2020-2021学年1.3 一元二次方程的根与系数的关系教案设计

《一元二次方程根与系数的关系》教学设计

一、教材分析

“一元二次方程根与系数的关系”是人教版数学九年级上册第二十一章2.4节的内容。本节内容为选学内容。一元二次方程根与系数的关系（也称韦达定理）是在学习了一元二次方程的解法及根的判别式之后来进一步揭示根与系数的关系，是对前面知识的巩固与深化，又为今后继续研究一元二次方程根的情况作下一个铺垫，因此虽为选学内容，但却起着承上启下的重要作用。同时，在教学内容中体现的数学方法和数学思想对学生数学能力的培养起到非常重要的作用。

二、学情分析

本节课的教学对象是九年级学生，在此之前，他们已经学习了一元二次方程的解法及根的判别式，虽然学生的学习能力有差异，但大部分学生已经会解一元二次方程。同时，这一年龄阶段学生的思维正从形象思维向抽象思维过渡，已经具备一定的归纳推理能力和团结协作意识，相信在教师的引导下应该能很好地完成本节教学内容。

三、教学目标

1.知识与能力

（1） 掌握一元二次方程根与系数的关系；

（2）    会利用定理求解已知一元二次方程的两根之和及两根之积；

2.过程与方法

（1）    经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察、猜想、证明、归纳概括能力；

（2）    在运用一元二次方程根与系数关系解决数学问题的过程中，培养学生解决问题的能力，渗透特殊到一般的数学思想。

3.情感态度与价值观

（1）通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的自信心；

（2）让学生感受到数学有很多有价值的规律等待我们去探索，激发学生的学习兴趣和探究欲望。

4.问题解决

从探究具体实例入手，由学生观察、动手操作并发现一元二次方程根与系数的关系，让学生主动探索和讨论交流，对定理再严格加以证明，从而达到解决数学问题的目的。

教学重点：一元二次方程根与系数的关系及运用。

教学难点：一元二次方程根与系数的关系的推导及运用。

四、教法与学法

教法：引导启发式，合作探究式.

学法：学生在教师引导下分小组探究，合作交流.

五、教具准备

本节内容的多媒体课件。

六、教学过程

（一）创设情境，引入新课

我曾经的一名学生向我讲了他学习中发生的一个小故事。他说这件小事让他叩开了数学殿堂之门。大家想听听吗？故事是：这名学生在做一道解方程题目时，不小心打翻了墨水瓶，把题目污染成了下列样子：2=0，当时他很着急，不过他还记得老师说这个方程的两根是和。于是，他根据已知的两根仔细探究，把污染的系数补了出来。你们知道他是怎样做到的吗？（学习了今天的知识，同学们将会找到问题的答案。）

其实， 生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理，比如：八年级所学的勾股定理。那么一元二次方程中的根与系数到底存在怎样的规律呢？今天我们共同去探究，感受一次当科学家的味道。

【设计意图】: 让学生感受到数学来源于生活，生活中有很多有价值的规律，等待我们去探索和发现，从而激发学生的学习数学的兴趣和探究欲望。

（二）启发探究，获得新知

先填空，再找规律：

观察上面的表格，你能得到什么结论？

（1）关于的方程的两根，与系数之间有什么关系？

（2）关于的方程的两根，与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？

活　动：学生先自行计算出方程的两个根，然后在规定时间内分小组进行讨论，并派代表陈述本小组观点。教师对发言学生给予鼓励和赞扬。

根与系数关系：

（1）关于的方程的两根，与系数p，q的关系是：，   。

引导学生用文字语言来描述一下这两个关系式。并思考：如果一元二次方程二次项的系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？

（2）形如的方程，如果，两根为，，引导学生利用上面的结论猜想，与各项系数a、b、c之间有何关系。

然后教师归纳，可以先将方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即：对于方程

             ∵

             ∴

             ∴，

【设计意图】: 通过计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的数学思想。

（三）推理证明，加深理解

学生通过小组讨论，得出了一元二次方程根与系数的关系：

这个结论是否正确呢？我们能否对这个结论加以证明？

（教师引导学生利用求根公式给出证明。）

请一名学生在黑板上书写自己的证明过程，其余学生在练习本上做。

证明：∵，当时根为：

设，，则

∴

（提　示：在推导过程中运用到平方差公式，这是证明的难点）

【设计意图】:让学生加深对一元二次方程根与系数的关系这一结论的理解，并通过证明定理获得成功的体验，增强学习数学的自信心。

（四）运用新知，体验成功

师生共同完成课本中的例题4.

例4  根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根，的和与积：

（1）         （2）

解：（1）      

（2）方程化为        

（提示：在运用一元二次方程的根与系数的关系时，一定要找准系数。）

【设计意图】:让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积，加深学生对根与系数关系的理解。

练习：

学生做练习，教师指导，请学生介绍解题思路。

1.已知、是一元二次方程的两个根，则等于（   ）

   A．   　　   B.    　　   C. 1          D. 4

2．（2014·广西来宾）已知一元二次方程的两根分别是2和﹣3，则这个一元二次方程是（　　）

A.    B.   C.     D.

3.解决情景创设中的问题。

4.若一元二次方程的两个实数根是、，则       。                 

【设计意图】: 进一步巩固根与系数的关系，体验在解题过程中“整体代入”的数学方法，可起到简便运算的作用。

（五）归纳小结 ，巩固新知

1．这节课我们学习了什么知识？有何作用？

2．运用本节课所学知识解决问题时要注意些什么？

3．这节课我们学到了解决数学问题的哪些方法？运用了哪些数学思想？

【设计意图】: 对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律，对新知识进行再一次记忆，同时向学生渗透数学思想和方法。

（六）布置作业， 分层落实

选做题：若是一元二次方程的两根，

则（　　）

        A. ﹣8      B. 32     C. 16     D. 40

【设计意图】:既面向全体学生，又兼顾到学生的个体差异。让基础好的学生

“吃得饱”，学困生“吃得了”。

七、板书设计

【设计意图】: 能简练地、系统地体现教学内容，以明晰的视觉符号启迪学生思维，提供记忆的框架结构。

八、教学设计说明

一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。在以前的教学设计中，我们习惯于教师讲，学生听，学生自主探究的机会较少，我们先把一元二次方程根与系数的关系告诉学生，之后再进行验证，学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力没有被充分发挥出来，通过这次的教学设计，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，提高了推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的

观点，进一步培养学生的创新意识。