高中数学人教版新课标A选修2-21.3导数在研究函数中的应用精品课后复习题

§1.3.1　函数的单调性与导数

[限时50分钟，满分80分]

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致形状是

解析　设f(x)＝a(x＋1)(x－1)＝ax2－a(a＜0)，

∴f′(x)＝2ax(a＜0)，因此选B.

答案　B

2．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是

A．y＝sin x　　　　　　　   B．y＝xex

C．y＝x3－x        D．y＝ln x－x

解析　对y＝sin x有y′＝cos x，

对y＝xex有y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)，

对y＝x3－x有y′＝3x2－1，

对y＝ln x－x有y′＝－1(x∈(0，＋∞))，

其中y′>0在(0，＋∞)上恒成立的只有y′＝ex(1＋x)，

故y＝xex在(0，＋∞)内为增函数．

答案　B

3．函数f(x)＝2x2－ln x的递增区间是

A.         B.及

C.        D.及

解析　注意定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－＝＝，

令f′(x)＞0，不难得出x＞.则答案为C.

答案　C

4．y＝xln x在(0，e)上是

A．单调增函数

B．单调减函数

C．在上是递减函数，在上是递增函数

D．在上是递增函数，在上是递减函数

解析　y′＝lnx＋x·＝ln x＋1，令y′＞0，解得x＞.∵e＞，∴y＝xln x在上为增函数，同理可求在上为减函数．

答案　C

5．若函数f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数，则a的取值范围是

A．[－1，0]         B．[－1，＋∞)

C．[0，3]          D．[3，＋∞)

解析　f′(x)＝2x＋a－，由于函数f(x)在上是增函数，

故f′(x)≥0在[，＋∞)上恒成立．

即a≥－2x在x∈[，＋∞)上恒成立．

设h(x)＝－2x，x∈[，＋∞)，

易知h(x)在[，＋∞)上为减函数，

∴h(x)max＝h()＝4－1＝3，

∴a≥3.

答案　D

6．如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为

A．y＝x3－x        B．y＝x3－x

C．y＝x3－x        D．y＝－x3＋x

解析　利用函数的导数与单调性求解．

函数在[－5，5]上为减函数，所以在[－5，5]上y′≤0，经检验只有A符合，故选A.

答案　A

二、填空题(每小题5分，共15分)

7．函数y＝f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式       f′(x)≤0的解集为________．

解析　由函数的单调性与导数的关系可知，f′(x)≤0的解集为函数的单调递减区间，结合图象可知其解集为[－，1]∪[2，3)．

答案　[－，1]∪[2，3)

8．函数f(x)＝ex－2x的单调增区间为________．

解析　f′(x)＝ex－2，

令f′(x)≥0可得x≥ln 2.

答案　[ln 2，＋∞)

9．(2019·北京)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)．若f(x)为奇函数，则a＝________；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是________．

解析　∵f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)的定义域为R，

∴f(0)＝e0＋ae－0＝1＋a＝0，∴a＝－1.

∵f(x)＝ex＋ae－x，∴f′(x)＝ex－ae－x＝ex－.

∵f(x)是R上的增函数，∴f′(x)≥0在R上恒成立，

即ex≥在R上恒成立，∴a≤e2x在R上恒成立．

又e2x＞0，∴a≤0，即a的取值范围是(－∞，0]．

答案　－1　(－∞，0]

三、解答题(本大题共3小题，共35分)

10．(10分)求下列函数的单调区间：

(1)y＝x3－2x2＋3；(2)y＝ln(2x＋3)＋x2.

解析　(1)函数的定义域为R.

y′＝2x2－4x＝2x(x－2)．令y′＞0，则2x(x－2)＞0，

解得x＜0或x＞2.

所以函数的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)．

令y′＜0，则2x(x－2)＜0，解得0＜x＜2，

所以函数的单调递减区间为(0，2)．

(2)函数y＝ln(2x＋3)＋x2的定义域为.

y′＝＋2x＝＝.

令y′＞0，解得－＜x＜－1或x＞－.

所以函数的单调递增区间为，.

令y′＜0，解得－1＜x＜－，

所以函数的单调递减区间为.

11．(12分)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象经过点P(0，2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

(2)求函数y＝f(x)的单调区间．

解析　(1)由y＝f(x)的图象经过点P(0，2)，知d＝2，

∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c.

由在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，

知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.

∴，即.

解得b＝c＝－3.

故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.

(2)f′(x)＝3x2－6x－3.

令f′(x)>0得x<1－或x>1＋；

令f′(x)<0，得1－<x<1＋.

故f(x)＝x3－3x2－3x＋2的单调递增区间为

(－∞，1－)和(1＋，＋∞)，

单调递减区间为(1－，1＋)．

12．(13分)函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)在区间(1，2)是增函数，求a的取值范围．

解析　(1)f′(x)＝3ax2＋6x＋3，f′(x)＝0的判别式Δ＝36(1－a)．

①若a≥1，则f′(x)≥0，且f′(x)＝0当且仅当a＝1，x＝－1，故此时f(x)在R上是增函数．

②由于a≠0，故当a<1时，f′(x)＝0有两个根

x1＝，x2＝.

若0<a<1，则当x∈(－∞，x2)或x∈(x1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)分别在(－∞，x2)，(x1，＋∞)是增函数；

当x∈(x2，x1)时，f′(x)<0，

故f(x)在(x2，x1)是减函数．

若a<0，则当x∈(－∞，x1)或(x2，＋∞)时，f′(x)<0，故f(x)分别在(－∞，x1)，(x2，＋∞)是减函数；

当x∈(x1，x2)时，f′(x)>0，

故f(x)在(x1，x2)是增函数．

(2)当a>0，x>0时，f′(x)＝3ax2＋6x＋3>0，

故当a>0时，f(x)在区间(1，2)是增函数．

当a<0时，f(x)在区间(1，2)是增函数当且仅当f′(1)≥0且f′(2)≥0，解得－≤a<0.

综上，a的取值范围是[－，0)∪(0，＋∞)．