（浙江专用）2021届高考数学一轮复习专题三函数的概念、性质与基本初等函数3.4指数与指数函数试题（含解析）

§3.4　指数与指数函数

基础篇固本夯基

【基础集训】

考点　指数与指数函数

1.设a>0,将表示成分数指数幂的形式,其结果是(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

答案　C

2.函数y=的值域为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.(0,2]

答案　D

3.设函数f(x)=x2-a与g(x)=ax(a>1且a≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,则M=(a-1)0.2与N=的大小关系是(　　)

A.M=N　　　B.M≤N　　　C.M<N　　　D.M>N

答案　D

4.[(0.06)-2.5--π0=　　　　. 

答案　0

5.若“m>a”是“函数f(x)=+m-的图象不过第三象限”的必要不充分条件,则实数a能取的最大整数为　　　　. 

答案　-1

综合篇知能转换

【综合集训】

考法一　指数式的大小比较

1.(2018黑龙江七台河月考,5)已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则(　　)

A.a>b>c　　　B.a>c>b　　　C.c>a>b　　　D.b>c>a

答案　A

2.(2018浙江杭州第二中学高三仿真考)已知0<a<b<1,则(　　)

A.(1-a>(1-a)b　　　　　B.(1-a)b>(1-a

C.(1+a)a>(1+b)b　　　　　D.(1-a)a>(1-b)b

答案　D

3.(2018福建厦门一模,5)已知a=,b=lo0.3,c=ab,则a,b,c的大小关系是(　　)

A.a<b<c　　　　　B.c<a<b

C.a<c<b　　　　　D.b<c<a

答案　B

考法二　指数(型)函数的图象和性质

4.(2018湖南永州第三次模拟,4)下列函数中,与函数y=2x-2-x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是(　　)

A.y=sin x　　　B.y=x3　　　C.y=　　　D.y=log2x

答案　B

5.(2019山东潍坊模拟,7)已知函数f(x)=x-4+,x∈(0,4),当x=a时, f(x)取得最小值b,则函数g(x)=a|x+b|的图象为(　　)

答案　A

6.已知函数f(x)=|2x-1|,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是　(　　)

A.a<0,b<0,c<0 　　　　　B.a<0,b≥0,c>0

C.2-a<2c 　　　　　D.2a+2c<2

答案　D

7.(2019届黑龙江哈尔滨三中第一次调研,6)函数f(x)=的单调增区间是(　　)

A.(-∞,2]　　　　　B.[0,2]

C.[2,4]　　　　　D.[2,+∞)

答案　B

8.已知函数f(x)=2x-.

(1)若f(x)=2,求x的值;

(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.

解析　(1)当x≤0时, f(x)=0,当x>0时, f(x)=2x-,

由题意可得,2x-=2,即22x-2×2x-1=0,解得2x=1±,

∵2x>0,∴2x=1+,∴x=log2(1+).

(2)当t∈[1,2]时,2t+m≥0,即m(22t-1)≥-(24t-1).∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1).∵t∈[1,2],

∴-(1+22t)∈[-17,-5],故m的取值范围是[-5,+∞).

【五年高考】

考点　指数与指数函数

1.(2019课标Ⅰ,3,5分)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则(　　)

A.a<b<c　　　B.a<c<b　　　C.c<a<b　　　D.b<c<a

答案　B

2.(2017课标Ⅰ,11,5分)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则(　　)

A.2x<3y<5z　　　B.5z<2x<3y　　　C.3y<5z<2x　　　D.3y<2x<5z

答案　D

3.(2016课标Ⅲ,6,5分)已知a=,b=,c=2,则(　　)

A.b<a<c　　　　　B.a<b<c

C.b<c<a　　　　　D.c<a<b

答案　A

4.(2015天津,7,5分)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为(　　)

A.a<b<c　　　B.a<c<b　　　C.c<a<b　　　D.c<b<a

答案　C

5.(2019课标Ⅱ,14,5分)已知f(x)是奇函数,且当x<0时, f(x)=-eax.若f(ln 2)=8,则a=　　　　. 

答案　-3

6.(2018上海,11,5分)已知常数a>0,函数f(x)=的图象经过点P、Q.若2p+q=36pq,则a=　　　　. 

答案　6

7.(2015山东,14,5分)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=　　　　. 

答案　-

教师专用题组

考点　指数与指数函数

　(2015江苏,7,5分)不等式<4的解集为　　　　. 

答案　{x|-1<x<2}

【三年模拟】

一、单项选择题(每题5分,共45分)

1.(2020届河南南阳一中第一次月考,1)已知集合A={x∈N|-2<x<4},B=,则A∩B=(　　)

A.{x|-1≤x≤2}　　　　　B.{-1,0,1,2}

C.{1,2}　　　　　D.{0,1,2}

答案　D

2.(2019届四川绵阳高中高三第一次诊断性考试,10)若a=,b=,c=5e-2,则(　　)

A.a>b>c　　　　　B.a>c>b

C.b>c>a　　　　　D.b>a>c

答案　D

3.(2020届广东揭阳三中第一次月考,6)函数f(x)=的单调递减区间为(　　)

A.(-∞,+∞)　　　B.[-3,3]　　　C.(-∞,3]　　　D.[3,+∞)

答案　D

4.(2020届陕西咸阳三原南郊中学第一次月考,10)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,且[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如: [-2.1]=-3,[3.1]=3,已知函数f(x)=-,则函数y=[f(x)]的值域是(　　)

A.{0,1}　　　B.{-1,1}　　　C.{-1,0}　　　D.{-1,0,1}

答案　D

5.(2019届湖北、山东部分重点中学高三第一次联考,7)已知函数y=4x-3·2x+3,若其值域为[1,7],则x可能的取值范围是(　　)

A.[2,4]　　　　　B.(-∞,0]

C.(0,1]∪[2,4]　　　　　D.(-∞,0]∪[1,2]

答案　D

6.(2020届黑龙江大庆第一中学第一次月考,11)设函数f(x)=若互不相等的实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(c),则2a+2b+2c的取值范围是(　　)

A.(16,32)　　　B.(18,34)　　　C.(17,35)　　　D.(6,7)

答案　B

7.(2018安徽合肥第二次教学质量检测,6)已知函数f(x)=是奇函数,则f(a)的值等于(　　)

A.-　　　B.3　　　C.-或3　　　D.或3

答案　C

8.(2020届陕西咸阳三原南郊中学第一次月考,8)函数y=ax-b(a>0,且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则ab的取值范围是(　　)

A.(1,+∞)　　　B.(0,+∞)　　　C.(0,1)　　　D.无法确定

答案　C

9.(2019届安徽定远重点中学上学期第一次月考,10)已知函数y=f(x)与y=F(x)的图象关于y轴对称,当函数y=f(x)和y=F(x)在区间[a,b]同时递增或同时递减时,把区间[a,b]叫做函数y=f(x)的“不动区间”.若区间[1,2]为函数f(x)=|2x-t|的“不动区间”,则实数t的取值范围是(　　)

A.(0,2]　　　　　B.

C.　　　　　D.∪[4,+∞)

答案　C

二、多项选择题(共5分)

10.(改编题)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论不正确的是(　　)

A.a>1,b<0　　　　　B.a>1,b>0

C.0<a<1,b>0　　　　　D.0<a<1,b<0

答案　ABC

三、填空题(共5分)

11.(2018湖南益阳4月调研,13)已知函数f(x)=(a∈R)的图象关于点对称,则a=　　　　. 

答案　1

四、解答题(共25分)

12.(2020届河南南阳一中第一次月考,20)函数f(x)=3x,x∈[-1,1],g(x)=[f(x)]2-2af(x)+3.

(1)当a=0时,求函数g(x)的值域;

(2)若函数g(x)的最小值为h(a),求h(a)的表达式;

(3)是否存在实数m,n同时满足下列条件:①m>n>3;②当h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n2,m2]?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.

解析　(1)因为f(x)=3x,x∈[-1,1],所以g(x)=32x-2a·3x+3, f(x)∈.设t=3x,t∈,则φ(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2,其图象的对称轴为直线x=a.当a=0时,φ(t)=t2+3,t∈,所以φ(t)∈.

(2)因为函数φ(t)的图象的对称轴为直线x=a,

当a<时,h(a)=φ=-;

当≤a≤3时,h(a)=φ(a)=3-a2;

当a>3时,h(a)=φ(3)=12-6a.

故h(a)=

(3)假设存在满足题意的m,n.因为m>n>3,

所以h(a)=12-6a,所以函数h(a)在(3,+∞)上是减函数,

又因为h(a)的定义域为[n,m],值域为[n2,m2],

所以两式相减得6(m-n)=(m-n)·(m+n),

又因为m>n>3,所以m-n≠0,所以m+n=6,与m>n>3矛盾,所以满足题意的m,n不存在.

13.(2019届山西太原高三阶段性考试,19)已知函数f(x)=x,其中a>0,且a≠1.

(1)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;

(2)若关于x的不等式f(x)≤|x|在[-1,1]上恒成立,求实数a的取值范围.

解析　(1)函数f(x)是偶函数.证明如下:易知f(x)的定义域为R,关于原点对称.f(-x)=-x=x,∴f(x)-f(-x)=x-x

=x=0,∴f(-x)=f(x),即f(x)是偶函数.

(2)由(1)知f(x)是R上的偶函数,则不等式f(x)≤|x|在[-1,1]上恒成立,等价于f(x)≤x在[0,1]上恒成立,

显然,当x=0时,上述不等式恒成立;

当x≠0时,上述不等式可转化为-≤,

∴ax≥在[0,1]上恒成立,∴≤a<1或a>1,

∴实数a的取值范围是∪(1,+∞).