，请添加一个条件使得 ，下列错误的是（ ）
A. B. C. D.
26.（2020·娄底）正多边形的一个外角为60°，则这个多边形的边数为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
27.（2020·黑龙江）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，2 )，将菱形绕点O旋转，当点A落在x轴上时，点C的对应点的坐标为（ ）
A. 或 B. C. D. 或
28.（2020·深圳）以下说法正确的是( )
A. 平行四边形的对边相等 B. 圆周角等于圆心角的一半
C. 分式方程 的解为x=2 D. 三角形的一个外角等于两个内角的和
29.（2020·广东）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
30.（2020·盐城）如图，在菱形 中，对角线 相交于点 为 中点， .则线段 的长为：（ ）
A. B. C. 3 D. 5
二、填空题
31.（2020·玉林）如图，将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形ABCD________菱形（填“是”或“不是”）.
32.（2020·盘锦）如图，在矩形 中， ，点 和点 分别为 上的点，将 沿 翻折，使点 落在 上的点 处，过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 .若四边形 与四边形 的面积相等，则 的长为________.
33.（2020·镇江）如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为________°.
34.（2020·凉山州）如图，矩形ABCD中，AD=12，AB=8，E是AB上一点，且EB=3，F是BC上一动点，若将 沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距为________．
35.（2020·凉山州）如图， 的对角线AC、BD相交于点O， 交AD于点E，若OA=1， 的周长等于5，则 的周长等于________．
36.（2020·淄博）如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝________cm．
37.（2020·烟台）若一个正多边形的每一个外角都是40°，则这个正多边形的内角和等于________．
38.（2020·威海）如图，四边形 是一张正方形纸片，其面积为 ．分别在边 ， ， ， 上顺次截取 ，连接 ， ， ， ．分别以 ， ， ， 为轴将纸片向内翻折，得到四边形 ，若四边形 的面积为 ，则 ________．
39.（2020·东营）如图，P为平行四边形 边 上一点， 分别为 上的点，且 的面积分别记为 ．若 则 ________．
40.（2020·滨州）如图， 是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F，G，H，ED与 相交于点M，则sin∠MFG的值为________．
三、解答题
41.（2020·徐州）小红和爸爸绕着小区广场锻炼如图在矩形广场 边 的中点 处有一座雕塑.在某一时刻，小红到达点 处，爸爸到达点 处，此时雕塑在小红的南偏东 方向，爸爸在小红的北偏东 方向，若小红到雕塑的距离 ，求小红与爸爸的距离 .（结果精确到 ，参考数据： ， ， ）
42.（2020·盘锦）如图，某数学活动小组要测量建筑物 的高度，他们借助测角仪和皮尺进行了实地测量，测量结果如下表.
测量项目
测量数据
测角仪到地面的距离
点 到建筑物的距离
从 处观测建筑物顶部 的仰角
从 处观测建筑物底部 的俯角
请根据需要，从上面表格中选择3个测量数据，并利用你选择的数据计算出建筑物 的高度.（结果精确到0.1米，参考数据： . ）（选择一种方法解答即可）
43.（2020·淄博）已知：如图，E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．
求证：△ABC≌△DCE．
44.（2020·呼伦贝尔）已知：如图，在正方形 中，对角线 相交于点O，点 分别是边 上的点，且 ．
求证： ．
45.（2020·宿迁）如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF=CE.求证：四边形BEDF是菱形.
46.（2020·山西）如图，四边形 是平行四边形，以点 为圆心， 为半径的 与 相切于点 ，与 相交于点 ， 的延长线交 于点 ，连接 交 于点 ，求 和 的度数．
47.（2020·邵阳）2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程一邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示， 表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A ， B ， C所处位置的海拔 分别为 ， ， ．若管道 与水平线 的夹角为30°，管道 与水平线 夹角为45°，求管道 和 的总长度（结果保留根号）．
48.（2020·郴州）如图，在菱形 中，将对角线 分别向两端延长到点 和 ，使得 ．连接 ．求证：四边形 是菱形．
49.（2020·自贡）如图，在正方形 中，点E在 边的延长线上，点F在 边的延长线上，且 ,连接 和 相交于点M．
求证： ．
50.（2020·青岛）如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D．某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西 方向．一艘渔船从D出发，沿正北方向航行至C处，此时在A处测得C位于南偏东 方向，求此时观测塔A与渔船C之间的距离（结果精确到0.1海里）．
（参考数据: ， ， ， ， ， ）
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
【解析】【解答】A.圆内接四边形的对角互补，该选项正确；
B.平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，故该选项错误；
C.菱形的四个角不一定相等，故该选项错误；
D.等边三角形不是中心对称图形，故该选项错误.
故答案为：A.
【分析】根据圆内接四边形的性质，平行四边形的性质、菱形的性质、等边三角形的性质依次判断即可.
2.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵AM∥BN，PQ∥AB，
∴四边形ABQP是平行四边形，
∴AP＝BQ＝x，
由图②可得当x＝9时，y＝2，
此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，
∴BD＝BQ﹣QD＝x﹣y＝7，
∵将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，
∴BC＝CD＝ BD＝ ，AC⊥BD，
∴cosB＝ ＝ ＝ ，
故答案为：D.
【分析】由题意可得四边形ABQP是平行四边形，可得AP＝BQ＝x，由图象②可得当x＝9时，y＝2，此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，可求BD＝7，由折叠的性质可求BC的长，由锐角三角函数可求解.
3.【答案】 A
【解析】【解答】连接OC交DE为F点，如下图所示：
由已知得：四边形DCEO为矩形.
∵∠CDE=36°，且FD=FO，
∴∠FOD=∠FDO=54°，△DCE面积等于△DCO面积.
.
故答案为：A.
【分析】本题可通过做辅助线，利用矩形性质对角线相等且平分以及等面积性，利用扇形ABC面积减去扇形AOC面积求解本题.
4.【答案】 B
【解析】【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形不符合题意，如等腰梯形；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，符合题意；
C、对角线相等的四边形是矩形不符合题意，如等腰梯形；
D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形不符合题意，如一般四边形对角线也可以互相垂直且相等．
故答案为：B．
【分析】利用平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理对各选项逐一判断后即可确定正确的选项．
5.【答案】 D
【解析】【解答】解：最小的等腰直角三角形的面积＝ × ×42＝1（cm2），平行四边形面积为2cm2 ， 中等的等腰直角三角形的面积为2cm2 ， 最大的等腰直角三角形的面积为4cm2 ， 则
A、阴影部分的面积为2+2＝4（cm2），不符合题意；
B、阴影部分的面积为1+2＝3（cm2），不符合题意；
C、阴影部分的面积为4+2＝6（cm2），不符合题意；
D、阴影部分的面积为4+1＝5（cm2），符合题意；
故答案为：D．
【分析】先求出最小的等腰直角三角形的面积＝ × ×42＝1cm2 ， 可得平行四边形面积为2cm2 ， 中等的等腰直角三角形的面积为2cm2 ， 最大的等腰直角三角形的面积为4cm2 ， 再根据阴影部分的组成求出相应的面积即可求解．
6.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝5，EF＝DE，
在Rt△ABF中，BF＝ ，
∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，
设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x
在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2 ，
∴x2+12＝（3﹣x）2 ， 解得x＝ ，
∴DE＝EF＝3﹣x＝ ，
∴tan∠DAE＝ ，
故答案为：D．
【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质得AF＝AD＝BC=5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求出BF的长，则CF可得，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可得到x，进一步可得DE的长，再根据正切的定义即可求解．
7.【答案】 C
【解析】【解答】解：如图，设OF＝EF＝FG＝x，
∴OE＝OH＝2x，
在Rt△EOH中，EH＝2 x，
由题意EH＝20cm，
∴20＝2 x，
∴x＝5 ，
∴阴影部分的面积＝（5 ）2＝50（cm2），
故答案为：C．
【分析】如图，设OF＝EF＝FG＝x，可得EH＝2 x＝20，解方程即可解决问题．
8.【答案】 D
【解析】【解答】A.∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴
∵ 为 的中点
∴
在 与 中
∴
∴
又∵
∴四边形 为平行四边形，
故A选项不符合题意；
B.假设
∵ ， ，
∴
∴
∴
∵
∴
则当 时，
∵四边形 为平行四边形
∴四边形 为矩形，
故B选项不符合题意；
C.∵ ，
∴E是AB中点
∵
∴
∵四边形 为平行四边形
∴四边形 为菱形，
故C选项不符合题意；
D.当 时与 时矛盾，则DE不垂直于AB ， 则四边形 不为矩形，则也不可能为正方形，故D选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的性质及判定定理，以及特殊平行四边形的判定定理进行逐一判断即可得解．
9.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵EN=1，
∴由中位线定理得AM=2，
由折叠的性质可得A′M=2，
∵AD∥EF，
∴∠AMB=∠A′NM，
∵∠AMB=∠A′MB，
∴∠A′NM=∠A′MB，
∴A′N=2，
∴A′E=3，A′F=2
过M点作MG⊥EF于G，
∴NG=EN=1，
∴A′G=1，
由勾股定理得MG= ，
∴BE=DF=MG= ，
∴OF：BE=2：3，
解得OF= ，
∴OD= - = ．
故答案为：B．
【分析】根据中位线定理可得AM=2，根据折叠的性质和等腰三角形的性质可得A′M=A′N=2，过M点作MG⊥EF于G，可求A′G，根据勾股定理可求MG，进一步得到BE，再根据平行线分线段成比例可求OF，从而得到OD．
10.【答案】 D
【解析】【解答】解：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，符合题意；
对角线互相垂直的矩形是正方形，符合题意；
对角线相等的菱形是正方形，符合题意；
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
可知选项D是错误的．
故答案为：D．
【分析】根据正方形的各种判定方法逐项分析即可．
11.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵BD和CE分别是△ABC的中线，
∴DE= BC，DE∥BC，
∵M和N分别是OB和OC的中点，OB=8，OC=6，
∴MN= BC，MN∥BC，OM= OB=4，ON= OC=3，
∴四边形MNDE为平行四边形，
∵BD⊥CE，
∴平行四边形MNDE为菱形，
∴OE=ON=3
∴BC= ，
∴DE=MN=EM=DN=5，
∴四边形MNDE的周长为20，
故答案为：B．
【分析】根据已知条件证明四边形MNDE为菱形，结合OB和OC的长求出MN，OM，OE，计算出EM，可得结果．
12.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1+∠BFE＝180°，
∵∠1＝125°，
∴∠BFE＝55°，
∵在△EGF中，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，
∴∠EFG＝180°﹣∠EGF﹣∠FEG＝60°，
∴∠BFG＝∠BFE+∠EFG＝55°+60°＝115°，
故答案为：B．
【分析】根据矩形得出AD∥BC，根据平行线的性质得出∠1+∠BFE＝180°，求出∠BFE，根据三角形内角和定理求出∠EFG，即可求出答案．
13.【答案】 D
【解析】【解答】由三视图可知：底面等边三角形的边长为2，该几何体的高为2，
该几何体的左视图为长方形，
该长方形的长为该几何体的高2，宽为底面等边三角形的高，
∵底面等边三角形的高= ，
∴ 它的左视图的面积是 ，
故答案为：D.
【分析】根据三视图确定底面等边三角形的边长为2，该几何体的高为2，再确定该几何体的三视图利用面积公式计算即可.
14.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA= AC=3，BO= BD=4，
在△AOB中，
4-3
故答案为：D．
【分析】先根据平行四边形的对角线互相平分得到OA、OB的长度，再根据三角形三边关系得到AB的取值范围，即可求解．
15.【答案】 B
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中， 是等边三角形，
∴∠DAB=90°，∠EAB=60°，
∴∠DAE=90°-60°=30°，
故A说法不符合题意；
若∠BAC=45°，则AB=BC，
又∵AB=BE，
∴BE=BC，
在△BEC中，BE为斜边，BE＞BC，
故B说法符合题意；
设EC的长为x，
易得∠ECB=30°，
∴BE=2EC=2x，BC= ，
AB=BE=2x，
∵DC∥AB，
∴∠ECA=∠CAB，
又∵∠EFC=∠BFA，
∴△ECF∽△BAF，
∴ ，
故C说法不符合题意；
AD=BC= ，
∴ ，
故D说法不符合题意．
故答案为：B
【分析】根据等边三角形和矩形角度的特点即可得出A说法符合题意；假设∠BAC=45°，可得到AB=BC，又AB=BE，所以BE=BC，不成立，所以B说法不符合题意；设EC的长为x，BE=2EC=2x，BC= ，证得△ECF∽△BAF，根据相似三角形的性质可得，C说法符合题意；AD=BC= ，AB=BE=2x，可得D说法正确．
16.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，
∵ 是 的中点，
∴OE是△DCB的中位线，
∴OE//BC，OE= BC，
∴△DEO∽△DCB，
∴S△DEO：S△DCB= .
故答案为：B.
【分析】先根据三角形的中位线定理证明OE//BC，OE= BC，再根据△DEO∽△DCB，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可求出答案.
17.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，
∴BD= =5，
设AE的长度为x，
由折叠可得：△ABE≌△MBE，
∴EM=AE=x，DE=4-x，BM=AB=3，DM=5-3=2，
在Rt△EMD中，EM2+DM2=DE2 ，
∴x2+22=（4-x）2 ，
解得：x= ，ED=4- = ，
设CF的长度为y，
由折叠可得：△CBF≌△NBF，
∴NF=CF=y，DF=3-y，BN=BC=4，DN=5-4=1，
在Rt△DNF中，DN2+NF2=DF2 ，
∴y2+12=（3-y）2 ，
解得：x= ，DF=3- = ，
在Rt△DEF中，EF= ，
故答案为：C．
【分析】由矩形的性质和已知求出BD=5，根据折叠的性质得△ABE≌△MBE，设AE的长度为x，在Rt△EMD中，由勾股定理求出DE的长度，同理在Rt△DNF中求出DF的长度，在Rt△DEF中利用勾股定理即可求出EF的长度．
18.【答案】 C
【解析】【解答】A．对角线互相垂直且相等的梯形是等腰梯形，故不符合题意；
B．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故不符合题意；
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，符合题意；
D．对角线平分一组对角的梯形是菱形，故不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用特殊四边形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项．
19.【答案】 A
【解析】【解答】如图，平行四边形ABCD中，取BC ， AD的中点E ， F ， 连接EF ．
则有：AF=FD，BE=EC，AB=EF=CD，
∴四边形ABEF向右平移可以与四边形EFCD重合，
∴平行四边形ABCD是平移重合图形．
故答案为：A．
【分析】证明平行四边形是平移重合图形即可．
20.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图，连接EG，FH，
设AD=BC=2a，AB=DC=2b，
则FH=AD=2a，EG=AB=2b，
∵四边形EFGH是菱形，
∴S菱形EFGH= = =2ab，
∵M，O，P，N点分别是各边的中点，
∴OP=MN= FH=a，MO=NP= EG=b，
∵四边形MOPN是矩形，
∴S矩形MOPN=OP MO=ab，
∴S阴影= S菱形EFGH-S矩形MOPN=2ab-ab=ab，
∵S矩形ABCD=AB BC=2a 2b=4ab，
∴飞镖落在阴影区域的概率是 ，
故答案为：B．
【分析】连接菱形对角线，设大矩形的长=2a，大矩形的宽=2b，可得大矩形的面积，根据题意可得菱形的对角线长，从而求出菱形的面积，根据“顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形”，可得小矩形的长，宽分别是菱形对角线的一半，可求出小矩形的面积，根据阴影部分的面积=菱形的面积-小矩形的面积可求出阴影部分的面积，再求出阴影部分与大矩形面积之比即可得到飞镖落在阴影区域的概率．
21.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图，连接 ，
是等边三角形，
所以则图中摆盘的面积
故答案为：B．
【分析】先证明 是等边三角形，求解 ，利用摆盘的面积等于两个扇形面积的差可得答案．
22.【答案】 C
【解析】【解答】解：连接OA、OB，
∵直线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∵∠P=72°，
∴∠AOB=108°，
∵C是⊙O上一点，
∴∠ACB=54°．
故答案为：C．
【分析】连接OA、OB，根据切线的性质定理，结合四边形AOBP的内角和为360°，即可推出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠C的度数．
23.【答案】 A
【解析】【解答】解：A、若 ，则AD=BD=CD=AE，∵四边形ADCE是平行四边形，则此时四边形ADCE为菱形，符合题意；
B、若 ，则四边形ADCE是矩形，不符合题意；
C、若 ，则∠ADC=90°，则四边形ADCE是矩形，不符合题意；
D、若 ，而AB＞AD，则AE≠AD，无法判断四边形ADCE为菱形，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的判定方法逐一分析即可.
24.【答案】 B
【解析】【解答】解：①设 、 、 中，有两个或三个锐角，
若有两个锐角，假设 、 为锐角，
则A+B＜90°，A+C＜90°，
∴A+A+B+C=A+180°＜180°，
∴A＜0°，不成立，
若有三个锐角，同理，不成立，
假设A＜45°，B＜45°，则α＜90°，
∴最多只有一个锐角，故命题①符合题意；
②如图，菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴HG∥EF，HE∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴HE⊥HG，
∴四边形EFGH是矩形，故命题②符合题意；
③去掉一个最高分和一个最低分，不影响中间数字的位置，故不影响中位数，
但是当最高分过高或最低分过低，平均数有可能随之变化，同样，方差也会有所变化，
故命题③不符合题意；
综上：错误的命题个数为1，
故答案为：B.
【分析】①设 、 、 中，有两个或三个锐角，分别判断有两个锐角和有三个锐角时矛盾，并且说明有一个锐角的情况存在即可；②利用中位线的性质和矩形的判定可判断；③根据评分规则和中位数、方差的意义判断.
25.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∵∠ABE+∠ABD=∠BDC+∠CDF，
∴∠ABE=∠CDF，
A.若添加 ，则无法证明 ，故A符合题意；
B.若添加 ，运用AAS可以证明 ，B不符合题意；
C.若添加 ，运用ASA可以证明 ，C不符合题意；
D.若添加 ，运用SAS可以证明 ，D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质结合全等三角形的判定，逐项进行判断即可.
26.【答案】 B
【解析】【解答】解：正多边形的一个外角等于60°，且外角和为360°，
则这个正多边形的边数是：360°÷60°=6，
故答案为：B．
【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．
27.【答案】 D
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作AE⊥x轴于点E，
则 ，OA= ，
∴∠AOE=60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴△AOB是等边三角形，
当A落在x轴正半轴时，点C落在点C′位置，
此时旋转角为60°，
∵∠BOC=60°，∠COF=30°，
∴∠C′OF=60°-30°=30°，
∵OC′=OA=4，
∴OF= ，
C′F= ，
∴C′（ ），
当A落在x轴负半轴时，点C落在点C′′位置，
∵∠AOC=∠AOC+∠BOC=120°，
∴∠A′′OC=120°，∠GOC′=30°
又∵OA=OC′′，
∴此时C′′点A重合，C C′′ ，
综上，点C的对应点的坐标为 或 ，
故答案为：D．
【分析】如图所示，过点A作AE⊥x轴于点E，根据题意易得△AOB为等边三角形，在旋转过程中，点A有两次落在x轴上，当点A落在x轴正半轴时，点C落在点C′位置，利用旋转的性质和菱形的性质求解，当A落在x轴负半轴时，点C落在点C′′位置，易证此时C′′与点A重合，即可求解．
28.【答案】 A
【解析】【解答】
B.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，故B选项不符合题意；
C.x=2为增根，原分式方程无解，故C选项不符合题意；
D.没有指明两个内角为不想邻的内角，故D选项不符合题意．
故答案为A．
【分析】根据平行四边形的性质、圆周角定理、解分式方程以及三角形外角的性质逐项分析即可．
29.【答案】 B
【解析】【解答】设这个多边形的边数为n,
∴（n-2）×180°=540°
解得n=5
故答案为：B．
【分析】根据内角和公式即可求解．
30.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴ ， ，
∴△BOC是直角三角形
∴
∴BC=5
∵H为BC中点
∴
故最后答案为 .
【分析】因为菱形的对角线互相垂直且平分，从而有 ， ， ，又因为H为BC中点，借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可作答.
二、填空题
31.【答案】 是
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，
∵两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起，
∴AE＝AF，
∴S平行四边形ABCD＝BC•AE＝DC•AF，
∴BC＝DC，
∴▱ABCD是菱形.
故答案为：是.
【分析】作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，根据两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起可得AE＝AF，再根据等面积法证明BC＝DC，进而证明四边形ABCD的形状一定是菱形.
32.【答案】
【解析】【解答】解： 四边形ABCD为矩形
设 ，则 ，
又
四边形ABHE是矩形，同理可得四边形 是矩形
矩形 的面积 ，矩形ABHE的面积 ，且
四边形 与四边形 的面积相等
由翻折得 ， ，
在 中，由勾股定理得
又
，即 ，化简得
解得
所以 的长为 .
故答案为： .
【分析】设 ，则 ，根据矩形的性质易知四边形ABHE和 是矩形，由其面积相等可得AE长，由翻折的性质可知ME、MF长，由勾股定理可知MC长，利用 的性质可求得x值，即CF长.
33.【答案】 135
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠2+∠BCP＝45°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BCP＝45°，
∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP，
∴∠BPC＝135°，
故答案为：135.
【分析】由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形内角和定理可求解.
34.【答案】 10
【解析】【解答】解：如图 ，连接
图
则 ＞ ，
为定值，
当 落在 上时， 最短，
如图 ，连接 ，
图
由勾股定理得：
即 的最小值为：10
故答案为：10
【分析】如图 ，连接 利用三角形三边之间的关系得到 最短时 的位置，如图 利用勾股定理计算 ，从而可得答案．
35.【答案】 16
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，AC、BD是对角线，
∴O为BD和AC的中点，
又∵ ，
∴ ， ，E为AD的中点，
又∵OA=1， 的周长等于5，
∴AE+OE=4，
∴ ，
∴ 的周长= ．
故答案为16．
【分析】根据已知可得E为AD的中点，OE是△ABD的中位线，据此可求得AB，根据OA=1， 的周长等于5，可求得具体的结果．
36.【答案】 5
【解析】【解答】解：连接AC，FC．
由翻折的性质可知，BE垂直平分线段CF，
∴FM⊥BE，∴F．M，C共线，FM＝MC，
∵AN＝FN，∴MN＝ AC，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，
∴AC＝ ＝ ＝10（cm），∴MN＝ AC＝5（cm），
故答案为5．
【分析】连接AC，FC，求出AC，利用三角形的中位线定理解决问题即可．
37.【答案】 1260°
【解析】【解答】∵一个多边形的每个外角都等于40°，
∴多边形的边数为360°÷40°=9，
∴这个多边形的内角和=180°×（9-2）=1260°
【分析】根据任意多边形的外角和都为360°，可以求出多边形的边数，再根据多边形内角和公式180°（n-2），求出内角和。
38.【答案】 4
【解析】【解答】∵四边形 是由四个直角边翻折得到的,
∴四边形 是正方形,
∵四边形 是9cm2,
∴ ．
∵ ,
∴EB=FC=DG=HD=(a－3)cm．
∴2S△AEH=(S□ABCD－S□A1B1C1D1)÷4=(25－9)÷4=4cm2,
即 , ,
因式分解得: ,
∴a=4或a=﹣1(舍去)．
故答案为4．
【分析】由四边形 的面积算出边长,再用a表示出EB,即可表示出四个三角形的面积,列出等式即可求解．
39.【答案】 18
【解析】【解答】解：∵
∴ ，且∠APD=∠EPF，
∴△PEF∽△PAD，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，且△PEF的面积为2可知，
，
∴ ，
过P点作平行四边形ABCD的底AD上的高PH ，
∴ ，
∴ ，
即平行四边形ABCD的面积为 ，
∴ ．
故答案为：18．
【分析】证明△PEF∽△PAD，再结合△PEF的面积为2可求出△PAD的面积，进而求出平行四边形ABCD的面积，再用平行四边形ABCD的面积减去△PAD的面积即可求解．
40.【答案】
【解析】【解答】如图，连接EG、HF
由正方形内切圆的性质得：EG与HF的交点即为圆心O
四边形ABCD是正方形
由圆的切线的性质得：
四边形ADGE和四边形OHDG均为矩形
，
设正方形ABCD的边长为 ，则
的半径为
在 中，
由圆周角定理得：
则
故答案为： ．
【分析】先根据正方形内切圆的性质得出圆心O的位置，再根据正方形的性质、圆的切线的性质可得 ， ，从而可得四边形ADGE和四边形OHDG均为矩形，又根据矩形的性质可得 ， ，设正方形ABCD的边长为 ，从而可得 ， ，然后在 中，根据正弦三角函数的定义可得 ，最后根据圆周角定理可得 ，由此即可得出答案．
三、解答题
41.【答案】 解：解：过点P作PE⊥BC，如图：
根据题意，则四边形ABEP是矩形，
∴ ，
在Rt△APM中，PM=30，∠APM=45°，
∴ ，
∵点M是AB的中点，
∴ ，
∴ ，
在Rt△PEQ中，∠PQE=60°， ，
∴ ；
∴小红与爸爸的距离
【解析】【分析】过点P作PE⊥BC，则四边形ABEP是矩形，由解直角三角形求出 ，则 ，然后求出PQ即可.
42.【答案】 解：第一种选择：
选取 ‘
∴四边形 为矩形
在 中，
答：建筑物 的高度约为 .
第二种选择
选取
∴四边形 为矩形
在 中，
在 中，
答：建筑物 的高度的为 .
第三种选择
选取 ，
∴四边形 为矩形
在 中，
在 中，
答：建筑物 的高度约为 .
【解析】【分析】第一种选择：选取 ，解直角三角形ACE求得AE，根据AE+EB即可得到结论；第二种选择：选取 ，先解直角三角形BCD求出BD的长，再解直角三角形ACE求出AE的长，根据AE+EB即可得到结论；第三种选择：选取 ， ，求出CD和AE的长即可.
43.【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠B＝∠DCE，
在△ABC和△DCE中，
∴△ABC≌△DCE（SAS）．
【解析】【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，由平行线的性质得出∠B＝∠DCE，由SAS即可得出结论．本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；
44.【答案】 解：∵四边形ABCD为正方形，
∴OD=OC，∠ODF=∠OCE=45°，∠COD=90°，
∵∠EOF=90°，即∠COE+∠COF=90°，
∴∠COE=∠DOF，
∴△COE≌△DOF（ASA），
∴CE=DF．
【解析】【分析】由正方形的性质得出OD=OC，∠ODF=∠OCE=45°，再证明∠COE=∠DOF，从而得到△COE≌△DOF，即可证明CE=DF．
45.【答案】 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD=BC，∠DAE=∠BAE=∠BCF=∠DCF=45°，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE=DE，
同理可得△BFC≌△DFC，
可得BF=DF，
∵AF=CE，
∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴BE=BF，
∴BE=BF=DE=DF，
∴四边形BEDF是菱形.
【解析】【分析】由正方形的性质可得AB=AD=CD=BC，∠DAE=∠BAE=∠BCF=∠DCF=45°，由“SAS”可证△ABE≌△ADE，△BFC≌△DFC，△ABE≌△CBF，可得BE=BF=DE=DF，可得结论.
46.【答案】
解：连接 ．
与 相切于点 ，
． ．
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是平行四边形，
．
．
【解析】【分析】连接OB,即可得 ,再由平行四边形得出∠BOC=90°,从而推出∠C=45°,再由平行四边形的性质得出∠A=45°,算出∠AOB=45°,再根据圆周角定理即可得出∠E=22．5°．
47.【答案】 解：根据题意知，四边形 和四边形 均为矩形，
， ，
， ，
在 中， ， ， ，
；
在 中， ， ， ，
，
，
即管道AB和BC的总长度为： ．
【解析】【分析】先根据题意得到BO，CB2的长，在Rt△ABO中，由三角函数可得AB的长度，在Rt△BCB2中，由三角函数可得BC的长度，再相加即可得到答案．
48.【答案】 证明：连接BD，交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．
【解析】【分析】连接BD，由菱形ABCD的性质得出OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，得出OE=OF，证出四边形BEDF是平行四边形，再由EF⊥BD，即可证出四边形BEDF是菱形．
49.【答案】 证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，
又∵CE=DF，
∴CE+BC=DF+CD即BE=CF，
在△BCF和△ABE中，
∴ （SAS），
∴AE=BF．
【解析】【分析】利用正方形的性质证明：AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，再证明BE=CF，可得三角形的全等，利用全等三角形的性质可得答案．
50.【答案】 解：过点A作AE⊥BD，过点C作CF⊥AE，
则四边形CDEF是矩形，
∵∠BAE=22°，AE=5（海里），
∴BE=AE∙tan22°=5× =2（海里），
∵DE=BD-BE=6-2=4（海里），
∵四边形CDEF是矩形，
∴CF=DE=4（海里），
∴AC=CF÷sin67°=4÷ ≈4.3（海里）．
【解析】【分析】过点A作AE⊥BD，过点C作CF⊥AE，由正切函数与正弦函数的定义，以及矩形的性质，即可求解．
2020年全国数学中考试题精选50题（10）——四边形
一、单选题
1.（2020·盘锦）下列命题正确的是（ ）
A. 圆内接四边形的对角互补 B. 平行四边形的对角线相等
C. 菱形的四个角都相等 D. 等边三角形是中心对称图形
2.（2020·镇江）如图①，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB.设AP＝x，QD＝y.若y关于x的函数图象（如图②）经过点E(9，2)，则cosB的值等于（ ）
A. B. C. D.
3.（2020·泰州）如图，半径为10的扇形 中， ， 为 上一点， ， ，垂足分别为 、 .若 为 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
4.（2020·眉山）下列说法正确的是（ ）
A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
5.（2020·烟台）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品—“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cm2的是（ ）
A. B. C. D.
6.（2020·烟台）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（ ）
A. B. C. D.
7.（2020·威海）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②），已知 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
8.（2020·威海）如图，在平行四边形ABCD中，对角线 ， ， ， 为 的中点，E为边 上一点，直线 交 于点F，连结 ， ．下列结论不成立的是（ ）
A. 四边形 为平行四边形 B. 若 ，则四边形 为矩形
C. 若 ，则四边形 为菱形 D. 若 ，则四边形 为正方形
9.（2020·滨州）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF；把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点 处，得到折痕BM，BM与FF相交于点N．若直线B A’交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为（ ）
A. B. C. D.
10.（2020·滨州）下列命题是假命题的是（ ）
A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形． B. 对角线互相垂直的矩形是正方形．
C. 对角线相等的菱形是正方形． D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形．
11.（2020·呼伦贝尔）如图，在 中， 分别是边 上的中线， 于点O，点 分别是 的中点，若 ， ，则四边形 的周长是（ ）
A. 14 B. 20 C. 22 D. 28
12.（2020·鄂尔多斯）将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝125°，则∠BFG的大小为（ ）
A. 125° B. 115° C. 110° D. 120°
13.（2020·永州）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（ ）
A. 4 B. 2 C. D.
14.（2020·南县）如图， 的对角线 ， 交于点O，若 ， ，则 的长可能是（ ）
A. 10 B. 8 C. 7 D. 6
15.（2020·南县）如图，在矩形 中，E是 上的一点， 是等边三角形， 交 于点F，则下列结论不成立的是（ ）
A. B. C. D.
16.（2020·云南）如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点O，E是 的中点，则 与 的面积的比等于（ ）
A. B. C. D.
17.（2020·内江）如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连结EF ． 已知 ，则EF的长为（ ）
A. 3 B. 5 C. D.
18.（2020·上海）下列命题中，真命题是( )
A. 对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D. 对角线平分一组对角的梯形是直角梯形
19.（2020·上海）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是( )
A. 平行四边形 B. 等腰梯形 C. 正六边形 D. 圆
20.（2020·山西）如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）
A. B. C. D.
21.（2020·山西）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到 ， ， 两点之间的距离为 ，圆心角为 ，则图中摆盘的面积是（ ）
A. B. C. D.
22.（2020·通辽）如图， 分别与 相切于 两点， ，则 ( )
A. B. C. D.
23.（2020·通辽）如图， 是 的中线，四边形 是平行四边形，增加下列条件，能判断 是菱形的是( )
A. B. C. D.
24.（2020·呼和浩特）命题①设 的三个内角为A、B、C且 ，则 、 、 中，最多有一个锐角；②顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；③从11个评委分别给出某选手的不同原始评分中，去掉1个最高分、1个最低分，剩下的9个评分与11个原始评分相比，中位数和方差都不发生变化．其中错误命题的个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
25.（2020·邵阳）如图，四边形 是平行四边形，点E ， B ， D ， F在同一条直线上，请添加一个条件使得 ，下列错误的是（ ）
A. B. C. D.
26.（2020·娄底）正多边形的一个外角为60°，则这个多边形的边数为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
27.（2020·黑龙江）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，2 )，将菱形绕点O旋转，当点A落在x轴上时，点C的对应点的坐标为（ ）
A. 或 B. C. D. 或
28.（2020·深圳）以下说法正确的是( )
A. 平行四边形的对边相等 B. 圆周角等于圆心角的一半
C. 分式方程 的解为x=2 D. 三角形的一个外角等于两个内角的和
29.（2020·广东）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
30.（2020·盐城）如图，在菱形 中，对角线 相交于点 为 中点， .则线段 的长为：（ ）
A. B. C. 3 D. 5
二、填空题
31.（2020·玉林）如图，将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形ABCD________菱形（填“是”或“不是”）.
32.（2020·盘锦）如图，在矩形 中， ，点 和点 分别为 上的点，将 沿 翻折，使点 落在 上的点 处，过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 .若四边形 与四边形 的面积相等，则 的长为________.
33.（2020·镇江）如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为________°.
34.（2020·凉山州）如图，矩形ABCD中，AD=12，AB=8，E是AB上一点，且EB=3，F是BC上一动点，若将 沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距为________．
35.（2020·凉山州）如图， 的对角线AC、BD相交于点O， 交AD于点E，若OA=1， 的周长等于5，则 的周长等于________．
36.（2020·淄博）如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝________cm．
37.（2020·烟台）若一个正多边形的每一个外角都是40°，则这个正多边形的内角和等于________．
38.（2020·威海）如图，四边形 是一张正方形纸片，其面积为 ．分别在边 ， ， ， 上顺次截取 ，连接 ， ， ， ．分别以 ， ， ， 为轴将纸片向内翻折，得到四边形 ，若四边形 的面积为 ，则 ________．
39.（2020·东营）如图，P为平行四边形 边 上一点， 分别为 上的点，且 的面积分别记为 ．若 则 ________．
40.（2020·滨州）如图， 是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F，G，H，ED与 相交于点M，则sin∠MFG的值为________．
三、解答题
41.（2020·徐州）小红和爸爸绕着小区广场锻炼如图在矩形广场 边 的中点 处有一座雕塑.在某一时刻，小红到达点 处，爸爸到达点 处，此时雕塑在小红的南偏东 方向，爸爸在小红的北偏东 方向，若小红到雕塑的距离 ，求小红与爸爸的距离 .（结果精确到 ，参考数据： ， ， ）
42.（2020·盘锦）如图，某数学活动小组要测量建筑物 的高度，他们借助测角仪和皮尺进行了实地测量，测量结果如下表.
测量项目
测量数据
测角仪到地面的距离
点 到建筑物的距离
从 处观测建筑物顶部 的仰角
从 处观测建筑物底部 的俯角
请根据需要，从上面表格中选择3个测量数据，并利用你选择的数据计算出建筑物 的高度.（结果精确到0.1米，参考数据： . ）（选择一种方法解答即可）
43.（2020·淄博）已知：如图，E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．
求证：△ABC≌△DCE．
44.（2020·呼伦贝尔）已知：如图，在正方形 中，对角线 相交于点O，点 分别是边 上的点，且 ．
求证： ．
45.（2020·宿迁）如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF=CE.求证：四边形BEDF是菱形.
46.（2020·山西）如图，四边形 是平行四边形，以点 为圆心， 为半径的 与 相切于点 ，与 相交于点 ， 的延长线交 于点 ，连接 交 于点 ，求 和 的度数．
47.（2020·邵阳）2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程一邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示， 表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A ， B ， C所处位置的海拔 分别为 ， ， ．若管道 与水平线 的夹角为30°，管道 与水平线 夹角为45°，求管道 和 的总长度（结果保留根号）．
48.（2020·郴州）如图，在菱形 中，将对角线 分别向两端延长到点 和 ，使得 ．连接 ．求证：四边形 是菱形．
49.（2020·自贡）如图，在正方形 中，点E在 边的延长线上，点F在 边的延长线上，且 ,连接 和 相交于点M．
求证： ．
50.（2020·青岛）如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D．某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西 方向．一艘渔船从D出发，沿正北方向航行至C处，此时在A处测得C位于南偏东 方向，求此时观测塔A与渔船C之间的距离（结果精确到0.1海里）．
（参考数据: ， ， ， ， ， ）
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
【解析】【解答】A.圆内接四边形的对角互补，该选项正确；
B.平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，故该选项错误；
C.菱形的四个角不一定相等，故该选项错误；
D.等边三角形不是中心对称图形，故该选项错误.
故答案为：A.
【分析】根据圆内接四边形的性质，平行四边形的性质、菱形的性质、等边三角形的性质依次判断即可.
2.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵AM∥BN，PQ∥AB，
∴四边形ABQP是平行四边形，
∴AP＝BQ＝x，
由图②可得当x＝9时，y＝2，
此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，
∴BD＝BQ﹣QD＝x﹣y＝7，
∵将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，
∴BC＝CD＝ BD＝ ，AC⊥BD，
∴cosB＝ ＝ ＝ ，
故答案为：D.
【分析】由题意可得四边形ABQP是平行四边形，可得AP＝BQ＝x，由图象②可得当x＝9时，y＝2，此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，可求BD＝7，由折叠的性质可求BC的长，由锐角三角函数可求解.
3.【答案】 A
【解析】【解答】连接OC交DE为F点，如下图所示：
由已知得：四边形DCEO为矩形.
∵∠CDE=36°，且FD=FO，
∴∠FOD=∠FDO=54°，△DCE面积等于△DCO面积.
.
故答案为：A.
【分析】本题可通过做辅助线，利用矩形性质对角线相等且平分以及等面积性，利用扇形ABC面积减去扇形AOC面积求解本题.
4.【答案】 B
【解析】【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形不符合题意，如等腰梯形；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，符合题意；
C、对角线相等的四边形是矩形不符合题意，如等腰梯形；
D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形不符合题意，如一般四边形对角线也可以互相垂直且相等．
故答案为：B．
【分析】利用平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理对各选项逐一判断后即可确定正确的选项．
5.【答案】 D
【解析】【解答】解：最小的等腰直角三角形的面积＝ × ×42＝1（cm2），平行四边形面积为2cm2 ， 中等的等腰直角三角形的面积为2cm2 ， 最大的等腰直角三角形的面积为4cm2 ， 则
A、阴影部分的面积为2+2＝4（cm2），不符合题意；
B、阴影部分的面积为1+2＝3（cm2），不符合题意；
C、阴影部分的面积为4+2＝6（cm2），不符合题意；
D、阴影部分的面积为4+1＝5（cm2），符合题意；
故答案为：D．
【分析】先求出最小的等腰直角三角形的面积＝ × ×42＝1cm2 ， 可得平行四边形面积为2cm2 ， 中等的等腰直角三角形的面积为2cm2 ， 最大的等腰直角三角形的面积为4cm2 ， 再根据阴影部分的组成求出相应的面积即可求解．
6.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝5，EF＝DE，
在Rt△ABF中，BF＝ ，
∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，
设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x
在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2 ，
∴x2+12＝（3﹣x）2 ， 解得x＝ ，
∴DE＝EF＝3﹣x＝ ，
∴tan∠DAE＝ ，
故答案为：D．
【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质得AF＝AD＝BC=5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求出BF的长，则CF可得，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可得到x，进一步可得DE的长，再根据正切的定义即可求解．
7.【答案】 C
【解析】【解答】解：如图，设OF＝EF＝FG＝x，
∴OE＝OH＝2x，
在Rt△EOH中，EH＝2 x，
由题意EH＝20cm，
∴20＝2 x，
∴x＝5 ，
∴阴影部分的面积＝（5 ）2＝50（cm2），
故答案为：C．
【分析】如图，设OF＝EF＝FG＝x，可得EH＝2 x＝20，解方程即可解决问题．
8.【答案】 D
【解析】【解答】A.∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴
∵ 为 的中点
∴
在 与 中
∴
∴
又∵
∴四边形 为平行四边形，
故A选项不符合题意；
B.假设
∵ ， ，
∴
∴
∴
∵
∴
则当 时，
∵四边形 为平行四边形
∴四边形 为矩形，
故B选项不符合题意；
C.∵ ，
∴E是AB中点
∵
∴
∵四边形 为平行四边形
∴四边形 为菱形，
故C选项不符合题意；
D.当 时与 时矛盾，则DE不垂直于AB ， 则四边形 不为矩形，则也不可能为正方形，故D选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的性质及判定定理，以及特殊平行四边形的判定定理进行逐一判断即可得解．
9.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵EN=1，
∴由中位线定理得AM=2，
由折叠的性质可得A′M=2，
∵AD∥EF，
∴∠AMB=∠A′NM，
∵∠AMB=∠A′MB，
∴∠A′NM=∠A′MB，
∴A′N=2，
∴A′E=3，A′F=2
过M点作MG⊥EF于G，
∴NG=EN=1，
∴A′G=1，
由勾股定理得MG= ，
∴BE=DF=MG= ，
∴OF：BE=2：3，
解得OF= ，
∴OD= - = ．
故答案为：B．
【分析】根据中位线定理可得AM=2，根据折叠的性质和等腰三角形的性质可得A′M=A′N=2，过M点作MG⊥EF于G，可求A′G，根据勾股定理可求MG，进一步得到BE，再根据平行线分线段成比例可求OF，从而得到OD．
10.【答案】 D
【解析】【解答】解：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，符合题意；
对角线互相垂直的矩形是正方形，符合题意；
对角线相等的菱形是正方形，符合题意；
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
可知选项D是错误的．
故答案为：D．
【分析】根据正方形的各种判定方法逐项分析即可．
11.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵BD和CE分别是△ABC的中线，
∴DE= BC，DE∥BC，
∵M和N分别是OB和OC的中点，OB=8，OC=6，
∴MN= BC，MN∥BC，OM= OB=4，ON= OC=3，
∴四边形MNDE为平行四边形，
∵BD⊥CE，
∴平行四边形MNDE为菱形，
∴OE=ON=3
∴BC= ，
∴DE=MN=EM=DN=5，
∴四边形MNDE的周长为20，
故答案为：B．
【分析】根据已知条件证明四边形MNDE为菱形，结合OB和OC的长求出MN，OM，OE，计算出EM，可得结果．
12.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1+∠BFE＝180°，
∵∠1＝125°，
∴∠BFE＝55°，
∵在△EGF中，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，
∴∠EFG＝180°﹣∠EGF﹣∠FEG＝60°，
∴∠BFG＝∠BFE+∠EFG＝55°+60°＝115°，
故答案为：B．
【分析】根据矩形得出AD∥BC，根据平行线的性质得出∠1+∠BFE＝180°，求出∠BFE，根据三角形内角和定理求出∠EFG，即可求出答案．
13.【答案】 D
【解析】【解答】由三视图可知：底面等边三角形的边长为2，该几何体的高为2，
该几何体的左视图为长方形，
该长方形的长为该几何体的高2，宽为底面等边三角形的高，
∵底面等边三角形的高= ，
∴ 它的左视图的面积是 ，
故答案为：D.
【分析】根据三视图确定底面等边三角形的边长为2，该几何体的高为2，再确定该几何体的三视图利用面积公式计算即可.
14.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA= AC=3，BO= BD=4，
在△AOB中，
4-3
故答案为：D．
【分析】先根据平行四边形的对角线互相平分得到OA、OB的长度，再根据三角形三边关系得到AB的取值范围，即可求解．
15.【答案】 B
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中， 是等边三角形，
∴∠DAB=90°，∠EAB=60°，
∴∠DAE=90°-60°=30°，
故A说法不符合题意；
若∠BAC=45°，则AB=BC，
又∵AB=BE，
∴BE=BC，
在△BEC中，BE为斜边，BE＞BC，
故B说法符合题意；
设EC的长为x，
易得∠ECB=30°，
∴BE=2EC=2x，BC= ，
AB=BE=2x，
∵DC∥AB，
∴∠ECA=∠CAB，
又∵∠EFC=∠BFA，
∴△ECF∽△BAF，
∴ ，
故C说法不符合题意；
AD=BC= ，
∴ ，
故D说法不符合题意．
故答案为：B
【分析】根据等边三角形和矩形角度的特点即可得出A说法符合题意；假设∠BAC=45°，可得到AB=BC，又AB=BE，所以BE=BC，不成立，所以B说法不符合题意；设EC的长为x，BE=2EC=2x，BC= ，证得△ECF∽△BAF，根据相似三角形的性质可得，C说法符合题意；AD=BC= ，AB=BE=2x，可得D说法正确．
16.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，
∵ 是 的中点，
∴OE是△DCB的中位线，
∴OE//BC，OE= BC，
∴△DEO∽△DCB，
∴S△DEO：S△DCB= .
故答案为：B.
【分析】先根据三角形的中位线定理证明OE//BC，OE= BC，再根据△DEO∽△DCB，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可求出答案.
17.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，
∴BD= =5，
设AE的长度为x，
由折叠可得：△ABE≌△MBE，
∴EM=AE=x，DE=4-x，BM=AB=3，DM=5-3=2，
在Rt△EMD中，EM2+DM2=DE2 ，
∴x2+22=（4-x）2 ，
解得：x= ，ED=4- = ，
设CF的长度为y，
由折叠可得：△CBF≌△NBF，
∴NF=CF=y，DF=3-y，BN=BC=4，DN=5-4=1，
在Rt△DNF中，DN2+NF2=DF2 ，
∴y2+12=（3-y）2 ，
解得：x= ，DF=3- = ，
在Rt△DEF中，EF= ，
故答案为：C．
【分析】由矩形的性质和已知求出BD=5，根据折叠的性质得△ABE≌△MBE，设AE的长度为x，在Rt△EMD中，由勾股定理求出DE的长度，同理在Rt△DNF中求出DF的长度，在Rt△DEF中利用勾股定理即可求出EF的长度．
18.【答案】 C
【解析】【解答】A．对角线互相垂直且相等的梯形是等腰梯形，故不符合题意；
B．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故不符合题意；
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，符合题意；
D．对角线平分一组对角的梯形是菱形，故不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用特殊四边形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项．
19.【答案】 A
【解析】【解答】如图，平行四边形ABCD中，取BC ， AD的中点E ， F ， 连接EF ．
则有：AF=FD，BE=EC，AB=EF=CD，
∴四边形ABEF向右平移可以与四边形EFCD重合，
∴平行四边形ABCD是平移重合图形．
故答案为：A．
【分析】证明平行四边形是平移重合图形即可．
20.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图，连接EG，FH，
设AD=BC=2a，AB=DC=2b，
则FH=AD=2a，EG=AB=2b，
∵四边形EFGH是菱形，
∴S菱形EFGH= = =2ab，
∵M，O，P，N点分别是各边的中点，
∴OP=MN= FH=a，MO=NP= EG=b，
∵四边形MOPN是矩形，
∴S矩形MOPN=OP MO=ab，
∴S阴影= S菱形EFGH-S矩形MOPN=2ab-ab=ab，
∵S矩形ABCD=AB BC=2a 2b=4ab，
∴飞镖落在阴影区域的概率是 ，
故答案为：B．
【分析】连接菱形对角线，设大矩形的长=2a，大矩形的宽=2b，可得大矩形的面积，根据题意可得菱形的对角线长，从而求出菱形的面积，根据“顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形”，可得小矩形的长，宽分别是菱形对角线的一半，可求出小矩形的面积，根据阴影部分的面积=菱形的面积-小矩形的面积可求出阴影部分的面积，再求出阴影部分与大矩形面积之比即可得到飞镖落在阴影区域的概率．
21.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图，连接 ，
是等边三角形，
所以则图中摆盘的面积
故答案为：B．
【分析】先证明 是等边三角形，求解 ，利用摆盘的面积等于两个扇形面积的差可得答案．
22.【答案】 C
【解析】【解答】解：连接OA、OB，
∵直线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∵∠P=72°，
∴∠AOB=108°，
∵C是⊙O上一点，
∴∠ACB=54°．
故答案为：C．
【分析】连接OA、OB，根据切线的性质定理，结合四边形AOBP的内角和为360°，即可推出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠C的度数．
23.【答案】 A
【解析】【解答】解：A、若 ，则AD=BD=CD=AE，∵四边形ADCE是平行四边形，则此时四边形ADCE为菱形，符合题意；
B、若 ，则四边形ADCE是矩形，不符合题意；
C、若 ，则∠ADC=90°，则四边形ADCE是矩形，不符合题意；
D、若 ，而AB＞AD，则AE≠AD，无法判断四边形ADCE为菱形，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的判定方法逐一分析即可.
24.【答案】 B
【解析】【解答】解：①设 、 、 中，有两个或三个锐角，
若有两个锐角，假设 、 为锐角，
则A+B＜90°，A+C＜90°，
∴A+A+B+C=A+180°＜180°，
∴A＜0°，不成立，
若有三个锐角，同理，不成立，
假设A＜45°，B＜45°，则α＜90°，
∴最多只有一个锐角，故命题①符合题意；
②如图，菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴HG∥EF，HE∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴HE⊥HG，
∴四边形EFGH是矩形，故命题②符合题意；
③去掉一个最高分和一个最低分，不影响中间数字的位置，故不影响中位数，
但是当最高分过高或最低分过低，平均数有可能随之变化，同样，方差也会有所变化，
故命题③不符合题意；
综上：错误的命题个数为1，
故答案为：B.
【分析】①设 、 、 中，有两个或三个锐角，分别判断有两个锐角和有三个锐角时矛盾，并且说明有一个锐角的情况存在即可；②利用中位线的性质和矩形的判定可判断；③根据评分规则和中位数、方差的意义判断.
25.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∵∠ABE+∠ABD=∠BDC+∠CDF，
∴∠ABE=∠CDF，
A.若添加 ，则无法证明 ，故A符合题意；
B.若添加 ，运用AAS可以证明 ，B不符合题意；
C.若添加 ，运用ASA可以证明 ，C不符合题意；
D.若添加 ，运用SAS可以证明 ，D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质结合全等三角形的判定，逐项进行判断即可.
26.【答案】 B
【解析】【解答】解：正多边形的一个外角等于60°，且外角和为360°，
则这个正多边形的边数是：360°÷60°=6，
故答案为：B．
【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．
27.【答案】 D
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作AE⊥x轴于点E，
则 ，OA= ，
∴∠AOE=60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴△AOB是等边三角形，
当A落在x轴正半轴时，点C落在点C′位置，
此时旋转角为60°，
∵∠BOC=60°，∠COF=30°，
∴∠C′OF=60°-30°=30°，
∵OC′=OA=4，
∴OF= ，
C′F= ，
∴C′（ ），
当A落在x轴负半轴时，点C落在点C′′位置，
∵∠AOC=∠AOC+∠BOC=120°，
∴∠A′′OC=120°，∠GOC′=30°
又∵OA=OC′′，
∴此时C′′点A重合，C C′′ ，
综上，点C的对应点的坐标为 或 ，
故答案为：D．
【分析】如图所示，过点A作AE⊥x轴于点E，根据题意易得△AOB为等边三角形，在旋转过程中，点A有两次落在x轴上，当点A落在x轴正半轴时，点C落在点C′位置，利用旋转的性质和菱形的性质求解，当A落在x轴负半轴时，点C落在点C′′位置，易证此时C′′与点A重合，即可求解．
28.【答案】 A
【解析】【解答】
B.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，故B选项不符合题意；
C.x=2为增根，原分式方程无解，故C选项不符合题意；
D.没有指明两个内角为不想邻的内角，故D选项不符合题意．
故答案为A．
【分析】根据平行四边形的性质、圆周角定理、解分式方程以及三角形外角的性质逐项分析即可．
29.【答案】 B
【解析】【解答】设这个多边形的边数为n,
∴（n-2）×180°=540°
解得n=5
故答案为：B．
【分析】根据内角和公式即可求解．
30.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴ ， ，
∴△BOC是直角三角形
∴
∴BC=5
∵H为BC中点
∴
故最后答案为 .
【分析】因为菱形的对角线互相垂直且平分，从而有 ， ， ，又因为H为BC中点，借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可作答.
二、填空题
31.【答案】 是
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，
∵两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起，
∴AE＝AF，
∴S平行四边形ABCD＝BC•AE＝DC•AF，
∴BC＝DC，
∴▱ABCD是菱形.
故答案为：是.
【分析】作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，根据两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起可得AE＝AF，再根据等面积法证明BC＝DC，进而证明四边形ABCD的形状一定是菱形.
32.【答案】
【解析】【解答】解： 四边形ABCD为矩形
设 ，则 ，
又
四边形ABHE是矩形，同理可得四边形 是矩形
矩形 的面积 ，矩形ABHE的面积 ，且
四边形 与四边形 的面积相等
由翻折得 ， ，
在 中，由勾股定理得
又
，即 ，化简得
解得
所以 的长为 .
故答案为： .
【分析】设 ，则 ，根据矩形的性质易知四边形ABHE和 是矩形，由其面积相等可得AE长，由翻折的性质可知ME、MF长，由勾股定理可知MC长，利用 的性质可求得x值，即CF长.
33.【答案】 135
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠2+∠BCP＝45°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BCP＝45°，
∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP，
∴∠BPC＝135°，
故答案为：135.
【分析】由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形内角和定理可求解.
34.【答案】 10
【解析】【解答】解：如图 ，连接
图
则 ＞ ，
为定值，
当 落在 上时， 最短，
如图 ，连接 ，
图
由勾股定理得：
即 的最小值为：10
故答案为：10
【分析】如图 ，连接 利用三角形三边之间的关系得到 最短时 的位置，如图 利用勾股定理计算 ，从而可得答案．
35.【答案】 16
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，AC、BD是对角线，
∴O为BD和AC的中点，
又∵ ，
∴ ， ，E为AD的中点，
又∵OA=1， 的周长等于5，
∴AE+OE=4，
∴ ，
∴ 的周长= ．
故答案为16．
【分析】根据已知可得E为AD的中点，OE是△ABD的中位线，据此可求得AB，根据OA=1， 的周长等于5，可求得具体的结果．
36.【答案】 5
【解析】【解答】解：连接AC，FC．
由翻折的性质可知，BE垂直平分线段CF，
∴FM⊥BE，∴F．M，C共线，FM＝MC，
∵AN＝FN，∴MN＝ AC，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，
∴AC＝ ＝ ＝10（cm），∴MN＝ AC＝5（cm），
故答案为5．
【分析】连接AC，FC，求出AC，利用三角形的中位线定理解决问题即可．
37.【答案】 1260°
【解析】【解答】∵一个多边形的每个外角都等于40°，
∴多边形的边数为360°÷40°=9，
∴这个多边形的内角和=180°×（9-2）=1260°
【分析】根据任意多边形的外角和都为360°，可以求出多边形的边数，再根据多边形内角和公式180°（n-2），求出内角和。
38.【答案】 4
【解析】【解答】∵四边形 是由四个直角边翻折得到的,
∴四边形 是正方形,
∵四边形 是9cm2,
∴ ．
∵ ,
∴EB=FC=DG=HD=(a－3)cm．
∴2S△AEH=(S□ABCD－S□A1B1C1D1)÷4=(25－9)÷4=4cm2,
即 , ,
因式分解得: ,
∴a=4或a=﹣1(舍去)．
故答案为4．
【分析】由四边形 的面积算出边长,再用a表示出EB,即可表示出四个三角形的面积,列出等式即可求解．
39.【答案】 18
【解析】【解答】解：∵
∴ ，且∠APD=∠EPF，
∴△PEF∽△PAD，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，且△PEF的面积为2可知，
，
∴ ，
过P点作平行四边形ABCD的底AD上的高PH ，
∴ ，
∴ ，
即平行四边形ABCD的面积为 ，
∴ ．
故答案为：18．
【分析】证明△PEF∽△PAD，再结合△PEF的面积为2可求出△PAD的面积，进而求出平行四边形ABCD的面积，再用平行四边形ABCD的面积减去△PAD的面积即可求解．
40.【答案】
【解析】【解答】如图，连接EG、HF
由正方形内切圆的性质得：EG与HF的交点即为圆心O
四边形ABCD是正方形
由圆的切线的性质得：
四边形ADGE和四边形OHDG均为矩形
，
设正方形ABCD的边长为 ，则
的半径为
在 中，
由圆周角定理得：
则
故答案为： ．
【分析】先根据正方形内切圆的性质得出圆心O的位置，再根据正方形的性质、圆的切线的性质可得 ， ，从而可得四边形ADGE和四边形OHDG均为矩形，又根据矩形的性质可得 ， ，设正方形ABCD的边长为 ，从而可得 ， ，然后在 中，根据正弦三角函数的定义可得 ，最后根据圆周角定理可得 ，由此即可得出答案．
三、解答题
41.【答案】 解：解：过点P作PE⊥BC，如图：
根据题意，则四边形ABEP是矩形，
∴ ，
在Rt△APM中，PM=30，∠APM=45°，
∴ ，
∵点M是AB的中点，
∴ ，
∴ ，
在Rt△PEQ中，∠PQE=60°， ，
∴ ；
∴小红与爸爸的距离
【解析】【分析】过点P作PE⊥BC，则四边形ABEP是矩形，由解直角三角形求出 ，则 ，然后求出PQ即可.
42.【答案】 解：第一种选择：
选取 ‘
∴四边形 为矩形
在 中，
答：建筑物 的高度约为 .
第二种选择
选取
∴四边形 为矩形
在 中，
在 中，
答：建筑物 的高度的为 .
第三种选择
选取 ，
∴四边形 为矩形
在 中，
在 中，
答：建筑物 的高度约为 .
【解析】【分析】第一种选择：选取 ，解直角三角形ACE求得AE，根据AE+EB即可得到结论；第二种选择：选取 ，先解直角三角形BCD求出BD的长，再解直角三角形ACE求出AE的长，根据AE+EB即可得到结论；第三种选择：选取 ， ，求出CD和AE的长即可.
43.【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠B＝∠DCE，
在△ABC和△DCE中，
∴△ABC≌△DCE（SAS）．
【解析】【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，由平行线的性质得出∠B＝∠DCE，由SAS即可得出结论．本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；
44.【答案】 解：∵四边形ABCD为正方形，
∴OD=OC，∠ODF=∠OCE=45°，∠COD=90°，
∵∠EOF=90°，即∠COE+∠COF=90°，
∴∠COE=∠DOF，
∴△COE≌△DOF（ASA），
∴CE=DF．
【解析】【分析】由正方形的性质得出OD=OC，∠ODF=∠OCE=45°，再证明∠COE=∠DOF，从而得到△COE≌△DOF，即可证明CE=DF．
45.【答案】 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD=BC，∠DAE=∠BAE=∠BCF=∠DCF=45°，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE=DE，
同理可得△BFC≌△DFC，
可得BF=DF，
∵AF=CE，
∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴BE=BF，
∴BE=BF=DE=DF，
∴四边形BEDF是菱形.
【解析】【分析】由正方形的性质可得AB=AD=CD=BC，∠DAE=∠BAE=∠BCF=∠DCF=45°，由“SAS”可证△ABE≌△ADE，△BFC≌△DFC，△ABE≌△CBF，可得BE=BF=DE=DF，可得结论.
46.【答案】
解：连接 ．
与 相切于点 ，
． ．
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是平行四边形，
．
．
【解析】【分析】连接OB,即可得 ,再由平行四边形得出∠BOC=90°,从而推出∠C=45°,再由平行四边形的性质得出∠A=45°,算出∠AOB=45°,再根据圆周角定理即可得出∠E=22．5°．
47.【答案】 解：根据题意知，四边形 和四边形 均为矩形，
， ，
， ，
在 中， ， ， ，
；
在 中， ， ， ，
，
，
即管道AB和BC的总长度为： ．
【解析】【分析】先根据题意得到BO，CB2的长，在Rt△ABO中，由三角函数可得AB的长度，在Rt△BCB2中，由三角函数可得BC的长度，再相加即可得到答案．
48.【答案】 证明：连接BD，交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．
【解析】【分析】连接BD，由菱形ABCD的性质得出OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，得出OE=OF，证出四边形BEDF是平行四边形，再由EF⊥BD，即可证出四边形BEDF是菱形．
49.【答案】 证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，
又∵CE=DF，
∴CE+BC=DF+CD即BE=CF，
在△BCF和△ABE中，
∴ （SAS），
∴AE=BF．
【解析】【分析】利用正方形的性质证明：AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，再证明BE=CF，可得三角形的全等，利用全等三角形的性质可得答案．
50.【答案】 解：过点A作AE⊥BD，过点C作CF⊥AE，
则四边形CDEF是矩形，
∵∠BAE=22°，AE=5（海里），
∴BE=AE∙tan22°=5× =2（海里），
∵DE=BD-BE=6-2=4（海里），
∵四边形CDEF是矩形，
∴CF=DE=4（海里），
∴AC=CF÷sin67°=4÷ ≈4.3（海里）．
【解析】【分析】过点A作AE⊥BD，过点C作CF⊥AE，由正切函数与正弦函数的定义，以及矩形的性质，即可求解．
