第1章 一元二次方程（单元测试·综合卷）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

第1章 一元二次方程（单元测试·综合卷）

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．（2022秋·全国·九年级专题练习）若方程是一元二次方程，则m的值为（    ）

A．0      B．      C．      D．

2．（2022秋·全国·九年级专题练习）用配方法解方程，变形正确的是（   ）

A．    B．      C．      D．

3．（2023秋·湖北黄石·九年级黄石市有色中学校考开学考试）已知方程的两根是，则的值是（　　）

A．1      B．2      C．1.5      D．2.5

4．（2023春·八年级课时练习）用换元法解分式方程时，如果设，则原方程可化为关于的整式方程是（    ）．

A．      B．

C．      D．

5．（2023春·山东泰安·八年级校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ）

A．且     B．      C．且      D．且

6．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校考开学考试）某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均月增长率为，则由题意得方程为（    ）

A．      B．

C．      D．

7．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）已知实数满足，设，则 的最大值为（    ）

A．3      B．4      C．5      D．6

8．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形是边长为5的菱形，对角线的长度分别是一元二次方程的两实数根，是边上的高，则值为（    ）

A．1.2      B．2.4      C．3.6      D．4.8

9．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如将化成分数，设，则有，，解得，类比上述方法及思想则（　　）

A．3      B．      C．      D．

10．（2021·河南·统考中考真题）如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（    ）

A．      B．      C．      D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11．（2023春·上海宝山·八年级校考期中）方程的根是      ．

12．（2023秋·九年级课时练习）若n是方程的一个根，则的值为           ．

13．（2023秋·湖北武汉·九年级校考开学考试）一元二次方程的根的判别式的值为         ．

14．（2023秋·广东深圳·九年级校联考开学考试）已知m，n是方程的两个实数根，则的值为        ．

15．（2023·山东潍坊·统考中考真题）用与教材中相同型号的计算器，依次按键  ，显示结果为  ．借助显示结果，可以将一元二次方程的正数解近似表示为     ．（精确到）

16．（2023秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，则道路的宽为         m ．

17．（2021·浙江丽水·统考中考真题）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：

结合他们的对话，请解答下列问题：

（1）当时，a的值是          ．

（2）当时，代数式的值是          ．

18．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，将长宽比为的矩形沿着折叠，使点C落到宽上点处，点B落到点处，且满足，则      ．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

19．（8分）（2023秋·广东深圳·九年级校联考开学考试）解方程：

（1）     （2）

20．（8分）（2022秋·八年级单元测试）已知，求的值．

21．（10分）（2023秋·湖南长沙·九年级校考阶段练习）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．

（1）求实数的取值范围；

（2）若方程的两实数根，满足，求的值．

22．（10分）（2023·江西上饶·统考一模）小刚按照某种规律写出4个方程：

第1个方程：．

第2个方程：．

第3个方程：．

第4个方程：．

（1）按照此规律，请你写出第99个方程：_________．

（2）按此规律写出第n个方程：_________．这个方程是否有实数解？若有，请求出它的解；若没有，请说明理由．

23．（10分）（2023·广西南宁·校考二模）当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如下表：

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）该商家每天想获得2160元的利润，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？

24．（12分）（2023春·四川达州·七年级校联考期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．

例题：求多项式的最小值．

解：．因为所以

当时，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1．

通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：

（1）【理解探究】

已知代数式，则A的最小值为__________；

（2）【类比应用】

张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由；

（3）【拓展升华】

如图，中，，，，点、分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，值为多少？

参考答案

1．B

【分析】通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．

解：根据题意，得且，

解得．

故选：B

【点拨】本题考查一元二次方程的定义．掌握相关定义即可．

2．A

【分析】把常数项移项后，在方程左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，然后配方即可．

解：，

移项得：，

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到，

配方得，

故选：A ．

【点拨】本题考查了解一元二次方程----配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

3．C

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解．

解：由题意，，

∴．

故选：C

【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系；掌握根与系数关系定理是解题的关键．

4．C

【分析】根据换元法，可得答案．

解：设x2﹣x＝y，原方程等价于y﹣1＋＝0，

两边都乘以y，得

y2﹣y＋2＝0，

故选：C．

【点拨】本题考查了解分式方程，解题的关键是利用换元法．

5．C

【分析】根据一元二次方程的根的判别式解答即可，注意二次项系数不为0．

解：根据题意可得：，且，

解得：且；

故选：C．

【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

6．B

【分析】根据平均每月增长率为，可求二月、三月的营业额，利用一月、二月、三月的营业额共1000万元，可建立方程．

解：由题意知，二月的营业额为，三月的营业额为，

一月、二月、三月的营业额共1000万元，

，

故选：B．

【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，考查了学生分析问题，解决问题的能力，属于基础题．

7．C

【分析】由原式得，．将看成关于的一元二次方程，根据方程有实数解，所以，可得，进而得出结论．

解：将两个等式相加得：，则．

要求的最大值，只需求出的最大值．

将看成关于的一元二次方程，整理得：．

根据方程有实数解，所以．

可得，即的最大值为4．

所以当时，的最大值为5．

故选：C

【点拨】本题考查等式性质，一元二次方程根的判别式，将含有多个参数的等式理解为含参数的一元二次方程，从而运用方程的知识解决问题是解题的关键．

8．B

【分析】根据对角线的长度分别是一二次方程的两实数根，得到，根据菱形的面积公式得到，再根据得到．

解：∵对角线的长度分别是一二次方程的两实数根，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

故选：B．

【点拨】本题考查了菱形的面积和一元二次方程根与系数的关系的应用，掌握菱形面积的计算方法是解题的关键．

9．A

【分析】设，等式两边平方得，然后解一元二次方程即可．

解：设，

两边平方得，

整理得，

解得，（舍去），

即则．

故选：A．

【点拨】本题考查了二次根式的化简求值：方程的思想的运用是解决问题的关键．也考查了规律性问题的解决方法．

10．C

【分析】先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值．

解：由图2可知，当P点位于B点时，，即，

当P点位于E点时，，即，则，

∵,

∴,

即,

∵

∴,

∵点为的中点，

∴,

故选：C．

【点拨】本题考查了学生对函数图象的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图象中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法．

11．，，

【分析】利用因式分解法求方程的解即可．

解：

因式分解得：，

∴，，，

∴原方程的解为，，．

【点拨】本题主要考查因式分解的解高次方程，进行因式分解是解方程的关键．

12．

【分析】根据一元二次方程根的定义得到，则，整体代入即可得到答案．

解：∵n是方程的一个根，

∴，

∴，

则，

故答案为：

【点拨】此题考查了一元二次方程根的定义、代数式的值，根据一元二次方程根的定义得到是解题的关键．

13．

【分析】直接计算的值即可．

解：

∵，，，

∴，

故答案为：．

【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式，正确计算．

14．

【分析】由方程的解以及根与系数的关系可得，，再整体代入计算即可．

解：∵m，n是方程的两个实数根，

∴，，

∴，

∴；

故答案为：

【点拨】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解本题的关键．

15．

【分析】先利用公式法求出一元二次方程的解，再根据精确度的概念即可得．

解：一元二次方程中的，

则，

所以这个方程的正数解近似表示为，

故答案为：．

【点拨】本题考查了近似数、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．

16．1

【分析】设道路的宽度为，根据草坪的面积为，列出方程，解方程即可．

解：设道路的宽度为，根据题意得：

，

解得：，（舍去），

∴道路的宽为，

故答案为：1．

【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据图形中草地面积，列出方程．

17．     或1     7

【分析】（1）将代入解方程求出，的值，再代入进行验证即可；

（2）当时，求出，再把通分变形，最后进行整体代入求值即可．

解：已知，实数，同时满足①，②，

①-②得，

∴

∴或

①+②得，

（1）当时，将代入得，

解得，，

∴，

把代入得，3=3，成立；

把代入得，0=0，成立；

∴当时，a的值是1或-2

故答案为：1或-2；

（2）当时，则，即

∵

∴

∴

∴

∴

故答案为：7．

【点拨】此题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代数式的值和分式的运算等知识，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键．

18．

【分析】设矩形的长为，宽为，则，设，由题意可知，，根据勾股定理得到，则，解得，即可得到．

解：设矩形的长为，宽为，则，设，

由题意可知，点C落到宽上点处，

∴，

由折叠可知，，

则，，

∵四边形是矩形，

∴，

在中，由勾股定理得到，

即，

则，

解得（不合题意，舍去），，

即，

∴．

故答案为：

【点拨】此题考查了矩形性质、勾股定理、解一元二次方程、折叠的性质等知识，熟练掌握矩形性质和折叠的性质是解题的关键．

19．（1），；（2）

【分析】（1）用因式分解的方法作答即可；

（2）先确定最简公分母，再去分母，然后求解即可．

（1）解：因为，

所以，

即或，

所以，；

（2）解：因为，

所以，

则，

那么，

经检验：是原分式方程的解，

所以原分式方程的解是．

【点拨】本题考查了解一元二次方程和解分式方程，注意解分式方程要验根．

20．3

【分析】先用换元法令，再解关于的一元二次方程即可．

解：令，则原等式可化为：

，

解得：，

，

，即．

的值为3．

【点拨】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意为非负数是本题的关键．

21．（1）；（2）

【分析】（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可；

（2）根据根与系数的关系得到，，根据，所以，然后解关于的方程即可得到满足条件的的值．

（1）解：根据题意得，

解得；

（2），，

，

，

而，

，，

，即，

解得，，

而，

．

【点拨】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了判别式的值．

22．（1）；（2），有实数解，或

【分析】（1）根据小刚写出的4个方程，易发现其规律是：第n个方程是，所以第99方程是.

（2）由（1）可知第n个方程是，利用因式分解法可得：进而即可解答．

（1）解：第1个方程：．

第2个方程：．

第3个方程：．

第4个方程：．

……

第n个方程：．

∴当时，，

故答案为．

（2）解：第n个方程为，且这个方程有实数解，理由如下：

∵，

∴，

∴或．

【点拨】本题主要考查因式分解法解一元二次方程、数字规律等知识点，将方程右边化为0，左边化为积的形式，由利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．

23．（1）y与x之间的函数关系式为：；（2）应将销售单价定为22元

【分析】（1）由于每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，将值代入函数关系式，即可求出答案．

（2）由题意将利润用含的式子表示出来，求出的值，再从中选取最小值即可．

（1）解：设商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，

根据题意可得：，

解得：，

故y与x之间的函数关系式为：；

（2）解：根据题意可得：，

整理得：，

，

解得：（不合题意，舍去），，

答：应将销售单价定为22元．

【点拨】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，正确列出等量关系是解题的关键．

24．（1）；（2），见分析；（3）当时，的面积最大，且最大面积为

【分析】（1）根据阅读材料提供的方法解答即可；

（2）先列出甲乙两块菜地的面积的代数式，然后作差比较即可；

（3）先用t表示出，然后表示出的面积，然后用配方法求得面积的最大值即可．

（1）解：

∵

∴

当时，，因此 有最小值，最小值为，

∴ A的最小值为．

（2）解：，理由如下：

∵，，

．

（3）解：由题意得：，

当时，的面积最大，且最大面积为．

【点拨】本题主要考查了配方法求最值、非负数的性质等知识点，根据阅读材料、理解配方法是解答本题的关键．