苏科版1.3 一元二次方程的根与系数的关系导学案

这是一份苏科版1.3 一元二次方程的根与系数的关系导学案，共8页。
1.3 一元二次方程的根与系数的关系


一．选择题


1．设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为（ ）


A．3B．﹣C．D．﹣2


2．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k+1＝0，它的两根之积为﹣4．则k的值为（ ）


A．﹣1B．4C．﹣4D．﹣5


3．若x1、x2是方程x2﹣5x+6＝0的两个解，则代数式（x1+1）（x2+1）的值为（ ）


A．8B．10C．12D．14


4．设m是整数，关于x的方程mx2﹣（m﹣1）x+1＝0有有理根，则方程的根为（ ）


A．B．x＝﹣1


C．D．有无数个根


5．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0的两根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围是（ ）


A．k＞﹣2B．k＞2C．﹣2＜k≤0D．0≤k＜2


6．已知关于x的方程（m2﹣3m+2）x2+（1﹣2m）x﹣m（m+1）＝0的根是整数，其中m是实数，则m可取的值有（ ）


A．3个B．4个C．5个D．6个


7．关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（ ）


A．﹣1B．﹣4C．﹣4或1D．﹣1或4


8．m、n是方程x2﹣2019x+2020＝0的两根，（m2﹣2020m+2020）•（n2﹣2020n+2020）的值是（ ）


A．2017B．2018C．2019D．2020


二．填空题


9．已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则式子3m2+6m﹣mn的值为 ．


10．若方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根分别为x1和x2，则＝ ．


11．已知a，b是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则a2b+ab2的值是 ．


12．若关于x的方程x2﹣34x+34k﹣1＝0至少有一个正整数根，求满足条件的正整数k的值 ．


13．已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣a﹣1＝0的根都是一整数，那么符合条件的整数a有 个．


14．设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143＝0的两个根都是整数，则a的值是 ．


三．解答题


15．已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的两个实数根．


（1）求实数m的取值范围；


（2）如果x1，x2满足不等式4+4x1x2＞x12+x22，且m为整数，求m的值．











16．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m2+m）＝0有两个实数根．


（1）求m的取值范围；


（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1+x2+x1•x2＝4，求m的值．











17．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．


（1）求k的取值范围；


（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．











18．试求出所有的正整数a，使得关于x的二次方程ax2+（4a﹣1）x+2（2a﹣3）＝0至少有一个整数根．











参考答案


一．选择题


1．解：由x2﹣3x+2＝0可知，其二次项系数a＝1，一次项系数b＝﹣3，


由根与系数的关系：x1+x2＝，


故选：A．


2．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+k+1＝0，它的两根之积为﹣4，


∴k+1＝﹣4，


∴k＝﹣5．


故选：D．


3．解：根据题意得x1+x2＝5，x1x2＝6，


所以（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝6+5+1＝12．


故选：C．


4．解：（1）当m＝0，原方程变为：x+1＝0，


解得x＝﹣1，为有理根；


（2）当m≠0，原方程为一元二次方程，


∵方程mx2﹣（m﹣1）x+1＝0有有理根，


∴△＝b2﹣4ac为完全平方数，即△＝（m﹣1）2﹣4m＝（m﹣3）2﹣8为完全平方数，


而m是整数，


∴设（m﹣3）2﹣8＝n2，即（m﹣3）2＝8+n2，


∴完全平方数的末位数只能为1，4，5，6，9．


∴n2的末位数只能为1，6，而大于10的两个完全平方数相差大于8，


∴n＝1，


∴m﹣3＝3，即m＝6，


所以方程为：6x2﹣5x+1＝0，（2x﹣1）（3x﹣1）＝0，


∴x1＝，x2＝，


故选：C．


5．解：由题意可知：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k+1，


∵x1+x2﹣x1x2＜﹣1，


∴﹣2﹣k﹣1＜﹣1，


∴k＞﹣2，


∵△＝4﹣4（k+1）≥0，


∴k≤0，


∴﹣2＜k≤0，


故选：C．


6．解：①当m2﹣3m+2≠0时，即m≠1和m≠2时，


由原方程，得


[（m﹣1）x+m][（m﹣2）x﹣（m+1）]＝0


解得，x＝﹣1﹣ 或 x＝1+，


∵关于x的方程（m2﹣3m+2）x2+（1﹣2m）x﹣m（m+1）＝0的根是整数，


∴m＝0.5，m＝1.5，m＝1.25；





②当m2﹣3m+2＝0时，


m＝1，m＝2，


分别可得x＝0，x＝2，


因此m＝1，m＝2也可以；


综上所述，满足条件的m值共有5个．


故选：C．


7．解：∵关于x的方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有两个实数根，


∴△＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣m）＝﹣4m+4≥0，


解得：m≤1．


∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，


∴α+β＝﹣2（m﹣1），α•β＝m2﹣m，


∴α2+β2＝（α+β）2﹣2α•β＝[﹣2（m﹣1）]2﹣2（m2﹣m）＝12，即m2﹣3m﹣4＝0，


解得：m＝﹣1或m＝4（舍去）．


故选：A．


8．解：∵m，n是方程x2﹣2019x+2020＝0的两根，


∴m2﹣2019m+2020＝0，n2﹣2019n+2020＝0，mn＝2020，


∴（m2﹣2020m+2020）•（n2﹣2020n+2020）


＝（﹣m）（﹣n）


＝mn


＝2020．


故选：D．


二．填空题


9．解：∵m是方程x2+2x﹣1＝0的根，


∴m2+2m﹣1＝0，


∴m2+2m＝1，


∴3m2+6m﹣mn＝2（m2+2m）﹣mn＝2×1﹣mn＝2﹣mn，


∵m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，


∴mn＝﹣1，


∴3m2+6m﹣mn＝2﹣2×（﹣1）＝4．


故答案为4．


10．解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，


所以+＝＝＝﹣．


故答案为﹣．


11．解：∵a，b是方程x2+3x﹣1＝0的两根，


∴根据根与系数的关系得：a+b＝﹣3，ab＝﹣1，


∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝（﹣1）×（﹣3）＝3，


故答案为：3．


12．解：∵方程x2﹣34x+34k﹣1＝0至少有1个正整数根，


∴△＝342﹣4（34k﹣1）＝1160﹣136k≥0，


正整数k可能取值为1，2，3，4，5，6，7，8，


∵只有当k＝1时，x1＝1，x2＝33，


∴正整数k的值是1．


故答案为：1．


13．解：①当a＝1时，x＝1；


②当a≠1时，原式可以整理为：[（a﹣1）x+a+1]（x﹣1）＝0，


易知x＝1是方程的一个整数根，


再由1+x＝且x是整数，知1﹣a＝±1或±2，


∴a＝﹣1，0，2，3；由①、②得符合条件的整数a有5个．


故答案为：5．


14．解：∵5x2﹣5ax+26a﹣143＝0⇒25x2﹣25ax+（130a﹣262）﹣39＝0，


即（5x﹣26）（5x﹣5a+26）＝39，


∵x，a都是整数，故（5x﹣26）、（5x﹣5a+26）都分别为整数，


而只存在39＝1×39或39×1或3×13或13×3或四种情况，


①当5x﹣26＝1、5x﹣5a+26＝39联立解得a＝2.8不符合，


②当5x﹣26＝39、5x﹣5a+26＝1联立解得a＝18，


③当5x﹣26＝3、5x﹣5a+26＝13联立解得a＝8.4不符合，


④当5x﹣26＝13、5x﹣5a+26＝3联立解得a＝12.4不符合，


∴当a＝18时，方程为5x2﹣90x+325＝0两根为13、﹣5．


故答案为：18．


三．解答题


15．解：（1）根据题意得△＝（﹣2）2﹣4×2（m+1）≥0，


解得m≤﹣．


故实数m的取值范围是m≤﹣；


（2）根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝，


∵4+4x1x2＞x12+x22，


∴4+4x1x2＞（x1+x2）2﹣2x1x2，


即4+6x1x2＞（x1+x2）2，


∴4+6×＞1，


解得m＞﹣2，


∴﹣2＜m≤﹣，


∴整数m的值为﹣1．


16．解：（1）根据题意得△＝4m2﹣4（m2+m）≥0，


解得m≤0；


（2）根据题意得x1+x2＝2m，x1x2＝m2+m，


∵x1+x2+x1•x2＝4，


∴2m+m2+m＝4，


整理得m2+3m﹣4＝0，解得m1＝﹣4，m2＝1，


∵m≤0，


∴m的值为﹣4．


17．解：（1）由题意可知，△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2k+8）≥0，


整理得：16+8k﹣32≥0，


解得：k≥2，


∴k的取值范围是：k≥2．


故答案为：k≥2．


（2）由题意得：，


由韦达定理可知：x1+x2＝4，x1x2＝﹣2k+8，


故有：（﹣2k+8）[42﹣2（﹣2k+8）]＝24，


整理得：k2﹣4k+3＝0，


解得：k1＝3，k2＝1，


又由（1）中可知k≥2，


∴k的值为k＝3．


故答案为：k＝3．


18．解：ax2+（4a﹣1）x+2（2a﹣3）＝0，


ax2+4ax+4a＝x+6，


a（x+2）2＝x+6，


当x＝﹣2时，a不存在，


所以x≠﹣2，


∵a是正整数，


∴a＝≥1，


由（x+2）2＞0得（x+2）2≤x+6，


整理得x2+3x﹣2≤0．


解得：≤x≤，


所以x可取﹣3、﹣2（舍去）、﹣1、0，


依次代入a＝得到：


x＝﹣3，a＝3；x＝﹣1，a＝5；x＝0，a＝1.5（舍去）．


∴满足条件的正整数a的值是3和5．