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2019-2020学年江苏省南京市溧水区八年级（下）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年江苏省南京市溧水区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x≠0 C．x≠2 D．x≠0且x≠2
3．（2分）下列说法中，正确的是（ ）
A．某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖
B．“打开电视，正在播放最强大脑节目”是必然事件
C．神舟飞船发射前需要对零部件进行抽样调查
D．了解某种炮弹杀伤半径适合抽样调查
4．（2分）如图，曲线表示温度T（℃）与时间t（h）之间的函数关系，它是一个反比例函数的图象的一支．当温度T≤2℃时，时间t应（ ）
A．不小于h B．不大于h C．不小于h D．不大于h
5．（2分）在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ABC＝90°，则下列结论错误的是（ ）
A．AC＝BD B．OA＝OB C．AC⊥BD D．AB＝CD
6．（2分）某种植基地2018年蔬菜产量为64吨，预计2020年蔬菜产量比2019年增加20吨，求蔬菜产量的年平均增长率．设蔬菜产量的年平均增长率为x，则下面所列的方程中正确的是（ ）
A．64（1+x）2＝84 B．64（1+x2）＝84
C．64（1+x）x＝20 D．64（1+x）2﹣64x＝20
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）计算：（）2＝ ；＝ ．
8．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
9．（2分）计算：+＝ ．
10．（2分）＝ ．
11．（2分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝的图象上的两点，若x1＞x2＞0，则y1 y2（填“＜”、“＞”或“＝”）
12．（2分）已知x1、x2是方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则x1+x2+2x1x2＝ ．
13．（2分）如图，在▱ABCD中，AC＝BC，∠CAD＝20°，则∠D的度数为 °．
14．（2分）为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树480棵．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前4天完成任务．设原计划每天种x棵树，则根据题意可列方程为 ．
15．（2分）如图，平行于x轴的直线l与反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象交于A、B两点，点C是x轴上任意一点，且△ABC的面积为2，则k的值为 ．
16．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝10，点E在AD上且DE＝2．点G为AE的中点，点P为BC边上的一个动点，F为EP的中点，则GF+EF的最小值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（5分）×（2﹣）
18．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，在0、1、﹣1、2四个数中选一个合适的数代入求值．
19．（6分）解方程x（x+3）＝﹣2．
20．（6分）解方程+1＝．
21．（6分）某校在初二年级开设了素描、舞蹈、合唱、魔方四个社团，为了解学生最喜欢哪一个社团，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是 ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）已知该校初二年级共有学生900人，根据调查结果估计该校喜欢合唱和舞蹈社团的学生共有 人．
22．（8分）已知：关于x的一元二次方程x2+mx＝3（m为常数）．
（1）证明：无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为2，求方程的另一个根．
23．（7分）如图，经过原点的直线y1与双曲线y2＝（k为常数，k≠0）交于A、B两点，其中点A的坐标为（1，2）
（1）求k的值；
（2）当y1＞y2时，请你直接写出x的取值范围．
24．（8分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若四边形DEBF的面积为8，AE＝，则正方形边长为 ．
25．（8分）如图，有一块宽为16m的矩形荒地，某公园计划将其分为A、B、C三部分，分别种植不同的植物．若已知A、B地块为正方形，C地块的面积比B地块的面积少40m2，试求该矩形荒地的长．
26．（8分）同学们：八年级下册第9章我们学习了一种新的图形变换旋转，图形旋转过程中蕴含着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决各类几何问题的常用方法．
【问题提出】
如图①，在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，点M、N分别在边BC、CD上．求证：MN＝BM+DN．
证明思路如下：
第一步：如图②，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABE，再证明E、B、M三点在一条直线上．
第二步：证明△AEM≌△ANM．
请你按照证明思路写出完整的证明过程．
【初步思考】
如图③，四边形ABCD和CEFG为正方形，连接DG、BE，得到△DCG和△BCE．
下列关于这两个三角形的结论：①周长相等； ②面积相等； ③∠CBE＝∠CDG．
其中所有正确结论的序号是 ．
【深入研究】
如图④，分别以▱ABCD的四条边为边向外作正方形，连接EF，GH，IJ，KL．若▱ABCD的面积为8，则图中阴影部分（四个三角形）的面积之和为 ．
2019-2020学年江苏省南京市溧水区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称的概念和各图形的特点即可求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
2．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x≠0 C．x≠2 D．x≠0且x≠2
【分析】直接利用分式有意义的条件进而分析得出答案．
【解答】解：若式子在实数范围内有意义，则x≠0，
故选：B．
3．（2分）下列说法中，正确的是（ ）
A．某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖
B．“打开电视，正在播放最强大脑节目”是必然事件
C．神舟飞船发射前需要对零部件进行抽样调查
D．了解某种炮弹杀伤半径适合抽样调查
【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．不易采集到数据的调查要采用抽样调查的方式，据此判断即可．
【解答】解：A、某种彩票中奖概率为10%是指买十张可能中奖，也可能不中奖，故A选项错误；
B、“打开电视，正在播放最强大脑节目”是随机事件，故B选项错误；
C、神舟飞船发射前需要对零部件进行全面调查，故C选项错误；
D、了解某种炮弹杀伤半径适合抽样调查，故D选项正确；
故选：D．
4．（2分）如图，曲线表示温度T（℃）与时间t（h）之间的函数关系，它是一个反比例函数的图象的一支．当温度T≤2℃时，时间t应（ ）
A．不小于h B．不大于h C．不小于h D．不大于h
【分析】首先确定函数解析式，然后根据函数值的取值范围确定自变量的取值范围即可．
【解答】解：设函数解析式为T＝，
∵经过点（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴函数解析式为T＝，
当T≤2℃时，t≥h，
故选：C．
5．（2分）在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ABC＝90°，则下列结论错误的是（ ）
A．AC＝BD B．OA＝OB C．AC⊥BD D．AB＝CD
【分析】根据矩形的判定与性质即可一一判断．
【解答】解：∵在▱ABCD中，∠ABC＝90°，
∴▱ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OB，AB＝CD，无法得到AC⊥BD．
故选：C．
6．（2分）某种植基地2018年蔬菜产量为64吨，预计2020年蔬菜产量比2019年增加20吨，求蔬菜产量的年平均增长率．设蔬菜产量的年平均增长率为x，则下面所列的方程中正确的是（ ）
A．64（1+x）2＝84 B．64（1+x2）＝84
C．64（1+x）x＝20 D．64（1+x）2﹣64x＝20
【分析】利用增长后的产量＝增长前的产量×（1+增长率）2，设平均每次增长的百分率为x，根据“2018年蔬菜产量为64吨，预计2020年蔬菜产量比2019年增加20吨”，即可得出方程．
【解答】解：设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为64（1+x）x＝20，
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）计算：（）2＝ 4 ；＝ 3 ．
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：（）2＝4；
＝3．
故答案为：4，3．
8．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣2≥0，
解得x≥2，
故答案为：x≥2．
9．（2分）计算：+＝ 1 ．
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝1．
故答案为：1．
10．（2分）＝ 2 ．
【分析】先化成最简根式再根据二次根式的除法法则相除即可求解．
【解答】解：原式＝＝＝＝2．
故答案为：2．
11．（2分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝的图象上的两点，若x1＞x2＞0，则y1 ＜ y2（填“＜”、“＞”或“＝”）
【分析】根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式，可以得到y1和y2的大小关系，从而可以解答本题．
【解答】解：∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝的图象上的两点，
∴当x＞0时，y随x的增大而减小，
∵x1＞x2＞0，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
12．（2分）已知x1、x2是方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则x1+x2+2x1x2＝ ﹣3 ．
【分析】先利用根与系数的关系得到x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，然后根据整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
所以x1+x2+2x1x2＝1+2×（﹣2）＝﹣3．
故答案为﹣3．
13．（2分）如图，在▱ABCD中，AC＝BC，∠CAD＝20°，则∠D的度数为 80 °．
【分析】根据平行四边形的对边相等可得AD＝BC，再根据等量关系可得AD＝AC，再根据等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∵AC＝BC，
∴AD＝AC，
∵∠CAD＝20°，
∴∠D＝（180°﹣20°）÷2＝80°．
故答案为：80．
14．（2分）为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树480棵．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前4天完成任务．设原计划每天种x棵树，则根据题意可列方程为 ﹣＝4 ．
【分析】设原计划每天种x棵树，实际每天种树（x+10）棵树，根据提高工作效率之后时间减少4天列方程即可．
【解答】解：设原计划每天种x棵树，实际每天种树（x+10）棵树，
由题意得，﹣＝4．
故答案为：﹣＝4．
15．（2分）如图，平行于x轴的直线l与反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象交于A、B两点，点C是x轴上任意一点，且△ABC的面积为2，则k的值为 5 ．
【分析】根据反比例函数k的几何意义，得出S△ABC＝S△ABO＝S△BOM﹣S△AOM＝2，进而得出|k|﹣＝2，求解即可．
【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵直线 l与x轴平行，
∴S△ABC＝S△ABO＝S△BOM﹣S△AOM＝2，
∵S△AOM＝，S△BOM＝|k|，
∴|k|﹣＝2，又k＞0，
∴k＝5，
故答案为：5．
16．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝10，点E在AD上且DE＝2．点G为AE的中点，点P为BC边上的一个动点，F为EP的中点，则GF+EF的最小值为 5 ．
【分析】首先证明GF+EF＝（PA+PE），求出PA+PE的最小值即可，作点A关于BC的对称点T，连接ET交BC于P′，此时P′E+P′A的值最小．
【解答】解：如图，连接PA．
∵AG＝EG，EF＝FP，
∴GF＝PA，
∴GF+EF＝（PA+PE），
求出PA+PE的最小值即可，
作点A关于BC的对称点T，连接ET交BC于P′，此时P′E+P′A的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠EAT＝90°，
∵AB＝BT＝3，
∴AT＝6，
∵AD＝10，DE＝2，
∴AE＝AD﹣DE＝10﹣2＝8，
∴P′E+P′A＝P′E+P′T＝ET＝＝＝10，
∴EG+EF的最小值为×10＝5，
故答案为5．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（5分）×（2﹣）
【分析】利用二次根式的乘法法则运算．
【解答】解：原式＝2﹣
＝2﹣1．
18．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，在0、1、﹣1、2四个数中选一个合适的数代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝•
＝，
当a＝0，1，﹣1时，原式没有意义；
当x＝2时，原式＝＝1．
19．（6分）解方程x（x+3）＝﹣2．
【分析】整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可，也可以用因式分解法求解．
【解答】解：方法一、整理得：x2+3x+2＝0，
b2﹣4ac＝32﹣4×1×2＝1，
x＝，
x1＝﹣1，x2＝﹣2；
方法二、整理得：x2+3x+2＝0，
（x+1）（x+2）＝0，
x+1＝0，x+2＝0，
x1＝﹣1，x2＝﹣2．
20．（6分）解方程+1＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：3+x2﹣9＝x （x+3），
解得：x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，x2﹣9≠0，
∴原方程的解为x＝﹣2．
21．（6分）某校在初二年级开设了素描、舞蹈、合唱、魔方四个社团，为了解学生最喜欢哪一个社团，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是 300 ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）已知该校初二年级共有学生900人，根据调查结果估计该校喜欢合唱和舞蹈社团的学生共有 270 人．
【分析】（1）从两个统计图可知，“魔方”的频数是90，占调查人数的30%，可求出调查人数，即样本容量；
（2）求出“合唱”“舞蹈”人数，即可补全条形统计图；
（3）样本中，喜欢合唱和舞蹈社团占调查人数的，因此估计总体900人的是喜欢合唱和舞蹈社团的人数．
【解答】解：（1）90÷30%＝300，
故答案为：300；
（2）合唱人数：300×10%＝30（人），舞蹈人数：300﹣120﹣90﹣30＝60（人），补全条形统计图如图所示：
（3）900×＝270 （人），
故答案为：270．
22．（8分）已知：关于x的一元二次方程x2+mx＝3（m为常数）．
（1）证明：无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为2，求方程的另一个根．
【分析】（1）先把方程化为一般式，再计算判别式的值得到△＝m2+12＞0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）利用两根之积为﹣2确定方程的另一根．
【解答】（1）证明：x2+mx﹣3＝0，
∵a＝1，b＝m，c＝﹣3
∴△＝b2﹣4ac＝m2﹣4×1×（﹣3）＝m2+12，
∵m2≥0，
∴m2+12＞0，
∴△＞0，
∴无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一个根为x1，
则 2•x1＝＝＝﹣3，
∴x1＝﹣
∴方程的另一个根为﹣．
23．（7分）如图，经过原点的直线y1与双曲线y2＝（k为常数，k≠0）交于A、B两点，其中点A的坐标为（1，2）
（1）求k的值；
（2）当y1＞y2时，请你直接写出x的取值范围．
【分析】（1）将点A（1，2）代入可求出k的值；
（2）由对称得出点B坐标，再根据图象直接得出y1＞y2时，x的取值范围．
【解答】解：（1）将点A（1，2）代入双曲线y2＝得k＝2；
答：k的值为2；
（2）由函数图象的对称性可知，点A与点B关于原点对称，
∴点B（﹣1，﹣2）
由图象可得：当﹣1＜x＜0或x＞1 时，y1＞y2，
答：x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞1．
24．（8分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若四边形DEBF的面积为8，AE＝，则正方形边长为 4 ．
【分析】（1）连接BD，交AC于点O，证明OE＝OF，得四边形DEBF是平行四边形，便可得DE∥BF；
（2）由正方形的性质得OA＝OD，进而得OD与OE的关系，由菱形的面积公式得OD与OE的关系式，进而求得OD，OE，再由等腰直角三角形的性质求得正方形的边长．
【解答】解：（1）连接BD，交AC于点O，
在正方形ABCD中，OB＝OD，OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
∴OF＝OE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DE∥BF；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OD，OA⊥OD，
∴OD＝OE+AE＝OE+，
∵四边形DEBF是平行四边形，OA⊥OD，
∴四边形DEBF是菱形，
∵四边形DEBF的面积为8，
∴BD•EF＝8，
即，
∴OD•OE＝4，
∵，
∴，OD＝2，
∴AD＝＝4，
故答案为：4．
25．（8分）如图，有一块宽为16m的矩形荒地，某公园计划将其分为A、B、C三部分，分别种植不同的植物．若已知A、B地块为正方形，C地块的面积比B地块的面积少40m2，试求该矩形荒地的长．
【分析】设B地块的边长为xm，根据“C地块的面积比B地块的面积少40m2”列出方程求解即可．
【解答】解：设B地块的边长为xm，
根据题意得：x2﹣x（16﹣x）＝40，
解得：x1＝10，x2＝﹣2（不符题意，舍去），
∴10+16＝26m，
答：矩形荒地的长为26m．
26．（8分）同学们：八年级下册第9章我们学习了一种新的图形变换旋转，图形旋转过程中蕴含着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决各类几何问题的常用方法．
【问题提出】
如图①，在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，点M、N分别在边BC、CD上．求证：MN＝BM+DN．
证明思路如下：
第一步：如图②，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABE，再证明E、B、M三点在一条直线上．
第二步：证明△AEM≌△ANM．
请你按照证明思路写出完整的证明过程．
【初步思考】
如图③，四边形ABCD和CEFG为正方形，连接DG、BE，得到△DCG和△BCE．
下列关于这两个三角形的结论：①周长相等； ②面积相等； ③∠CBE＝∠CDG．
其中所有正确结论的序号是 ② ．
【深入研究】
如图④，分别以▱ABCD的四条边为边向外作正方形，连接EF，GH，IJ，KL．若▱ABCD的面积为8，则图中阴影部分（四个三角形）的面积之和为 16 ．
【分析】【问题提出】
将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABE，由旋转的性质得出△ADN≌△ABE，则∠D＝∠ABE＝90°，∠DAN＝∠BAE，AN＝AE，DN＝BE，证明△AEM≌△ANM（SAS），由全等三角形的性质得出ME＝MN，则可得出结论；
【初步思考】
过点E作BC的平行线，过点B作CE的平行线，两线交于点H，连接CH．则四边形BHEC为平行四边形，证明△DCG≌△HEC（SAS），得出S△CHE＝S△DCG，则得出结论；
【深入研究】
连接AC，BD，由【初步思考】的结论可知：S△AEF＝S△ABD＝，同理S△BHG＝S△ABC，S△CIJ＝S△CBD，S△DLK＝S△DAC，则可得出答案．
【解答】【问题提出】
（1）证明：将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABE，
在正方形ABCD中，∠BAD＝∠ABM＝∠D＝90°，
由旋转可知△ADN≌△ABE，
∴∠D＝∠ABE＝90°，∠DAN＝∠BAE，AN＝AE，DN＝BE，
∴∠ABE+∠ABM＝180°，
∴E、B、M三点在一条直线上，
∵∠MAN＝45°，
∴∠DAN+∠BAM＝45°，
∵∠DAN＝∠BAE，
∴∠BAE+∠BAM＝∠EAM＝45°，
∴∠EAM＝∠MAN，
∵AN＝AE，AM＝AM，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME＝MN，
∵ME＝BE+BM，
∴MN＝DN+BM，
【初步思考】
解：∵BE≠DG，
∴△DCG和△BCE的周长不一定相等，故①不正确；
∵正方形CEFG绕点C旋转过程中，∠CBE≠∠CDG．
∴③不正确；
如图1，过点E作BC的平行线，过点B作CE的平行线，两线交于点H，连接CH．
则四边形BHEC为平行四边形，
∴BC＝HE，S△BCE＝＝S△CHE，
∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，
∴CD＝BC，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°，
∴∠BCE+∠DCG＝180°，
∵∠HEC+∠BCE＝180°，
∴∠DCG＝∠HEC，
∵BC＝HE＝CD，
∴△DCG≌△HEC（SAS），
∴S△CHE＝S△DCG，
∴S△DCG＝S△BCE．
故②正确，
故答案为：②．
【深入研究】
解：图中阴影部分（四个三角形）的面积之和为16．
如图2，连接AC，BD，
由【初步思考】的结论可知：S△AEF＝S△ABD＝，
同理S△BHG＝S△ABC，S△CIJ＝S△CBD，S△DLK＝S△DAC，
∴阴影部分的面积S＝S△AEF+S△BGH+S△CIJ+S△DLK＝2S平行四边形ABCD＝2×8＝16．
故答案为：16．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x≠0 C．x≠2 D．x≠0且x≠2
3．（2分）下列说法中，正确的是（ ）
A．某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖
B．“打开电视，正在播放最强大脑节目”是必然事件
C．神舟飞船发射前需要对零部件进行抽样调查
D．了解某种炮弹杀伤半径适合抽样调查
4．（2分）如图，曲线表示温度T（℃）与时间t（h）之间的函数关系，它是一个反比例函数的图象的一支．当温度T≤2℃时，时间t应（ ）
A．不小于h B．不大于h C．不小于h D．不大于h
5．（2分）在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ABC＝90°，则下列结论错误的是（ ）
A．AC＝BD B．OA＝OB C．AC⊥BD D．AB＝CD
6．（2分）某种植基地2018年蔬菜产量为64吨，预计2020年蔬菜产量比2019年增加20吨，求蔬菜产量的年平均增长率．设蔬菜产量的年平均增长率为x，则下面所列的方程中正确的是（ ）
A．64（1+x）2＝84 B．64（1+x2）＝84
C．64（1+x）x＝20 D．64（1+x）2﹣64x＝20
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）计算：（）2＝ ；＝ ．
8．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
9．（2分）计算：+＝ ．
10．（2分）＝ ．
11．（2分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝的图象上的两点，若x1＞x2＞0，则y1 y2（填“＜”、“＞”或“＝”）
12．（2分）已知x1、x2是方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则x1+x2+2x1x2＝ ．
13．（2分）如图，在▱ABCD中，AC＝BC，∠CAD＝20°，则∠D的度数为 °．
14．（2分）为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树480棵．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前4天完成任务．设原计划每天种x棵树，则根据题意可列方程为 ．
15．（2分）如图，平行于x轴的直线l与反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象交于A、B两点，点C是x轴上任意一点，且△ABC的面积为2，则k的值为 ．
16．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝10，点E在AD上且DE＝2．点G为AE的中点，点P为BC边上的一个动点，F为EP的中点，则GF+EF的最小值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（5分）×（2﹣）
18．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，在0、1、﹣1、2四个数中选一个合适的数代入求值．
19．（6分）解方程x（x+3）＝﹣2．
20．（6分）解方程+1＝．
21．（6分）某校在初二年级开设了素描、舞蹈、合唱、魔方四个社团，为了解学生最喜欢哪一个社团，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是 ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）已知该校初二年级共有学生900人，根据调查结果估计该校喜欢合唱和舞蹈社团的学生共有 人．
22．（8分）已知：关于x的一元二次方程x2+mx＝3（m为常数）．
（1）证明：无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为2，求方程的另一个根．
23．（7分）如图，经过原点的直线y1与双曲线y2＝（k为常数，k≠0）交于A、B两点，其中点A的坐标为（1，2）
（1）求k的值；
（2）当y1＞y2时，请你直接写出x的取值范围．
24．（8分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若四边形DEBF的面积为8，AE＝，则正方形边长为 ．
25．（8分）如图，有一块宽为16m的矩形荒地，某公园计划将其分为A、B、C三部分，分别种植不同的植物．若已知A、B地块为正方形，C地块的面积比B地块的面积少40m2，试求该矩形荒地的长．
26．（8分）同学们：八年级下册第9章我们学习了一种新的图形变换旋转，图形旋转过程中蕴含着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决各类几何问题的常用方法．
【问题提出】
如图①，在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，点M、N分别在边BC、CD上．求证：MN＝BM+DN．
证明思路如下：
第一步：如图②，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABE，再证明E、B、M三点在一条直线上．
第二步：证明△AEM≌△ANM．
请你按照证明思路写出完整的证明过程．
【初步思考】
如图③，四边形ABCD和CEFG为正方形，连接DG、BE，得到△DCG和△BCE．
下列关于这两个三角形的结论：①周长相等； ②面积相等； ③∠CBE＝∠CDG．
其中所有正确结论的序号是 ．
【深入研究】
如图④，分别以▱ABCD的四条边为边向外作正方形，连接EF，GH，IJ，KL．若▱ABCD的面积为8，则图中阴影部分（四个三角形）的面积之和为 ．
2019-2020学年江苏省南京市溧水区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称的概念和各图形的特点即可求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
2．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x≠0 C．x≠2 D．x≠0且x≠2
【分析】直接利用分式有意义的条件进而分析得出答案．
【解答】解：若式子在实数范围内有意义，则x≠0，
故选：B．
3．（2分）下列说法中，正确的是（ ）
A．某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖
B．“打开电视，正在播放最强大脑节目”是必然事件
C．神舟飞船发射前需要对零部件进行抽样调查
D．了解某种炮弹杀伤半径适合抽样调查
【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．不易采集到数据的调查要采用抽样调查的方式，据此判断即可．
【解答】解：A、某种彩票中奖概率为10%是指买十张可能中奖，也可能不中奖，故A选项错误；
B、“打开电视，正在播放最强大脑节目”是随机事件，故B选项错误；
C、神舟飞船发射前需要对零部件进行全面调查，故C选项错误；
D、了解某种炮弹杀伤半径适合抽样调查，故D选项正确；
故选：D．
4．（2分）如图，曲线表示温度T（℃）与时间t（h）之间的函数关系，它是一个反比例函数的图象的一支．当温度T≤2℃时，时间t应（ ）
A．不小于h B．不大于h C．不小于h D．不大于h
【分析】首先确定函数解析式，然后根据函数值的取值范围确定自变量的取值范围即可．
【解答】解：设函数解析式为T＝，
∵经过点（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴函数解析式为T＝，
当T≤2℃时，t≥h，
故选：C．
5．（2分）在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ABC＝90°，则下列结论错误的是（ ）
A．AC＝BD B．OA＝OB C．AC⊥BD D．AB＝CD
【分析】根据矩形的判定与性质即可一一判断．
【解答】解：∵在▱ABCD中，∠ABC＝90°，
∴▱ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OB，AB＝CD，无法得到AC⊥BD．
故选：C．
6．（2分）某种植基地2018年蔬菜产量为64吨，预计2020年蔬菜产量比2019年增加20吨，求蔬菜产量的年平均增长率．设蔬菜产量的年平均增长率为x，则下面所列的方程中正确的是（ ）
A．64（1+x）2＝84 B．64（1+x2）＝84
C．64（1+x）x＝20 D．64（1+x）2﹣64x＝20
【分析】利用增长后的产量＝增长前的产量×（1+增长率）2，设平均每次增长的百分率为x，根据“2018年蔬菜产量为64吨，预计2020年蔬菜产量比2019年增加20吨”，即可得出方程．
【解答】解：设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为64（1+x）x＝20，
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）计算：（）2＝ 4 ；＝ 3 ．
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：（）2＝4；
＝3．
故答案为：4，3．
8．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣2≥0，
解得x≥2，
故答案为：x≥2．
9．（2分）计算：+＝ 1 ．
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝1．
故答案为：1．
10．（2分）＝ 2 ．
【分析】先化成最简根式再根据二次根式的除法法则相除即可求解．
【解答】解：原式＝＝＝＝2．
故答案为：2．
11．（2分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝的图象上的两点，若x1＞x2＞0，则y1 ＜ y2（填“＜”、“＞”或“＝”）
【分析】根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式，可以得到y1和y2的大小关系，从而可以解答本题．
【解答】解：∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝的图象上的两点，
∴当x＞0时，y随x的增大而减小，
∵x1＞x2＞0，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
12．（2分）已知x1、x2是方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则x1+x2+2x1x2＝ ﹣3 ．
【分析】先利用根与系数的关系得到x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，然后根据整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
所以x1+x2+2x1x2＝1+2×（﹣2）＝﹣3．
故答案为﹣3．
13．（2分）如图，在▱ABCD中，AC＝BC，∠CAD＝20°，则∠D的度数为 80 °．
【分析】根据平行四边形的对边相等可得AD＝BC，再根据等量关系可得AD＝AC，再根据等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∵AC＝BC，
∴AD＝AC，
∵∠CAD＝20°，
∴∠D＝（180°﹣20°）÷2＝80°．
故答案为：80．
14．（2分）为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树480棵．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前4天完成任务．设原计划每天种x棵树，则根据题意可列方程为 ﹣＝4 ．
【分析】设原计划每天种x棵树，实际每天种树（x+10）棵树，根据提高工作效率之后时间减少4天列方程即可．
【解答】解：设原计划每天种x棵树，实际每天种树（x+10）棵树，
由题意得，﹣＝4．
故答案为：﹣＝4．
15．（2分）如图，平行于x轴的直线l与反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象交于A、B两点，点C是x轴上任意一点，且△ABC的面积为2，则k的值为 5 ．
【分析】根据反比例函数k的几何意义，得出S△ABC＝S△ABO＝S△BOM﹣S△AOM＝2，进而得出|k|﹣＝2，求解即可．
【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵直线 l与x轴平行，
∴S△ABC＝S△ABO＝S△BOM﹣S△AOM＝2，
∵S△AOM＝，S△BOM＝|k|，
∴|k|﹣＝2，又k＞0，
∴k＝5，
故答案为：5．
16．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝10，点E在AD上且DE＝2．点G为AE的中点，点P为BC边上的一个动点，F为EP的中点，则GF+EF的最小值为 5 ．
【分析】首先证明GF+EF＝（PA+PE），求出PA+PE的最小值即可，作点A关于BC的对称点T，连接ET交BC于P′，此时P′E+P′A的值最小．
【解答】解：如图，连接PA．
∵AG＝EG，EF＝FP，
∴GF＝PA，
∴GF+EF＝（PA+PE），
求出PA+PE的最小值即可，
作点A关于BC的对称点T，连接ET交BC于P′，此时P′E+P′A的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠EAT＝90°，
∵AB＝BT＝3，
∴AT＝6，
∵AD＝10，DE＝2，
∴AE＝AD﹣DE＝10﹣2＝8，
∴P′E+P′A＝P′E+P′T＝ET＝＝＝10，
∴EG+EF的最小值为×10＝5，
故答案为5．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（5分）×（2﹣）
【分析】利用二次根式的乘法法则运算．
【解答】解：原式＝2﹣
＝2﹣1．
18．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，在0、1、﹣1、2四个数中选一个合适的数代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝•
＝，
当a＝0，1，﹣1时，原式没有意义；
当x＝2时，原式＝＝1．
19．（6分）解方程x（x+3）＝﹣2．
【分析】整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可，也可以用因式分解法求解．
【解答】解：方法一、整理得：x2+3x+2＝0，
b2﹣4ac＝32﹣4×1×2＝1，
x＝，
x1＝﹣1，x2＝﹣2；
方法二、整理得：x2+3x+2＝0，
（x+1）（x+2）＝0，
x+1＝0，x+2＝0，
x1＝﹣1，x2＝﹣2．
20．（6分）解方程+1＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：3+x2﹣9＝x （x+3），
解得：x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，x2﹣9≠0，
∴原方程的解为x＝﹣2．
21．（6分）某校在初二年级开设了素描、舞蹈、合唱、魔方四个社团，为了解学生最喜欢哪一个社团，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是 300 ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）已知该校初二年级共有学生900人，根据调查结果估计该校喜欢合唱和舞蹈社团的学生共有 270 人．
【分析】（1）从两个统计图可知，“魔方”的频数是90，占调查人数的30%，可求出调查人数，即样本容量；
（2）求出“合唱”“舞蹈”人数，即可补全条形统计图；
（3）样本中，喜欢合唱和舞蹈社团占调查人数的，因此估计总体900人的是喜欢合唱和舞蹈社团的人数．
【解答】解：（1）90÷30%＝300，
故答案为：300；
（2）合唱人数：300×10%＝30（人），舞蹈人数：300﹣120﹣90﹣30＝60（人），补全条形统计图如图所示：
（3）900×＝270 （人），
故答案为：270．
22．（8分）已知：关于x的一元二次方程x2+mx＝3（m为常数）．
（1）证明：无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为2，求方程的另一个根．
【分析】（1）先把方程化为一般式，再计算判别式的值得到△＝m2+12＞0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）利用两根之积为﹣2确定方程的另一根．
【解答】（1）证明：x2+mx﹣3＝0，
∵a＝1，b＝m，c＝﹣3
∴△＝b2﹣4ac＝m2﹣4×1×（﹣3）＝m2+12，
∵m2≥0，
∴m2+12＞0，
∴△＞0，
∴无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一个根为x1，
则 2•x1＝＝＝﹣3，
∴x1＝﹣
∴方程的另一个根为﹣．
23．（7分）如图，经过原点的直线y1与双曲线y2＝（k为常数，k≠0）交于A、B两点，其中点A的坐标为（1，2）
（1）求k的值；
（2）当y1＞y2时，请你直接写出x的取值范围．
【分析】（1）将点A（1，2）代入可求出k的值；
（2）由对称得出点B坐标，再根据图象直接得出y1＞y2时，x的取值范围．
【解答】解：（1）将点A（1，2）代入双曲线y2＝得k＝2；
答：k的值为2；
（2）由函数图象的对称性可知，点A与点B关于原点对称，
∴点B（﹣1，﹣2）
由图象可得：当﹣1＜x＜0或x＞1 时，y1＞y2，
答：x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞1．
24．（8分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若四边形DEBF的面积为8，AE＝，则正方形边长为 4 ．
【分析】（1）连接BD，交AC于点O，证明OE＝OF，得四边形DEBF是平行四边形，便可得DE∥BF；
（2）由正方形的性质得OA＝OD，进而得OD与OE的关系，由菱形的面积公式得OD与OE的关系式，进而求得OD，OE，再由等腰直角三角形的性质求得正方形的边长．
【解答】解：（1）连接BD，交AC于点O，
在正方形ABCD中，OB＝OD，OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
∴OF＝OE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DE∥BF；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OD，OA⊥OD，
∴OD＝OE+AE＝OE+，
∵四边形DEBF是平行四边形，OA⊥OD，
∴四边形DEBF是菱形，
∵四边形DEBF的面积为8，
∴BD•EF＝8，
即，
∴OD•OE＝4，
∵，
∴，OD＝2，
∴AD＝＝4，
故答案为：4．
25．（8分）如图，有一块宽为16m的矩形荒地，某公园计划将其分为A、B、C三部分，分别种植不同的植物．若已知A、B地块为正方形，C地块的面积比B地块的面积少40m2，试求该矩形荒地的长．
【分析】设B地块的边长为xm，根据“C地块的面积比B地块的面积少40m2”列出方程求解即可．
【解答】解：设B地块的边长为xm，
根据题意得：x2﹣x（16﹣x）＝40，
解得：x1＝10，x2＝﹣2（不符题意，舍去），
∴10+16＝26m，
答：矩形荒地的长为26m．
26．（8分）同学们：八年级下册第9章我们学习了一种新的图形变换旋转，图形旋转过程中蕴含着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决各类几何问题的常用方法．
【问题提出】
如图①，在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，点M、N分别在边BC、CD上．求证：MN＝BM+DN．
证明思路如下：
第一步：如图②，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABE，再证明E、B、M三点在一条直线上．
第二步：证明△AEM≌△ANM．
请你按照证明思路写出完整的证明过程．
【初步思考】
如图③，四边形ABCD和CEFG为正方形，连接DG、BE，得到△DCG和△BCE．
下列关于这两个三角形的结论：①周长相等； ②面积相等； ③∠CBE＝∠CDG．
其中所有正确结论的序号是 ② ．
【深入研究】
如图④，分别以▱ABCD的四条边为边向外作正方形，连接EF，GH，IJ，KL．若▱ABCD的面积为8，则图中阴影部分（四个三角形）的面积之和为 16 ．
【分析】【问题提出】
将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABE，由旋转的性质得出△ADN≌△ABE，则∠D＝∠ABE＝90°，∠DAN＝∠BAE，AN＝AE，DN＝BE，证明△AEM≌△ANM（SAS），由全等三角形的性质得出ME＝MN，则可得出结论；
【初步思考】
过点E作BC的平行线，过点B作CE的平行线，两线交于点H，连接CH．则四边形BHEC为平行四边形，证明△DCG≌△HEC（SAS），得出S△CHE＝S△DCG，则得出结论；
【深入研究】
连接AC，BD，由【初步思考】的结论可知：S△AEF＝S△ABD＝，同理S△BHG＝S△ABC，S△CIJ＝S△CBD，S△DLK＝S△DAC，则可得出答案．
【解答】【问题提出】
（1）证明：将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABE，
在正方形ABCD中，∠BAD＝∠ABM＝∠D＝90°，
由旋转可知△ADN≌△ABE，
∴∠D＝∠ABE＝90°，∠DAN＝∠BAE，AN＝AE，DN＝BE，
∴∠ABE+∠ABM＝180°，
∴E、B、M三点在一条直线上，
∵∠MAN＝45°，
∴∠DAN+∠BAM＝45°，
∵∠DAN＝∠BAE，
∴∠BAE+∠BAM＝∠EAM＝45°，
∴∠EAM＝∠MAN，
∵AN＝AE，AM＝AM，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME＝MN，
∵ME＝BE+BM，
∴MN＝DN+BM，
【初步思考】
解：∵BE≠DG，
∴△DCG和△BCE的周长不一定相等，故①不正确；
∵正方形CEFG绕点C旋转过程中，∠CBE≠∠CDG．
∴③不正确；
如图1，过点E作BC的平行线，过点B作CE的平行线，两线交于点H，连接CH．
则四边形BHEC为平行四边形，
∴BC＝HE，S△BCE＝＝S△CHE，
∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，
∴CD＝BC，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°，
∴∠BCE+∠DCG＝180°，
∵∠HEC+∠BCE＝180°，
∴∠DCG＝∠HEC，
∵BC＝HE＝CD，
∴△DCG≌△HEC（SAS），
∴S△CHE＝S△DCG，
∴S△DCG＝S△BCE．
故②正确，
故答案为：②．
【深入研究】
解：图中阴影部分（四个三角形）的面积之和为16．
如图2，连接AC，BD，
由【初步思考】的结论可知：S△AEF＝S△ABD＝，
同理S△BHG＝S△ABC，S△CIJ＝S△CBD，S△DLK＝S△DAC，
∴阴影部分的面积S＝S△AEF+S△BGH+S△CIJ+S△DLK＝2S平行四边形ABCD＝2×8＝16．
故答案为：16．
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