（浙江专用）2021届高考数学一轮复习专题三函数的概念、性质与基本初等函数3.8函数模型及函数的综合应用试题（含解析）

§3.8　函数模型及函数的综合应用

基础篇固本夯基

【基础集训】

考点　函数模型及函数的综合应用

1.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　)

A.　　　　　B.

C.　　　　　D.-1

答案　D

2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时, f(x)=x2.令g(x)=f(x)-kx-k,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=0有4个不相等实根,则实数k的取值范围是(　　)

A.(0,+∞)　　　B.　　　C.　　　D.

答案　C

3.函数y=|log3x|的图象与直线l1:y=m从左至右分别交于点A,B,与直线l2:y=(m>0)从左至右分别交于点C,D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b,则的最小值为(　　)

A.81　　　B.27　　　C.9　　　D.3

答案　B

4.某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线.

当t∈(0,14]时,曲线是二次函数图象的一部分,当t∈(14,40]时,曲线是函数y=loga(t-5)+83(a>0且a≠1)图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳.

(1)试求p=f(t)的函数关系式;

(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳?请说明理由.

解析　(1)当t∈(0,14]时,设p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0),将点(14,81)代入得c=-,

所以当t∈(0,14]时,p=f(t)=-(t-12)2+82.

当t∈[14,40]时,将点(14,81)代入y=loga(t-5)+83,

得a=,所以p=f(t)=

(2)当t∈(0,14]时,-(t-12)2+82≥80,

解得12-2≤t≤12+2,所以t∈[12-2,14].

当t∈(14,40]时,lo(t-5)+83≥80,解得5<t≤32,所以t∈(14,32],综上,t∈[12-2,32],即老师在t∈[12-2,32]时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳.

综合篇知能转换

【综合集训】

考法一　解函数应用题的方法步骤

1.(2019河南郑州模拟,7)某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表:

注:累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程,累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量,平均耗电量=,剩余续航里程=

下面对该车在两次记录时间段内行驶100千米的耗电量估计正确的是(　　)

A.等于12.5　　　　　B.在12.5到12.6之间

C.等于12.6　　　　　D.大于12.6

答案　D

2.(2018福建三明期末,14)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-Ta=(T0-Ta)·,其中Ta称为环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降到40 ℃需要20分钟,那么此杯咖啡从40 ℃降到32 ℃时,还需要　　　　分钟. 

答案　10

3.(2020届河南南阳一中第一次月考,22)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)万元,当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x;当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+-1 450.每件商品的售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部销售完.

(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;

(2)年产量为多少千件时,该厂在这一产品的生产中所获利润最大,最大利润是多少?

解析　(1)∵每件商品的售价为0.05万元,

∴x千件商品的销售额为0.05×1 000x万元,

①当0<x<80时,根据年利润=销售收入-成本,

得L(x)=0.05×1 000x-x2-10x-250=-x2+40x-250;

②当x≥80时,根据年利润=销售收入-成本,

得L(x)=0.05×1 000x-51x-+1 450-250=1 200-.

综①②可得,L(x)=

(2)当0<x<80时,

L(x)=-x2+40x-250=-(x-60)2+950,

∴当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950;

当x≥80时,L(x)=1 200-≤1 200-200=1 000,当且仅当x=,即x=100时,L(x)取得最大值L(100)=1 000.

由于950<1 000,∴年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大,为1 000万元.

考法二　函数的综合应用

4.(2019福建漳州模拟,16)中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美,如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.给出定义:能够将圆的周长和面积同时平分的图象对应的函数称为这个圆的“优美函数”,给出下列命题:

①对于任意一个圆O,其“优美函数”有无数个;

②函数f(x)=ln(x2+)可以是某个圆的“优美函数”;

③函数y=1+sin x可以同时是无数个圆的“优美函数”;

④函数y=2x+1可以同时是无数个圆的“优美函数”;

⑤函数y=f(x)是“优美函数”的充要条件为函数y=f(x)的图象是中心对称图形.

其中正确的命题是　　　　. 

答案　①③④

5.(2018陕西西安中学期中,16)已知函数f(x)=(a是常数且a>0),给出下列命题:

①函数f(x)的最小值是-1;

②函数f(x)在R上是单调函数;

③若f(x)>0在上恒成立,则a的取值范围是a>1;

④对任意的x1<0,x2<0且x1≠x2,恒有f<.

其中正确命题的序号是　　　　. 

答案　①③④

【五年高考】

考点　函数模型及函数的综合应用

1.(2019课标Ⅱ,4,5分)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:

+=(R+r).

设α=.由于α的值很小,因此在近似计算中≈3α3,则r的近似值为(　　)

A.R　　　B.R　　　C.R　　　D.R

答案　D

2.(2019课标Ⅱ,12,5分)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时, f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值范围是(　　)

A.　　　　　B.

C.　　　　　D.

答案　B

3.(2017山东,15,5分)若函数exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为　　　　. 

①f(x)=2-x　②f(x)=3-x　③f(x)=x3　④f(x)=x2+2

答案　①④

4.(2017浙江,17,4分)已知a∈R,函数f(x)=+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是　　　　. 

答案　

教师专用题组

考点　函数模型及函数的综合应用

1.(2014辽宁,12,5分)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足:

①f(0)=f(1)=0;

②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)-f(y)|<|x-y|.

若对所有x,y∈[0,1],|f(x)-f(y)|<k恒成立,则k的最小值为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

答案　B

2.(2015江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型.

(1)求a,b的值;

(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.

①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;

②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.

解析　(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y=,得解得

(2)①由(1)知,y=(5≤x≤20),则点P的坐标为,

设在点P处的切线l交x轴,y轴分别于A,B点,易知y'=-,

则l的方程为y-=-(x-t),由此得A,B.

故f(t)==,t∈[5,20].

②设g(t)=t2+,

则g'(t)=2t-.

令g'(t)=0,解得t=10.

当t∈(5,10)时,g'(t)<0,g(t)是减函数;

当t∈(10,20)时,g'(t)>0,g(t)是增函数,

从而,当t=10时,函数g(t)有极小值,也是最小值,

所以g(t)min=300,则f(t)min=15.

答:当t=10时,公路l的长度最短,最短长度为15千米.

3.(2016浙江,18,15分)已知a≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2},其中min{p,q}=

(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;

(2)(i)求F(x)的最小值m(a);

(ii)求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).

解析　(1)由于a≥3,故

当x≤1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0,

当x>1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).

所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为[2,2a].

(2)(i)设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则

f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,

所以,由F(x)的定义知m(a)=min{f(1),g(a)},即

m(a)=

(ii)当0≤x≤2时,F(x)≤f(x)≤max{f(0), f(2)}=2=F(2),

当2≤x≤6时,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}.

所以,M(a)=

4.(2016江苏,19,16分)已知函数f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).

(1)设a=2,b=.

①求方程f(x)=2的根;

②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;

(2)若0<a<1,b>1,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.

解析　(1)因为a=2,b=,所以f(x)=2x+2-x.

①方程f(x)=2即2x+2-x=2,亦即(2x)2-2×2x+1=0,

所以(2x-1)2=0,于是2x=1,解得x=0.

②由条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x))2-2.

因为f(2x)≥mf(x)-6对于x∈R恒成立,且f(x)>0,

所以m≤对于x∈R恒成立.

而=f(x)+≥2=4,且=4,

所以m≤4,故实数m的最大值为4.

(2)因为函数g(x)=f(x)-2只有1个零点,而g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0,所以0是函数g(x)的唯一零点.

因为g'(x)=axln a+bxln b,又由0<a<1,b>1知ln a<0,ln b>0,

所以g'(x)=0有唯一解x0=lo.

令h(x)=g'(x),

则h'(x)=(axln a+bxln b)'=ax(ln a)2+bx(ln b)2,

从而对任意x∈R,h'(x)>0,

所以g'(x)=h(x)是(-∞,+∞)上的单调增函数.

于是当x∈(-∞,x0)时,g'(x)<g'(x0)=0;

当x∈(x0,+∞)时,g'(x)>g'(x0)=0.

因而函数g(x)在(-∞,x0)上是单调减函数,在(x0,+∞)上是单调增函数.

下证x0=0.

若x0<0,

则x0<<0,于是g<g(0)=0.

又g(loga2)=+-2>-2=0,

且函数g(x)在以和loga2为端点的闭区间上的图象不间断,

所以在和loga2之间存在g(x)的零点,记为x1.

因为0<a<1,

所以loga2<0.

又<0,

所以x1<0,与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾.

若x0>0,同理可得,在和logb2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾.

因此,x0=0.

于是-=1,

故ln a+ln b=0,所以ab=1.

【三年模拟】

一、单项选择题(每题5分,共40分)

1.(2019湖北荆门模拟,8)复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1 000元,存入银行,年利率为2.25%,若购买某理财产品,年利率可达4.01%.假设5年内各年利率保持不变,则将这1 000元用于购买理财产品比存入银行可以多获利息(　　)

(参考数据:1.022 54=1.093,1.022 55=1.118,1.040 15=1.217)

A.176元　　　B.99元　　　C.77元　　　D.88元

答案　B

2.(2018江西吉安八所重点中学4月联考,12)定义在实数集R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=x,则下列四个命题:

①f(2 018)=0;②函数f(x)的最小正周期为2;

③当x∈[-2 018,2 018]时,方程f(x)=有2 018个根;

④方程f(x)=log5|x|有5个根.

其中真命题的个数为(　　)

A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4

答案　C

3.(2020届海南中学第一次月考,8)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是(　　)

A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米

B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多

C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油

D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油

答案　D

4.(2020届黑龙江大庆一中第一次月考,6)《九章算术》中有一题:今有牛、马、羊食人苗.苗主责之粟五斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何.其意思是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿五斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”若按此比例偿还,牛、马、羊的主人各应赔偿多少?设牛、马、羊的主人分别应偿还x斗、y斗、z斗,则下列判断正确的是(　　)

A.y2=xz且x=　　　　　B.y2=xz且x=

C.2y=x+z且x=　　　　　D.2y=x+z且x=

答案　B

5.(2018宁夏银川月考,5)国家规定个人稿费纳税条件为:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税;超过4 000元的按全稿酬的11%纳税.若某人共纳税420元,则这个人的稿费为(　　)

A.3 000元　　　B.3 800元　　　C.3 818元　　　D.5 600元

答案　B

6.(2018山西大同模拟,6)将进货单价为80元的商品按90元一个出售时,能卖出400个,已知这种商品每涨价1元,其销售量就要减少20个,为了赚得最大利润,每个售价应定为(　　)

A.85元　　　B.90元　　　C.95元　　　D.100元

答案　C

7.(2018福建三明联考,6)用清水洗衣服,每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超过1%,则至少要洗的次数是(参考数据:lg 2≈0.301)(　　)

A.3　　　B.4　　　C.5　　　D.6

答案　B

8.(2019福建八校一模,12)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有三个不同的零点x1,x2,x3,且x1<x2<x3,则的取值范围为(　　)

A.(0,1]　　　B.(0,1)　　　C.(1,+∞)　　　D.[1,+∞)

答案　C

二、多项选择题(每题5分,共15分)

9.(改编题)在某种金属材料的耐高温实验中,温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示,给出下列说法,其中正确的是(　　)

A.前5 min温度增加的速度越来越快

B.前5 min温度增加的速度越来越慢

C.5 min以后温度保持匀速增加

D.5 min以后温度保持不变

答案　BC

10.(改编题)有一组实验数据如下表所示:

则下列所给函数模型较不适合的是(　　)

A.y=logax(a>1)　　　　　B.y=ax+b(a>1)

C.y=ax2+b(a>0)　　　　　D.y=logax+b(a>1)

答案　ABD

11.(改编题)某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费,乙厂直接按印刷数量收取印刷费,甲厂的总费用y1(千元),乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图象分别如图中甲、乙所示,则(　　)

A.甲厂的制版费为1千元,印刷费平均每个为0.5元

B.甲厂的总费用y1与印制证书数量x之间的函数关系式为y1=0.5x+1

C.当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为1.5元

D.当印制证书数量超过2千个时,乙厂的总费用y2与印制证书数量x之间的函数关系式为y2=x+

E.若该单位需印制证书数量为8千个,则该单位选择甲厂更节省费用

答案　ABCD

三、填空题(共5分)

12.(2019届吉林高三第一次调研测试,16)某工厂投资100万元开发新产品,第一年获利10万元,从第二年开始每年获利比上一年增加20%,从第n年开始,前n年获利总和超过投入的100万元,则n=　　　　.(参考数据:lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1) 

答案　7

四、解答题(共25分)

13.(2020届南京学情调研,17)随着城市地铁建设的持续推进,市民的出行越来越便利.根据大数据统计,某条地铁线路运行时,发车时间间隔t(单位:分钟)满足:4≤t≤15,t∈N,平均每趟地铁的载客人数p(t)(单位:人)与发车时间间隔t近似地满足下列函数关系:

p(t)=其中t∈N.

(1)若平均每趟地铁的载客人数不超过1 500人,试求发车时间间隔t的值;

(2)若平均每趟地铁每分钟的净收益为Q=-100(单位:元),问当发车时间间隔t为多少时,平均每趟地铁每分钟的净收益最大?并求出最大净收益.

解析　(1)当9≤t≤15时,1 800>1 500,不满足题意,舍去.

当4≤t<9时,1 800-15(9-t)2≤1 500,即t2-18t+61≥0,

解得t≥9+2(舍)或t≤9-2,∵4≤t<9,t∈N,∴t=4.

(2)由题意可得Q=

当4≤t<9时,Q≤-2+1 520=260(元)(t=7时取等号),当9≤t≤15时,Q≤-100=220(元)(t=9时取等号).

∵260>220,∴当发车时间间隔t=7时,平均每趟地铁每分钟的净收益最大,最大净收益为260元.

14.(2019届山东寿光现代中学10月月考,19)近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元,根据行业规定,每个城市至少要投资80万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P(单位:万元)与投入a(单位:万元)满足P=4-6,乙城市收益Q(单位:万元)与投入a(单位:万元)满足Q=设甲城市的投入为x(单位:万元),两个城市的总收益为f(x)(单位:万元).

(1)当投资甲城市128万元时,求此时公司总收益;

(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使公司总收益最大?

解析　(1)当x=128时,此时甲城市投资128万元,乙城市投资112万元,

所以总收益f(128)=4-6+×112+2=88(万元).

答:此时公司总收益为88万元.

(2)设甲城市投资x万元,则乙城市投资(240-x)万元,

依题意得解得80≤x≤160,

当80≤x<120,120<240-x≤160时,

f(x)=4-6+32=4+26<26+16;

当120≤x≤160,80≤240-x≤120时,

f(x)=4-6+(240-x)+2=-x+4+56,

令t=,则t∈[2,4],

所以y=-t2+4t+56=-(t-8)2+88,

当t=8,即x=128时,y的值最大,为88.

因为88-(26+16)=2(31-8)>0,故f(x)的最大值为88万元.

答:当甲城市投资128万元,乙城市投资112万元时,总收益最大,且最大总收益为88万元.

应用篇知行合一

【应用集训】

1.(2020届福建永安一中、漳平一中第一次联考,8)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m分钟甲桶中的水只有升,则m的值为(　　)

A.5　　　B.8　　　C.9　　　D.10

答案　A

2.(2020届江西新余四中月考,11)中国古代近似计算方法源远流长,早在8世纪,我国著名数学家张遂为编制《大衍历》发明了一种二次不等距插值算法.若函数y=f(x)在x=x1,x=x2,x=x3(x1<x2<x3)处的函数值分别为y1=f(x1),y2=f(x2),y3=f(x3),则在区间[x1,x3]上f(x)可以用二次函数来近似代替,f(x)=y1+k1(x-x1)+k2(x-x1)(x-x2),其中k1=,k=,k2=.若令x1=0,x2=,x3=π,请依据上述算法,估算sin 的值是(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

答案　C

创新篇守正出奇

创新集训

1.(2020届安徽示范高中9月联考,7)在《九章算术》方田章圆田术(刘徽注)中指出:“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程.比如在中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值x,这可以通过方程=x确定出来x=2,类比上述结论可得log2(2+log2(2+log2(2+…)))的正值为(　　)

A.1　　　B.　　　C.2　　　D.4

答案　C

2.(2020届重庆万州二中第一次月考,8)中华文化博大精深.我国古代对年龄的表述可谓是名目繁多,比如“二八年华”指女子16岁.乾隆曾出上联“花甲重逢,外加三七岁月”,纪晓岚对下联“古稀双庆,更多一度春秋”,暗指一位老人的年龄.根据类比思想和文化常识,这位老人的年龄为(　　)

A.71岁　　　B.81岁　　　C.131岁　　　D.141岁

答案　D

3.(命题标准样题,19)给出一个满足以下条件的函数f(x),并证明你的结论.

①f(x)的定义域是R,且其图象是一条连续不断的曲线;

②f(x)是偶函数;

③f(x)在(0,+∞)上不是单调函数;

④f(x)恰有2个零点.

解析　试题考查函数图象、函数的单调性、偶函数的概念与性质、函数零点的概念等数学知识,考查了函数的研究方法,数形结合的思想.试题采用开放式设计,答案不唯一.试题体现了理性思维和数学探究的学科素养,考查了逻辑推理能力、运算求解能力、创新能力,落实了基础性、综合性、创新性的考查要求.

可取f(x)=|x2-1|.

①f(x)的定义域是R,且其图象是一条连续不断的曲线.

②因为f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.

③当0<x<1时, f(x)=1-x2, f(x)是减函数;当x>1时, f(x)=x2-1, f(x)是增函数,所以f(x)在(0,+∞)上不是单调函数.

④f(x)=0恰有两个根x1=-1,x2=1,因此f(x)恰有2个零点.