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2019-2020学年甘肃省兰州五十四中八年级（下）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年甘肃省兰州五十四中八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题只有一个答案）
1．（3分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．a2﹣4a+5＝a（a﹣4）+5 B．（x+3）（x+2）＝x2+5x+6
C．a2﹣9b2＝（a+3b）（a﹣3b） D．（x+3）（x﹣1）+1＝x2+2x+2
3．（3分）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条角平分线的交点
4．（3分）若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
5．（3分）在直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ）
A．（4，﹣3） B．（﹣4，3） C．（0，﹣3） D．（0，3）
6．（3分）某种商品的进价是800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ）
A．6折 B．7折 C．8折 D．9折
7．（3分）当a，b互为相反数时，代数式a2+ab﹣2的值为（ ）
A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣1
8．（3分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于D，如果AC＝5cm，BC＝4cm，那么△DBC的周长是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
9．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．±1 C．1 D．﹣1
10．（3分）下列命题中，假命题是（ ）
A．斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等
C．两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
D．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
11．（3分）若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4
12．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，平行四边形ABCD的周长为40．则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．48
二、填空题：（每小题3分，共12分）
13．（3分）等腰三角形的两边分别为7cm，3cm，则它的周长为 cm．
14．（3分）当x 时，分式有意义．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE＝2，则AE的长为 ．
16．（3分）对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b]＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是 ．
三.解答题：（共计72分）
17．（6分）分解因式：
（1）（x+2y）2﹣y2；
（2）m2（m﹣1）﹣4（1﹣m）2．
18．（5分）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．
19．（8分）解方程：
（1）＝；
（2）﹣1＝．
20．（5分）先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝﹣5．
21．（4分）一个多边形的内角和与外角和的差为1260°，求它的边数．
22．（5分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的两格中，点A、B、C都是格点．
（1）将△ABC向左平移6个单位长度得到得到△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
23．（6分）如图所示，根据图中信息．
（1）你能写出m、n的值吗？
（2）你能写出P点的坐标吗？
（3）当x为何值时，y1＞y2？
24．（6分）已知：如图，▱ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点．
（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；
（2）若AD＝AE＝2，∠A＝60°，求四边形EBFD的周长．
25．（5分）对于任意实数a、b、c、d，我们规定＝ad﹣bc，若﹣8＜＜4，求整数x的值．
26．（6分）如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长．
27．（7分）小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元，已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同．
（1）求大本作业本与小本作业本每本各多少元？
（2）因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的2倍，总费用不超过15元．则大本作业本最多能购买多少本？
28．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点（不与原点O重合），以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ．
（1）求点B的坐标；
（2）在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由．
（3）连接OQ，当OQ∥AB时，求P点的坐标．
2019-2020学年甘肃省兰州五十四中八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题只有一个答案）
1．（3分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
2．（3分）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．a2﹣4a+5＝a（a﹣4）+5 B．（x+3）（x+2）＝x2+5x+6
C．a2﹣9b2＝（a+3b）（a﹣3b） D．（x+3）（x﹣1）+1＝x2+2x+2
【分析】因式分解就是把整式分解成几个整式积的形式，根据定义即可进行判断．
【解答】解：A、结果不是整式的积的形式，故错误；
B、整式的乘法，故错误；
C、正确；
D、结果不是整式的积的形式，故错误．
故选：C．
3．（3分）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条角平分线的交点
【分析】因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
【解答】解：
∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
故选：D．
4．（3分）若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：360÷40＝9，即这个多边形的边数是9，
故选：C．
5．（3分）在直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ）
A．（4，﹣3） B．（﹣4，3） C．（0，﹣3） D．（0，3）
【分析】根据关于原点的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得关于原点的对称点，根据点的坐标向左平移减，可得答案．
【解答】解：在直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点是（2，﹣3），再向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（0，﹣3），
故选：C．
6．（3分）某种商品的进价是800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ）
A．6折 B．7折 C．8折 D．9折
【分析】利润率不低于5%，即利润要大于或等于800×5%元，设打x折，则售价是1200×元．根据利润率不低于5%就可以列出不等式，求出x的范围．
【解答】解：设打x折，
则1200×﹣800≥800×5%，
解得x≥7，
即最多可打7折．
故选：B．
7．（3分）当a，b互为相反数时，代数式a2+ab﹣2的值为（ ）
A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣1
【分析】由互为相反数两数之和为0得到a+b＝0，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：由题意得到a+b＝0，
则原式＝a（a+b）﹣2＝0﹣2＝﹣2，
故选：C．
8．（3分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于D，如果AC＝5cm，BC＝4cm，那么△DBC的周长是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【分析】由于AB的垂直平分线交AC于D，所以AD＝BD，而△DBC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC，而AC＝5cm，BC＝4cm，由此即可求出△DBC的周长．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴△DBC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC，
而AC＝5cm，BC＝4cm，
∴△DBC的周长是9cm．
故选：D．
9．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．±1 C．1 D．﹣1
【分析】分式的值为零：分子等于零但分母不等于零．
【解答】解：依题意得 x2﹣1＝0且x﹣1≠0，
解得 x＝﹣1．
故选：D．
10．（3分）下列命题中，假命题是（ ）
A．斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等
C．两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
D．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
【分析】利用全等三角形的判定分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形利用AAS可得全等，是真命题；
B、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等，可得另一直角边也相等，构成了SAS，能判定全等，是真命题；
C、两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，两个锐角对应相等，因此构成了AAA，不能判定全等，原命题是假命题；
D、两条直角边对应相等，构成了SAS，能判定全等；是真命题；
故选：C．
11．（3分）若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出a的范围即可．
【解答】解：去分母得：2（2x﹣a）＝x﹣2，
解得：x＝，
由题意得：≥0且≠2，
解得：a≥1且a≠4，
故选：C．
12．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，平行四边形ABCD的周长为40．则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．48
【分析】已知平行四边形的高AE、AF，设BC＝xcm，则CD＝（20﹣x）cm，根据“等面积法”列方程，求BC，从而求出平行四边形的面积．
【解答】解：设BC＝xcm，则CD＝（20﹣x）cm，根据“等面积法”得
4x＝6（20﹣x），解得x＝12，
∴平行四边形ABCD的面积＝4x＝4×12＝48．故选D．
二、填空题：（每小题3分，共12分）
13．（3分）等腰三角形的两边分别为7cm，3cm，则它的周长为 17 cm．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为7cm和3cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当7cm为腰，3cm为底，此时周长＝7+7+3＝17（cm）；
当7cm为底，3cm为腰，则3+3＜7无法构成三角形，故舍去．
故其周长是17cm．
故答案为：17．
14．（3分）当x ≠3 时，分式有意义．
【分析】根据分式存在的条件得到3﹣x≠0，解不等式即可．
【解答】解：要使分式有意义，必须3﹣x≠0，即x≠3．
故答案为：≠3．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE＝2，则AE的长为 1 ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EC＝EB＝2，根据直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴EC＝EB＝2，
∴∠ECB＝∠B＝30°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECB＝∠ACE＝30°，
∴∠A＝90°，又∠ACE＝30°，
∴AE＝EC＝1，
故答案为：1．
16．（3分）对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b]＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是 2 ．
【分析】联立两函数解析式成方程组，通过解方程组找出交点坐标，再根据max{a，b}的意义即可得出函数的最小值．
【解答】解：联立两函数解析式成方程组，得：，
解得：．
∴当x＜﹣1时，y＝max{x+3，﹣x+1}＝﹣x+1＞2；当x≥﹣1时，y＝max{x+3，﹣x+1}＝x+3≥2．
∴函数y＝max{x+3，﹣x+1}最小值为2．
故答案为：2．
三.解答题：（共计72分）
17．（6分）分解因式：
（1）（x+2y）2﹣y2；
（2）m2（m﹣1）﹣4（1﹣m）2．
【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；
（2）原式变形后，提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝（x+2y+y）（x+2y﹣y）
＝（x+3y）（x+y）；
（2）原式＝m2（m﹣1）﹣4（m﹣1）2
＝（m﹣1）[m2﹣4（m﹣1）]
＝（m﹣1）（m2﹣4m+4）
＝（m﹣1）（m﹣2）2．
18．（5分）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】分别解两个不等式得到x＞1和x≤﹣4，然后根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的解集，最后用数轴表示解集．
【解答】解：，
由①得：x＞1
由②得：x≤4
所以这个不等式的解集是1＜x≤4，
用数轴表示为
．
19．（8分）解方程：
（1）＝；
（2）﹣1＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：3（x﹣1）＝2x，
去括号得：3x﹣3＝2x，
解得：x＝3，
经检验x＝3是分式方程的解；
（2）去分母得：（x﹣2）2﹣x2+4＝16，
整理得：x2﹣4x+4﹣x2+4＝16，
解得：x＝﹣2，
经检验x＝﹣2是增根，分式方程无解．
20．（5分）先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝﹣5．
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当x＝﹣5时，
原式＝＝．
21．（4分）一个多边形的内角和与外角和的差为1260°，求它的边数．
【分析】设多边形的边数是n，根据题意得出（n﹣2）•180°﹣360°＝1260°，解之可得．
【解答】解：设多边形的边数是n，
则：（n﹣2）•180°﹣360°＝1260°，
解得：n＝11，
答：这个多边形的边数是11．
22．（5分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的两格中，点A、B、C都是格点．
（1）将△ABC向左平移6个单位长度得到得到△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
【分析】（1）将点A、B、C分别向左平移6个单位长度，得出对应点，即可得出△A1B1C1；
（2）将点A、B、C分别绕点O按逆时针方向旋转180°，得出对应点，即可得出△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．
23．（6分）如图所示，根据图中信息．
（1）你能写出m、n的值吗？
（2）你能写出P点的坐标吗？
（3）当x为何值时，y1＞y2？
【分析】（1）根据题意，函数y1＝x+n与y2＝﹣x+m分别过点（0，1）和点（3，0），把其代入函数的解析式，可以写出m，n的值；
（2）由题（1）可以求出两函数的解析式，联立方程可以求出两函数的交点；
（3）求出两函数的交点后，根据一次函数的性质，可以求出y1＞y2时，x的范围；
【解答】解：（1）∵函数y1＝x+n过点（0，1）代入y1得：n＝1，
∵函数y2＝﹣x+m过点（3，0），代入y2得：﹣3+m＝0，
∴m＝3；
（2）由（1）值y1＝x+1，y2＝﹣x+3，
∴x+1＝﹣x+3，
∴x＝1，把x＝1代入y1得，
y1＝2，
∴两函数的交点为（1，2），
即P（1，2）；
（3）由一次函数的图象知，当函数y1的图象在y2的上面时，有x＞1，
∴当x＞1时，y1＞y2．
24．（6分）已知：如图，▱ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点．
（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；
（2）若AD＝AE＝2，∠A＝60°，求四边形EBFD的周长．
【分析】1、在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，又E、F分别是边AB、CD的中点，所以BE＝CF，因此四边形EBFD是平行四边形
2、由AD＝AE＝2，∠A＝60°知△ADE是等边三角形，又E、F分别是边AB、CD的中点，四边形EBFD是平行四边形，所以EB＝BF＝FD＝DE＝2，四边形EBFD是平行四边形的周长是2+2+2+2＝8
【解答】解：（1）在▱ABCD中，
AB＝CD，AB∥CD．
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴．
∴BE＝DF．
∴四边形EBFD是平行四边形
（2）∵AD＝AE，∠A＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
∴DE＝AD＝2，
又∵BE＝AE＝2，
由（1）知四边形EBFD是平行四边形，
∴四边形EBFD的周长＝2（BE+DE）＝8．
25．（5分）对于任意实数a、b、c、d，我们规定＝ad﹣bc，若﹣8＜＜4，求整数x的值．
【分析】首先化简，转化为不等式组，然后解不等式组求得x的范围，然后确定整数解即可．
【解答】解：＝（x﹣1）（x+5）﹣x（x+1）＝3x﹣5．
根据题意得：，
解①得x＞﹣1，
解②得x＜3．
则不等式组的解集是﹣1＜x＜3．
则整数解是0，1，2．
26．（6分）如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长．
【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出DEBC，进而得出DE＝FC；
（2）利用平行四边形的判定与性质得出DC＝EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长．
【解答】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DEBC，
∵延长BC至点F，使CF＝BC，
∴DE＝FC；
（2）解：∵DEFC，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF，
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，
∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，
∴DC＝EF＝．
27．（7分）小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元，已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同．
（1）求大本作业本与小本作业本每本各多少元？
（2）因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的2倍，总费用不超过15元．则大本作业本最多能购买多少本？
【分析】（1）设小本作业本每本x元，则大本作业本每本（x+0.3）元，根据数量＝总价÷单价结合用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设大本作业本购买m本，则小本作业本购买2m本，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过15元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设小本作业本每本x元，则大本作业本每本（x+0.3）元，
依题意，得：＝，
解得：x＝0.5，
经检验，x＝0.5是原方程的解，且符合题意，
∴x+0.3＝0.8．
答：大本作业本每本0.8元，小本作业本每本0.5元．
（2）设大本作业本购买m本，则小本作业本购买2m本，
依题意，得：0.8m+0.5×2m≤15，
解得：m≤．
∵m为正整数，
∴m的最大值为8．
答：大本作业本最多能购买8本．
28．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点（不与原点O重合），以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ．
（1）求点B的坐标；
（2）在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由．
（3）连接OQ，当OQ∥AB时，求P点的坐标．
【分析】（1）如图，作辅助线；证明∠BOC＝30°，OB＝2，借助直角三角形的边角关系即可解决问题；
（2）证明△APO≌△AQB，得到∠ABQ＝∠AOP＝90°，即可解决问题；
（3）根据点P在x的正半轴还是负半轴两种情况讨论，再根据全等三角形的性质即可得出结果．
【解答】解：（1）如图1，过点B作BC⊥x轴于点C，
∵△AOB为等边三角形，且OA＝2，
∴∠AOB＝60°，OB＝OA＝2，
∴∠BOC＝30°，而∠OCB＝90°，
∴BC＝OB＝1，OC＝，
∴点B的坐标为B（，1）；
（2）∠ABQ＝90°，始终不变．理由如下：
∵△APQ、△AOB均为等边三角形，
∴AP＝AQ、AO＝AB、∠PAQ＝∠OAB，
∴∠PAO＝∠QAB，
在△APO与△AQB中，
，
∴△APO≌△AQB（SAS），
∴∠ABQ＝∠AOP＝90°；
（3）当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，
∵AB∥OQ，∠BQO＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°．
又OB＝OA＝2，可求得BQ＝，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP＝BQ＝，
∴此时P的坐标为（﹣，0）．
当点P在x轴正半轴时，点Q必在第一象限，OQ和AB不可能平行；
一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题只有一个答案）
1．（3分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．a2﹣4a+5＝a（a﹣4）+5 B．（x+3）（x+2）＝x2+5x+6
C．a2﹣9b2＝（a+3b）（a﹣3b） D．（x+3）（x﹣1）+1＝x2+2x+2
3．（3分）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条角平分线的交点
4．（3分）若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
5．（3分）在直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ）
A．（4，﹣3） B．（﹣4，3） C．（0，﹣3） D．（0，3）
6．（3分）某种商品的进价是800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ）
A．6折 B．7折 C．8折 D．9折
7．（3分）当a，b互为相反数时，代数式a2+ab﹣2的值为（ ）
A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣1
8．（3分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于D，如果AC＝5cm，BC＝4cm，那么△DBC的周长是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
9．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．±1 C．1 D．﹣1
10．（3分）下列命题中，假命题是（ ）
A．斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等
C．两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
D．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
11．（3分）若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4
12．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，平行四边形ABCD的周长为40．则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．48
二、填空题：（每小题3分，共12分）
13．（3分）等腰三角形的两边分别为7cm，3cm，则它的周长为 cm．
14．（3分）当x 时，分式有意义．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE＝2，则AE的长为 ．
16．（3分）对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b]＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是 ．
三.解答题：（共计72分）
17．（6分）分解因式：
（1）（x+2y）2﹣y2；
（2）m2（m﹣1）﹣4（1﹣m）2．
18．（5分）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．
19．（8分）解方程：
（1）＝；
（2）﹣1＝．
20．（5分）先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝﹣5．
21．（4分）一个多边形的内角和与外角和的差为1260°，求它的边数．
22．（5分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的两格中，点A、B、C都是格点．
（1）将△ABC向左平移6个单位长度得到得到△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
23．（6分）如图所示，根据图中信息．
（1）你能写出m、n的值吗？
（2）你能写出P点的坐标吗？
（3）当x为何值时，y1＞y2？
24．（6分）已知：如图，▱ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点．
（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；
（2）若AD＝AE＝2，∠A＝60°，求四边形EBFD的周长．
25．（5分）对于任意实数a、b、c、d，我们规定＝ad﹣bc，若﹣8＜＜4，求整数x的值．
26．（6分）如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长．
27．（7分）小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元，已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同．
（1）求大本作业本与小本作业本每本各多少元？
（2）因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的2倍，总费用不超过15元．则大本作业本最多能购买多少本？
28．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点（不与原点O重合），以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ．
（1）求点B的坐标；
（2）在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由．
（3）连接OQ，当OQ∥AB时，求P点的坐标．
2019-2020学年甘肃省兰州五十四中八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题只有一个答案）
1．（3分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
2．（3分）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．a2﹣4a+5＝a（a﹣4）+5 B．（x+3）（x+2）＝x2+5x+6
C．a2﹣9b2＝（a+3b）（a﹣3b） D．（x+3）（x﹣1）+1＝x2+2x+2
【分析】因式分解就是把整式分解成几个整式积的形式，根据定义即可进行判断．
【解答】解：A、结果不是整式的积的形式，故错误；
B、整式的乘法，故错误；
C、正确；
D、结果不是整式的积的形式，故错误．
故选：C．
3．（3分）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条角平分线的交点
【分析】因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
【解答】解：
∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
故选：D．
4．（3分）若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：360÷40＝9，即这个多边形的边数是9，
故选：C．
5．（3分）在直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ）
A．（4，﹣3） B．（﹣4，3） C．（0，﹣3） D．（0，3）
【分析】根据关于原点的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得关于原点的对称点，根据点的坐标向左平移减，可得答案．
【解答】解：在直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点是（2，﹣3），再向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（0，﹣3），
故选：C．
6．（3分）某种商品的进价是800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ）
A．6折 B．7折 C．8折 D．9折
【分析】利润率不低于5%，即利润要大于或等于800×5%元，设打x折，则售价是1200×元．根据利润率不低于5%就可以列出不等式，求出x的范围．
【解答】解：设打x折，
则1200×﹣800≥800×5%，
解得x≥7，
即最多可打7折．
故选：B．
7．（3分）当a，b互为相反数时，代数式a2+ab﹣2的值为（ ）
A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣1
【分析】由互为相反数两数之和为0得到a+b＝0，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：由题意得到a+b＝0，
则原式＝a（a+b）﹣2＝0﹣2＝﹣2，
故选：C．
8．（3分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于D，如果AC＝5cm，BC＝4cm，那么△DBC的周长是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【分析】由于AB的垂直平分线交AC于D，所以AD＝BD，而△DBC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC，而AC＝5cm，BC＝4cm，由此即可求出△DBC的周长．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴△DBC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC，
而AC＝5cm，BC＝4cm，
∴△DBC的周长是9cm．
故选：D．
9．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．±1 C．1 D．﹣1
【分析】分式的值为零：分子等于零但分母不等于零．
【解答】解：依题意得 x2﹣1＝0且x﹣1≠0，
解得 x＝﹣1．
故选：D．
10．（3分）下列命题中，假命题是（ ）
A．斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等
C．两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
D．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
【分析】利用全等三角形的判定分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形利用AAS可得全等，是真命题；
B、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等，可得另一直角边也相等，构成了SAS，能判定全等，是真命题；
C、两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，两个锐角对应相等，因此构成了AAA，不能判定全等，原命题是假命题；
D、两条直角边对应相等，构成了SAS，能判定全等；是真命题；
故选：C．
11．（3分）若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出a的范围即可．
【解答】解：去分母得：2（2x﹣a）＝x﹣2，
解得：x＝，
由题意得：≥0且≠2，
解得：a≥1且a≠4，
故选：C．
12．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，平行四边形ABCD的周长为40．则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．48
【分析】已知平行四边形的高AE、AF，设BC＝xcm，则CD＝（20﹣x）cm，根据“等面积法”列方程，求BC，从而求出平行四边形的面积．
【解答】解：设BC＝xcm，则CD＝（20﹣x）cm，根据“等面积法”得
4x＝6（20﹣x），解得x＝12，
∴平行四边形ABCD的面积＝4x＝4×12＝48．故选D．
二、填空题：（每小题3分，共12分）
13．（3分）等腰三角形的两边分别为7cm，3cm，则它的周长为 17 cm．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为7cm和3cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当7cm为腰，3cm为底，此时周长＝7+7+3＝17（cm）；
当7cm为底，3cm为腰，则3+3＜7无法构成三角形，故舍去．
故其周长是17cm．
故答案为：17．
14．（3分）当x ≠3 时，分式有意义．
【分析】根据分式存在的条件得到3﹣x≠0，解不等式即可．
【解答】解：要使分式有意义，必须3﹣x≠0，即x≠3．
故答案为：≠3．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE＝2，则AE的长为 1 ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EC＝EB＝2，根据直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴EC＝EB＝2，
∴∠ECB＝∠B＝30°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECB＝∠ACE＝30°，
∴∠A＝90°，又∠ACE＝30°，
∴AE＝EC＝1，
故答案为：1．
16．（3分）对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b]＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是 2 ．
【分析】联立两函数解析式成方程组，通过解方程组找出交点坐标，再根据max{a，b}的意义即可得出函数的最小值．
【解答】解：联立两函数解析式成方程组，得：，
解得：．
∴当x＜﹣1时，y＝max{x+3，﹣x+1}＝﹣x+1＞2；当x≥﹣1时，y＝max{x+3，﹣x+1}＝x+3≥2．
∴函数y＝max{x+3，﹣x+1}最小值为2．
故答案为：2．
三.解答题：（共计72分）
17．（6分）分解因式：
（1）（x+2y）2﹣y2；
（2）m2（m﹣1）﹣4（1﹣m）2．
【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；
（2）原式变形后，提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝（x+2y+y）（x+2y﹣y）
＝（x+3y）（x+y）；
（2）原式＝m2（m﹣1）﹣4（m﹣1）2
＝（m﹣1）[m2﹣4（m﹣1）]
＝（m﹣1）（m2﹣4m+4）
＝（m﹣1）（m﹣2）2．
18．（5分）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】分别解两个不等式得到x＞1和x≤﹣4，然后根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的解集，最后用数轴表示解集．
【解答】解：，
由①得：x＞1
由②得：x≤4
所以这个不等式的解集是1＜x≤4，
用数轴表示为
．
19．（8分）解方程：
（1）＝；
（2）﹣1＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：3（x﹣1）＝2x，
去括号得：3x﹣3＝2x，
解得：x＝3，
经检验x＝3是分式方程的解；
（2）去分母得：（x﹣2）2﹣x2+4＝16，
整理得：x2﹣4x+4﹣x2+4＝16，
解得：x＝﹣2，
经检验x＝﹣2是增根，分式方程无解．
20．（5分）先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝﹣5．
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当x＝﹣5时，
原式＝＝．
21．（4分）一个多边形的内角和与外角和的差为1260°，求它的边数．
【分析】设多边形的边数是n，根据题意得出（n﹣2）•180°﹣360°＝1260°，解之可得．
【解答】解：设多边形的边数是n，
则：（n﹣2）•180°﹣360°＝1260°，
解得：n＝11，
答：这个多边形的边数是11．
22．（5分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的两格中，点A、B、C都是格点．
（1）将△ABC向左平移6个单位长度得到得到△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
【分析】（1）将点A、B、C分别向左平移6个单位长度，得出对应点，即可得出△A1B1C1；
（2）将点A、B、C分别绕点O按逆时针方向旋转180°，得出对应点，即可得出△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．
23．（6分）如图所示，根据图中信息．
（1）你能写出m、n的值吗？
（2）你能写出P点的坐标吗？
（3）当x为何值时，y1＞y2？
【分析】（1）根据题意，函数y1＝x+n与y2＝﹣x+m分别过点（0，1）和点（3，0），把其代入函数的解析式，可以写出m，n的值；
（2）由题（1）可以求出两函数的解析式，联立方程可以求出两函数的交点；
（3）求出两函数的交点后，根据一次函数的性质，可以求出y1＞y2时，x的范围；
【解答】解：（1）∵函数y1＝x+n过点（0，1）代入y1得：n＝1，
∵函数y2＝﹣x+m过点（3，0），代入y2得：﹣3+m＝0，
∴m＝3；
（2）由（1）值y1＝x+1，y2＝﹣x+3，
∴x+1＝﹣x+3，
∴x＝1，把x＝1代入y1得，
y1＝2，
∴两函数的交点为（1，2），
即P（1，2）；
（3）由一次函数的图象知，当函数y1的图象在y2的上面时，有x＞1，
∴当x＞1时，y1＞y2．
24．（6分）已知：如图，▱ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点．
（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；
（2）若AD＝AE＝2，∠A＝60°，求四边形EBFD的周长．
【分析】1、在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，又E、F分别是边AB、CD的中点，所以BE＝CF，因此四边形EBFD是平行四边形
2、由AD＝AE＝2，∠A＝60°知△ADE是等边三角形，又E、F分别是边AB、CD的中点，四边形EBFD是平行四边形，所以EB＝BF＝FD＝DE＝2，四边形EBFD是平行四边形的周长是2+2+2+2＝8
【解答】解：（1）在▱ABCD中，
AB＝CD，AB∥CD．
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴．
∴BE＝DF．
∴四边形EBFD是平行四边形
（2）∵AD＝AE，∠A＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
∴DE＝AD＝2，
又∵BE＝AE＝2，
由（1）知四边形EBFD是平行四边形，
∴四边形EBFD的周长＝2（BE+DE）＝8．
25．（5分）对于任意实数a、b、c、d，我们规定＝ad﹣bc，若﹣8＜＜4，求整数x的值．
【分析】首先化简，转化为不等式组，然后解不等式组求得x的范围，然后确定整数解即可．
【解答】解：＝（x﹣1）（x+5）﹣x（x+1）＝3x﹣5．
根据题意得：，
解①得x＞﹣1，
解②得x＜3．
则不等式组的解集是﹣1＜x＜3．
则整数解是0，1，2．
26．（6分）如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长．
【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出DEBC，进而得出DE＝FC；
（2）利用平行四边形的判定与性质得出DC＝EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长．
【解答】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DEBC，
∵延长BC至点F，使CF＝BC，
∴DE＝FC；
（2）解：∵DEFC，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF，
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，
∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，
∴DC＝EF＝．
27．（7分）小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元，已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同．
（1）求大本作业本与小本作业本每本各多少元？
（2）因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的2倍，总费用不超过15元．则大本作业本最多能购买多少本？
【分析】（1）设小本作业本每本x元，则大本作业本每本（x+0.3）元，根据数量＝总价÷单价结合用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设大本作业本购买m本，则小本作业本购买2m本，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过15元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设小本作业本每本x元，则大本作业本每本（x+0.3）元，
依题意，得：＝，
解得：x＝0.5，
经检验，x＝0.5是原方程的解，且符合题意，
∴x+0.3＝0.8．
答：大本作业本每本0.8元，小本作业本每本0.5元．
（2）设大本作业本购买m本，则小本作业本购买2m本，
依题意，得：0.8m+0.5×2m≤15，
解得：m≤．
∵m为正整数，
∴m的最大值为8．
答：大本作业本最多能购买8本．
28．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点（不与原点O重合），以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ．
（1）求点B的坐标；
（2）在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由．
（3）连接OQ，当OQ∥AB时，求P点的坐标．
【分析】（1）如图，作辅助线；证明∠BOC＝30°，OB＝2，借助直角三角形的边角关系即可解决问题；
（2）证明△APO≌△AQB，得到∠ABQ＝∠AOP＝90°，即可解决问题；
（3）根据点P在x的正半轴还是负半轴两种情况讨论，再根据全等三角形的性质即可得出结果．
【解答】解：（1）如图1，过点B作BC⊥x轴于点C，
∵△AOB为等边三角形，且OA＝2，
∴∠AOB＝60°，OB＝OA＝2，
∴∠BOC＝30°，而∠OCB＝90°，
∴BC＝OB＝1，OC＝，
∴点B的坐标为B（，1）；
（2）∠ABQ＝90°，始终不变．理由如下：
∵△APQ、△AOB均为等边三角形，
∴AP＝AQ、AO＝AB、∠PAQ＝∠OAB，
∴∠PAO＝∠QAB，
在△APO与△AQB中，
，
∴△APO≌△AQB（SAS），
∴∠ABQ＝∠AOP＝90°；
（3）当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，
∵AB∥OQ，∠BQO＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°．
又OB＝OA＝2，可求得BQ＝，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP＝BQ＝，
∴此时P的坐标为（﹣，0）．
当点P在x轴正半轴时，点Q必在第一象限，OQ和AB不可能平行；
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