（山东专用）2021版高考数学一轮复习考案2第二章函数、导数及其应用综合过关规范限时检测（含解析）

 [考案2]第二章　综合过关规范限时检测

(时间：120分钟　满分150分)

一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．函数f(x)＝＋的定义域为(　D　)

A．[0，＋∞]　　 B．(－∞，2]

C．[0,2]　　 D．[0,2)

[解析]　由可得0≤x<2.所以函数f(x)的定义域为[0,2)．故选D.

2．若f(x)是幂函数，且满足＝3.则f()＝(　C　)

A．3　 B．－3　 

C．　 D．－

[解析]　设f(x)＝xα，则＝＝＝2α＝3，所以f()＝()α＝＝.故选C.

3．(2020·河南南阳一中模拟)已知函数

f(x)＝则f[f()]＝(　A　)

A．－　 B．－1　 

C．－5　 D．

[解析]　由题意知f()＝log2，∴f[f()]＝2log2－2＝－.故选A．

4．当0<x<2时，下列大小关系正确的是(　C　)

A．x2<2x<log2x　　 B．2x<x2<log2x

C．log2x<x2<2x　　 D．log2x<2x<x2

[解析]　在同一坐标系中作出函数y＝x2，y＝2x，y＝log2x，x∈(0,2)的大致图象如图所示，由图象可得当x∈(0,2)时，大小关系是log2x<x2<2x.

另解：可取x＝1检验各项，仅C满足，故选C.

5．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是(　C　)

A．－2　 B．0

C．2　 D．4

[解析]　f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或2.所以f(x)在[－1,0)上是增函数，在(0,1]上是减函数．所以f(x)在区间[－1,1]上的最大值为f(0)＝2.故选C.

6．(2020·长沙模拟)等差数列{an}中的a1，a4 033是函数f(x)＝x3－4x2＋6x－1的极值点，则log2a2 017等于(　A　)

A．2　 B．3

C．4　 D．5

[解析]　f′(x)＝x2－8x＋6，因此a1，a4 033是方程x2－8x＋6＝0的两根，由韦达定理有a1＋a4 033＝8，所以2a2 017＝8，a2 017＝4，故log2a2 017＝log24＝2.故选A．

7．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是(　A　)

A．f(x)＝

B．f(x)＝

C．f(x)＝－1

D．f(x)＝x－

[解析]　选项B是非奇非偶函数，选项C是偶函数，选项D在(0，＋∞)上是增函数，故排除B、C、D.故选A．

8．(2020·河南漯河高中模拟)已知函数f(x)是R上的偶函数，且f(1－x)＝f(1＋x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)－log5x的零点个数是(　B　)

A．3　 B．4

C．5　 D．6

[解析]　由题意知f(1＋x)＝f(1－x)＝f(x－1)

∴f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为2的周期函数，在同一坐标系中作出y＝f(x)、y＝log5x的图象

由图可知y＝f(x)－log5x有四个零点．故选B.

二、多选题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9．(2020·山东宁津月考)下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(　BC　)

A．y＝x3　　 B．y＝ln

C．y＝2－|x|　　 D．y＝cos x

[解析]　对于A，函数是奇函数，不满足题意：对于B，因为ln ＝ln ，所以函数是偶函数，在区间(0，＋∞)上，y＝－ln x，函数单调递减，故满足题意；对于C，因为2－|－x|＝2－|x|，所以函数是偶函数，在区间(0，＋∞)上，y＝2－x，函数单调递减，故满足题意；对于D，函数是偶函数，在区间(0，＋∞)上，不是单调函数，故不满足题意．故选B、C.

10．(2020·海口模拟改编)函数f(x)＝＋ln 的零点所在的大致区间可以是(　BD　)

A．(1,2)　 B．(2,3)

C．(3,4)　 D．(1,5)

[解析]　易知函数f(x)＝＋ln ＝－ln(x－1)在(1，＋∞)上单调递减，f(2)＝1－ln 1＝1，f(3)＝－ln 2＝＝<0.所以f(x)的零点所在的大致区间是(2,3)．故选B、D.

11．(2020·安徽颍上一中模拟改编)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就探测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数可以是(　CD　)

A．8　 B．9

C．10　 D．11

[解析]　设死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n(n∈N)个“半衰期”后碳14的含量为()n，由()n<，解得n>9.97.又n∈N，所以n≥10.所以若探测不到碳14的含量，至少需要经过10个“半衰期”．故选C、D.

12．(2020·河南郑州第二次质量检测改编)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝，则函数y＝[f(x)]的值可以是(　BC　)

A．0　 B．1

C．2　 D．3

[解析]　f(x)＝＝＝1＋，又2x>0，∴∈(0,2)，∴1＋∈(1,3)，∴当∈(0,1)时，y＝[f(x)]＝1；当∈[1,2)时，y＝[f(x)]＝2.∴函数y＝[f(x)]的值域是{1,2}．故选B、C.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)

13．(2020·四川攀枝花模拟)若幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm在R上为增函数，则logm＋2lg 5＋lg 4＋mlogm＝__4__.

[解析]　由题意得，m2－5m＋7＝1，解得m＝2或m＝3.又f(x)在R上为增函数，∴f(x)＝x3，m＝3，∴logm＋2lg 5＋lg 4＋mlogm＝log33＋2lg 10＋3log3＝＋2＋＝4.

14．(2020·济宁模拟)若函数f(x)＝(a>0且a≠1)在R上单调递减，则实数a的取值范围是　[，1)　.

[解析]　由题意得解得≤a<1，即实数a的取值范围是[，1)．故填[，1)．

15．(2020·贵州适应性考试)阅读材料：

求函数y＝ex的导函数．

解：∵y＝ex，∴x＝ln y，∴(x)′＝(ln y)′，

∴1＝·y′，∴y′＝y＝ex.

借助上述思路，曲线y＝(2x－1)x＋1，x∈(，＋∞)在点(1,1)处的切线方程为__4x－y－3＝0__.

[解析]　根据题中材料将函数y＝(2x－1)x＋1转化为ln y＝ln(2x－1)x＋1＝(x＋1)ln(2x－1)，两边同时求导数，得×y′＝ln(2x－1)＋(x＋1)××2＝ln(2x－1)＋，∴y′＝[ln(2x－1)＋]·(2x－1)x＋1，∴y′|x＝1＝{[ln(2x－1)＋]·(2x－1)x＋1}|x＝1＝4，∴切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.

16．(2020·山东泰安期中)已知f(x)是R上的偶函数且f(x)＝若关于x的方程f 2(x)－af(x)＝0有三个不相等的实数根，则a的取值范围是　(0,1]∪[，2]　.

[解析]　作出函数f(x)的图象如图所示．

由f 2(x)－af(x)＝0可得f(x)＝0或f(x)＝a.由图象可得f(x)＝0有唯一解．∵关于x的方程f 2(x)－af(x)＝0有三个不相等的实数根，∴方程f(x)＝a有两个不相等的实数根，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝a的图象有两个交点，结合图象可得0<a≤1或≤a≤2，∴实数a的取值范围是(0,1]∪[，2]．

四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)f(x)＝()ax2－4x＋3，a∈R.

(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)有最大值3，求a的值．

[解析]　(1)当a＝－1时，f(x)＝()－x2－4x＋3，

令t＝－x2－4x＋3，

由于函数t＝－x2－4x＋3在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，

而y＝()t在R上单调递减，

所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，

即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．

(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝()g(x)，

由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1.因此必有解得a＝1，

即当f(x)有最大值3时，a的值为1.

18．(本小题满分12分)已知定义在R的函数f(x)＝ex－e－x，其中e是自然对数的底数．

(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)若关于x的不等式f(m－2)＋f(cos2x＋4sin x)<0在R上恒成立，求实数m的取值范围．

[解析]　(1)∀x∈R，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，

所以f(x)为R上的奇函数．

(2)由题意知f(x)＝ex－e－x是R上的增函数，

f(m－2)<－f(cos2x＋4sin x)＝f(－cos2x－4sin x)，

则m<2－cos2x－4sin x＝sin2x－4sin x＋1＝(sin x－2)2－3，

因为sin x∈[－1,1]，则当sin x＝1时，g(x)＝sin2x－4sinx＋1取最小值－2，所以m<－2.

即实数m的取值范围是(－∞，－2)．

19．(本小题满分12分)(2020·江西七校联考)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．

(1)求f(50)的值；

(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？

[解析]　(1)若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，

所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5.

(2)由题知，f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120＝－x＋4＋250，依题意得，解得20≤x≤180，故f(x)＝－x＋4x＋250(20≤x≤180)．

令t＝，则t2＝x，t∈[2，6]，y＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282，

当t＝8，即x＝128时，y取得最大值282，

所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元．

20．(本小题满分12分)设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．

(1)确定a的值；

(2)求函数f(x)的单调区间与极值．

[解析]　(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，

所以f′(x)＝2a(x－5)＋.

令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，

所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，

由点(0,6)在切线上，可得6－16a＝8a－6，故a＝.

(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x>0)，

f′(x)＝x－5＋＝.

令f′(x)＝0，解得x＝2或3.

当0<x<2或x>3时，f′(x)>0，

故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；

当2<x<3时，f′(x)<0，故f(x)在(2,3)上为减函数．

由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.

综上，f(x)的单调递增区间为(0,2)，(3，＋∞)，单调递减区间为(2,3)，f(x)的极大值为＋6ln 2，极小值为2＋6ln 3.

21．(本小题满分12分)(2020·广东汕头质检)已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x>0)．

(1)若y＝g(x)－m有零点，求实数m的取值范围；

(2)确定实数m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．

[解析]　(1)解法一：因为g(x)＝x＋≥2＝2e，当且仅当x＝e时等号成立，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，y＝g(x)－m就有零点．所以实数m的取值范围为[2e，＋∞)．

解法二：由g′(x)＝1－＝，可作出y＝g(x)的大致图象(如图1)．

可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e.

即实数m的取值范围是[2e，＋∞)．

(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出y＝g(x)的大致图象(如图2)．

因为f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，

其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.

如图所示，故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．所以实数m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．

22．(本小题满分12分)(2020·河北鸡泽一中期中)已知函数f(x)＝lnx＋.

(1)求f(x)的最小值；

(2)若方程f(x)＝a有两个根x1，x2(x1<x2)，证明：x1＋x2>2.

[解析]　(1)f′(x)＝－＝，(x>0)

所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

故f(x)的最小值为f(1)＝1.

(2)若方程f(x)＝a有两个根x1，x2(0<x1<x2)，

则lnx1＋＝lnx2＋，即＝ln>0.

要证x1＋x2>2，需证(x1＋x2)·>2ln，

即证－>2ln，

设＝t(t>1)，则－>2ln等价于t－>2lnt.

令g(t)＝t－－2lnt，则g′(t)＝1＋－＝(1－)2>0，

所以g(t)在(1，＋∞)上单调递增，g(t)>g(1)＝0，即t－>2lnt，故x1＋x2>2.