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2019-2020学年江苏省淮安市淮安区文通中学八年级（下）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年江苏省淮安市淮安区文通中学八年级（下）期末数学试卷
一.选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）将1930四舍五入精确到1000取得的近似数用科学记数法表示为（ ）
A．1.93×103 B．2×103 C．1.9×103 D．2×104
2．（3分）下列各式：（1﹣x），，，，，，其中分式有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（3分）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（ ）
A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm
4．（3分）如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
5．（3分）已知关于x的一次函数y＝（m﹣3）x+m+2的图象经过第一、二、四象限，则代数式|m﹣3|+|m+2|可化简为（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．2m﹣1
6．（3分）关于x的方程+＝有增根，则a＝（ ）
A．﹣10或6 B．﹣2或﹣10 C．﹣2或6 D．﹣2或﹣10或6
7．（3分）如图①，公路上有A、B、C三家商店，甲、乙两人分别从A、C两家商店同时沿公路按如图所示的方向向右匀速步行．设出发t（min）后，甲距离B商店为S甲（m），乙距离B商店为S乙（m）．当0≤t≤10时，已知S甲、S乙关于t的函数图象在同一直角坐标系中如图②所示，根据图中所给信息下列描述正确的是（ ）
A．乙的速度为75m/min
B．A、C两商店相距1350m
C．当甲到达B商店时，甲、乙两人相距1650m
D．当t＝10min时，甲、乙两人相距1500m
8．（3分）如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是（用含n的代数式表示）（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
9．（3分）已知+2＝b+8，则的值是 ．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE．若∠B＝55°，∠BAD＝50°，则∠EDC＝ °．
11．（3分）关于x的方程的解是正数，则t的取值范围是 ．
12．（3分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AB上移动，则CP的最小值是 ．
13．（3分）对于任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1．现对72进行如下操作：
72[]＝8[]＝2[]＝1，类地，只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
14．（3分）已知A（1，2）、B（﹣3，1），点P在y轴上，则当y轴平分∠APB时，点P的坐标为 ．
15．（3分）一次函数y＝kx+b的图象经过的点的坐标如表格所示；
x
……
﹣2
﹣1
0
1
……
y
……
0
2
4
6
……
当y＜﹣2时，x的取值范围是 ．
16．（3分）如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（异于点B、C），过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，连接FD，FE．当点D在BC边上移动时，有下列三个结论：①△DEF一定为等腰三角形，②△CFG一定为等边三角形，③△FDC可能为等腰三角形．其中正确的是 ．（填写序号）
三．解答题（共11小题）
17．（1）（﹣）（b＜0）．
（2）先化简，再求值（﹣）÷，x是不等式≤1的最小整数解．
18．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．
（1）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数；
（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN．
19．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
20．阅读下面计算过程：
＝＝﹣1；
＝＝﹣；
＝＝﹣2．
求：（1）的值．
（2）（n为正整数）的值．
（3）+++…+的值．
21．一次函数y＝y＝﹣2x﹣4的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°．
（1）请写出A，B两点坐标并在方格纸中画出函数图象与等腰Rt△ABC；
（2）求过B、C两点直线的函数关系式．
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别为A（﹣8，0）、B（6，0）、C（0，6），点D是OC中点，连接BD并延长交AC于点E，求四边形AODE的面积．
23．直线y＝2x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）画出直线AB，并求△OAB的面积；
（3）点C在x轴上，且AC＝AB，直接写出点C坐标．
24．如图，△ABC顶点的坐标分别为A（﹣3，7）、B（﹣4，3）、C（﹣1，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（2）连接AC'、AB'，判断△AB′C′的形状，并说明理由．
（3）在y轴上找一点P，使△PBC周长最小．
25．甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑电动车，甲到达B地停留半个小时后返回A地，如图是他们离A地的距离y（千米）与经过的时间x（小时）之间的函数关系图象．
（1）求甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若乙出发后108分钟和甲相遇，求乙从A地到B地用了多少分钟？
26．某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌的足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？
（2）该中学响应习总书记足球进校园号召，决定两次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3240元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？
27．【模型建立】
（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．
求证：△CDA≌△BEC．
【模型运用】
（2）如图2，直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2，求直线l2的函数表达式．
【模型迁移】
如图3，直线l经过坐标原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，点A在直线l上，点P为x轴上一动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，过点B的直线BC交x轴于点C，∠OCB＝30°，点B到x轴的距离为2，求点P的坐标．
2019-2020学年江苏省淮安市淮安区文通中学八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）将1930四舍五入精确到1000取得的近似数用科学记数法表示为（ ）
A．1.93×103 B．2×103 C．1.9×103 D．2×104
【分析】先用科学记数法表示，然后把百位上的数进行四舍五入即可．
【解答】解：1930≈2000＝2×103（精确到1000）．
故选：B．
2．（3分）下列各式：（1﹣x），，，，，，其中分式有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：（1﹣x），，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．，，的分母中含有字母，因此是分式，共有3个．
故选：B．
3．（3分）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（ ）
A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm
【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长
【解答】解：根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm，
在Rt△ABC中：AC＝＝＝15（cm），
则这只铅笔的长度大于15cm．
故选：D．
4．（3分）如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【分析】以每个点为原点，确定其余三个点的坐标，找出满足条件的点，得到答案．
【解答】解：当以点B为原点时，
A（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），
则点A和点C关于y轴对称，
符合条件，
故选：B．
5．（3分）已知关于x的一次函数y＝（m﹣3）x+m+2的图象经过第一、二、四象限，则代数式|m﹣3|+|m+2|可化简为（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．2m﹣1
【分析】函数经过第一、二、四象限，则m﹣3＜0，m+2＞0，即可求解．
【解答】解：函数经过第一、二、四象限，
则m﹣3＜0，m+2＞0，
解得：﹣2＜m＜3，
则|m﹣3|+|m+2|＝3﹣m+m+2＝5，
故选：C．
6．（3分）关于x的方程+＝有增根，则a＝（ ）
A．﹣10或6 B．﹣2或﹣10 C．﹣2或6 D．﹣2或﹣10或6
【分析】根据分式方程的増根的意义即可求解．
【解答】解：原方程去分母得：
5（x+5）+ax＝3（x﹣5）
因为分式方程的増根为x＝±5，
所以50+5a＝0或﹣5a＝﹣30
得a＝﹣10或a＝6．
故选：A．
7．（3分）如图①，公路上有A、B、C三家商店，甲、乙两人分别从A、C两家商店同时沿公路按如图所示的方向向右匀速步行．设出发t（min）后，甲距离B商店为S甲（m），乙距离B商店为S乙（m）．当0≤t≤10时，已知S甲、S乙关于t的函数图象在同一直角坐标系中如图②所示，根据图中所给信息下列描述正确的是（ ）
A．乙的速度为75m/min
B．A、C两商店相距1350m
C．当甲到达B商店时，甲、乙两人相距1650m
D．当t＝10min时，甲、乙两人相距1500m
【分析】t＝0时，S甲＝1500，S乙＝150，则甲的速度为：（1500﹣750）÷10＝75，乙的速度为：（750﹣150）÷10＝60，即可求解．
【解答】解：甲的速度为：（1500﹣750）÷10＝75，乙的速度为：（750﹣150）÷10＝60，故：A错误
t＝0时，S甲＝1500，S乙＝150，故A、C的距离为1500+150＝1650，故：B错误；
甲到达B商店用的时间为：1500÷75＝20，则此时乙距离点B为：150+20×60＝1350，故C错误；
t＝10时，甲乙均距离点B750m，故D正确；
故选：D．
8．（3分）如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是（用含n的代数式表示）（ ）
A． B． C． D．
【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n﹣1行的数字个数，再加上从左向右的第n﹣3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可．
【解答】解：由图中规律知，前（n﹣1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n﹣1）＝n（n﹣1），
所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数的被开方数是
n（n﹣1）+n﹣3＝n2﹣3，
所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
9．（3分）已知+2＝b+8，则的值是 5 ．
【分析】依据二次根式中被开方数为非负数，即可得到a的值，进而得出b的值，代入计算即可得到的值．
【解答】解：由题可得，
解得，
即a＝17，
∴0＝b+8，
∴b＝﹣8，
∴＝＝5，
故答案为：5．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE．若∠B＝55°，∠BAD＝50°，则∠EDC＝ 25 °．
【分析】根据等边对等角的性质可得∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ADC和∠AED，然后求出∠EDC与∠BAD的关系，再代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，
在△ABD中，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠ADE＝∠ADC﹣∠EDC＝∠B+∠BAD﹣∠EDC，
在△CDE中，∠AED＝∠EDC+∠C，
∴∠B+∠BAD﹣∠EDC＝∠EDC+∠C，
∴∠EDC＝∠BAD，
∵∠BAD＝50°，
∴∠EDC＝×50°＝25°．
11．（3分）关于x的方程的解是正数，则t的取值范围是 t＞﹣且t≠﹣ ．
【分析】解分式方程，用含t的代数式表示出x，根据解为正数，求出t的取值范围．
【解答】解：方程的两边都乘以（2x﹣3），得x+2t＝2x﹣3，
整理，得x＝2t+3
由于方程的解是正数，
所以2t+3＞0，
解得t＞﹣
当2x﹣3＝0即x＝时，
原分式方程无意义，
所以2t+3≠
即t≠﹣．
所以t的取值范围为：t＞﹣且t≠﹣．
12．（3分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AB上移动，则CP的最小值是 4.8 ．
【分析】作BC边上的高AF，利用等腰三角形的三线合一的性质求BF＝3，利用勾股定理求得AF的长，利用面积相等即可求得AB边上的高CP的长．
【解答】解：如图，作AF⊥BC于点F，作CP⊥AB于点P，
根据题意得此时CP的值最小；
解：作BC边上的高AF，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BF＝CF＝3，
∴由勾股定理得：AF＝4，
∴S△ABC＝AB•PC＝BC•AF＝×5CP＝×6×4
得：CP＝4.8
故答案为4.8．
13．（3分）对于任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1．现对72进行如下操作：
72[]＝8[]＝2[]＝1，类地，只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 65535 ．
【分析】根据规律可知，最后的取整是1，得出前面的一个数字最大是3，再向前一步推取整是3的最大数为15，继续会得到取整是15的最大数为255，继续会得到取整是255的最大数为65535，反之验证得出答案即可．
【解答】解：∵[]＝1，[]＝3，[]＝15，[]＝255，
所以只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最大的是65535．
故答案为：65535
14．（3分）已知A（1，2）、B（﹣3，1），点P在y轴上，则当y轴平分∠APB时，点P的坐标为 （0，） ．
【分析】当y轴平分∠APB时，点A关于y的对称点A'在BP上，利用待定系数法求得A'B的表达式，即可得到点P的坐标．
【解答】解：如图，当y轴平分∠APB时，点A关于y轴的对称点A'在BP上，
∵A（1，2），
∴A'（﹣1，2），
设A'B的表达式为y＝kx+b，
把A'（﹣1，2），B（﹣3，1）代入，
可得，
解得k＝，b＝，
∴y＝x+，
令x＝0，则y＝，
∴点P的坐标为（0，），
故答案为：（0，）．
15．（3分）一次函数y＝kx+b的图象经过的点的坐标如表格所示；
x
……
﹣2
﹣1
0
1
……
y
……
0
2
4
6
……
当y＜﹣2时，x的取值范围是 x＜﹣3 ．
【分析】先根据表格数据求出一次函数的解析式，然后再求出当y＜﹣2时，x的取值范围．
【解答】解：根据表格所知，一次函数y＝kx+b的图象经过（﹣1，2），（0，4）等点，
则，
解得，
一次函数的解析式为y＝2x+4，
当y＜﹣2时，则2x+4＜﹣2，
解得x＜﹣3，
故答案为x＜﹣3．
16．（3分）如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（异于点B、C），过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，连接FD，FE．当点D在BC边上移动时，有下列三个结论：①△DEF一定为等腰三角形，②△CFG一定为等边三角形，③△FDC可能为等腰三角形．其中正确的是 ①② ．（填写序号）
【分析】依据线段垂直平分线的性质、平行线的性质以及等边三角形的判定，即可得出结论．
【解答】解：∵DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，
∴FE＝FD，
∴△DEF为等腰三角形，故①正确；
∵DE⊥AB，DE⊥FG，
∴AB∥FG，
∴∠FGC＝∠B＝60°，
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∴△CFG中，∠C＝∠CFG＝∠CGF，
∴△CFG是等边三角形，故②正确；
∵∠FDC＞∠FGC＝60°，∠C＝60°，∠CFD＜∠CFG＝60°，
∴△CDF不可能是等腰三角形，故③错误；
故答案为：①②．
三．解答题（共11小题）
17．（1）（﹣）（b＜0）．
（2）先化简，再求值（﹣）÷，x是不等式≤1的最小整数解．
【分析】（1）根据二次根式的运算法则即可求出答案．
（2）先根据分式的运算法则进行化简，然后解出不等式后，将x的值代入分式即可求出答案．
【解答】解：（1）∵b＜0，，
∴a＜0，
原式＝÷
＝•a2b2•
＝﹣3a2b•
＝ab．
（2）原式＝[﹣]•
＝（﹣）•
＝•
＝，
∵，
∴x≥﹣2，
∵x是最小整数，
∴x＝﹣2，
∴原式＝＝．
18．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．
（1）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数；
（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN．
【分析】（1）根据AB∥CD，∠ACD＝114°，得出∠CAB＝66°，再根据AM是∠CAB的平分线，即可得出∠MAB的度数．
（2）根据∠CAM＝∠MAB，∠MAB＝∠CMA，得出∠CAM＝∠CMA，再根据CN⊥AD，CN＝CN，即可得出△ACN≌△MCN．
【解答】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠CAB＝180°，
又∵∠ACD＝114°，
∴∠CAB＝66°，
由作法知，AM是∠CAB的平分线，
∴∠MAB＝∠CAB＝33°；
（2）证明：∵AM平分∠CAB，
∴∠CAM＝∠MAB，
∵AB∥CD，
∴∠MAB＝∠CMA，
∴∠CAM＝∠CMA，
又∵CN⊥AM，
∴∠ANC＝∠MNC，
在△ACN和△MCN中，，
∴△ACN≌△MCN（AAS）．
19．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长．
【解答】解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝13米，AC＝5米，
∴AB＝＝12（米），
∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，
∴CD＝13﹣0.5×10＝8（米），
∴AD＝＝＝（米），
∴BD＝AB﹣AD＝12﹣（米），
答：船向岸边移动了（12﹣）米．
20．阅读下面计算过程：
＝＝﹣1；
＝＝﹣；
＝＝﹣2．
求：（1）的值．
（2）（n为正整数）的值．
（3）+++…+的值．
【分析】（1）根据给定算式，在分式的分母和分子上分别相乘（﹣），计算后即可得出结论；
（2）根据给定算式，在分式的分母和分子上分别相乘（﹣），计算后即可得出结论；
（3）根据（2）的结论即可得出+++…+＝（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+…+（10﹣），由此即可算出结论．
【解答】解：（1）＝＝﹣；
（2）＝＝﹣；
（3）+++…+＝（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+…+（10﹣）＝10﹣1＝9．
21．一次函数y＝y＝﹣2x﹣4的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°．
（1）请写出A，B两点坐标并在方格纸中画出函数图象与等腰Rt△ABC；
（2）求过B、C两点直线的函数关系式．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征求A点和B点坐标；然后画图；
（2）过C点作CD⊥x轴，如图，再证明△AOB≌△CDA，得到AO＝CD＝2，BO＝AD＝4，则C（2，2，），然后利用待定系数法求直线BC的解析式．
【解答】解：（1）当y＝0时，﹣2x﹣4＝0，解得x＝﹣2，则A（﹣2，0）；
当y＝0时，y＝﹣2x﹣4＝﹣4，则B（0，﹣4）；
（2）过C点作CD⊥x轴，如图，
∵Rt△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC，
∵∠BAO+∠CAD＝90∘，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CAD＝∠ABO，
在△AOB和△CDA中，
∴△AOB≌△CDA，
∴AO＝CD＝2，BO＝AD＝4，
∴OD＝2，
∴C（2，2，），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（0，﹣4）、C（2，2）分别代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝3x﹣4．
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别为A（﹣8，0）、B（6，0）、C（0，6），点D是OC中点，连接BD并延长交AC于点E，求四边形AODE的面积．
【分析】根据已知条件得到D（0，3），求得直线AC的解析式为：y＝x+6，求得直线BD的解析式为：y＝﹣x+3；根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵D是OC中点，C（0，6），
∴D（0，3），
设直线AC的解析式为：y＝kx+b，
∵A（﹣8，0）、C（0，6），
∴，
∴，
∴直线AC的解析式为：y＝x+6，
直线BD的解析式为：y＝mx+n，
∵B（6，0）、D（0，2），
∴，
∴，
∴直线BD的解析式为：y＝﹣x+3；
解得，，
∴E（﹣，），
∴S四边形AODE＝S△ABE﹣S△OBD＝×14×﹣×6×3＝．
23．直线y＝2x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）画出直线AB，并求△OAB的面积；
（3）点C在x轴上，且AC＝AB，直接写出点C坐标．
【分析】（1）分别令y＝0和x＝0求出A、B两点坐标；
（2）画出直线AB，利用三角形的面积公式求出△OAB的面积即可；
（3）利用勾股定理求出AB，根据AC＝AB，确定点C坐标即可．
【解答】解：（1）令x＝0，得到y＝﹣2，
∴B（0，﹣2），
令y＝0，得到x＝1，
∴A（1，0）；
（2）直线AB如图所示：
∵OA＝1，OB＝2，
∴△OAB的面积为：；
（2）如上图，∵AB＝＝，
∵AC＝AB＝，
∴C（1+，0），C′（1﹣，0）．
24．如图，△ABC顶点的坐标分别为A（﹣3，7）、B（﹣4，3）、C（﹣1，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（2）连接AC'、AB'，判断△AB′C′的形状，并说明理由．
（3）在y轴上找一点P，使△PBC周长最小．
【分析】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用勾股定理逆定理进而得出答案；
（3）直接利用轴对称求最短路径的方法得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；
（2）△AB′C′是直角三角形．
理由：如图所示：AC′2＝16+36＝52，
B′C′2＝4+9＝13，
AB′2＝16+49＝65，
则AC′2+B′C′2＝AB′2，
故△AB′C′是直角三角形；
（3）如图所示：点P即为所求，此时△PBC周长最小．
25．甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑电动车，甲到达B地停留半个小时后返回A地，如图是他们离A地的距离y（千米）与经过的时间x（小时）之间的函数关系图象．
（1）求甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若乙出发后108分钟和甲相遇，求乙从A地到B地用了多少分钟？
【分析】（1）首先设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据图象可得直线经过（1.5，90），（3，0），利用待定系数法把此两点坐标代入y＝kx+b，即可求出一次函数关系式；
（2）利用甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式算出y的值，即可得到108分钟时骑电动车所行驶的路程，再根据路程与时间算出电动车的速度，再用总路程90千米÷电动车的速度可得乙从A地到B地用了多长时间．
【解答】解：（1）设甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
根据题意得：，
解得，
所以y＝﹣60x+180（1.5≤x≤3）；
（2）∵当x＝＝1.8时，y＝﹣60×1.8+180＝72，
∴骑电动车的速度为72÷1.8＝40（千米/时），
∴乙从A地到B地用时为90÷40＝2.25（小时）＝135分钟．
26．某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌的足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？
（2）该中学响应习总书记足球进校园号召，决定两次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3240元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？
【分析】（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需（x+30）元，根据购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍列出方程解答即可；
（2）设此次可购买a个B品牌足球，则购进A牌足球（50﹣a）个，根据购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3240元，列出不等式解决问题．
【解答】解：（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需（x+30）元，由题意得：
＝×2
解得：x＝50
经检验x＝50是原方程的解，
x+30＝80
答：一个A品牌的足球需50元，则一个B品牌的足球需80元．
（2）设此次可购买a个B品牌足球，则购进A牌足球（50﹣a）个，由题意得
50×（1+8%）（50﹣a）+80×0.9a≤3240
解得a≤30
∵a是整数，
∴a最大等于30，
答：该中学此次最多可购买30个B品牌足球．
27．【模型建立】
（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．
求证：△CDA≌△BEC．
【模型运用】
（2）如图2，直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2，求直线l2的函数表达式．
【模型迁移】
如图3，直线l经过坐标原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，点A在直线l上，点P为x轴上一动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，过点B的直线BC交x轴于点C，∠OCB＝30°，点B到x轴的距离为2，求点P的坐标．
【分析】【模型建立】
（1）由“AAS”可证△CDA≌△BEC；
【模型运用】
（2）如图2，在l2上取D点，使AD＝AB，过D点作DE⊥OA，垂足为E，由（1）可知△BOA≌△AED，可得DE＝OA＝3，AE＝OB＝4，可求点D坐标，由待定系数法可求解析式；
【模型迁移】
（3）分两种情况讨论，通过证明△OAP≌△CPB，可得OP＝BC＝4，即可求点P坐标．
【解答】证明：【模型建立】
（1）∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠D＝∠E＝90°
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，且CA＝BC，∠D＝∠E＝90°
∴△CDA≌△BEC（AAS）
【模型运用】
（2）如图2，在l2上取D点，使AD＝AB，过D点作DE⊥OA，垂足为E
∵直线y＝x+4与坐标轴交于点A、B，
∴A（﹣3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
由（1）得△BOA≌△AED，
∴DE＝OA＝3，AE＝OB＝4，
∴OE＝7，
∴D（﹣7，3）
设l2的解析式为y＝kx+b，
得
解得
∴直线l2的函数表达式为：
【模型迁移】
（3）若点P在x轴正半轴，如图3，过点B作BE⊥OC，
∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC
∴BC＝4，
∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，
∴AP＝BP，∠APB＝30°，
∵∠APC＝∠AOC+∠OAP＝∠APB+∠BPC，
∴∠OAP＝∠BPC，且∠OAC＝∠PCB＝30°，AP＝BP，
∴△OAP≌△CPB（AAS）
∴OP＝BC＝4，
∴点P（4，0）
若点P在x轴负半轴，如图4，过点B作BE⊥OC，
∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC
∴BC＝4，
∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，
∴AP＝BP，∠APB＝30°，
∵∠APE+∠BPE＝30°，∠BCE＝30°＝∠BPE+∠PBC，
∴∠APE＝∠PBC，
∵∠AOE＝∠BCO＝30°，
∴∠AOP＝∠BCP＝150°，且∠APE＝∠PBC，PA＝PB
∴△OAP≌△CPB（AAS）
∴OP＝BC＝4，
∴点P（﹣4，0）
综上所述：点P坐标为（4，0）或（﹣4，0）
一.选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）将1930四舍五入精确到1000取得的近似数用科学记数法表示为（ ）
A．1.93×103 B．2×103 C．1.9×103 D．2×104
2．（3分）下列各式：（1﹣x），，，，，，其中分式有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（3分）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（ ）
A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm
4．（3分）如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
5．（3分）已知关于x的一次函数y＝（m﹣3）x+m+2的图象经过第一、二、四象限，则代数式|m﹣3|+|m+2|可化简为（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．2m﹣1
6．（3分）关于x的方程+＝有增根，则a＝（ ）
A．﹣10或6 B．﹣2或﹣10 C．﹣2或6 D．﹣2或﹣10或6
7．（3分）如图①，公路上有A、B、C三家商店，甲、乙两人分别从A、C两家商店同时沿公路按如图所示的方向向右匀速步行．设出发t（min）后，甲距离B商店为S甲（m），乙距离B商店为S乙（m）．当0≤t≤10时，已知S甲、S乙关于t的函数图象在同一直角坐标系中如图②所示，根据图中所给信息下列描述正确的是（ ）
A．乙的速度为75m/min
B．A、C两商店相距1350m
C．当甲到达B商店时，甲、乙两人相距1650m
D．当t＝10min时，甲、乙两人相距1500m
8．（3分）如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是（用含n的代数式表示）（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
9．（3分）已知+2＝b+8，则的值是 ．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE．若∠B＝55°，∠BAD＝50°，则∠EDC＝ °．
11．（3分）关于x的方程的解是正数，则t的取值范围是 ．
12．（3分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AB上移动，则CP的最小值是 ．
13．（3分）对于任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1．现对72进行如下操作：
72[]＝8[]＝2[]＝1，类地，只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
14．（3分）已知A（1，2）、B（﹣3，1），点P在y轴上，则当y轴平分∠APB时，点P的坐标为 ．
15．（3分）一次函数y＝kx+b的图象经过的点的坐标如表格所示；
x
……
﹣2
﹣1
0
1
……
y
……
0
2
4
6
……
当y＜﹣2时，x的取值范围是 ．
16．（3分）如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（异于点B、C），过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，连接FD，FE．当点D在BC边上移动时，有下列三个结论：①△DEF一定为等腰三角形，②△CFG一定为等边三角形，③△FDC可能为等腰三角形．其中正确的是 ．（填写序号）
三．解答题（共11小题）
17．（1）（﹣）（b＜0）．
（2）先化简，再求值（﹣）÷，x是不等式≤1的最小整数解．
18．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．
（1）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数；
（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN．
19．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
20．阅读下面计算过程：
＝＝﹣1；
＝＝﹣；
＝＝﹣2．
求：（1）的值．
（2）（n为正整数）的值．
（3）+++…+的值．
21．一次函数y＝y＝﹣2x﹣4的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°．
（1）请写出A，B两点坐标并在方格纸中画出函数图象与等腰Rt△ABC；
（2）求过B、C两点直线的函数关系式．
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别为A（﹣8，0）、B（6，0）、C（0，6），点D是OC中点，连接BD并延长交AC于点E，求四边形AODE的面积．
23．直线y＝2x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）画出直线AB，并求△OAB的面积；
（3）点C在x轴上，且AC＝AB，直接写出点C坐标．
24．如图，△ABC顶点的坐标分别为A（﹣3，7）、B（﹣4，3）、C（﹣1，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（2）连接AC'、AB'，判断△AB′C′的形状，并说明理由．
（3）在y轴上找一点P，使△PBC周长最小．
25．甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑电动车，甲到达B地停留半个小时后返回A地，如图是他们离A地的距离y（千米）与经过的时间x（小时）之间的函数关系图象．
（1）求甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若乙出发后108分钟和甲相遇，求乙从A地到B地用了多少分钟？
26．某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌的足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？
（2）该中学响应习总书记足球进校园号召，决定两次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3240元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？
27．【模型建立】
（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．
求证：△CDA≌△BEC．
【模型运用】
（2）如图2，直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2，求直线l2的函数表达式．
【模型迁移】
如图3，直线l经过坐标原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，点A在直线l上，点P为x轴上一动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，过点B的直线BC交x轴于点C，∠OCB＝30°，点B到x轴的距离为2，求点P的坐标．
2019-2020学年江苏省淮安市淮安区文通中学八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）将1930四舍五入精确到1000取得的近似数用科学记数法表示为（ ）
A．1.93×103 B．2×103 C．1.9×103 D．2×104
【分析】先用科学记数法表示，然后把百位上的数进行四舍五入即可．
【解答】解：1930≈2000＝2×103（精确到1000）．
故选：B．
2．（3分）下列各式：（1﹣x），，，，，，其中分式有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：（1﹣x），，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．，，的分母中含有字母，因此是分式，共有3个．
故选：B．
3．（3分）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（ ）
A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm
【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长
【解答】解：根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm，
在Rt△ABC中：AC＝＝＝15（cm），
则这只铅笔的长度大于15cm．
故选：D．
4．（3分）如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【分析】以每个点为原点，确定其余三个点的坐标，找出满足条件的点，得到答案．
【解答】解：当以点B为原点时，
A（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），
则点A和点C关于y轴对称，
符合条件，
故选：B．
5．（3分）已知关于x的一次函数y＝（m﹣3）x+m+2的图象经过第一、二、四象限，则代数式|m﹣3|+|m+2|可化简为（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．2m﹣1
【分析】函数经过第一、二、四象限，则m﹣3＜0，m+2＞0，即可求解．
【解答】解：函数经过第一、二、四象限，
则m﹣3＜0，m+2＞0，
解得：﹣2＜m＜3，
则|m﹣3|+|m+2|＝3﹣m+m+2＝5，
故选：C．
6．（3分）关于x的方程+＝有增根，则a＝（ ）
A．﹣10或6 B．﹣2或﹣10 C．﹣2或6 D．﹣2或﹣10或6
【分析】根据分式方程的増根的意义即可求解．
【解答】解：原方程去分母得：
5（x+5）+ax＝3（x﹣5）
因为分式方程的増根为x＝±5，
所以50+5a＝0或﹣5a＝﹣30
得a＝﹣10或a＝6．
故选：A．
7．（3分）如图①，公路上有A、B、C三家商店，甲、乙两人分别从A、C两家商店同时沿公路按如图所示的方向向右匀速步行．设出发t（min）后，甲距离B商店为S甲（m），乙距离B商店为S乙（m）．当0≤t≤10时，已知S甲、S乙关于t的函数图象在同一直角坐标系中如图②所示，根据图中所给信息下列描述正确的是（ ）
A．乙的速度为75m/min
B．A、C两商店相距1350m
C．当甲到达B商店时，甲、乙两人相距1650m
D．当t＝10min时，甲、乙两人相距1500m
【分析】t＝0时，S甲＝1500，S乙＝150，则甲的速度为：（1500﹣750）÷10＝75，乙的速度为：（750﹣150）÷10＝60，即可求解．
【解答】解：甲的速度为：（1500﹣750）÷10＝75，乙的速度为：（750﹣150）÷10＝60，故：A错误
t＝0时，S甲＝1500，S乙＝150，故A、C的距离为1500+150＝1650，故：B错误；
甲到达B商店用的时间为：1500÷75＝20，则此时乙距离点B为：150+20×60＝1350，故C错误；
t＝10时，甲乙均距离点B750m，故D正确；
故选：D．
8．（3分）如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是（用含n的代数式表示）（ ）
A． B． C． D．
【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n﹣1行的数字个数，再加上从左向右的第n﹣3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可．
【解答】解：由图中规律知，前（n﹣1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n﹣1）＝n（n﹣1），
所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数的被开方数是
n（n﹣1）+n﹣3＝n2﹣3，
所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
9．（3分）已知+2＝b+8，则的值是 5 ．
【分析】依据二次根式中被开方数为非负数，即可得到a的值，进而得出b的值，代入计算即可得到的值．
【解答】解：由题可得，
解得，
即a＝17，
∴0＝b+8，
∴b＝﹣8，
∴＝＝5，
故答案为：5．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE．若∠B＝55°，∠BAD＝50°，则∠EDC＝ 25 °．
【分析】根据等边对等角的性质可得∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ADC和∠AED，然后求出∠EDC与∠BAD的关系，再代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，
在△ABD中，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠ADE＝∠ADC﹣∠EDC＝∠B+∠BAD﹣∠EDC，
在△CDE中，∠AED＝∠EDC+∠C，
∴∠B+∠BAD﹣∠EDC＝∠EDC+∠C，
∴∠EDC＝∠BAD，
∵∠BAD＝50°，
∴∠EDC＝×50°＝25°．
11．（3分）关于x的方程的解是正数，则t的取值范围是 t＞﹣且t≠﹣ ．
【分析】解分式方程，用含t的代数式表示出x，根据解为正数，求出t的取值范围．
【解答】解：方程的两边都乘以（2x﹣3），得x+2t＝2x﹣3，
整理，得x＝2t+3
由于方程的解是正数，
所以2t+3＞0，
解得t＞﹣
当2x﹣3＝0即x＝时，
原分式方程无意义，
所以2t+3≠
即t≠﹣．
所以t的取值范围为：t＞﹣且t≠﹣．
12．（3分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AB上移动，则CP的最小值是 4.8 ．
【分析】作BC边上的高AF，利用等腰三角形的三线合一的性质求BF＝3，利用勾股定理求得AF的长，利用面积相等即可求得AB边上的高CP的长．
【解答】解：如图，作AF⊥BC于点F，作CP⊥AB于点P，
根据题意得此时CP的值最小；
解：作BC边上的高AF，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BF＝CF＝3，
∴由勾股定理得：AF＝4，
∴S△ABC＝AB•PC＝BC•AF＝×5CP＝×6×4
得：CP＝4.8
故答案为4.8．
13．（3分）对于任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1．现对72进行如下操作：
72[]＝8[]＝2[]＝1，类地，只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 65535 ．
【分析】根据规律可知，最后的取整是1，得出前面的一个数字最大是3，再向前一步推取整是3的最大数为15，继续会得到取整是15的最大数为255，继续会得到取整是255的最大数为65535，反之验证得出答案即可．
【解答】解：∵[]＝1，[]＝3，[]＝15，[]＝255，
所以只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最大的是65535．
故答案为：65535
14．（3分）已知A（1，2）、B（﹣3，1），点P在y轴上，则当y轴平分∠APB时，点P的坐标为 （0，） ．
【分析】当y轴平分∠APB时，点A关于y的对称点A'在BP上，利用待定系数法求得A'B的表达式，即可得到点P的坐标．
【解答】解：如图，当y轴平分∠APB时，点A关于y轴的对称点A'在BP上，
∵A（1，2），
∴A'（﹣1，2），
设A'B的表达式为y＝kx+b，
把A'（﹣1，2），B（﹣3，1）代入，
可得，
解得k＝，b＝，
∴y＝x+，
令x＝0，则y＝，
∴点P的坐标为（0，），
故答案为：（0，）．
15．（3分）一次函数y＝kx+b的图象经过的点的坐标如表格所示；
x
……
﹣2
﹣1
0
1
……
y
……
0
2
4
6
……
当y＜﹣2时，x的取值范围是 x＜﹣3 ．
【分析】先根据表格数据求出一次函数的解析式，然后再求出当y＜﹣2时，x的取值范围．
【解答】解：根据表格所知，一次函数y＝kx+b的图象经过（﹣1，2），（0，4）等点，
则，
解得，
一次函数的解析式为y＝2x+4，
当y＜﹣2时，则2x+4＜﹣2，
解得x＜﹣3，
故答案为x＜﹣3．
16．（3分）如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（异于点B、C），过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，连接FD，FE．当点D在BC边上移动时，有下列三个结论：①△DEF一定为等腰三角形，②△CFG一定为等边三角形，③△FDC可能为等腰三角形．其中正确的是 ①② ．（填写序号）
【分析】依据线段垂直平分线的性质、平行线的性质以及等边三角形的判定，即可得出结论．
【解答】解：∵DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，
∴FE＝FD，
∴△DEF为等腰三角形，故①正确；
∵DE⊥AB，DE⊥FG，
∴AB∥FG，
∴∠FGC＝∠B＝60°，
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∴△CFG中，∠C＝∠CFG＝∠CGF，
∴△CFG是等边三角形，故②正确；
∵∠FDC＞∠FGC＝60°，∠C＝60°，∠CFD＜∠CFG＝60°，
∴△CDF不可能是等腰三角形，故③错误；
故答案为：①②．
三．解答题（共11小题）
17．（1）（﹣）（b＜0）．
（2）先化简，再求值（﹣）÷，x是不等式≤1的最小整数解．
【分析】（1）根据二次根式的运算法则即可求出答案．
（2）先根据分式的运算法则进行化简，然后解出不等式后，将x的值代入分式即可求出答案．
【解答】解：（1）∵b＜0，，
∴a＜0，
原式＝÷
＝•a2b2•
＝﹣3a2b•
＝ab．
（2）原式＝[﹣]•
＝（﹣）•
＝•
＝，
∵，
∴x≥﹣2，
∵x是最小整数，
∴x＝﹣2，
∴原式＝＝．
18．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．
（1）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数；
（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN．
【分析】（1）根据AB∥CD，∠ACD＝114°，得出∠CAB＝66°，再根据AM是∠CAB的平分线，即可得出∠MAB的度数．
（2）根据∠CAM＝∠MAB，∠MAB＝∠CMA，得出∠CAM＝∠CMA，再根据CN⊥AD，CN＝CN，即可得出△ACN≌△MCN．
【解答】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠CAB＝180°，
又∵∠ACD＝114°，
∴∠CAB＝66°，
由作法知，AM是∠CAB的平分线，
∴∠MAB＝∠CAB＝33°；
（2）证明：∵AM平分∠CAB，
∴∠CAM＝∠MAB，
∵AB∥CD，
∴∠MAB＝∠CMA，
∴∠CAM＝∠CMA，
又∵CN⊥AM，
∴∠ANC＝∠MNC，
在△ACN和△MCN中，，
∴△ACN≌△MCN（AAS）．
19．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长．
【解答】解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝13米，AC＝5米，
∴AB＝＝12（米），
∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，
∴CD＝13﹣0.5×10＝8（米），
∴AD＝＝＝（米），
∴BD＝AB﹣AD＝12﹣（米），
答：船向岸边移动了（12﹣）米．
20．阅读下面计算过程：
＝＝﹣1；
＝＝﹣；
＝＝﹣2．
求：（1）的值．
（2）（n为正整数）的值．
（3）+++…+的值．
【分析】（1）根据给定算式，在分式的分母和分子上分别相乘（﹣），计算后即可得出结论；
（2）根据给定算式，在分式的分母和分子上分别相乘（﹣），计算后即可得出结论；
（3）根据（2）的结论即可得出+++…+＝（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+…+（10﹣），由此即可算出结论．
【解答】解：（1）＝＝﹣；
（2）＝＝﹣；
（3）+++…+＝（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+…+（10﹣）＝10﹣1＝9．
21．一次函数y＝y＝﹣2x﹣4的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°．
（1）请写出A，B两点坐标并在方格纸中画出函数图象与等腰Rt△ABC；
（2）求过B、C两点直线的函数关系式．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征求A点和B点坐标；然后画图；
（2）过C点作CD⊥x轴，如图，再证明△AOB≌△CDA，得到AO＝CD＝2，BO＝AD＝4，则C（2，2，），然后利用待定系数法求直线BC的解析式．
【解答】解：（1）当y＝0时，﹣2x﹣4＝0，解得x＝﹣2，则A（﹣2，0）；
当y＝0时，y＝﹣2x﹣4＝﹣4，则B（0，﹣4）；
（2）过C点作CD⊥x轴，如图，
∵Rt△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC，
∵∠BAO+∠CAD＝90∘，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CAD＝∠ABO，
在△AOB和△CDA中，
∴△AOB≌△CDA，
∴AO＝CD＝2，BO＝AD＝4，
∴OD＝2，
∴C（2，2，），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（0，﹣4）、C（2，2）分别代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝3x﹣4．
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别为A（﹣8，0）、B（6，0）、C（0，6），点D是OC中点，连接BD并延长交AC于点E，求四边形AODE的面积．
【分析】根据已知条件得到D（0，3），求得直线AC的解析式为：y＝x+6，求得直线BD的解析式为：y＝﹣x+3；根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵D是OC中点，C（0，6），
∴D（0，3），
设直线AC的解析式为：y＝kx+b，
∵A（﹣8，0）、C（0，6），
∴，
∴，
∴直线AC的解析式为：y＝x+6，
直线BD的解析式为：y＝mx+n，
∵B（6，0）、D（0，2），
∴，
∴，
∴直线BD的解析式为：y＝﹣x+3；
解得，，
∴E（﹣，），
∴S四边形AODE＝S△ABE﹣S△OBD＝×14×﹣×6×3＝．
23．直线y＝2x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）画出直线AB，并求△OAB的面积；
（3）点C在x轴上，且AC＝AB，直接写出点C坐标．
【分析】（1）分别令y＝0和x＝0求出A、B两点坐标；
（2）画出直线AB，利用三角形的面积公式求出△OAB的面积即可；
（3）利用勾股定理求出AB，根据AC＝AB，确定点C坐标即可．
【解答】解：（1）令x＝0，得到y＝﹣2，
∴B（0，﹣2），
令y＝0，得到x＝1，
∴A（1，0）；
（2）直线AB如图所示：
∵OA＝1，OB＝2，
∴△OAB的面积为：；
（2）如上图，∵AB＝＝，
∵AC＝AB＝，
∴C（1+，0），C′（1﹣，0）．
24．如图，△ABC顶点的坐标分别为A（﹣3，7）、B（﹣4，3）、C（﹣1，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（2）连接AC'、AB'，判断△AB′C′的形状，并说明理由．
（3）在y轴上找一点P，使△PBC周长最小．
【分析】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用勾股定理逆定理进而得出答案；
（3）直接利用轴对称求最短路径的方法得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；
（2）△AB′C′是直角三角形．
理由：如图所示：AC′2＝16+36＝52，
B′C′2＝4+9＝13，
AB′2＝16+49＝65，
则AC′2+B′C′2＝AB′2，
故△AB′C′是直角三角形；
（3）如图所示：点P即为所求，此时△PBC周长最小．
25．甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑电动车，甲到达B地停留半个小时后返回A地，如图是他们离A地的距离y（千米）与经过的时间x（小时）之间的函数关系图象．
（1）求甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若乙出发后108分钟和甲相遇，求乙从A地到B地用了多少分钟？
【分析】（1）首先设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据图象可得直线经过（1.5，90），（3，0），利用待定系数法把此两点坐标代入y＝kx+b，即可求出一次函数关系式；
（2）利用甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式算出y的值，即可得到108分钟时骑电动车所行驶的路程，再根据路程与时间算出电动车的速度，再用总路程90千米÷电动车的速度可得乙从A地到B地用了多长时间．
【解答】解：（1）设甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
根据题意得：，
解得，
所以y＝﹣60x+180（1.5≤x≤3）；
（2）∵当x＝＝1.8时，y＝﹣60×1.8+180＝72，
∴骑电动车的速度为72÷1.8＝40（千米/时），
∴乙从A地到B地用时为90÷40＝2.25（小时）＝135分钟．
26．某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌的足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？
（2）该中学响应习总书记足球进校园号召，决定两次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3240元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？
【分析】（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需（x+30）元，根据购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍列出方程解答即可；
（2）设此次可购买a个B品牌足球，则购进A牌足球（50﹣a）个，根据购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3240元，列出不等式解决问题．
【解答】解：（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需（x+30）元，由题意得：
＝×2
解得：x＝50
经检验x＝50是原方程的解，
x+30＝80
答：一个A品牌的足球需50元，则一个B品牌的足球需80元．
（2）设此次可购买a个B品牌足球，则购进A牌足球（50﹣a）个，由题意得
50×（1+8%）（50﹣a）+80×0.9a≤3240
解得a≤30
∵a是整数，
∴a最大等于30，
答：该中学此次最多可购买30个B品牌足球．
27．【模型建立】
（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．
求证：△CDA≌△BEC．
【模型运用】
（2）如图2，直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2，求直线l2的函数表达式．
【模型迁移】
如图3，直线l经过坐标原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，点A在直线l上，点P为x轴上一动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，过点B的直线BC交x轴于点C，∠OCB＝30°，点B到x轴的距离为2，求点P的坐标．
【分析】【模型建立】
（1）由“AAS”可证△CDA≌△BEC；
【模型运用】
（2）如图2，在l2上取D点，使AD＝AB，过D点作DE⊥OA，垂足为E，由（1）可知△BOA≌△AED，可得DE＝OA＝3，AE＝OB＝4，可求点D坐标，由待定系数法可求解析式；
【模型迁移】
（3）分两种情况讨论，通过证明△OAP≌△CPB，可得OP＝BC＝4，即可求点P坐标．
【解答】证明：【模型建立】
（1）∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠D＝∠E＝90°
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，且CA＝BC，∠D＝∠E＝90°
∴△CDA≌△BEC（AAS）
【模型运用】
（2）如图2，在l2上取D点，使AD＝AB，过D点作DE⊥OA，垂足为E
∵直线y＝x+4与坐标轴交于点A、B，
∴A（﹣3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
由（1）得△BOA≌△AED，
∴DE＝OA＝3，AE＝OB＝4，
∴OE＝7，
∴D（﹣7，3）
设l2的解析式为y＝kx+b，
得
解得
∴直线l2的函数表达式为：
【模型迁移】
（3）若点P在x轴正半轴，如图3，过点B作BE⊥OC，
∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC
∴BC＝4，
∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，
∴AP＝BP，∠APB＝30°，
∵∠APC＝∠AOC+∠OAP＝∠APB+∠BPC，
∴∠OAP＝∠BPC，且∠OAC＝∠PCB＝30°，AP＝BP，
∴△OAP≌△CPB（AAS）
∴OP＝BC＝4，
∴点P（4，0）
若点P在x轴负半轴，如图4，过点B作BE⊥OC，
∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC
∴BC＝4，
∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，
∴AP＝BP，∠APB＝30°，
∵∠APE+∠BPE＝30°，∠BCE＝30°＝∠BPE+∠PBC，
∴∠APE＝∠PBC，
∵∠AOE＝∠BCO＝30°，
∴∠AOP＝∠BCP＝150°，且∠APE＝∠PBC，PA＝PB
∴△OAP≌△CPB（AAS）
∴OP＝BC＝4，
∴点P（﹣4，0）
综上所述：点P坐标为（4，0）或（﹣4，0）
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