（山东专用）2021版高考数学一轮复习考案3第三章三角函数、解三角形综合过关规范限时检测（含解析）

 [考案3]第三章　综合过关规范限时检测

(时间：120分钟　满分150分)

一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．(2020·安徽示范高中高三测试)角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边经过点P(4，y)，且sin θ＝－，则tan θ＝(　C　)

A．－　　 B．　

C．－　　 D．

[解析]　因为角θ的终边经过点P(4，y)，sin θ＝－<0，所以θ为第四象限角，所以cos θ＝＝，所以tan θ＝＝－，故选C.

2．(2020·合肥市高三调研)已知tan α＝3，则sin (－α)·cos (＋α)的值为(　B　)

A．　 B．－

C．　 D．－

[解析]　因为tan α＝3，所以sin (－α)·cos(＋α)＝－cos αsin α＝＝＝－，故选B.

3．(2020·广东省茂名市五校联考)已知sin α＝－，α是第三象限角，则tan (α－)＝(　A　)

A．－　 B．

C．－　 D．

[解析]　因为sin α＝－，α是第三象限角，所以cos α＝－，即tan α＝，所以tan (α－)＝＝－.

4．为了得到函数y＝sin 3x的图象，可以将y＝cos 3x的图象向(　A　)

A．右平移个单位长度　　 B．左平移个单位长度

C．右平移个单位长度　　 D．左平移个单位长度

[解析]　y＝cos 3x＝sin (3x＋)＝sin 3(x＋)，将该函数的图象向右平移个单位长度得到y＝sin 3(x＋－)＝sin 3x.故选A．

5．(2019·课标全国Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝(　B　)

A．　 B．

C．　 D．1

[解析]　本题主要考查三角函数的定义及三角恒等变换．

由题可知tan α＝＝b－a，又cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝，∴5(b－a)2＝1，得(b－a)2＝，即|b－a|＝，故选B.

6．(2020·黑龙江双鸭山一中月考)函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别为(　A　)

A．2，－　 B．2，－

C．4，－　 D．4，

[解析]　由图可知T＝－(－)＝，

∴T＝π，

∴ω＝＝2，又2×＋φ＝，∴φ＝－，故选A．

7．(2020·南开模拟)△ABC中三个内角为A，B，C，若关于x的方程x2－xcos Acos B－cos2＝0有一根为1，则△ABC一定是(　B　)

A．直角三角形　　 B．等腰三角形

C．锐角三角形　　 D．钝角三角形

[解析]　依题意，可得1－cos Acos B－cos2＝0，因为cos2＝＝＝，

所以1－cos Acos B－＝0，

整理得：cos (A－B)＝1，又A，B为△ABC的内角，所以A＝B，所以△ABC一定为等腰三角形．故选B.

8．(2020·广东百校联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若C＝，a＝4，S△ABC＝2，则＝(　D　)

A．　 B．2

C．2　 D．2

[解析]　由C＝，a＝4，S△ABC＝absin C＝×4×b×＝2，得b＝，根据余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝10，则c＝，所以＝2R＝＝2.

二、多选题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9．下列命题不正确的是(　ABC　)

A．若cosθ<0则θ是第二或第三角限角

B．若α>β则cosα<cosβ

C．若sinα＝sinβ则α与β终边相同

D．若α是第三象限象角，则sinαcosα>0且<0

[解析]　当θ＝2kπ＋π时，cosθ＝－1<0，此时θ不是象限角，A错；

当α＝0，β＝－2π时，cosα＝cosβ，故B错；

当α＝，β＝时，sinα＝sinβ，但α与β终边不相同，故C错；

当α是第三象限角时， sinα<0，cosα<0，tanα>0，故D正确．因此选A、B、C.

10．已知函数f(x)＝cosxsin(x＋)，则下列结论中错误的是(　AC　)

A．f(x)既是奇函数又是周期函数

B．f(x)的图象关于x＝对称

C．f(x)最大值为1

D．f(x)在区间[0，]上递增

[解析]　f(x)＝cosxsin(x＋)＝sin(2x＋)＋，f(x)为非奇非偶函数，故A错，当x＝时，2x＋＝，图象关于x＝对称，B正确．f(x)最大值为，故C错，f(x)在[0，]上单调递增，故D正确，因此选A、C.

11．在△ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，且(a＋b)︰(a＋c)︰(b＋c)＝9︰10︰11，则下列结论正确的是(　ACD　)

A．sinA︰sinB︰sinC＝4︰5︰6

B．△ABC是钝角三角形

C．△ABC最大内角是最小内角的2倍

D．若c＝6则△ABC外接圆平径为

[解析]　设解得利用正、余弦定理可知，A正确，B错误．由于cosC＝，cosA＝，cos2A＝＝cosC，又C、A都是锐角，所以C＝2A，故C正确，又sinC＝，2R＝＝，∴R＝，故D正确，因此选A、C、D.

12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象经过点(，)，且在区间(，)上单调，则ω、φ可能的取值是(　BC　)

A．ω＝2，φ＝－　　 B．ω＝2，φ＝－

C．ω＝6，φ＝　　 D．ω＝6，φ＝

[解析]　将ω＝2，φ＝－代入得f(x)＝sin(2x－)，显然不过点(，)，A错，同理B、C正确，D错．故选B、C.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)

13．若函数f(x)＝(ω>0)的最小正周期为π，则f()＝　　.

[解析]　由题设及周期公式得T＝＝π，所以ω＝1，即f(x)＝，所以f()＝＝.

14．(2020·安徽省池州中学第二次质量检测)已知cos (α－)＝，则sin (α＋)的值是　－　.

[解析]　sin (α＋)＝－sin (α＋)＝－sin (α－＋)＝－cos (α－)＝－.

15．(2020·福州市期末测试)将函数y＝2sin x＋cos x的图象向右平移φ个单位长度，得到函数y＝2sin x－cos x的图象，则sin φ的值为　　.

[解析]　因为y＝2sin x＋cos x＝sin (x＋θ)，所以y＝2sin x－cos x＝sin (x－θ)，其中cos θ＝，sin θ＝，所以φ＝2θ，所以sin φ＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝.

16．一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为　20(－)　海里/小时．

[解析]　根据题意可知∠NMS＝45°，

∠MNS＝180°－(45°＋30°)＝105°，

∴∠S＝30°，∴＝

＝＝，

∴|MN|＝＝10(－)，

∴v＝＝20(－)海里/小时．

四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)(2020·吉林市调研)已知0<α<<β<π，且sin (α＋β)＝，tan ＝.

(1)求cos α的值；

(2)证明：sin β>.

[解析]　(1)因为tan ＝，所以tan α＝＝，所以，α∈(0，)，解得cos α＝.

另解：cos α＝cos2－sin2＝

＝＝＝.

(2)由已知得<α＋β<，又sin (α＋β)＝，

所以cos (α＋β)＝－＝－，

又sin α＝＝，

sin β＝sin [(α＋β)－α]

＝sin (α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α

＝×－(－)×＝>.

18．(本小题满分12分)(2020·辽宁重点中学协作体阶段测试)设函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)当x∈[－，π]时，求f(x)的取值范围．

[解析]　(1)由图象知A＝3，＝－＝π，即T＝4π，又＝4π，所以ω＝，

因此f(x)＝3sin (x＋φ)，又因为f()＝－3，

所以＋φ＝－＋2kπ(k∈Z)，

即φ＝－＋2kπ(k∈Z)，

又|φ|<π，所以φ＝－，即f(x)＝3sin (x－)．

(2)当x∈[－，π]时，x－∈[－，－]，

所以－1≤sin (x－)≤－，

从而有－3≤f(x)≤－.

19．(本小题满分12分)(2020·湖南重点高中联考)已知函数f(x)＝cos (πx＋)cos (πx－)．

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)若f(x)在区间[，a]上的值域为[－，－]，求a的取值范围．

[解析]　(1)f(x)＝(cos πx－sin πx)(cos πx＋sin πx)＝cos2πx－sin2πx＝×－×＝cos 2πx－，令π＋2kπ≤2πx≤2π＋2kπ，k∈Z，解得＋k≤x≤1＋k，k∈Z，

∴f(x)的单调递增区间为[k＋，k＋1]，k∈Z.

(2)∵f(x)的值域为[－，－]，

∴－1≤cos 2πx≤－.∵x∈[，a]，

∴≤2πx≤2πa，结合余弦函数图象可知π≤2πa≤，解得≤a≤，∴a的取值范围是[，]．

20．(本小题满分12分)(2020·蓉城名校高三第一次联考)已知函数f(x)＝2cos2x＋(sin x＋cos x)2－2.

(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的集合；

(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(A)＝1，若AC边上的高等于b，求cos C的值．

[解析]　(1)由题意知f(x)＝2cos2x＋1＋2sin xcos x－2＝2sin xcos x＋2cos2x－1＝sin 2x＋cos 2x＝sin (2x＋)．

∴f(x)max＝，此时2x＋＝2kπ＋，k∈Z，

∴x＝kπ＋，k∈Z.

∴f(x)取得最大值时x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．

(2)∵f(A)＝sin (2A＋)＝1，

∴sin (2A＋)＝，

又A∈(0，π)，

∴2A＋∈(，)，

∴2A＋＝，解得A＝.

设AC边上的高为BD，则BD＝b.

∵A＝，∴BD＝AD＝b，CD＝b，

∴AB＝b，BC＝b，∴cos C＝＝.

21．(本小题满分12分)(2020·广东六校第一次联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2＋c2－a2＝accos C＋c2cos A．

(1)求角A的大小；

(2)若△ABC的面积S△ABC＝，且a＝5，求sin B＋sin C.

[解析]　(1)∵b2＋c2－a2＝accos C＋c2cos A，

∴2bccos A＝accos C＋c2cos A，

∵c>0，∴2bcos A＝acos C＋ccos A，

由正弦定理得2sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A，

即2sin Bcos A＝sin (A＋C)．

∵sin (A＋C)＝sin (π－B)＝sin B，

∴2sin Bcos A＝sin B，即sin B(2cos A－1)＝0，

∵0<B<π，∴sin B≠0，∴cos A＝，

∵0<A<π，∴A＝.

(2)∵S△ABC＝bcsin A＝bc＝，∴bc＝25.

∵cos A＝＝＝，

∴b2＋c2＝50，

∴(b＋c)2＝50＋2×25＝100，即b＋c＝10(或求出b＝c＝5)，

∴sin B＋sin C＝b·＋c·＝(b＋c)·＝10×＝.

22．(本小题满分12分)(2020·甘肃天水一中阶段考改编)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)＋2sin2－1(ω>0,0<φ<π)为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为.

(1)当x∈(－，)时，求f(x)的单调递减区间；

(2)将函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，当x∈[－，]时．

若方程g(x)－m＝0有两个不等实根，求实数m的取值范围．

[解析]　(1)由题意可知：f(x)＝sin (ωx＋φ)－cos (ωx＋φ)＝2sin (ωx＋φ－)，

因为相邻两对称轴间的距离为，所以T＝π，ω＝2，

因为函数为奇函数，所以φ－＝kπ，φ＝kπ＋，k∈Z，

因为0<φ<π，所以φ＝，函数f(x)＝2sin 2x，

∵x∈(－，)，∴2x∈(－π，)，

要使f(x)单调减，需满足－π<2x≤－，

即－<x≤－，所以函数的减区间为(－，－]．

(2)由题意可得：g(x)＝2sin (4x－)，

∵－≤x≤，∴－≤4x－≤，∴－1≤sin (4x－)≤，∴g(x)∈[－2，]．

列表：

描点连线得g(x)图象如下

当4x－∈[－，]，即x∈[－，]时，g(x)∈(－2，]

由题意知y＝m与y＝g(x)的图象在x∈[－，]有两个交点．

则符合题意的m的取值范围为(－2，－]．