数学苏科版1.3 一元二次方程的根与系数的关系教案

课题：《1.2一元二次方程的解法5》

一、      教材分析

1、    课标要求：（1）通过具体实例，了解一元二次方程根的情况

（2）会用一元二次方程的根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等

2、    本节课探索了一元二次方程根的三种情况，并探索根的情况与判别式之间的关系

二、学情分析

学生在上节课学会了公式法解一元二次方程，在此基础上通过解方程了解一元二次方程根的3种情况，学生容易入手，并能较快探索方程根的情况与判别式之间的内在联系。

三、教学目标：

知识目标：1、探索一元二次方程的根与判别式的关系

          2、利用根的判别式判别方程根的情况

          3、根据方程的根的情况确定字母范围或值

过程目标：1、在探索一元二次方程根的情况与判别式的关系中体会判别式的正反两方面的作用

情感目标：培养学生思维的严谨性

四、教学重、难点：

根的判别式正反两方面的应用

五、教学过程：

（一）创设情境

1、温故知新

一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是什么？

求根公式：  其中

2、尝试与交流

用公式法解下列一元二次方程：

3、思考与探索

（1）观察上述3题的结果，你认为一元二次方程的根有哪几种情况？

3种情况：有2个不相等的实数根、有2个相等的实数根、没有实数根

（2）一元二次方程根的情况与什么有关？有怎样的关系？

与的符号有关：，方程有两个不相等的实数根

                       ，方程有两个相等的实数根

                       ，方程没有实数根

【设计意图】：

通过回顾一元二次方程的求根公式，并用公式法解方程，让学生感受一元二次方程根的3种情况，并进一步思考根的情况与什么有关，激发学生的探究欲望和学习兴趣。

（二）引入新知

1、根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式。

2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根的情况可由来判定：

①     方程有两个不相等的实数根

②     方程有两个相等的实数根

③     方程没有实数根

④     方程有两个实数根

（三）例题分析

例1：不解方程，判别下列方程根的情况

【设计意图】：

通过由根的判别式来判别方程根的情况，体会根的判别式的重要性和优越性。

例2：当k取什么值时，关于x的方程x2-kx+4=0有两个相等的实数根?并求出这时方程的根。

【设计意图】：

通过一元二次方程根的情况，确定根的判别式符号并确定字母的值，进而求出方程根。例1和例2分别从正反两个角度让学生体会根的判别式与一元二次方程根之间的紧密关系。

练习：1、关于x的方程没有实数根，则实数m的取值范围是（      ）

2、关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围

是________

例3、已知关于x的方程

（1）求证：方程一定有两个不相等的实数根；

（2）若方程有一个根为1，求m的值和方程的另一根.

【设计意图】：

例3的第一问的解决方法有两种：①利用根的判别式，计算，进而说明方程有两个不相等的实数根；②解出方程的两根，并把根用m的代数式表示，判断两个根不相等。让学生比较两种方法的优劣，再次体会根的判别式的优越性。在已知方程有两个不相等的实数根的基础上，第二问给出一根并让学生求另一根，通过求解，学生发现方程确实有两个不相等的实数根，两问前后呼应。

（四）能力提升

1、当k取什么值时，关于x的方程kx2-x+1=0

（1）有两个相等的实数根，则k=____________

（2）有两个不相等的实数根，则k___________

（3）没有实数根，则k___________

（4）有两个实数根，则k_________

（5）有实数根，则k_____________

【设计意图】：

前4个问让学生感受一元二次方程的根与判别式之间的关系，第5小问要进行分类讨论是一元一次方程还是一元二次方程，对学生思维的严密性提出了高要求。

2、已知反比例函数和一次函数

（1）当k_______时，这两个函数的图像有1个公共点？

（2）当k_______时，这两个函数的图像有公共点？

【设计意图】：

把图像的交点问题转化为一元二次方程的根的问题，体现了由“形”到“数”的转化，渗透了“数形结合”的思想，把学生的思维推向一个更高的高度。

（五）小结

1、根的判别式的正反两方面的作用

2、数形结合思想