（浙江专用）2021届高考数学一轮复习专题三函数的概念、性质与基本初等函数3.3二次函数与幂函数试题（含解析）

§3.3　二次函数与幂函数

基础篇固本夯基

【基础集训】

考点一　二次函数的图象与性质

1.若二次函数y=kx2-4x+2在区间[1,2]上是单调递增函数,则实数k的取值范围为(　　)

A.[2,+∞)　　　　　B.(2,+∞)

C.(-∞,0)　　　　　D.(-∞,2)

答案　A

2.已知abc>0,则二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是(　　)

答案　D

考点二　幂函数

3.函数y=的图象大致是(　　)

答案　C

4.函数f(x)=(m2-m-1)·是幂函数,且在x∈(0,+∞)上是减函数,则实数m的值为(　　)

A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5

答案　A

5.已知幂函数f(x)的图象过点(2,),则f(4)的值为　　　　. 

答案　2

综合篇知能转换

【综合集训】

考法一　求二次函数在闭区间上的最值(值域)

1.二次函数f(x)满足f(x+2)=f(-x+2), f(0)=3, f(2)=1,若在[0,m]上有最大值3,最小值1,则m的取值范围是(　　)

A.(0,+∞)　　　B.[2,+∞)　　　C.(0,2]　　　D.[2,4]

答案　D

2.已知函数f(t)=log2(2-t)+的定义域为D.

(1)求D;

(2)若函数g(x)=x2+2mx-m2在D上存在最小值2,求实数m的值.

解析　(1)由题意知解得1≤t<2,故D=[1,2).

(2)g(x)=x2+2mx-m2=(x+m)2-2m2,此二次函数图象的对称轴为直线x=-m.

①当-m≥2,即m≤-2时,g(x)在[1,2)上单调递减,不存在最小值;

②当1<-m<2,即-2<m<-1时,g(x)在[1,-m)上单调递减,在(-m,2)上单调递增,此时g(x)min=g(-m)=-2m2≠2,m值不存在;

③当-m≤1,即m≥-1时,g(x)在[1,2)上单调递增,

此时g(x)min=g(1)=1+2m-m2=2,解得m=1.综上,m=1.

考法二　一元二次方程根的分布

3.已知一元二次方程x2+mx+3=0(m∈Z)有两个实数根x1,x2,且0<x1<2<x2<4,则m的值为(　　)

A.-4　　　B.-5　　　C.-6　　　D.-7

答案　A

4.方程x2+ax-2=0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围为(　　)

A.　　　　　B.(1,+∞)

C.　　　　　D.

答案　C

5.已知方程x2+2(a+2)x+a2-1=0.

(1)当该方程有两个负根时,求实数a的取值范围;

(2)当该方程有一个正根和一个负根时,求实数a的取值范围.

解析　由题意知,Δ=4(a+2)2-4(a2-1)=16a+20.

(1)∵方程x2+2(a+2)x+a2-1=0有两个负根,

∴解得

即a>1或-≤a<-1.

∴实数a的取值范围是∪(1,+∞).

(2)∵方程x2+2(a+2)x+a2-1=0有一个正根和一个负根,

∴f(0)=a2-1<0,解得-1<a<1,

∴实数a的取值范围是(-1,1).

考法三　幂函数的图象及性质的应用

6.已知a=0.40.3,b=0.30.4,c=0.3-0.2,则(　　)

A.b<a<c　　　　　B.b<c<a　　　

C.c<b<a　　　　　D.a<b<c

答案　A

7.若幂函数y=x-1,y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则m与n的取值情况为(　　)

A.-1<m<0<n<1　　　　　B.-1<n<0<m　　　

C.-1<m<0<n　　　　　D.-1<n<0<m<1

答案　D

8.已知点在幂函数f(x)=(a-1)xb的图象上,则函数f(x)是(　　)

A.奇函数　　　　　B.偶函数

C.定义域内的减函数　　　　　D.定义域内的增函数

答案　A

9.幂函数y=xα,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图),设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xa,y=xb的图象三等分,即有BM=MN=NA,那么a-=(　　)

A.0　　　B.1　　　C.　　　D.2

答案　A

【五年高考】

考点一　二次函数的图象与性质

1.(2017浙江,5,4分)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m(　　)

A.与a有关,且与b有关

B.与a有关,但与b无关

C.与a无关,且与b无关

D.与a无关,但与b有关

答案　B

2.(2015四川,9,5分)如果函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间上单调递减,那么mn的最大值为(　　)

A.16　　　B.18　　　C.25　　　D.

答案　B

3.(2019浙江,16,4分)已知a∈R,函数f(x)=ax3-x.若存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤,则实数a的最大值是　　　　. 

答案　

考点二　幂函数

4.(2018上海,7,5分)已知α∈.若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=　　　　. 

答案　-1

教师专用题组

考点一　二次函数的图象与性质

1.(2015陕西,12,5分)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是(　　)

A.-1是f(x)的零点　　　　　B.1是f(x)的极值点

C.3是f(x)的极值　　　　　D.点(2,8)在曲线y=f(x)上

答案　A

2.(2013重庆,3,5分)(-6≤a≤3)的最大值为(　　)

A.9　　　B.　　　C.3　　　D.

答案　B

3.(2014辽宁,16,5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,-+的最小值为　　　　. 

答案　-2

4.(2015浙江,18,15分)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值.

(1)证明:当|a|≥2时,M(a,b)≥2;

(2)当a,b满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值.

解析　(1)证明:由f(x)=+b-,得图象的对称轴为直线x=-.由|a|≥2,得≥1,故f(x)在[-1,1]上单调,所以M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|}.

当a≥2时,由f(1)-f(-1)=2a≥4,

得max{f(1),-f(-1)}≥2,即M(a,b)≥2.

当a≤-2时,由f(-1)-f(1)=-2a≥4,

得max{f(-1),-f(1)}≥2,即M(a,b)≥2.

综上,当|a|≥2时,M(a,b)≥2.

(2)由M(a,b)≤2得|1+a+b|=|f(1)|≤2,|1-a+b|=|f(-1)|≤2,故|a+b|≤3,|a-b|≤3,

由|a|+|b|=得|a|+|b|≤3.

当a=2,b=-1时,|a|+|b|=3, |f(x)|=|x2+2x-1|,此时易知|f(x)|在[-1,1]上的最大值为2,即M(2,-1)=2.

所以|a|+|b|的最大值为3.

考点二　幂函数

5.(2014浙江,7,5分)在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图象可能是(　　)

答案　D

6.(2014上海,9,4分)若f(x)=-,则满足f(x)<0的x的取值范围是　　　　. 

答案　(0,1)

【三年模拟】

一、单项选择题(每题5分,共35分)

1.(2020届河南南阳一中第一次月考,9)已知点(m,9)在幂函数f(x)=(m-2)xn的图象上,设a=f(),b=f,c=f,则a,b,c的大小关系为(　　)

A.a<c<b　　　B.b<c<a　　　C.c<a<b　　　D.b<a<c

答案　A

2.(2020届宁夏青铜峡高级中学第一次月考,7)若函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a的取值范围是(　　)

A.　　　　　B.

C.　　　　　D.

答案　D

3.(2019届辽宁部分重点高中联考,8)函数y=1-|x-x2|的图象大致是(　　)

答案　C

4.(2019广东珠海模拟,6)已知函数y=x2-4x+5在闭区间[0,m]上有最大值5,最小值1,则m的取值范围是(　　)

A.[0,1]　　　B.[1,2]　　　C.[0,2]　　　D.[2,4]

答案　D

5.(2020届广东揭阳三中第一次月考,7)如图的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象.已知n分别取±2,±四个值,与曲线C1,C2,C3,C4相应的n依次为(　　)

A.2,,-,-2　　　　　B.2,,-2,-

C.-,-2,2,　　　　　D.-2,-,,2

答案　A

6.(2018山东德州期中,8)已知f(x)=ax2+(b-a)x+c-b(其中a>b>c且a≠0),若a+b+c=0,x1、x2为f(x)的两个零点,则|x1-x2|的取值范围为(　　)

A.　　　　　B.(2,2)

C.(1,2)　　　　　D.(1,2)

答案　A

7.(2019届安徽定远重点中学第一次月考,12)已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值(　　)

A.恒大于0　　　B.恒小于0　　　C.等于　　　D.无法判断

答案　A

二、多项选择题(每题5分,共15分)

8.(改编题)已知点在幂函数f(x)的图象上,则f(x)是(　　)

A.奇函数

B.偶函数

C.定义域内每个区间内的单调减函数

D.定义域内每个区间内的单调增函数

答案　AC

9.(改编题)已知二次函数f(x)=x2-bx+c满足f(0)=3,对任意x∈R都有f(1+x)=f(1-x)成立,则(　　)

A.函数f(x)的图象关于直线x=1对称

B.c=3

C.b=2

D.f(x)=x2-2x+3

答案　ABCD

10.(改编题)幂函数y=f(x)的图象经过点(3,),则(　　)

A.f(x)是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数

B.f(x)是非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数

C.f(x)=

D.f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是减函数

答案　BC

三、填空题(每题5分,共15分)

11.(2019届湖南邵阳10月大联考,15)若对任意的x∈[a,a+2],均有(3x+a)3≤8x3,则a的取值范围是　　　　. 

答案　(-∞,-1]

12.(2020届广东揭阳三中第一次月考,14)已知幂函数y=f(x)的图象过点,则log2 f(2)的值为　　　　. 

答案　

13.(2020届上海复兴高级中学期中,12)对于问题:当x>0时,均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,求实数 a的所有可能值.几位同学提供了自己的想法.

甲:解含参不等式,其解集包含正实数集;

乙:研究函数y=[(a-1)x-1](x2-ax-1);

丙:分别研究两个函数y1=(a-1)x-1与y2=x2-ax-1;

丁:尝试能否参变量分离研究最值问题.

你可以选择其中的想法,也可以用自己的想法,可以得出正确的答案为　　　　. 

答案　

四、解答题(共25分)

14.(2020届山西平遥中学第一次月考,18)已知二次函数f(x)满足f(x)=f(-4-x), f(0)=3,若x1,x2是f(x)的两个零点,且|x1-x2|=2.

(1)求f(x)的解析式;

(2)若x>0,求g(x)=的最大值.

解析　(1)∵二次函数满足f(x)=f(-4-x),

∴f(x)图象的对称轴为x=-2,

∵x1,x2是f(x)的两个零点,且|x1-x2|=2,

∴或

设f(x)=a(x+3)(x+1)(a≠0).

由f(0)=3a=3得a=1,∴f(x)=x2+4x+3.

(2)由(1)得g(x)===,

∵x>0,∴≤=1-.

当且仅当x=,即x=时等号成立.

∴g(x)的最大值是1-.

15.(2019甘肃甘谷第一中学第一次检测,20)已知函数g(x)=x2-(m-1)x+m-7.

(1)若函数g(x)在[2,4]上具有单调性,求实数m的取值范围;

(2)若在区间[-1,1]上,函数y=g(x)的图象恒在y=2x-9的图象上方,求实数m的取值范围.

解析　(1)g(x)图象的对称轴为x=,因为函数g(x)在[2,4]上具有单调性,所以有≤2或≥4,所以实数m的取值范围是m≤5或m≥9.

(2)因为在区间[-1,1]上,函数y=g(x)的图象恒在y=2x-9的图象上方,

则x2-(m-1)x+m-7>2x-9在[-1,1]上恒成立,

即x2-(m+1)x+m+2>0在[-1,1]上恒成立,

令f(x)=x2-(m+1)x+m+2,x∈[-1,1],则f(x)min>0,

当≤-1,即m≤-3时, f(x)min=f(-1)=2m+4>0,

解得m>-2,无解;

当-1<<1,即-3<m<1时, f(x)min=f=-+m+>0,此时1-2<m<1;

当≥1,即m≥1时, f(x)min=f(1)=2>0,此时m≥1.

综上,实数m的取值范围是m>1-2.

思路分析　(1)求出函数图象的对称轴,根据二次函数的单调性求出m的范围即可;

(2)问题转化为x2-(m+1)x+m+2>0对任意x∈[-1,1]恒成立,令f(x)=x2-(m+1)x+m+2,求出函数图象的对称轴,通过讨论对称轴的范围,求出m的范围即可.