初中第1章 一元二次方程综合与测试同步测试题

这是一份初中第1章 一元二次方程综合与测试同步测试题，共12页。试卷主要包含了方程4＝16的根是　 　，已知＝　 　等内容，欢迎下载使用。
考试时间：100分钟；满分：120分


姓名：_________班级：_________学号：_________成绩：_________


一．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）


1．若关于x的方程（a﹣1）x﹣7＝0是一元二次方程，则a＝ ．


2．方程（x﹣1）4＝16的根是 ．


3．已知关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m的取值范围是 ．


4．已知m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，且3m2﹣6m+a＝8，则a的值等于 ．


5．已知（a+b）（a+b﹣4）＝﹣4，那么（a+b）＝ ．


6．有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 个人．


二．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）


7．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）


A．3x2﹣5x＝6B．C．6x+1＝0D．2x2+y2＝0


8．方程2x2﹣5x＝4的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）


A．2，5，4B．2，﹣5，4C．﹣2，﹣5，4D．2，﹣5，﹣4


9．用配方法解方程x2﹣4x﹣4＝0，下列变形正确的是（ ）


A．（x﹣2）2＝2B．（x﹣2）2＝4C．（x﹣2）2＝6D．（x﹣2）2＝8


10．关于x的一元二次方程x2﹣5x+2p＝0的一个根为1，则另一根为（ ）


A．﹣6B．2C．4D．1


11．方程•（x﹣2）＝0的解为（ ）


A．无解B．x＝1C．x＝2D．x1＝1，x2＝2


12．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2020+2a﹣2b的值为（ ）


A．2018B．2020C．2022D．2024


13．一元二次方程x（x﹣2）＝3x根的情况是（ ）


A．两个相等的实数根B．一个实数根


C．两个不相等的实数根D．无实数根


14．若多项式M＝a2+2b2﹣2a+4b+2023，则M的最小值是（ ）


A．2019B．2020C．2021D．2023


15．某机械厂一月份生产零件50万个，第一季度生产零件200万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）


A．50（1+x）2＝200 B．50+50（1+x）2＝200


C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝200 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝200


16．设方程x2+x﹣2＝0的两个根为α，β，那么a+β﹣αβ的值等于（ ）


A．﹣3B．﹣1C．1D．3


三．解答题（共9小题，满分66分）


17．（6分）解方程：


（1）x2﹣x﹣20＝0； （2）x2﹣9x+5＝0．











18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根．


（1）求k的取值范围；


（2）若方程的两个不相等的实数根是a，b，求﹣的值．














19．（6分）比较x2+1与2x的大小．


（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：


①当x＝1时，x2+1 2x；


②当x＝0时，x2+1 2x；


③当x＝﹣2时，x2+1 2x．


（2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．











20．（6分）今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前新进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10件，问应将每件涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元？











21．（8分）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．


解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0


∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0


∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0


∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0


∴n＝4，m＝4．


根据上述材料，解答下面的问题：


（1）已知x2﹣2xy+2y2﹣2y+1＝0，求x+2y的值；


（2）已知a﹣b＝6，ab+c2﹣4c+13＝0，求a+b+c的值．











22．（8分）公园原有一块矩形的空地，其长和宽分别为120米，80米，后来公园管理处从这块空地中间划出一块小矩形，建造一个矩形小花园，并使小花园四周的宽度都相等（四周宽度最多不超过30米）．


（1）当矩形小花园的面积为3200平方米时，求小花园四周的宽度．


（2）若建造小花园每平方米需资金100元，为了建造此小花园，管理处最少要准备多少资金？此时小花园四周的宽度是多少？








23．（8分）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法．回顾旧知，类比求解


（1）填空：


↓类比


（2）运用上面的方法解下列方程：


①﹣2＝0；


②+3x＝1．














24．（9分）已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．


（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；


（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；


（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．














25．（9分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点终点C运动，它们到达终点后停止运动．


（1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；


（2）几秒后，△DPQ的面积是24cm2．




































































参考答案


一．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）


1．解：方程（a﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程，


∴a2+1＝2，a﹣1≠0，


解得，a＝﹣1，


故答案为：﹣1．


2．解：∵（x﹣1）4＝16，


∴（x﹣1）4＝24＝（﹣2）4，


∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，


∴x＝3或x＝﹣1．


故答案为：x＝3或x＝﹣1．


3．解：∵关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，


∴△＝（﹣3）2﹣4×（m+2）×1≥0且m+2≠0，


解得m≤且m≠﹣2．


故答案为：m≤且m≠﹣2．


4．解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个解，


∴将x＝m代入方程得：m2﹣2m﹣1＝0，


又∵m满足3m2﹣6m+a＝8，即m2﹣2m+＝0，


∴＝﹣1，即a﹣8＝﹣3，


解得：a＝5．


故答案为：5．


5．解：设a+b＝t，


原方程化为：t（t﹣4）＝﹣4，


解得：t＝2，


即a+b＝2，


故答案为：2


6．解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得


（1+x）2＝169


1+x＝±13


x1＝12，x2＝﹣14（舍去）．


答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．


故答案为：12．


二．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）


7．解：A、3x2﹣5x＝6是关于x的一元二次方程，故此选项符合题意；


B、﹣2＝0是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；


C、6x+1＝0是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；


D、2x2+y2＝0是二元二次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；


故选：A．


8．解：∵方程2x2﹣5x＝4化成一般形式是2x2﹣5x﹣4＝0，


∴二次项系数为2，一次项系数为﹣5，常数项为﹣4．


故选：D．


9．解：∵x2﹣4x﹣4＝0，


∴x2﹣4x＝4，


则x2﹣4x+4＝4+4，即（x﹣2）2＝8，


故选：D．


10．解：设方程的另外一个根为x2，


根据题意，得：1+x2＝5，


解得x2＝4，


∴方程的另外一根为4，


故选：C．


11．解：∵•（x﹣2）＝0，


∴＝0或x﹣2＝0，


解得：x＝1或2，


检验：当x＝2时，没有意义，


所以方程的解是x＝1，


故选：B．


12．解：∵x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，


∴a﹣b﹣1＝0，


∴a﹣b＝1，


∴2014+2a﹣2b＝2020+2（a﹣b）＝2020+2＝2022．


故选：C．


13．解：原方程变形为：x2﹣5x＝0，


∵△＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×0＝25＞0，


∴原方程有两个不相等的实数根．


故选：C．


14．解：M＝a2+2b2﹣2a+4b+2023＝（a2﹣2a+1）+（2b2+4b+2）+2020＝（a﹣1）2+2（b+1）2+2020


∵（a﹣1）2≥0，（b+1）2≥0，


∴M≥2020，


∴M的最小值为2020．


故选：B．


15．解：依题意得二、三月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，


∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝200．


故选：C．


16．解：∵α，β是方程x2+x﹣2＝0的两个根，


∴α+β＝﹣1，αβ＝﹣2，


∴原式＝﹣1﹣（﹣2）＝1．


故选：C．


三．解答题（共9小题，满分66分）


17．解：（1）方程x2﹣x﹣20＝0，


分解因式得：（x﹣5）（x+4）＝0，


可得x﹣5＝0或x+4＝0，


解得：x1＝5，x2＝﹣4；


（2）方程x2﹣9x+5＝0，


这里a＝1，b＝﹣9，c＝5，


∵△＝81﹣20＝61，


∴x＝，


解得：x1＝，x2＝．


18．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，


∴△＝b2﹣4ac＝4+4k＞0，


解得k＞﹣1．


∴k的取值范围为k＞﹣1；


（2）由根与系数关系得a+b＝﹣2，a•b＝﹣k，


﹣＝＝＝1．


19．解：（1）①当x＝1时，x2+1＝2x；


②当x＝0时，x2+1＞2x；


③当x＝﹣2时，x2+1＞2x．


（2）x2+1≥2x．


证明：∵x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0，


∴x2+1≥2x．


故答案为：＝；＞；＞．


20．解：设应将每件涨价x元，则每天可售出（200﹣10×）个，


依题意，得：（1+x）（200﹣10×）＝480，


化简，得：x2﹣9x+14＝0，


解得：x1＝2，x2＝7．


又∵要让顾客得到实惠，


∴x＝2．


答：应将每件涨价2元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元．


21．解：（1）∵x2﹣2xy+2y2﹣2y+1＝x2﹣2xy+y2+y2﹣2y+1＝（x﹣y）2+（y﹣1）2＝0，


∴x﹣y＝0，y﹣1＝0，


∴y＝1，x＝1，


∴x+2y＝1+2＝3；


（2）∵a﹣b＝6，即a＝b+6，代入得：b（b+6）+c2﹣4c+13＝0，


整理得：（b2+6b+9）+（c2﹣4c+4）＝（b+3）2+（c﹣2）2＝0，


∴b+3＝0，c﹣2＝0，


解得b＝﹣3，c＝2，


则a＝3，


则a+b+c＝3﹣3+2＝2．


22．解：（1）设小花园四周的宽度为xm，由于小花园四周小路的宽度相等，


则根据题意，可得（120﹣2x）（80﹣2x）＝3200，


即x2﹣100x+1600＝0，


解之得x＝20或x＝80．


由于四周宽度最多不超过30米，故舍去x＝80．


∴x＝20m．


答：小花园四周宽度为20m．


（2）当矩形四周的宽度最大的面时，小花园积最小，从而投入的建造资金最少，


此时最少资金为100（120﹣2x）（80﹣2x）＝100×（120﹣2×30）×（80﹣2×30）＝120000（元）．


答：为了建造此小花园，管理处最少要准备120000元，此时小花园四周的宽度是30m．


23．（1）解方程＝3


解：去根号，两边同时平方


得一元一次方程 x+1＝9．


解这个方程，得：x＝8．


经检验，x＝8是原方程的解；


故答案为9，8，经检验，x＝8是原方程的解，；


（2）①﹣2＝0，


解：移项，＝2，


去根号，两边同时平方得一元一次方程 x﹣2＝4．


解这个方程，得：x＝6．


经检验，x＝6是原方程的解；


②+3x＝1．


解：移项，＝1﹣3x．


去根号，两边同时平方得一元二次方程 9x2﹣5x＝9x2﹣6x+1．


解这个方程，得：x＝1．


经检验，x＝1不是原方程的解，原方程无解．


24．解：（1）△ABC是等腰三角形，


理由：当x＝﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，


∴b＝c，


∴△ABC是等腰三角形，


（2）△ABC是直角三角形，


理由：∵方程有两个相等的实数根，


∴△＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，


∴a2+c2＝b2，


∴△ABC是直角三角形；


（3）∵△ABC是等边三角形，


∴a＝b＝c，


∴原方程可化为：2ax2+2ax＝0，


即：x2+x＝0，


∴x（x+1）＝0，


∴x1＝0，x2＝﹣1，


即：这个一元二次方程的根为x1＝0，x2＝﹣1．


25．解：（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，


∴PD＝2PQ，


∵四边形ABCD是矩形，


∴∠A＝∠B＝90°，


∴PD2＝AP2+AD2，PQ2＝BP2+BQ2，


∵PD2＝4 PQ2，


∴82+（2t）2＝4[（10﹣2t）2+t2]，


解得：t1＝3，t2＝7；


∵t＝7时10﹣2t＜0，


∴t＝3，


答：3秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；


（2）设x秒后△DPQ的面积是24cm2，


则×8×2x+（10﹣2x）•x+（8﹣x）×10＝80﹣24，


整理得x2﹣8x+16＝0


解得x1＝x2＝4，


答：4秒后，△DPQ的面积是24cm2．








解方程 ＝﹣1


解：去分母，两边同乘以x﹣1


得一元一次方程1＝﹣（x﹣1）


解这个方程，得：x＝0．


经检验，x＝0是原方程的解．
解方程＝3


解：去根号，两边同时平方


得一元一次方程 ．


解这个方程，得：x＝ ． ．