（山东专用）2021版高考数学一轮复习考案4第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入综合过关规范限时检测（含解析）

 [考案4]第四章　综合过关规范限时检测

(时间：45分钟　满分100分)

一、单选题(本大题共7个小题，每小题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．若复数z＝＋1为纯虚数，则实数a＝(　A　)

A．－2　 B．－1

C．1　 D．2

[解析]　因为复数z＝＋1＝＋1＝＋1－i为纯虚数，所以＋1＝0，且－≠0，解得a＝－2.故选A．

2．(2020·武汉市调研考试)已知复数z满足z＋|z|＝3＋i，则z＝(　D　)

A．1－i　　 B．1＋i

C.－i　　 D．＋i

[解析]　设z＝a＋bi，其中a，b∈R，由z＋|z|＝3＋i，得a＋bi＋＝3＋i，由复数相等可得解得故z＝＋i.故选D.

3．(2020·江南十校联考)设D是△ABC所在平面内一点，＝2，则(　D　)

A．＝－　　 B．＝－

C.＝－　　 D．＝－

[解析]　＝－＝＋－＝－－＝－.故选D.

4．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos m，n＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　B　)

A．4　 B．－4

C．　 D．－

[解析]　由4|m|＝3|n|，可设|m|＝3k，|n|＝4k(k>0)，又n⊥(tm＋n)，所以n·(tm＋n)＝n·tm＋n·n＝t|m||n|·cos m，n＋|n|2＝t×3k×4k×＋(4k)2＝4tk2＋16k2＝0，所以t＝－4.

5．(2020·江西省九江市期末)在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，点P满足||＝1，记a＝·，b＝·，c＝·，则a，b，c的大小关系为(　C　)

A．a>b>c　　 B．a>c>b

C．b>a>c　　 D．b>c<a

[解析]　以C为圆心，以CD，CB所在直线为x轴，y轴建立坐标系，则A(－4，－2)，B(0，－2)，D(－4,0)，设P(cos α，sin α)，

则a＝(4,0)·(cos α＋4，sin α＋2)＝4cos α＋16，

b＝(4,2)·(cos α＋4，sin α＋2)＝4cos α＋2sin α＋20，

c＝(0,2)·(cos α＋4，sin α＋2)＝2sin α＋4，

∵b－c＝2sin α＋4>0，∴b>a，

∵a－c＝4cos α－2sin α＋12＝2cos(α＋φ)＋12>0，

∴a>c，∴b>a>c.故选C.

6．(2020·四川成都外国语学校月考)设P是△ABC所在平面内的一点，若·(＋)＝2·且||2＝||2－2·，则点P是△ABC的(　A　)

A．外心　 B．内心

C．重心　 D．垂心

[解析]　由·(＋)＝2·，得·(＋－2)＝0，即·[(－)＋(－)]＝0，

所以·(＋)＝0.设D为AB的中点，

则·2＝0，故·＝0.

因为||2＝||2－2·，

所以(＋)·(－)＝2·，

所以·(＋－2)＝0.

设BC的中点为E，同理可得·＝0，

所以P为AB与BC的垂直平分线的交点，

所以P是△ABC的外心．故选A．

7．对于复数z1，z2，若(z1－i)z2＝1，则称z1是z2的“错位共轭”复数，则复数－i的“错位共轭”复数为(　D　)

A．－－i　　 B．－＋i

C.＋i　　 D．＋i

[解析]　解法一：由(z－i)(－i)＝1，可得z－i＝＝＋i，所以z＝＋i.

解法二：(z－i)(－i)＝1且|－i|＝1，所以z－i和－i是共轭复数，即z－i＝＋i，故z＝＋i.故选D.

二、多选题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

8．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于(　AB　)

A．－　　 B．

C．0　　 D．2

[解析]　由a∥b知1×2－m2＝0，所以m＝±.故选A、B.

9．(2020·山东部分重点中学新高三起点考试)已知复数z＝(2＋i)(a＋2i3)在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值可以是(　CD　)

A．－2　　 B．－1

C．1　　 D．2

[解析]　复数z＝(2＋i)(a＋2i3)＝(2＋i)(a－2i)＝2a＋2＋(a－4)i，其在复平面内对应的点(2a＋2，a－4)在第四象限，则2a＋2>0，且a－4<0，解得－1<a<4，则实数a的取值范围是(－1,4)．故选C、D.

10．设向量a＝(k,2)，b＝(1，－1)，则下列叙述错误的是(　CD　)

A．若k<－2时，则a与b夹角为钝角

B．|a|的最小值为2

C．与b共线的单位向量只有一个为(，－)

D．若|a|＝2|b|，则k＝±2

[解析]　当k<－2时，a·b＝k－2<0，且a与b不共线，故A正确．|a|＝≥2，故B正确．与b共线的单位向量有两个分别为(，－)和(－，)，故C错．对于D，当|a|＝2|b|时，＝2，解得k＝±2，故D错，因此选C、D.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)

11．(2020·天津二十四中月考)已知向量p＝(2，－3)，q＝(x,6)，且p∥q，则|p＋q|的值为　　.

[解析]　∵p∥q，∴x＝－4，∴q＝(－4,6)，

∴p＋q＝(－2,3)，∴|p＋q|＝.

12．(2020·河南郑州一中摸底)复数z1＝3－bi，z2＝1－2i，i为虚数单位，若是实数，则实数b的值为__6__.

[解析]　由题意设＝a(a∈R)，则＝a，即3－bi＝a－2ai，解得a＝3，b＝6.

13．(2020·陕西西安二中测试)已知向量a在b方向上的投影为－1，向量b在a方向上的投影为－，且|b|＝1，则|a－b|＝　　.

[解析]　设向量a和b所成的角为θ，由题意得|a|cos θ＝－1，|b|cos θ＝－.∵|b|＝1，∴cos θ＝－，|a|＝2，∴|a－b|2＝7，∴|a－b|＝.

14．(2020·重庆一中月考)设非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|b|＝|a|，向量a，b的夹角为135°，则向量a，c的夹角为　90°　.

[解析]　通解：∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴a2＋b·a＝－a·c.∵|a|＝|b|且a，b的夹角为135°，∴a·b＝－|a|2，∴a·c＝0，∴a，c的夹角为90°.

优解一：如图所示，建立平面直角坐标系，设|a|＝|b|＝2，则a＝(2,0)，b＝(－，)，∵a＋b＋c＝0，∴c＝(0，－2)，∴a·c＝0，∴a，c的夹角为90°.

优解二：如图所示，∵|a|＝|b|且a，b的夹角为135°，∴(a＋b)⊥a，又a＋b＝－c，∴a，c的夹角为90°.

三、解答题(本大题共2个小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分15分)(2020·湖南怀化重点中学第三次联考)已知向量a＝(1,2)，b＝(cos α，sin α)，设m＝a＋tb(t∈R)．

(1)若α＝，求当|m|取最小值时实数t的值；

(2)若a⊥b，是否存在实数t，使得向量a－b与向量m的夹角为？若存在，求出实数t的值；若不存在，请说明理由．

[解析]　(1)当α＝时，b＝(，)，a·b＝(1,2)·(，)＝.

所以|m|＝＝＝＝，

所以当t＝－时，|m|取最小值．

(2)假设存在满足条件的实数t，则由条件得

cos ＝.

因为a⊥b，所以a·b＝0，所以(a－b)·(a＋tb)＝a2＋(t－1)a·b－tb2＝5－t，

|a－b|＝＝＝，

|a＋tb|＝＝＝，

所以＝，即t2＋5t－5＝0，且t<5，

解得t＝.

所以存在t＝满足题意．

16．(本小题满分15分)已知平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A(sin x,1)，B(cos x,0)，C(－sin x,2)，点P满足＝.

(1)求函数f(x)＝·的对称轴方程；

(2)若∥，求以线段OA，OB为邻边的平行四边形的对角线长．

[解析]　(1)∵＝＝(cos x－sin x，－1)，

＝(2sin x，－1)，

f(x)＝2sin x(cos x－sin x)＋1

＝sin 2x＋cos 2x

＝sin (2x＋)．

令2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，

∴函数f(x)＝·的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.

(2)设点P的坐标为(xP，yP)，则＝(xP－cos x，yP)，

∵＝，∴cos x－sin x＝xP－cos x，yP＝－1，

∴xP＝2cos x－sin x，yP＝－1，

∴点P的坐标为(2cos x－sin x，－1)．

∵＝(－sin x,2)且∥，

∴(－1)×(－sin x)＝2×(2cos x－sin x)，∴＝，

∵sin2x＋cos2x＝1，∴cos2x＝，

∴|＋|＝

＝

＝＝，

∴|－|＝

＝

＝＝，

故以，为邻边的平行四边形的对角线长分别为，.