数学北师大版 (2019)1 对数的概念学案及答案

                第四章  指数函数与对数函数

                    4.3.1 对数的概念

1.理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算．

(重点、难点)

2.理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化．

(重点)

3.理解常用对数、自然对数的概念及记法．

教学重点：理解对数的概念,掌握指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化

教学难点：掌握对数的性质，能进行简单的对数计算．

1．对数

(1)指数式与对数式的互化及有关概念：

(2)底数a的范围是________________.

问题提出：在4.2.1的问题1中，通过指数幂运算，我们能从y＝1.11x中求出经过4年后Ｂ地景区的游客人次为2001年的倍数y．反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决？

上述问题实际上就是从2=1.11x ，3=1.11x ， 4=1.11x ，…

中分别求出x，即已知底数和幂的值，求指数．这是本节要学习的对数．

对数的发明：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550年~1617年）。他发明了供天文计算作参考的对数，并于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就。

 1．对数

(1)指数式与对数式的互化及有关概念：

(2)底数a的范围是________________.

2．常用对数与自然对数

3．对数的基本性质

(1)负数和零没有对数．(2)loga 1＝0(a>0，且a≠1)．(3)logaa＝1(a>0，且a≠1)．

思考：为什么零和负数没有对数？

[提示]　由对数的定义：ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，

不存在N≤0的情况．

1．思考辨析

(1)logaN是loga与N的乘积．(　　)

(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.(　　)

(3)对数运算的实质是求幂指数．(　　)

2．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有(　　)

A．log2M＝a　　　　　B．logaM＝2   C．log22＝M          D．log2a＝M

（三）典例解析

例1　将下列指数形式化为对数形式,对数形式化为指数形式：

(1) 54＝625;   (2)2－7＝；    (3)  ( )m＝5.73

(4)log32＝－5；(5)lg 1 000＝3； (6)ln 10＝2.303

 (1)3－2＝；　　　(2)－2＝16； (3)log27＝－3;  (4)log64＝－6.

例2　求下列各式中的x的值：

(1)log64x＝－；    (2)logx 8＝6；(3)lg 100＝x;      (4)－ln e2＝x.

 [探究问题]

1．你能推出对数恒等式alogaN＝N(a>0且a≠1，N >0)吗？

提示：因为ax＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N可得alogaN＝N.

2．如何解方程log4(log3x)＝0?

提示：借助对数的性质求解，由log4(log3x)＝log41，得log3x＝1，∴x＝3.

例3　设5log5(2x－1)＝25，则x的值等于(　　)

A．10　　　　　　　　 B．13

C．100   D．±100

(2)若log3(lg x)＝0，则x的值等于________.

1．在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(　　)

A．R　　　　　　B．(0，＋∞)   C．(－∞，1)    D．(1，＋∞)

2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　)

A．100＝1与lg 1＝0     B．27＝与log27＝－

C．log39＝2与9＝3      D．log55＝1与51＝5

3．若log2(logx9)＝1，则x＝________.

4． log33＋3log32＝________.

5．求下列各式中的x值：

(1)logx27＝；　　(2)log2 x＝－；(3)x＝log27；  (4)x＝log16.

1、对数的概念，指数式与对数式的转化；

2、对数的性质及运用；

参考答案：

二、学习过程

思考辨析 1.[答案]　(1)×　(2)×　(3)√

2.B　[∵a2＝M，∴logaM＝2，故选B.]

（三）典例解析

例1.[解]　(1) 由54＝625，可得log5625＝4.  (2)由2－7＝，可得log2＝－7.

(3) 由( )m＝5.73 ，可得log 5.73＝m，  (4)由log 32＝－5，可得－5＝32.

(5)由lg 1 000＝3，可得103＝1 000.  (6)由ln 10＝2.303，可得e2.303＝10.

跟踪训练1[解]　(1)log3＝－2；(2)log 16＝－2；(3)－3＝27；(4)()－6＝64.

例2.[解]　(1)x＝(64)＝(43)＝4－2＝.

(2)x6＝8，所以x＝(x6)＝8＝(23) ＝2＝.

(3)10x＝100＝102，于是x＝2.

(4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2，所以x＝－2.

规律方法：要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解。

例3.思路探究：(1)利用对数恒等式alogaN＝N求解；

(2)利用logaa＝1，loga1＝0求解．

(1)B　(2)10　[(1)由5log5(2x－1)＝25得2x－1＝25，所以x＝13，故选B.

(2)由log3(lg x)＝0得lg x＝1，∴x＝10.]

三、达标检测

1.【答案】D　[由m－1>0得m>1，故选D.]

2.【答案】C　[C不正确，由log39＝2可得32＝9.]

3.【答案】3　[由log2(logx9)＝1可知logx9＝2，即x2＝9，∴x＝3(x＝－3舍去)．]

4.【答案】3　[log33＋3log32＝1＋2＝3.]

5.【答案】(1)由logx27＝，可得x＝27，∴x＝27＝(33)＝32＝9.

(2)由log2x＝－，可得x＝2，∴x＝＝＝.

(3)由x＝log27，可得27x＝，∴33x＝3－2，∴x＝－.

(4)由x＝log16，可得x＝16，∴2－x＝24，∴x＝－4.