（浙江专用）2021届高考数学一轮复习专题三函数的概念、性质与基本初等函数3.2函数的基本性质试题（含解析）

§3.2　函数的基本性质

基础篇固本夯基

【基础集训】

考点一　函数的单调性及最值

1.下列说法中正确的个数是(　　)

①若对任意x1,x2∈I,当x1<x2时,>0,则y=f(x)在I上是增函数;

②函数y=x2在R上是增函数;

③函数y=-在定义域上是增函数;

④函数y=的单调区间是(-∞,0)∪(0,+∞).

A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.3

答案　B

2.下列函数在(0,2)上是单调递增函数的是(　　)

A.y=　　　　　B.y=lo(2-x)

C.y=　　　　　D.y=

答案　B

3.函数y=lo(-x2+x+6)的单调增区间为(　　)

A.　　　　　B.

C.(-2,3)　　　　　D.

答案　A

4.已知函数f(x)为R上的增函数,若f(a2-a)>f(a+3),则实数a的取值范围为　　　　　　　　　. 

答案　(-∞,-1)∪(3,+∞)

考点二　函数的奇偶性

5.函数f(x)=x|x|+px,x∈R,则f(x)(　　)

A.是偶函数                                                                  B.是奇函数

C.既不是奇函数又不是偶函数                                  D.奇偶性与p有关

答案　B

6.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=3x-7x+2b(b为常数),则f(-2)=(　　)

A.6　　　B.-6　　　C.4　　　D.-4

答案　A

7.已知奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围为(　　)

A.{x|0<x<1或x>2}　　　　　B.{x|x<0或x>2}

C.{x|x<0或x>3}　　　　　D.{x|x<-1或x>1}

答案　A

考点三　函数的周期性

8.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,并且满足f(x+2)=-,当2≤x≤3时, f(x)=x,则f(105.5)=(　　)

A.-2.5　　　B.2.5　　　C.5.5　　　D.-5.5

答案　B

9.奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(-1)=-1,则f(2 018)+f(2 019)=(　　)

A.-2　　　B.-1　　　C.0　　　D.1

答案　B

10.设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时, f(x)=log2(x+1),则函数f(x)在[1,2]上的解析式是　　　　　　　. 

答案　f(x)=log2(3-x)

综合篇知能转换

【综合集训】

考法一　判断函数单调性的方法

1.已知函数f(x)满足:①对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,都有 >0;②对定义域内的任意x,都有f(x)=f(-x),则符合上述条件的函数是(　　)

A.f(x)=x2+|x|+1　　　　　B.f(x)=-x

C.f(x)=ln|x+1|　　　　　D.f(x)=cos x

答案　A

2.已知函数f(x)=loga(-x2-2x+3)(a>0且a≠1),若f(0)<0,则此函数的单调递增区间是(　　)

A.(-∞,-1]　　　B.[-1,+∞)　　　C.[-1,1)　　　D.(-3,-1]

答案　C

考法二　函数单调性的应用

3.(2018辽宁部分重点中学协作体模拟,10)已知函数f(x)=,若a=f,b=f(ln 2),c=f,则有(　　)

A.c>b>a　　　　　B.b>a>c

C.c>a>b　　　　　D.b>c>a

答案　D

4.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)<f的x的取值范围是(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

答案　A

5.是否存在实数a,使函数f(x)=loga(ax2-x)在闭区间[2,4]上是增函数?如果存在,说明a可取哪些值;如果不存在,请说明理由.

解析　设g(x)=ax2-x,假设符合条件的a值存在.

当a>1时,为使函数f(x)=loga(ax2-a)在闭区间[2,4]上是增函数,只需g(x)=ax2-x在[2,4]上是增函数,故应满足解得a>.又a>1,∴a>1.

当0<a<1时,为使函数f(x)=loga(ax2-x)在闭区间[2,4]上是增函数,只需g(x)=ax2-x在[2,4]上是减函数,故应满足无解.综上可知,当a∈(1,+∞)时, f(x)=loga(ax2-x)在[2,4]上为增函数.

考法三　函数奇偶性的判断及应用

6.(2018湖北荆州一模,3)下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是(　　)

A.y=ex　　　B.y=tan x　　　C.y=x3-x　　　D.y=ln

答案　D

7.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=(　　)

A.-3　　　B.-1　　　C.1　　　D.3

答案　C

8.已知f(x)=,g(x)=|x-2|,则下列结论正确的是(　　)

A.h(x)=f(x)+g(x)是偶函数

B.h(x)=f(x)·g(x)是奇函数

C.h(x)=是偶函数

D.h(x)=是奇函数

答案　D

9.(2018广东惠州第一次调研考试,10)已知定义域为R的偶函数f(x)在(-∞,0]上是减函数,且f(1)=2,则不等式f(log2x)>2的解集为(　　)

A.(2,+∞)　　　　　         B.∪(2,+∞)

C.∪(,+∞)　　　　　D.(,+∞)

答案　B

考法四　函数周期性的确定及应用

10.定义在R上的奇函数f(x)满足: f(x+1)=f(x-1),且当-1<x<0时, f(x)=2x-1,则f(log220)等于　(　　)

A.　　　B.-　　　C.-　　　D.

答案　D

11.已知函数的定义域为R,且满足下列三个条件:

①对任意的x1,x2∈[4,8],当x1<x2时,都有>0;

②f(x+4)=-f(x);

③y=f(x+4)是偶函数;

若a=f(6),b=f(11),c=f(2 017),则a,b,c的大小关系正确的是(　　)

A.a<b<c　　　B.b<a<c　　　C.a<c<b　　　D.c<b<a

答案　B

12.(2019河南信阳重点高中联考,10)已知函数y=f(x)为定义域R上的奇函数,且在R上是单调递增函数,函数g(x)=f(x-5)+x,数列{an}为等差数列,且公差不为0,若g(a1)+g(a2)+…+g(a9)=45,则a1+a2+…+a9=(　　)

A.45　　　B.15　　　C.10　　　D.0

答案　A

13.已知偶函数f(x)的定义域为R,若f(x-1)为奇函数,且f(2)=3,则f(5)+f(6)的值为(　　)

A.-3　　　B.-2　　　C.2　　　D.3

答案　D

考法五　函数值域的求解方法

14.函数y=,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是(　　)

A.(1,2)　　　　　B.(-1,2)　　　C.[1,2)　　　　　D.[-1,2)

答案　D

15.(2018河南郑州一模,11)若函数y=在{x|1≤|x|≤4,x∈R}上的最大值为M,最小值为m,则M-m=(　　)

A.　　　B.2　　　C.　　　D.

答案　A

【五年高考】

考点一　函数的单调性及最值

1.(2019课标Ⅲ,11,5分)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则(　　)

A. f >f()>f()

B. f >f()>f()

C. f()>f()>f

D. f()>f()>f

答案　C

2.(2017课标Ⅰ,5,5分)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是(　　)

A.[-2,2]　　　B.[-1,1]　　　C.[0,4]　　　D.[1,3]

答案　D

3.(2017北京,5,5分)已知函数f(x)=3x-,则f(x)(　　)

A.是奇函数,且在R上是增函数

B.是偶函数,且在R上是增函数

C.是奇函数,且在R上是减函数

D.是偶函数,且在R上是减函数

答案　A

4.(2019北京,13,5分)设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=　　　　;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是　　　　. 

答案　-1;(-∞,0]

5.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是　　　　. 

答案　

考点二　函数的奇偶性

6.(2015课标Ⅰ,13,5分)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a=　　　　. 

答案　1

考点三　函数的周期性

7.(2018课标Ⅱ,11,5分)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=　(　　)

A.-50　　　B.0　　　C.2　　　D.50

答案　C

8.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时, f(-x)=-f(x);当x>时, f=f.则f(6)=(　　)

A.-2　　　B.-1　　　C.0　　　D.2

答案　D

9.(2016四川,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时, f(x)=4x,则f + f(1)=　　. 

答案　-2

教师专用题组

考点一　函数的单调性及最值

1.(2014北京,2,5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是(　　)

A.y=　　　　　B.y=(x-1)2

C.y=2-x　　　　　D.y=log0.5(x+1)

答案　A

2.(2014天津,4,5分)函数f(x)=lo(x2-4)的单调递增区间为(　　)

A.(0,+∞)　　　　　B.(-∞,0)　　　

C.(2,+∞)　　　　　D.(-∞,-2)

答案　D

3.(2014课标Ⅱ,15,5分)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是　　　　. 

答案　(-1,3)

考点二　函数的奇偶性

4.(2014课标Ⅰ,3,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是(　　)

A.f(x)g(x)是偶函数　　　　　B.|f(x)|g(x)是奇函数

C.f(x)|g(x)|是奇函数　　　　　D.|f(x)g(x)|是奇函数

答案　C

5.(2014湖北,10,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若∀x∈R, f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为(　　)

A.　　　　　B.　　　

C.　　　　　D.

答案　B

6.(2013山东,3,5分)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x)=x2+,则f(-1)=(　　)

A.-2　　　B.0　　　C.1　　　D.2

答案　A

7.(2011课标,9,5分)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时, f(x)=2x(1-x),则f-=(　　)

A.-　　　B.-　　　C.　　　D.

答案　A

考点三　函数的周期性

8.(2014安徽,6,5分)设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin x.当0≤x<π时, f(x)=0,则f=(　　)

A.　　　B.　　　C.0　　　D.-

答案　A

【三年模拟】

一、单项选择题(每题5分,共55分)

1.(2019届山东单县五中9月月考,8)若函数y=f(x)在R上单调递增,且f(m2+1)>f(-m+1),则实数m的取值范围是(　　)

A.(-∞,-1)　　　　　B.(0,+∞)

C.(-1,0)　　　　　D.(-∞,-1)∪(0,+∞)

答案　D

2.(2019福建三明模拟,7)已知函数f(x)=(a>0且a≠1)在R上单调递减,则a的取值范围是(　　)

A.　　　　　B.

C.　　　　　D.

答案　C

3.(2020届四川绵阳南山中学9月月考,6)已知函数f(x)、g(x)分别是定义在实数集R上的奇函数和偶函数且满足f(x)-g(x)=ex,则有(　　)

A.f(2)<f(3)<g(0)　　　　　B.g(0)<f(3)<f(2)

C.f(2)<g(0)<f(3)　　　　　D.g(0)<f(2)<f(3)

答案　D

4.(2019届山东师范大学附中二模,10)函数f(x)是R上的偶函数,且f(x+1)=-f(x),若f(x)在[-1,0]上单调递减,则函数f(x)在[3,5]上是(　　)

A.增函数　　　　　        B.减函数

C.先增后减的函数　　　　　D.先减后增的函数

答案　D

5.(2018河南郑州一模,10)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2e)=-f(x)(其中e=2.718 2…),且在区间[e,2e]上是减函数,令a=,b=,c=,则f(a), f(b), f(c)的大小关系(用不等号连接)为(　　)

A.f(b)>f(a)>f(c)　　　　　B.f(b)>f(c)>f(a)

C.f(a)>f(b)>f(c)　　　　　D.f(a)>f(c)>f(b)

答案　A

6.(2020届山西平遥中学第一次月考,6)已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x), f(x+1)=f(1-x),且当x∈[0,1]时, f(x)=log2(x+1),则f(31)=(　　)

A.0　　　B.1　　　C.-1　　　D.3

答案　C

7.(2018广东佛山一模,7)已知f(x)=2x+为奇函数,g(x)=bx-log2(4x+1)为偶函数,则f(ab)=(　　)

A.　　　B.　　　C.-　　　D.-

答案　D

8.(2020届吉林白城通榆一中第一次月考,6)函数y=2-的值域是(　　)

A.[-2,2]　　　B.[1,2]　　　C.[0,2]　　　D.[-,]

答案　C

9.(2018河南洛阳第一次统考,3)若函数同时满足下列两个条件,则称该函数为“优美函数”:

(1)∀x∈R,都有f(-x)+f(x)=0;

(2)∀x1,x2∈R,且x1≠x2,都有<0.

①f(x)=sin x;②f(x)=-2x3;③f(x)=1-x;④f(x)=ln(+x),以上四个函数中,“优美函数”的个数是(　　)

A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.3

答案　B

10.(2019山西长治二模,7)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1时, f(x)=-(x+2)2,当-1≤x<3时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 019)=(　　)

A.336　　　B.337　　　C.338　　　D.339

答案　C

11.(2019福建厦门模拟,7)已知函数f(x)=ln+x,且f(a)+f(a+1)>0,则a的取值范围为(　　)

A.　　　　　B.

C.　　　　　D.

答案　B

二、多项选择题(每题5分,共20分)

12.(改编题)已知定义域为R的函数f(x)在(2,+∞)上为增函数,且函数y=f(x+2)为偶函数,则下列结论成立的是(　　)

A.f(0)>f(1)　　　　　B.f(0)>f(2)                         C.f(1)>f(3)　　　　　D.f(1)>f(2)

答案　ABD

13.(2020届山东夏季高考模拟,12)函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,则(　　)

A. f(x)为奇函数　　　　　B. f(x)为周期函数

C. f(x+3)为奇函数　　　　　D. f(x+4)为偶函数

答案　ABC

14.(改编题)已知f(x)=不等式f(x+a)>f(2a-x)在[a,a+1]上恒成立,则(　　)

A.f(x)在R上单调递减　　　　　B.a<-2

C.a≤-2　　　　　D.f(x)无最大,最小值

答案　ABD

15.(改编题)已知f(x)是定义在R的偶函数,且f(x+4)=f(x-2),若x∈[-3,0]时, f(x)=6-x,则(　　)

A.f(x)是周期为6的周期函数

B.f(919)=6

C.f(x)是周期为8的周期函数

D.f(1)=

答案　AB

三、填空题(每题5分,共15分)

16.(2020届河南南阳一中第一次月考,13)函数f(x)=-的最小值为　　　　. 

答案　-1

17.(2019天津和平期末,13)已知函数f(x)=,若f(a)=-4,则f(-a)的值为　　　　. 

答案　4

18.(2019届北京师范大学附中期中,14)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=x2-2ax+a,其中a∈R.

①f=　　　　; 

②若f(x)的值域是R,则a的取值范围是　　　　　　. 

答案　①-　②(-∞,0]∪[1,+∞)

四、解答题(共15分)

19.(原创题)给出关于函数f(x)的一些限制条件: ①在(0,+∞)上单调递减;②在(-∞,0)上单调递增;③是奇函数; ④是偶函数;⑤f(0)=0.在这些条件中,选择必需的条件,补充在下面问题中,并解决这个问题.

定义在R上的函数f(x),　　　　(填写你选定条件的序号),且f(-1)=0. 求不等式f(x-1)>0的解集. 

解析　由题意易知条件①和②只能选择一个,否则可能产生矛盾;条件③和④最好也只选择一个,否则f(x)变成恒等于0的常数函数,失去研究价值.

如果选择条件①、③. 由f(x)是定义在R上的奇函数,得f(0)=0,且f(x)的图象在坐标原点两侧的单调性一致. 且f(1)=-f(-1)=0, 又f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以,当0<x<1或x<-1时,f(x)>0,当x≥1或-1≤x≤0时,f(x)≤0;易知f(x-1)>0⇔0<x-1<1或x-1<-1,即1<x<2或x<0.

故不等式f(x-1)>0的解集为x∈(-∞,0)∪(1,2).

如果选择条件①、④、⑤. 因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,注意到f(-1)=0,所以f(x-1)>0⇔f(x-1)>f(-1)⇔f(|x-1|)>f(|-1|)⇔|x-1|<1⇔0<x<2,

但x-1≠0,所以不等式f(x-1)>0的解集为x∈(0,1)∪(1,2).

选择其他条件组合的解法类似.

如果同时选择条件③、④. 易知f(x)=0恒成立,不等式f(x-1)>0的解集为空集.

命制说明　开放式问题,选择并不唯一,让学生综合运用自己所学知识去探究、发现,合理选择,淘汰不必要的条件,构建一个方便解决的问题.条件③,④中,二选一是常规的(本题不能不选,否则f(1)的值不能确定),①,②也一样,但条件⑤不同,并不是多余条件.选择的条件不同,问题的难度有变化,如选择奇函数,则只需两个条件,但解答相对复杂一点;选择偶函数,则需要选择条件⑤,而解答却更简单.可以考查学生对数学元素的敏感性.

20.(2020届山西太原五中9月阶段性检测(理),17)定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23,且对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).

(1)求证: f(x)为奇函数;

(2)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围.

解析　(1)证明:在f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R)中,

令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0.

令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,

则有0=f(x)+f(-x).

则f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立,

所以f(x)是奇函数.

(2)f(3)=log23>0,即f(3)>f(0),

又f(x)在R上是单调函数,

所以f(x)在R上是增函数,又由(1)知f(x)是奇函数,

所以f(k·3x)<-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2),

所以k·3x<-3x+9x+2,即32x-(1+k)·3x+2>0对任意x∈R恒成立.

令t=3x,则t>0,等价于t2-(1+k)t+2>0,

令f(t)=t2-(1+k)t+2,其图象的对称轴为直线x=.

对任意t>0, f(t)>0恒成立.

当<0,即k<-1时, f(0)=2>0,符合题意;

当≥0,即k≥-1时,对任意t>0, f(t)>0恒成立满足(1+k)2-4×2<0,解得-1≤k<-1+2.

综上所述,当k<-1+2时, f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0对任意x∈R恒成立.