


初一数学上册秋季班培优讲义 第8讲 方程中的设元 学生版
展开
多大酒量?
内容 类型 | 题中涉及的数量及公式 | 等量关系 | 注意事项 | |
和、差问题 |
| 由题可知 | 弄清“倍数”及“多、少”等数量关系 | |
行程 问题 | 相遇问题 | 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 | 快者+慢者=原来的距离 | 注意始发时间和地点 |
追及问题 | 快者-慢者=原来的距离 | |||
调配问题 |
| 调配后的数量关系 | 流动的方向和数量 | |
比例分配问题 |
| 全部数量=各种成分的数量之和 | 把一份设为 | |
工程问题 | 工作量=工作效率×工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 工作效率=工作量÷工作时间 | 每个工作量的和=工作总量 | 工作总量没有的情况下,可设为1 | |
利润问题 | 利润率=利润÷进价×100% 利润=(售价-进价)×量 | 利用公式或利润与利润的关系 | 打几折就是百分之几十出售 | |
行船问题 | 顺水速度=静水速度+水速 逆水速度=静水速度-水速 |
|
|
⑴ 打折,就是商品以原价为基础,按一定的比例降价出售,如一件衣服原价元,若以折销售,则实际售价为元,打折销售实际上是利润率问题.
⑵ 打折销售问题中几个基本量及其之间的关系:销售问题中的基本量有,进价元,售价元,利润元,利润率,这些量之间的关系为:,,等,根据这些公式列出等量关系,就可以解决此类问题.
⑶ 商品打折,是按指定价的销售,而不是把定价减少销售,另要注意,打折后用参与计算,而不是用参与计算.
【例1】 ⑴ 某商品的价格标签已丢失,售货员只知道“它的进价为元,打七折售出后,仍可获利
”.你认为售货员应标在标签上的价格为 元.
⑵ 五一期间,百货大楼推出全场打八折的优惠活动,持贵宾卡可在八折基础上继续打折,小明妈妈持贵宾卡买了标价为元的商品,共节省元,则用贵宾卡又享受了 折优惠.
【备选】已知:某商人经营甲、乙两种商品,每件甲种商品的利润率为,每件乙种商品的利润率为.当售出的乙种商品的件数比售出的甲种商品的件数多时,这个商人得到的总利润率为.那么,当每件甲种商品的进价为元,求每件乙种商品的进价为多少元? 提示:
【拓展1】某商店销售一种运动衣,每套的进价为元,按进价的标价,再打八折销售;
(1)用含的代数式表示销售一套这种运动衣的利润
(2)当这种运动衣每套的进价为元时,销售一套可获得利润多少元?
(3)如果销售一套这种运动衣获利元,这种运动衣每套的进价是多少元?
【拓展2】某种商品的进价是每件1000元,标价是每件1500元,
(1)商店要求以利润不低于5%的售价打折出售,售货员最低可以打几折售出此商品?
(2)为了在十一黄金周获取更多利润,老板决定写上“大酬宾,8折优惠”进行广告促销,为了使利润仍不低于5%,最低需多少元标价?
工程问题中涉及的基本量有:工作总量,工作效率,工作时间.他们之间的关系为:全部工作量=各部分工作量之和=1;工作量=工作效率工作时间,所以一般来说,工作效率是工作时间的倒数,如果某人完成某项任务需要h,那么他的工作效率为.
行程问题基本公式:路程速度时间
总路程平均速度总时间;
行程问题的基本类型:相遇追及、火车问题、流水行船等.
相遇追及问题:相遇路程 =甲走的路程+乙走的路程=甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间
=(甲的速度+乙的速度)×相遇时间
=速度和×相遇时间.
追及路程 =甲走的路程乙走的路程=甲的速度×追及时间乙的速度×追及时间
=(甲的速度乙的速度)×追及时间
=速度差×追及时间.
流水行船问题:顺水速度=船速+水速;逆水速度=船速水速.
船速=(顺水速度+逆水速度)÷2;
水速=(顺水速度逆水速度)÷2.
【引例】 某项工作,甲单独干需用小时完成,乙单独干需要小时完成,若甲先单独干小时,乙又单独干小时,剩下的工作两人合作,再用几小时可以完成全部任务?
【例2】 ⑴ 某船顺水航行小时,逆水航行小时,已知轮船在静水中的速度为千米/时,水流速度
为千米/时,轮船共航行 千米.
(北京西城期末)
⑵ 一个邮递员骑自行车要在规定时间内把特快专递送到某单位.他如果每小时行千米,
可以早到分钟,如果每小时行千米,就要迟到分钟,问规定的时间是多少小时?他去的单位有多远?
(北京崇文期末)
⑶ 一个人先沿水平道路前进千米,继而沿千米长的山坡爬到了山顶,之后又沿原路返回到出发点,全程共用了小时,已知此人在水平路上每小时走千米,上山每小时走千米,下山每小时走千米,则此人所走的全程是 千米.
(北京西城期末)
【拓展】在某学校的“小红帽周”中,初一三班全体同学老师组队进行野外拓展,前往目的地的路上,队伍以1.4米/秒的速度前行,队尾班长因事要通知领队的班主任,于是以2.6米/秒的速度从队尾赶到队头并立即返回队尾,共用了10分50秒.问:队伍有多长?
储蓄问题与我们日常生活密切相关,在这类问题中有本金、利息、利率、本息和、存款期限等基本量,顾客存入银行的钱称为本金,银行付给顾客的酬金称为利息,存入的时间称为期数,每个期数后利息与本金的比称为利率,通常用百分数表示.
储蓄问题中基本量之间的关系.
利息=本金利率期数
利率=
我国从1999年11月1起开始对储蓄存款利息征收个人所得税,即征收存款所产生利息的%,但教育储蓄和购买国库券不需缴纳利息税.
【例3】 ⑴妈妈用10000元钱为小彬存了6年期的教育储蓄,6年后能取得11728元,这种储蓄的年利率为 .
⑵某银行设有年利率为的助学贷款(助学贷款利息的由国家财政补贴),预计年后
大学生小王能一次性偿还万元,问小王现在可向银行贷款多少万元?(精确到万元)
在日历同月份中,左右相邻的两个数字相差,上下相邻的两个数字相差7.
【例4】 如图所示是2013年6月的日历表.
星期六 | 星期日 | 星期一 | 星期二 | 星期三 | 星期四 | 星期五 |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |
29 | 30 |
|
|
|
|
|
请回答下列问题:
⑴ 若一竖列的三个数的和为,这三个数分别是多少?若和为,能求出这三天是几号
吗?为什么?
⑵ 若的矩形块的四个数的和为,求出这四个数.
⑶ 如果是的矩形块,九个数的和是,你能说出这九个数吗?你能发现九个数的和与中间的数的关系吗?为什么?
很多应用题通过图形或表格来表达题意,同时也有很多题目可以通过画图或列表来找出题中的等量关系.解决这类题的关键是仔细观察,然后结合信息灵活地进行联系、探索、发现和综合处理,结合相应的数学知识和模型加以解决.
【引例】 如图所示的两架天平保持平衡,且每块巧克力的质量相等,每个果冻的质量也相等,则一块巧克力的质量是 .
【例5】 ⑴ 2004年4月我国铁路第5次大提速,假设K120次空调快速列车的平均速度提速后比提速前提高了44km/h,提速前的列车时刻表如下所示:
行驶区间 | 车次 | 起始时刻 | 到站时刻 | 历时 | 全程里程 |
A地~B地 | K120 | 2:00 | 6:00 | 4h | 264km |
请你根据题目提供的信息填写提速后的列车时刻表,并写出计算过程.
行驶区间 | 车次 | 起始时刻 | 到站时刻 | 历时 | 全程里程 |
A地~B地 | K120 | 2:00 |
|
| 264km |
⑵ 某工厂计划招聘、两个工种的工人共人,、两个工种的工人月工资分别为元和元.若某工厂每月支付的工人工资为元,那么、两个工种的工人各招聘多少人?设招聘工种的工人人.根据题意完成下列表格,并列方程求解.
项目
工种 | 工人每月工资(元) | 招聘人数 | 工厂应付 工人的月工资(元) |
|
|
| |
|
|
|
面积问题,通常会给出图形,观察图形找到等量关系,列出方程,进行求解.
【引例】 如图,是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图,由个不同颜色的正方形组成,已知中间最小的一个正方形的边长为,求这个长方形色块图的面积.
【例6】 如图,在长方形中放置个形状、大小都相同的小长方形,试根据图中所给数据求出阴影部分面积的和.
(北京西城期末)
【拓展1】(第4届希望杯)如图,十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形(其中有三个小正方形的边长已标出字母).试求满足上述条件的矩形的面积的最小值.
【拓展2】图中的三角形都是等边三角形,三角形的边长是,三角形的边长是.问:所夹三角形的边长是多少?
表示一个多位数,它可以表示为:
数字型应用题的常见解题思路是抓住数字间或新数、原数间的关系列方程,多以间接设元求解为宜.解题时要注意区分数字与数之间的区别.
【引例】 一个两位数,十位数字与个位数字的和是.这个两位数除以十位数字与个位数字的差,
所得的商是,余数是.求这个两位数.
【例7】 一个六位数的倍等于,求这个六位数.
对于方案选择问题,通常根据具体情况,列出方程,进行求解,最后进行最优方案的选择.
【例8】 某商场计划拨款千元从厂家购进台随身听,已知该厂家生产三种不同型号的随身
听,出厂价和商场的销售利润如下表:(单位:元/台)
型号 | 甲 | 乙 | 丙 |
出厂价 | |||
销售利润 |
⑴ 若商场用千元同时购进两种不同型号的随身听台,请你研究一下商场的进货方案;
⑵ 在同时购进两种不同型号随身听的进货方案中,为使销售利润最多,选择哪种进货方案?
【备选题】
【备选1】调配问题:油桶制造厂的某车间主要负责生产制造油桶用的的圆形铁片和长 方形铁片,该车间有工人42人,每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片或者长方形铁片80片.如图,一个油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片相配套. 生产圆形铁片和长方形铁片的工人各为多少人时,才能使生产的铁片恰好配套?
【备选2】配套问题:一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成,已知1立方米木料可以制作方桌面50个或制作桌腿300条,现有5立方米木料,请你设计一下,用多少木料做桌面,多少木料做桌腿才能使桌面与桌腿恰好配套?配套成功的方桌是多少张?
【备选3】图形问题:有一种用来画圆的工具板(如图所示),工具板长21cm,上面依次排列着大小不等的五个圆(孔),其中最大圆的直径为3cm,其余圆的直径从左到右依次递减0.2cm.最大圆的左侧距工具板左侧边缘1.5cm,最小圆的右侧距工具板右侧边缘1.5cm,相邻两圆的间距d均相等.
(1)直接写出其余四个圆的直径长;
(2)求相邻两圆的间距.
【备选4】行程问题:、两地相距31千米,甲从地骑自行车去地,1小时后乙骑摩托车也从 地去地.已知甲每小时12千米,乙每小时行28千米,(1)问乙出发后多少小时追上甲;(2)若乙到达地后立即返回,则在返回路上与甲相遇时距乙出发多长时间?
【备选5】某车站在检票前若干分钟就开始排队,排队的人数按一定的速度增加.如果开放一个检票口,则要分钟检票口前的队伍才消失;如果同时开放两个检票口,则分钟队伍就消失.设检票的速度是一定的,问同时开放三个检票口,队伍要几分钟就消失?
【备选6】某学校在援助边远山区学校活动中,原计划赠书3000册,由于学生的积极响应,实际赠书3780册,其中初中部比原计划多赠了30%,高中部比原计划多赠了20%,问该校初、高中部原计划各赠书多少册?
(北京丰台期末)
【备选7】方案问题:某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机,已知该厂家生产3种不同型号的电视机,出厂价分别为种每台1500元,种每台2100元,种每台2500元.
(1)若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台,用去9万元,请你研究一下商场的进货方案.
(2)若商场销售一台种电视机可获利150元,销售一台种电视机可获利200元,销售一台种电视机可获利250元,在同时购进两种不同型号的电视方案中,为了使销售获利最多,你选择哪种方案?
训练1.“福兴100型逐行扫描”DVD机的进价是1100元,“千佳”商场的标价能使其利润率高达30%,在一年一度的新年让利促销活动期间,“千佳”将DVD机的利润率下调至10%,请问在宣传广告上应注明对原标价打多少折?(结果保留两个有效数字)
(首师大附中期中)
训练2. 一个三位数,十位上的数字比个位上的数字大3,比百位上的数字小1,且三个数字之和的50倍比这个三位数小2,求这个三位数.
训练3. 某服装厂生产一种西装和领带,西装每套定价200元,领带每条定价40元.厂方在开展促销活动期间,向客户提供两种优惠方案:
① 西装和领带都按定价的90%付款;
② 买一套西装送一条领带.
现某客户要到该服装厂购买套西装(),领带条数是西装套数的4倍多5.
⑴若该客户按方案①购买,需付款________________元. (用含的代数式表示)
⑵若该客户按方案②购买,需付款____________元.(用含的代数式表示)
若=10,通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算?
(实验中学期中)
训练4. 有甲、乙两支同样长的蜡烛,甲支蜡烛可使用小时,乙支蜡烛可使用小时.两支蜡烛同时开点,问几小时后乙支蜡烛的长度是甲支蜡烛长度的一半?
题型一 打折销售问题 巩固练习
【练习1】 天虹商场将某种商品按成本价提高50%后标价出售,元旦期间,为答谢新老顾客对商场的光顾,商场打八折销售,售价为336元,试问这种商品的成本是多少元?
题型二 工程与行程问题 巩固练习
【练习2】 京津城际铁路于2008年8月1日开通运营,当时预计高速列车在北京、天津间单程直达运
行时间为半小时.某次试车时,试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了分钟,由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同.如果这次试车时,由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶千米,那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米?
(北京中考)
题型三 储蓄问题 巩固练习
【练习3】 某企业存入银行甲、乙两种不同性质和用途的款项共万元,甲种存款的年利率为%,
乙种存款的年利率为%,上缴国家的利息税率为%,该企业一年共获利息元,求甲、乙两种存款各为多少万元.
题型四 日历方程问题 巩固练习
【练习4】 如图,在日历中用十字形框圈的5个数中,若中间一个数为,则等于( )
A.
B.
C.
D.
题型六 面积问题 巩固练习
【练习5】 三种大小不同的六个正方形和一个缺角的正方形拼成长方形,其中,,设
.
(1)用含的代数式表示 , .
(2)若,求的值.
(3)求长方形的面积.
题型七 数字问题 巩固练习
【练习6】 一个四位数的首位数字是,如果将首位上的数字移到个位数字的右边,变成一个新的四
位数,那么所得到的新四位数比原四位数的一半多,求原四位数.