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2019-2020学年江苏省无锡市八年级（下）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年江苏省无锡市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
1．（3分）要使二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x＞5 C．x≥0 D．x≥5
2．（3分）下列事件中属于必然事件（ ）
A．射击一次，中靶 B．明天会下雨
C．太阳从东边升起 D．公鸡下蛋
3．（3分）下列平面图形中是中心对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列性质中，菱形具有而平行四边形不一定具有（ ）
A．对角线互相平分 B．两组对角相等
C．对角线互相垂直 D．两组对边平行
5．（3分）若点（2，y1）（4，y2）都在函数y＝﹣的图象上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定
6．（3分）为了解某市6万名八年级学生每天做家庭作业所用的时间，从该市八年级学生中抽取1000名学生进行调查，下列说法正确的是（ ）
A．6万名八年级学生是总体
B．其中的每名八年级学生每天做家庭作业所用的时间是个体
C．所调查的1000名学生是总体的一个样本
D．样本容量是1000名学生
7．（3分）分式﹣可变形为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
8．（3分）一次函数y＝kx﹣k与反比例函数y＝在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在x轴上，点D为平面内一点，且四边形ABCD为矩形，则点D的坐标为（ ）
A．（2，﹣3） B．（4，3） C．（﹣4，﹣） D．（，﹣3）
10．（3分）如图，平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（4，0），p为y轴正半轴上一个动点，将线段PA绕点P逆时针旋转90°，点A的对应点为Q，则线段BQ的最小值是（ ）
A．3 B．5 C． D．2
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）若分式的值为0，则x的值为 ．
12．（3分）我们把一个样本的40个数据分成4组，其中第1、2、3组的频数分别为6、12、14，则第4组的频率为 ．
13．（3分）若1＜x＜3，则化简+|x﹣3|＝ ．
14．（3分）矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，M、N分别为BC、CD的中点，则MN的长为 ．
15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝6，将▱ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠C═50°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转一定
的角度后得到△DBE，若DE恰好经过点A，设BE与AC相交于点F，则∠AFB的度数
为 ．
17．（3分）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则关于x的不等式k1x+b﹣＜0的解集是 ．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，E为边CD上一点，DE＝2，将△BCE沿BE折叠，点C落在F处，设BF交AD于点M，若∠MEB＝45°，则BC的长为 ．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（8分）（1）﹣+；
（2）（2﹣）（2）﹣（）2．
20．（8分）（1）计算：+；
（2）解方程：﹣5＝．
21．（6分）先化简，再求值：，其中a＝﹣2，b＝1．
22．（8分）如图，已知△OAB中，OA＝OB，分别延长AO、BO到点C、D．使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD、DC、CB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）以OA、OB为一组邻边作▱AOBE，连接CE，若CE⊥BD，求∠AOB的度数．
23．（6分）某地教研部门为了了解本地区学生在“停课不停学”在线学习期间的学习情况，进行了如下调查：要求每名学生在“优秀”、“良好”、“一般”和“较差”这四个选项中选择一项进行自我评价．调查组随机抽取了若干名学生的调查问卷进行统计并绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据图中所给信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽查了 名学生；
（2）在扇形统计图中，“良好”所对应的圆心角的度数为 ；
（3）请将条形统计图补充完整．
24．（10分）大浮杨梅是我市特色水果，古称“吴越佳果”．某水果店第一次用540元购进一批大浮杨梅，由于销售状况良好，该店又用1710元购进一批大浮杨梅，所购数量是第一次购进数量的3倍，但进货价每千克多了1元．
（1）第一次所购大浮杨梅的进货价是每千克多少元？
（2）该店以每千克30元销售这些大浮杨梅，在销售中，第一次购进的大浮杨梅有10%的损耗，第二次购进的大浮杨梅有15%的损耗．问：该水果店售完这两批杨梅共可获利多少元？
25．（10分）如图，已知点A（2，4）、B（4，a）都在反比例函数y＝的图象上．
（1）求k和a的值；
（2）以AB为一边在第一象限内作▱ABCD，若点C的横坐标为8，且▱ABCD的面积为10，求点D的坐标．
26．（10分）如图，已知正方形ABCD的边长为6cm，E为边AB上一点且AE长为1cm，动点P从点B出发以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动．把△EBP沿EP折叠，点B落在点B'处．设运动时间为t秒．
（1）当t＝ 时，∠B'PC为直角；
（2）是否存在某一时刻t，使得点B'到直线AD的距离为3？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
2019-2020学年江苏省无锡市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
1．（3分）要使二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x＞5 C．x≥0 D．x≥5
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x﹣5≥0，
解得：x≥5．
故选：D．
2．（3分）下列事件中属于必然事件（ ）
A．射击一次，中靶 B．明天会下雨
C．太阳从东边升起 D．公鸡下蛋
【分析】直接利用随机事件以及必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、射击一次，中靶，属于随机事件，不合题意；
B、明天会下雨，属于随机事件，不合题意；
C、太阳从东边升起，属于必然事件，符合题意；
D、公鸡下蛋，属于不可能事件，不合题意；
故选：C．
3．（3分）下列平面图形中是中心对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．
【解答】解：A、是中心对称图形，符合题意；
B、不是中心对称图形，不合题意；
C、不是中心对称图形，不合题意；
D、不是中心对称图形，不合题意；
故选：A．
4．（3分）下列性质中，菱形具有而平行四边形不一定具有（ ）
A．对角线互相平分 B．两组对角相等
C．对角线互相垂直 D．两组对边平行
【分析】根据平行四边形的性质和菱形的性质对各选项进行判断即可．
【解答】解：A、菱形、平行四边形的对角线互相平分，故A选项不符合题意；
B、菱形、平行四边形的两组对角分别相等，故B选项不符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直平分，平行四边形的对角线互相平分，故C选项符合题意；
D、菱形、平行四边形的两组对边分别平行，故D选项不符合题意；
故选：C．
5．（3分）若点（2，y1）（4，y2）都在函数y＝﹣的图象上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定
【分析】根据函数的解析式和反比例函数的性质得出函数y＝﹣的图象，在每个象限内，y随x的增大而增大，再比较即可．
【解答】解：∵y＝﹣中年k＝﹣3＜0，
∴函数y＝﹣的图象，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点（2，y1）（4，y2）都在函数y＝﹣的图象上，2＜4，
∴y1＜y2，
故选：B．
6．（3分）为了解某市6万名八年级学生每天做家庭作业所用的时间，从该市八年级学生中抽取1000名学生进行调查，下列说法正确的是（ ）
A．6万名八年级学生是总体
B．其中的每名八年级学生每天做家庭作业所用的时间是个体
C．所调查的1000名学生是总体的一个样本
D．样本容量是1000名学生
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：A、该校八年级全体学生每天做家庭作业所用的时间是总体，故A不符合题意；
B、其中的每名八年级学生每天做家庭作业所用的时间是个体，故B符合题意；
C、从中抽取的1000名学生每天做家庭作业所用的时间是总体的一个样本，故C不符合题意；
D、样本容量是1000，故D不符合题意；
故选：B．
7．（3分）分式﹣可变形为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】先提取﹣1，再根据分式的符号变化规律得出即可．
【解答】解：﹣＝﹣＝，
故选：D．
8．（3分）一次函数y＝kx﹣k与反比例函数y＝在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分k＞0及k＜0两种情况考虑，根据一次函数图象与系数的关系、反比例函数的图象对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：当k＞0时，一次函数y＝kx﹣k的图象过一、三、四象限，反比例函数y＝的图象在一、三象限，
当k＜0时，一次函数y＝kx﹣k的图象过一、二、四象限，反比例函数y＝的图象在二、四象限，
∴A、C、D不符合题意，B符合题意；
故选：B．
9．（3分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在x轴上，点D为平面内一点，且四边形ABCD为矩形，则点D的坐标为（ ）
A．（2，﹣3） B．（4，3） C．（﹣4，﹣） D．（，﹣3）
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，进而可得出OA，OB的长，由四边形ABCD为矩形可得出∠ABC＝90°，结合同角的余角相等可得出∠OBC＝∠OAB，结合∠BOC＝∠AOB＝90°可得出△BOC∽△AOB，利用相似三角形的性质可求出OC的长，进而可得出点C的坐标，再利用矩形的性质（对角线互相平分），即可求出点D的坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣×0+3＝3，
∴点B的坐标为（0，3），OB＝3；
当y＝0时，﹣x+3＝0，
解得：x＝4，
∴点A的坐标为（4，0），OA＝4．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°．
∵∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠OBC＝90°，
∴∠OBC＝∠OAB，
又∵∠BOC＝∠AOB＝90°，
∴△BOC∽△AOB，
∴＝，即＝，
∴OC＝，
∴点C的坐标为（﹣，0）．
又∵四边形ABCD为矩形，A（4，0），B（0，3），C（﹣，0），
∴点D的坐标为（4﹣﹣0，0+0﹣3），即（，﹣3）．
故选：D．
10．（3分）如图，平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（4，0），p为y轴正半轴上一个动点，将线段PA绕点P逆时针旋转90°，点A的对应点为Q，则线段BQ的最小值是（ ）
A．3 B．5 C． D．2
【分析】设P（0，m），则OP＝m，通过证得△AOP≌△PMQ求得Q的坐标，然后根据勾股定理得到BQ＝，即可求得当m＝1时，BQ有最小值3．
【解答】解：∵A（2，0），
∴OA＝2，
设P（0，m），则OP＝m，
作QM⊥y轴于M，
∵∠APQ＝90°，
∴∠OAP+∠APO＝∠APO+∠QPM，
∴∠OAP＝∠QPM，
∵∠AOP＝∠PMQ＝90°，PA＝PQ，
∴△AOP≌△PMQ（AAS），
∴MQ＝OP＝m，PM＝OA＝2，
∴Q（m，m+2），
∵B（4，0），
∴BQ＝＝，
∴当m＝1时，BQ有最小值3，
故选：A．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）若分式的值为0，则x的值为 ﹣3 ．
【分析】分式的值为零，分子等于零，且分母不等于零．
【解答】解：由题意，知x+3＝0且x﹣1≠0．
解得x＝﹣3．
故答案是：﹣3．
12．（3分）我们把一个样本的40个数据分成4组，其中第1、2、3组的频数分别为6、12、14，则第4组的频率为 0.2 ．
【分析】首先计算出第4组的频数，然后再计算出第4组的频率即可．
【解答】解：第4组的频数为：40﹣6﹣12﹣14＝8，
频率为：＝0.2，
故答案为：0.2．
13．（3分）若1＜x＜3，则化简+|x﹣3|＝ 2 ．
【分析】直接利用二次根式的性质结合绝对值的性质化简得出答案．
【解答】解：∵1＜x＜3，
∴+|x﹣3|
＝x﹣1+3﹣x
＝2．
故答案为：2．
14．（3分）矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，M、N分别为BC、CD的中点，则MN的长为 2.5 ．
【分析】连接BD，由矩形的性质得CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，∠C＝90°，由勾股定理得BD＝5，证MN是△BCD的中位线，由三角形中位线定理即可得出答案．
【解答】解：连接BD，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，∠C＝90°，
∴BD＝＝＝5，
∵M、N分别为BC、CD的中点，
∴MN是△BCD的中位线，
∴MN＝BD＝2.5；
故答案为：2.5．
15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝6，将▱ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为 4 ．
【分析】由点B恰好与点C重合，可知AE垂直平分BC，根据勾股定理计算AE的长即可．
【解答】解：∵翻折后点B恰好与点C重合，
∴AE⊥BC，BE＝CE，
∵BC＝AD＝6，
∴BE＝3，
∴AE＝．
故答案为：4．
16．（3分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠C═50°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转一定
的角度后得到△DBE，若DE恰好经过点A，设BE与AC相交于点F，则∠AFB的度数
为 70° ．
【分析】直接利用等腰三角形的性质结合旋转的性质得出∠BAD＝∠CBE＝20°，进而利用三角形的外角得出答案．
【解答】解：∵AB＝AC，∠C═50°，
∴∠ABC＝∠C＝50°，∠BAC＝80°，
∵将△ABC绕点B按逆时针方向旋转一定的角度后得到△DBE，DE恰好经过点A，
∴BD＝AB，
∴∠D＝∠BAD＝∠BAC＝80°，
∴∠BAD＝∠CBE＝20°，
∴∠AFB＝∠CBF+∠C＝20°+50°＝70°．
故答案为：70°．
17．（3分）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则关于x的不等式k1x+b﹣＜0的解集是 x＜0或1＜x＜5 ．
【分析】根据k1x+b﹣＜0，则反比例函数大于一次函数，进而结合图象得出答案．
【解答】解：如图所示：关于x的不等式k1x+b﹣＜0的解集是：x＜0或1＜x＜5．
故答案为：x＜0或1＜x＜5．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，E为边CD上一点，DE＝2，将△BCE沿BE折叠，点C落在F处，设BF交AD于点M，若∠MEB＝45°，则BC的长为 15 ．
【分析】过M点作MN⊥BE，交BC于点N，设BC＝x，根据折叠的性质，结合矩形的性质，通过证明△EMD≌△NEC可表示AM＝x﹣3，BM＝x﹣2，再根据勾股定理列式计算即可求解．
【解答】解：过M点作MN⊥BE，交BC于点N，
由折叠可知：△MNE和△BMN均为等腰三角形，
∴BM＝BN，ME＝NE，
∵∠MEB＝45°，
∴∠MEN＝90°，
∴∠MED+∠NEC＝90°，
在矩形ABCD中，∠D＝∠C＝90°，CD＝AB＝5，
∴∠MED+∠EMD＝90°，
∴∠EMD＝∠NEC，
∴△EMD≌△NEC，
∴DE＝CN，MD＝EC，
∵DE＝2，
∴CN＝2，MD＝EC＝3，
设BC＝x，则AD＝x，
∴AM＝x﹣3，BM＝BN＝x﹣2，
在Rt△ABM中，AB2+AM2＝BM2，
即52+（x﹣3）2＝（x﹣2）2，
解得x＝15，
故BC的长为15．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（8分）（1）﹣+；
（2）（2﹣）（2）﹣（）2．
【分析】（1）直接化简二次根式进而合并得出答案；
（2）直接利用乘法公式进而计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝5﹣3+
＝2+2
＝4；
（2）原式＝（2）2﹣（）2﹣2
＝8﹣3﹣2
＝3．
20．（8分）（1）计算：+；
（2）解方程：﹣5＝．
【分析】（1）先通分，再因式分解，约分后即可求解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）+
＝+
＝
＝；
（2）﹣5＝，
去分母得：4+x﹣5﹣（x﹣1）＝2x，
解得：x＝，
经检验，x＝是分式方程的解．
21．（6分）先化简，再求值：，其中a＝﹣2，b＝1．
【分析】首先算括号里面的加法（通分），再算除法，把除法变成乘法（除以一个数等于乘以它的倒数）再把分式的分子、分母分解因式约分，化成最简分式即可．
【解答】解：，
＝，
＝，
＝，
当a＝﹣2，b＝1时，原式＝．
22．（8分）如图，已知△OAB中，OA＝OB，分别延长AO、BO到点C、D．使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD、DC、CB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）以OA、OB为一组邻边作▱AOBE，连接CE，若CE⊥BD，求∠AOB的度数．
【分析】（1）根据已知条件推出四边形ABCD是平行四边形，求得AO＝AC，BO＝BD，等量代换得到AC＝BD，于是得到四边形ABCD是矩形；
（2）连接OE，设EC与BD交于F，根据垂直的定义得到∠CFD＝90°，根据平行四边形的性质得到AE∥BO，根据直角三角形的性质得到EO＝AO，推出△AEO是等边三角形，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵OC＝AO，OD＝BO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC，BO＝BD，
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：连接OE，设EC与BD交于F，
∵EC⊥BD，
∴∠CFD＝90°，
∵四边形AEBO是平行四边形，
∴AE∥BO，
∴∠AEC＝∠CFD＝90°，
即△AEC是直角三角形，
∵EO是Rt△AEC中AC边上的中线，
∴EO＝AO，
∵四边形AEBO是平行四边形，
∴OB＝AE，
∵OA＝OB，
∴AE＝OA＝OE，
∴△AEO是等边三角形，
∴∠OAE＝60°，
∵∠OAE+∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝120°．
23．（6分）某地教研部门为了了解本地区学生在“停课不停学”在线学习期间的学习情况，进行了如下调查：要求每名学生在“优秀”、“良好”、“一般”和“较差”这四个选项中选择一项进行自我评价．调查组随机抽取了若干名学生的调查问卷进行统计并绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据图中所给信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽查了 580 名学生；
（2）在扇形统计图中，“良好”所对应的圆心角的度数为 108° ；
（3）请将条形统计图补充完整．
【分析】（1）由“优秀”的人数及其所占百分比可得调查的总人数；
（2）由360°乘以学习效果“良好”的学生人数所占的比例即可；
（3）求出“一般”的学生人数为82名，从而补全条形统计图．
【解答】解：（1）这次活动共抽查的学生人数为232÷40%＝580（名）；
故答案为：580；
（2）在扇形统计图中，“良好”所对应的圆心角的度数为360°×＝108°；
故答案为：108°；
（3）“一般”的学生人数为580﹣92﹣174﹣232＝82（名），
将条形统计图补充完整如图：
24．（10分）大浮杨梅是我市特色水果，古称“吴越佳果”．某水果店第一次用540元购进一批大浮杨梅，由于销售状况良好，该店又用1710元购进一批大浮杨梅，所购数量是第一次购进数量的3倍，但进货价每千克多了1元．
（1）第一次所购大浮杨梅的进货价是每千克多少元？
（2）该店以每千克30元销售这些大浮杨梅，在销售中，第一次购进的大浮杨梅有10%的损耗，第二次购进的大浮杨梅有15%的损耗．问：该水果店售完这两批杨梅共可获利多少元？
【分析】（1）设第一次所购大浮杨梅的进货价是每千克x元，由题意得等量关系：第一次购进大浮杨梅数量×3＝第二次购进大浮杨梅数量，根据等量关系，列出方程，再解即可；
（2）首先计算出两次购进大浮杨梅的数量，然后再计算卖完后的总收入，然后再减去两次的总进价即可．
【解答】解：（1）设第一次所购大浮杨梅的进货价是每千克x元，
由题意得：×3＝，
解得：x＝18，
经检验：x＝18是原分式方程的解，且符合题意，
答：第一次所购大浮杨梅的进货价是每千克18元；
（2）540÷18＝30，30×3＝90，
30×（30×90%+90×85%）﹣540﹣1710＝855（元），
答：该水果店售完这两批杨梅共可获利855元．
25．（10分）如图，已知点A（2，4）、B（4，a）都在反比例函数y＝的图象上．
（1）求k和a的值；
（2）以AB为一边在第一象限内作▱ABCD，若点C的横坐标为8，且▱ABCD的面积为10，求点D的坐标．
【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数y＝求得k的值，将点B坐标代入反比例函数的解析式求出a的值即可；
（2）由题意得点D的横坐标为6，设D（6，m），连接BD，过A作EF∥y轴，作DE⊥EF，BF⊥EF，则E（2，m），F（2，2），由S梯形DEFB﹣S△DEA﹣S△AFB＝S△ABD得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵点A（2，4）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝2×4＝8，
∵B（4，a）在反比例函数y＝的图象上，
∴a＝＝2；
（2）∵A（2，4），B（4，2），点C的横坐标为8，
∴点D的横坐标为6，
设D（6，m），
连接BD，过A作EF∥y轴，作DE⊥EF，BF⊥EF，如图所示：
则E（2，m），F（2，2），
∵▱ABCD的面积为10，
∴S△ABD＝×10＝5，
∵S梯形DEFB﹣S△DEA﹣S△AFB＝S△ABD，或S梯形DEFB+S△DEA﹣S△AFB＝S△ABD，
∴（2+4）（m﹣2）﹣×4×（m﹣4）﹣×2×2＝5，或（2+4）（m﹣2）+×4×（4﹣m）﹣×2×2＝5，
解得：m＝5，
∴点D的坐标为：（6，5）．
26．（10分）如图，已知正方形ABCD的边长为6cm，E为边AB上一点且AE长为1cm，动点P从点B出发以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动．把△EBP沿EP折叠，点B落在点B'处．设运动时间为t秒．
（1）当t＝ 5 时，∠B'PC为直角；
（2）是否存在某一时刻t，使得点B'到直线AD的距离为3？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据当∠B'PC＝90°时，∠BPB'＝90°，即可得到△BEP为等腰直角三角形，进而得到BP＝BE＝5cm，再根据点P从点B出发以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动，即可得到t的值；
（2）过B'作MN∥AB，交AD，BC于点M，N，过E作EH∥AD，交MN于H，进而得出四边形ABNM是矩形，四边形AEHM是矩形．再分两种情况进行讨论：①如图1，若点B'在AD下方；②如图2，若点B'在AD上方，分别根据Rt△PB'N中，B'P2＝PN2+B'N2，即可得到t的值为秒或15秒．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为6cm，E为边AB上一点且AE长为1cm，
∴BE＝5cm，
当∠B'PC＝90°时，∠BPB'＝90°，
∴由折叠可得，∠BPE＝∠BPB'＝45°，
又∵∠B＝90°，
∴∠BEP＝45°，
∴BP＝BE＝5cm，
∵点P从点B出发以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动，
∴t＝5÷1＝5（秒），
故答案为：5；
（2）存在，过B'作MN∥AB，交AD，BC于点M，N，过E作EH∥AD，交MN于H，
∵AD∥BC，MN∥AB，
∴四边形ABNM是平行四边形，
又∵∠A＝90°，
∴四边形ABNM是矩形，
同理可得：四边形AEHM是矩形．
①如图1，若点B'在AD下方，则B'M＝3cm，B'N＝3cm，
∵MH＝AE＝1cm，
∴B'H＝2cm，
由折叠可得，EB'＝EB＝5cm，
∴Rt△EB'H中，EH＝＝（cm），
∴BN＝AM＝EH＝cm，
∵BP＝t，
∴PB'＝t，PN＝﹣t，
∵Rt△PB'N中，B'P2＝PN2+B'N2，
∴t2＝（﹣t）2+32，
解得t＝．
②如图2，若点B'在AD上方，则B'M＝3cm，B'N＝9cm，
同理可得，EH＝3cm，
∵BP＝t，
∴B'P＝t，PN＝t﹣3，
∵Rt△PB'N中，B'P2＝PN2+B'N2，
∴t2＝（t﹣3）2+92，
解得t＝15．
综上所述，t的值为秒或15秒．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
1．（3分）要使二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x＞5 C．x≥0 D．x≥5
2．（3分）下列事件中属于必然事件（ ）
A．射击一次，中靶 B．明天会下雨
C．太阳从东边升起 D．公鸡下蛋
3．（3分）下列平面图形中是中心对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列性质中，菱形具有而平行四边形不一定具有（ ）
A．对角线互相平分 B．两组对角相等
C．对角线互相垂直 D．两组对边平行
5．（3分）若点（2，y1）（4，y2）都在函数y＝﹣的图象上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定
6．（3分）为了解某市6万名八年级学生每天做家庭作业所用的时间，从该市八年级学生中抽取1000名学生进行调查，下列说法正确的是（ ）
A．6万名八年级学生是总体
B．其中的每名八年级学生每天做家庭作业所用的时间是个体
C．所调查的1000名学生是总体的一个样本
D．样本容量是1000名学生
7．（3分）分式﹣可变形为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
8．（3分）一次函数y＝kx﹣k与反比例函数y＝在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在x轴上，点D为平面内一点，且四边形ABCD为矩形，则点D的坐标为（ ）
A．（2，﹣3） B．（4，3） C．（﹣4，﹣） D．（，﹣3）
10．（3分）如图，平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（4，0），p为y轴正半轴上一个动点，将线段PA绕点P逆时针旋转90°，点A的对应点为Q，则线段BQ的最小值是（ ）
A．3 B．5 C． D．2
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）若分式的值为0，则x的值为 ．
12．（3分）我们把一个样本的40个数据分成4组，其中第1、2、3组的频数分别为6、12、14，则第4组的频率为 ．
13．（3分）若1＜x＜3，则化简+|x﹣3|＝ ．
14．（3分）矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，M、N分别为BC、CD的中点，则MN的长为 ．
15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝6，将▱ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠C═50°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转一定
的角度后得到△DBE，若DE恰好经过点A，设BE与AC相交于点F，则∠AFB的度数
为 ．
17．（3分）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则关于x的不等式k1x+b﹣＜0的解集是 ．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，E为边CD上一点，DE＝2，将△BCE沿BE折叠，点C落在F处，设BF交AD于点M，若∠MEB＝45°，则BC的长为 ．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（8分）（1）﹣+；
（2）（2﹣）（2）﹣（）2．
20．（8分）（1）计算：+；
（2）解方程：﹣5＝．
21．（6分）先化简，再求值：，其中a＝﹣2，b＝1．
22．（8分）如图，已知△OAB中，OA＝OB，分别延长AO、BO到点C、D．使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD、DC、CB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）以OA、OB为一组邻边作▱AOBE，连接CE，若CE⊥BD，求∠AOB的度数．
23．（6分）某地教研部门为了了解本地区学生在“停课不停学”在线学习期间的学习情况，进行了如下调查：要求每名学生在“优秀”、“良好”、“一般”和“较差”这四个选项中选择一项进行自我评价．调查组随机抽取了若干名学生的调查问卷进行统计并绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据图中所给信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽查了 名学生；
（2）在扇形统计图中，“良好”所对应的圆心角的度数为 ；
（3）请将条形统计图补充完整．
24．（10分）大浮杨梅是我市特色水果，古称“吴越佳果”．某水果店第一次用540元购进一批大浮杨梅，由于销售状况良好，该店又用1710元购进一批大浮杨梅，所购数量是第一次购进数量的3倍，但进货价每千克多了1元．
（1）第一次所购大浮杨梅的进货价是每千克多少元？
（2）该店以每千克30元销售这些大浮杨梅，在销售中，第一次购进的大浮杨梅有10%的损耗，第二次购进的大浮杨梅有15%的损耗．问：该水果店售完这两批杨梅共可获利多少元？
25．（10分）如图，已知点A（2，4）、B（4，a）都在反比例函数y＝的图象上．
（1）求k和a的值；
（2）以AB为一边在第一象限内作▱ABCD，若点C的横坐标为8，且▱ABCD的面积为10，求点D的坐标．
26．（10分）如图，已知正方形ABCD的边长为6cm，E为边AB上一点且AE长为1cm，动点P从点B出发以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动．把△EBP沿EP折叠，点B落在点B'处．设运动时间为t秒．
（1）当t＝ 时，∠B'PC为直角；
（2）是否存在某一时刻t，使得点B'到直线AD的距离为3？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
2019-2020学年江苏省无锡市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
1．（3分）要使二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x＞5 C．x≥0 D．x≥5
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x﹣5≥0，
解得：x≥5．
故选：D．
2．（3分）下列事件中属于必然事件（ ）
A．射击一次，中靶 B．明天会下雨
C．太阳从东边升起 D．公鸡下蛋
【分析】直接利用随机事件以及必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、射击一次，中靶，属于随机事件，不合题意；
B、明天会下雨，属于随机事件，不合题意；
C、太阳从东边升起，属于必然事件，符合题意；
D、公鸡下蛋，属于不可能事件，不合题意；
故选：C．
3．（3分）下列平面图形中是中心对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．
【解答】解：A、是中心对称图形，符合题意；
B、不是中心对称图形，不合题意；
C、不是中心对称图形，不合题意；
D、不是中心对称图形，不合题意；
故选：A．
4．（3分）下列性质中，菱形具有而平行四边形不一定具有（ ）
A．对角线互相平分 B．两组对角相等
C．对角线互相垂直 D．两组对边平行
【分析】根据平行四边形的性质和菱形的性质对各选项进行判断即可．
【解答】解：A、菱形、平行四边形的对角线互相平分，故A选项不符合题意；
B、菱形、平行四边形的两组对角分别相等，故B选项不符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直平分，平行四边形的对角线互相平分，故C选项符合题意；
D、菱形、平行四边形的两组对边分别平行，故D选项不符合题意；
故选：C．
5．（3分）若点（2，y1）（4，y2）都在函数y＝﹣的图象上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定
【分析】根据函数的解析式和反比例函数的性质得出函数y＝﹣的图象，在每个象限内，y随x的增大而增大，再比较即可．
【解答】解：∵y＝﹣中年k＝﹣3＜0，
∴函数y＝﹣的图象，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点（2，y1）（4，y2）都在函数y＝﹣的图象上，2＜4，
∴y1＜y2，
故选：B．
6．（3分）为了解某市6万名八年级学生每天做家庭作业所用的时间，从该市八年级学生中抽取1000名学生进行调查，下列说法正确的是（ ）
A．6万名八年级学生是总体
B．其中的每名八年级学生每天做家庭作业所用的时间是个体
C．所调查的1000名学生是总体的一个样本
D．样本容量是1000名学生
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：A、该校八年级全体学生每天做家庭作业所用的时间是总体，故A不符合题意；
B、其中的每名八年级学生每天做家庭作业所用的时间是个体，故B符合题意；
C、从中抽取的1000名学生每天做家庭作业所用的时间是总体的一个样本，故C不符合题意；
D、样本容量是1000，故D不符合题意；
故选：B．
7．（3分）分式﹣可变形为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】先提取﹣1，再根据分式的符号变化规律得出即可．
【解答】解：﹣＝﹣＝，
故选：D．
8．（3分）一次函数y＝kx﹣k与反比例函数y＝在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分k＞0及k＜0两种情况考虑，根据一次函数图象与系数的关系、反比例函数的图象对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：当k＞0时，一次函数y＝kx﹣k的图象过一、三、四象限，反比例函数y＝的图象在一、三象限，
当k＜0时，一次函数y＝kx﹣k的图象过一、二、四象限，反比例函数y＝的图象在二、四象限，
∴A、C、D不符合题意，B符合题意；
故选：B．
9．（3分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在x轴上，点D为平面内一点，且四边形ABCD为矩形，则点D的坐标为（ ）
A．（2，﹣3） B．（4，3） C．（﹣4，﹣） D．（，﹣3）
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，进而可得出OA，OB的长，由四边形ABCD为矩形可得出∠ABC＝90°，结合同角的余角相等可得出∠OBC＝∠OAB，结合∠BOC＝∠AOB＝90°可得出△BOC∽△AOB，利用相似三角形的性质可求出OC的长，进而可得出点C的坐标，再利用矩形的性质（对角线互相平分），即可求出点D的坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣×0+3＝3，
∴点B的坐标为（0，3），OB＝3；
当y＝0时，﹣x+3＝0，
解得：x＝4，
∴点A的坐标为（4，0），OA＝4．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°．
∵∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠OBC＝90°，
∴∠OBC＝∠OAB，
又∵∠BOC＝∠AOB＝90°，
∴△BOC∽△AOB，
∴＝，即＝，
∴OC＝，
∴点C的坐标为（﹣，0）．
又∵四边形ABCD为矩形，A（4，0），B（0，3），C（﹣，0），
∴点D的坐标为（4﹣﹣0，0+0﹣3），即（，﹣3）．
故选：D．
10．（3分）如图，平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（4，0），p为y轴正半轴上一个动点，将线段PA绕点P逆时针旋转90°，点A的对应点为Q，则线段BQ的最小值是（ ）
A．3 B．5 C． D．2
【分析】设P（0，m），则OP＝m，通过证得△AOP≌△PMQ求得Q的坐标，然后根据勾股定理得到BQ＝，即可求得当m＝1时，BQ有最小值3．
【解答】解：∵A（2，0），
∴OA＝2，
设P（0，m），则OP＝m，
作QM⊥y轴于M，
∵∠APQ＝90°，
∴∠OAP+∠APO＝∠APO+∠QPM，
∴∠OAP＝∠QPM，
∵∠AOP＝∠PMQ＝90°，PA＝PQ，
∴△AOP≌△PMQ（AAS），
∴MQ＝OP＝m，PM＝OA＝2，
∴Q（m，m+2），
∵B（4，0），
∴BQ＝＝，
∴当m＝1时，BQ有最小值3，
故选：A．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）若分式的值为0，则x的值为 ﹣3 ．
【分析】分式的值为零，分子等于零，且分母不等于零．
【解答】解：由题意，知x+3＝0且x﹣1≠0．
解得x＝﹣3．
故答案是：﹣3．
12．（3分）我们把一个样本的40个数据分成4组，其中第1、2、3组的频数分别为6、12、14，则第4组的频率为 0.2 ．
【分析】首先计算出第4组的频数，然后再计算出第4组的频率即可．
【解答】解：第4组的频数为：40﹣6﹣12﹣14＝8，
频率为：＝0.2，
故答案为：0.2．
13．（3分）若1＜x＜3，则化简+|x﹣3|＝ 2 ．
【分析】直接利用二次根式的性质结合绝对值的性质化简得出答案．
【解答】解：∵1＜x＜3，
∴+|x﹣3|
＝x﹣1+3﹣x
＝2．
故答案为：2．
14．（3分）矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，M、N分别为BC、CD的中点，则MN的长为 2.5 ．
【分析】连接BD，由矩形的性质得CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，∠C＝90°，由勾股定理得BD＝5，证MN是△BCD的中位线，由三角形中位线定理即可得出答案．
【解答】解：连接BD，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，∠C＝90°，
∴BD＝＝＝5，
∵M、N分别为BC、CD的中点，
∴MN是△BCD的中位线，
∴MN＝BD＝2.5；
故答案为：2.5．
15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝6，将▱ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为 4 ．
【分析】由点B恰好与点C重合，可知AE垂直平分BC，根据勾股定理计算AE的长即可．
【解答】解：∵翻折后点B恰好与点C重合，
∴AE⊥BC，BE＝CE，
∵BC＝AD＝6，
∴BE＝3，
∴AE＝．
故答案为：4．
16．（3分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠C═50°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转一定
的角度后得到△DBE，若DE恰好经过点A，设BE与AC相交于点F，则∠AFB的度数
为 70° ．
【分析】直接利用等腰三角形的性质结合旋转的性质得出∠BAD＝∠CBE＝20°，进而利用三角形的外角得出答案．
【解答】解：∵AB＝AC，∠C═50°，
∴∠ABC＝∠C＝50°，∠BAC＝80°，
∵将△ABC绕点B按逆时针方向旋转一定的角度后得到△DBE，DE恰好经过点A，
∴BD＝AB，
∴∠D＝∠BAD＝∠BAC＝80°，
∴∠BAD＝∠CBE＝20°，
∴∠AFB＝∠CBF+∠C＝20°+50°＝70°．
故答案为：70°．
17．（3分）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则关于x的不等式k1x+b﹣＜0的解集是 x＜0或1＜x＜5 ．
【分析】根据k1x+b﹣＜0，则反比例函数大于一次函数，进而结合图象得出答案．
【解答】解：如图所示：关于x的不等式k1x+b﹣＜0的解集是：x＜0或1＜x＜5．
故答案为：x＜0或1＜x＜5．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，E为边CD上一点，DE＝2，将△BCE沿BE折叠，点C落在F处，设BF交AD于点M，若∠MEB＝45°，则BC的长为 15 ．
【分析】过M点作MN⊥BE，交BC于点N，设BC＝x，根据折叠的性质，结合矩形的性质，通过证明△EMD≌△NEC可表示AM＝x﹣3，BM＝x﹣2，再根据勾股定理列式计算即可求解．
【解答】解：过M点作MN⊥BE，交BC于点N，
由折叠可知：△MNE和△BMN均为等腰三角形，
∴BM＝BN，ME＝NE，
∵∠MEB＝45°，
∴∠MEN＝90°，
∴∠MED+∠NEC＝90°，
在矩形ABCD中，∠D＝∠C＝90°，CD＝AB＝5，
∴∠MED+∠EMD＝90°，
∴∠EMD＝∠NEC，
∴△EMD≌△NEC，
∴DE＝CN，MD＝EC，
∵DE＝2，
∴CN＝2，MD＝EC＝3，
设BC＝x，则AD＝x，
∴AM＝x﹣3，BM＝BN＝x﹣2，
在Rt△ABM中，AB2+AM2＝BM2，
即52+（x﹣3）2＝（x﹣2）2，
解得x＝15，
故BC的长为15．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（8分）（1）﹣+；
（2）（2﹣）（2）﹣（）2．
【分析】（1）直接化简二次根式进而合并得出答案；
（2）直接利用乘法公式进而计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝5﹣3+
＝2+2
＝4；
（2）原式＝（2）2﹣（）2﹣2
＝8﹣3﹣2
＝3．
20．（8分）（1）计算：+；
（2）解方程：﹣5＝．
【分析】（1）先通分，再因式分解，约分后即可求解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）+
＝+
＝
＝；
（2）﹣5＝，
去分母得：4+x﹣5﹣（x﹣1）＝2x，
解得：x＝，
经检验，x＝是分式方程的解．
21．（6分）先化简，再求值：，其中a＝﹣2，b＝1．
【分析】首先算括号里面的加法（通分），再算除法，把除法变成乘法（除以一个数等于乘以它的倒数）再把分式的分子、分母分解因式约分，化成最简分式即可．
【解答】解：，
＝，
＝，
＝，
当a＝﹣2，b＝1时，原式＝．
22．（8分）如图，已知△OAB中，OA＝OB，分别延长AO、BO到点C、D．使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD、DC、CB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）以OA、OB为一组邻边作▱AOBE，连接CE，若CE⊥BD，求∠AOB的度数．
【分析】（1）根据已知条件推出四边形ABCD是平行四边形，求得AO＝AC，BO＝BD，等量代换得到AC＝BD，于是得到四边形ABCD是矩形；
（2）连接OE，设EC与BD交于F，根据垂直的定义得到∠CFD＝90°，根据平行四边形的性质得到AE∥BO，根据直角三角形的性质得到EO＝AO，推出△AEO是等边三角形，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵OC＝AO，OD＝BO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC，BO＝BD，
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：连接OE，设EC与BD交于F，
∵EC⊥BD，
∴∠CFD＝90°，
∵四边形AEBO是平行四边形，
∴AE∥BO，
∴∠AEC＝∠CFD＝90°，
即△AEC是直角三角形，
∵EO是Rt△AEC中AC边上的中线，
∴EO＝AO，
∵四边形AEBO是平行四边形，
∴OB＝AE，
∵OA＝OB，
∴AE＝OA＝OE，
∴△AEO是等边三角形，
∴∠OAE＝60°，
∵∠OAE+∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝120°．
23．（6分）某地教研部门为了了解本地区学生在“停课不停学”在线学习期间的学习情况，进行了如下调查：要求每名学生在“优秀”、“良好”、“一般”和“较差”这四个选项中选择一项进行自我评价．调查组随机抽取了若干名学生的调查问卷进行统计并绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据图中所给信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽查了 580 名学生；
（2）在扇形统计图中，“良好”所对应的圆心角的度数为 108° ；
（3）请将条形统计图补充完整．
【分析】（1）由“优秀”的人数及其所占百分比可得调查的总人数；
（2）由360°乘以学习效果“良好”的学生人数所占的比例即可；
（3）求出“一般”的学生人数为82名，从而补全条形统计图．
【解答】解：（1）这次活动共抽查的学生人数为232÷40%＝580（名）；
故答案为：580；
（2）在扇形统计图中，“良好”所对应的圆心角的度数为360°×＝108°；
故答案为：108°；
（3）“一般”的学生人数为580﹣92﹣174﹣232＝82（名），
将条形统计图补充完整如图：
24．（10分）大浮杨梅是我市特色水果，古称“吴越佳果”．某水果店第一次用540元购进一批大浮杨梅，由于销售状况良好，该店又用1710元购进一批大浮杨梅，所购数量是第一次购进数量的3倍，但进货价每千克多了1元．
（1）第一次所购大浮杨梅的进货价是每千克多少元？
（2）该店以每千克30元销售这些大浮杨梅，在销售中，第一次购进的大浮杨梅有10%的损耗，第二次购进的大浮杨梅有15%的损耗．问：该水果店售完这两批杨梅共可获利多少元？
【分析】（1）设第一次所购大浮杨梅的进货价是每千克x元，由题意得等量关系：第一次购进大浮杨梅数量×3＝第二次购进大浮杨梅数量，根据等量关系，列出方程，再解即可；
（2）首先计算出两次购进大浮杨梅的数量，然后再计算卖完后的总收入，然后再减去两次的总进价即可．
【解答】解：（1）设第一次所购大浮杨梅的进货价是每千克x元，
由题意得：×3＝，
解得：x＝18，
经检验：x＝18是原分式方程的解，且符合题意，
答：第一次所购大浮杨梅的进货价是每千克18元；
（2）540÷18＝30，30×3＝90，
30×（30×90%+90×85%）﹣540﹣1710＝855（元），
答：该水果店售完这两批杨梅共可获利855元．
25．（10分）如图，已知点A（2，4）、B（4，a）都在反比例函数y＝的图象上．
（1）求k和a的值；
（2）以AB为一边在第一象限内作▱ABCD，若点C的横坐标为8，且▱ABCD的面积为10，求点D的坐标．
【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数y＝求得k的值，将点B坐标代入反比例函数的解析式求出a的值即可；
（2）由题意得点D的横坐标为6，设D（6，m），连接BD，过A作EF∥y轴，作DE⊥EF，BF⊥EF，则E（2，m），F（2，2），由S梯形DEFB﹣S△DEA﹣S△AFB＝S△ABD得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵点A（2，4）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝2×4＝8，
∵B（4，a）在反比例函数y＝的图象上，
∴a＝＝2；
（2）∵A（2，4），B（4，2），点C的横坐标为8，
∴点D的横坐标为6，
设D（6，m），
连接BD，过A作EF∥y轴，作DE⊥EF，BF⊥EF，如图所示：
则E（2，m），F（2，2），
∵▱ABCD的面积为10，
∴S△ABD＝×10＝5，
∵S梯形DEFB﹣S△DEA﹣S△AFB＝S△ABD，或S梯形DEFB+S△DEA﹣S△AFB＝S△ABD，
∴（2+4）（m﹣2）﹣×4×（m﹣4）﹣×2×2＝5，或（2+4）（m﹣2）+×4×（4﹣m）﹣×2×2＝5，
解得：m＝5，
∴点D的坐标为：（6，5）．
26．（10分）如图，已知正方形ABCD的边长为6cm，E为边AB上一点且AE长为1cm，动点P从点B出发以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动．把△EBP沿EP折叠，点B落在点B'处．设运动时间为t秒．
（1）当t＝ 5 时，∠B'PC为直角；
（2）是否存在某一时刻t，使得点B'到直线AD的距离为3？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据当∠B'PC＝90°时，∠BPB'＝90°，即可得到△BEP为等腰直角三角形，进而得到BP＝BE＝5cm，再根据点P从点B出发以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动，即可得到t的值；
（2）过B'作MN∥AB，交AD，BC于点M，N，过E作EH∥AD，交MN于H，进而得出四边形ABNM是矩形，四边形AEHM是矩形．再分两种情况进行讨论：①如图1，若点B'在AD下方；②如图2，若点B'在AD上方，分别根据Rt△PB'N中，B'P2＝PN2+B'N2，即可得到t的值为秒或15秒．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为6cm，E为边AB上一点且AE长为1cm，
∴BE＝5cm，
当∠B'PC＝90°时，∠BPB'＝90°，
∴由折叠可得，∠BPE＝∠BPB'＝45°，
又∵∠B＝90°，
∴∠BEP＝45°，
∴BP＝BE＝5cm，
∵点P从点B出发以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动，
∴t＝5÷1＝5（秒），
故答案为：5；
（2）存在，过B'作MN∥AB，交AD，BC于点M，N，过E作EH∥AD，交MN于H，
∵AD∥BC，MN∥AB，
∴四边形ABNM是平行四边形，
又∵∠A＝90°，
∴四边形ABNM是矩形，
同理可得：四边形AEHM是矩形．
①如图1，若点B'在AD下方，则B'M＝3cm，B'N＝3cm，
∵MH＝AE＝1cm，
∴B'H＝2cm，
由折叠可得，EB'＝EB＝5cm，
∴Rt△EB'H中，EH＝＝（cm），
∴BN＝AM＝EH＝cm，
∵BP＝t，
∴PB'＝t，PN＝﹣t，
∵Rt△PB'N中，B'P2＝PN2+B'N2，
∴t2＝（﹣t）2+32，
解得t＝．
②如图2，若点B'在AD上方，则B'M＝3cm，B'N＝9cm，
同理可得，EH＝3cm，
∵BP＝t，
∴B'P＝t，PN＝t﹣3，
∵Rt△PB'N中，B'P2＝PN2+B'N2，
∴t2＝（t﹣3）2+92，
解得t＝15．
综上所述，t的值为秒或15秒．
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