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数学必修 第一册3.4 数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点导学案
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这是一份数学必修 第一册3.4 数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点导学案，共9页。
牛顿(1642～1727)是英国著名的物理学家、数学家和天文学家，是17世纪最伟大的科学巨匠．然而，对于一些在自然科学上一知半解的人来说，牛顿的赫赫有名与其说来自他的科学发现，毋宁说是来自于那个妇孺皆知的苹果落地的传说．傍晚，一个腋下夹着一本书的年轻人走进花园，坐在一棵树下，开始埋头读他的书．正在他翻动书页时，他头顶上的树枝被风吹得晃动了起来．突然，“啪”的一声，一只历史上最著名的苹果落了下来，恰好打在了这位青年的头上．这位青年不是别人，正是牛顿．据说，牛顿当时正在苦苦思索着一个问题：是什么力量使月球保持在环绕地球运行的轨道上，又是什么力量使行星保持在其环绕太阳运行的轨道上？掉下来的苹果打断了他的思索，“为什么这只苹果会坠落到地上呢？”牛顿转而考虑起这个使他感到困惑不解的问题．有人说他正是从这一问题的思考中找到了答案，并提出了万有引力定律．
问题 (1)你认为牛顿是从“苹果从树上落下”这一问题的思考中很容易地提出了万有引力吗？
(2)你能想象一下牛顿发现万有引力的过程吗？
知识点 数学建模
1．数学建模的概念
对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题就是数学建模．
2．数学建模过程
在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题．
1.某车主每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油的情况：
(注：“累计里程”是汽车出厂后行驶的总路程)
则16日－21日这段时间内汽车每百公里的平均油耗为( )
A．6升 B．8升 C．10升 D．12升
B [由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600公里，所以该车每100公里平均耗油量为48÷6＝8(升)，故选B．]
2.某家具的标价为132元，若降价以九折出售 (即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是________元．
108 [设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.]
类型1 建模过程描述与介绍
(1)发现问题
当市面上的苹果比较多时，苹果的价格就会降低．这时，如果将苹果利用一定的技术手段进行保鲜存储，等到市面上的苹果变少、价格上升之后再出售，则同样多的苹果就可以获得比较高的销售收入．不过，需要注意的是，保鲜存储是有成本的，而且成本会随着时间的延长而增大．
(2)提出问题
针对上述这种日常生活中的现象，我们可以探讨的问题很多．例如，为什么会发生这些现象？什么情况下不会发生这样的现象？能够利用哪些技术手段进行保鲜存储？哪种保鲜存储的成本最低？等等．
(3)用数学观点对问题分析
①类似的这些问题，因为不仅仅涉及量的关系，所以如果只用数学手段研究，将是十分困难的．
②上述现象中，涉及了量的增大与减少的问题，这可以用数学符号和语言进行描述．
(4)用数学知识描述问题，建立模型
①定性描述，确立初步模型
设市面上苹果的量为x万吨，苹果的单价为y元．上述现象说明，y会随着x的增大而减少，且y也会随着x的减少而增大——也就是说，如果y是x的函数并记作y＝f(x)的话，f(x)是减函数．
同样地，如果设保鲜存储的时间为t天，单位数量的保鲜存储成本为C元，且C是t的函数并记作C＝g(t)的话，g(t)是一个增函数．
由于市面上的苹果的量x会随着时间t的变化而变化，因此可以认为x是t的函数，并记作x＝h(t)．
从上面这些描述不难看出，在第t天出售苹果时，单位数量的苹果所获得的收益z元可以用t表示出来，即z＝y－C＝f(x)－g(t)＝f(h(t))－g(t)．
此时，如果f(x)，g(t)，h(t)都是已知的，则能得到z与t的具体关系式．有了关系式之后，就能解决如下问题：z是否有最大值？如果z有最大值，那么t为多少时z取最大值？
②合理假设，确立模型
怎样才能确定上述f(x)，g(t)，h(t)呢？这可以通过合理假设来完成．
例如，为了简单起见，我们可以假设f(x)和g(t)都是一次函数，且f(x)＝k1x＋l1，g(t)＝k2t＋l2；
并假设h(t)是一个二次函数，且h(t)＝at2＋bt＋c.
则有z＝f(h(t))－g(t)＝k1at2＋(k1b－k2)t＋k1c＋l1－l2，其中k1＜0，k2＞0，a≠0.
③收集数据确定参数
上述各参数可以通过收集实际数据来确定．例如，如果我们收集到了如下实际数据．
利用待定系数法，根据前面的假设就可以确定出
y＝f(x)＝－0.5x＋5，
C＝g(t)＝0.01t＋0.1，
x＝h(t)＝0.002t2－0.14t＋9.6，
因此z＝－0.001t2＋0.06t＋0.1.
④问题解决与总结
注意到上式可以改写成z＝－0.001(t－30)2＋1，所以此时在t＝30时，z取最大值1.也就是说，在上述情况下，保鲜存储30天时，单位商品所获得的利润最大，为1元．
以上我们用叙述的方式，让大家经历了一个简单的数学建模全过程．
在实际的数学建模过程中，为了向别人介绍数学建模的成果，给别人提供参考，我们还需要将建模结果整理成论文的形式．一般来说，数学建模论文的结构可以按照建模过程来确定．
类型2 数学建模—建立函数模型解决实际问题
【例】 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；
(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
[解] (1)设两类产品的收益与投资额的函数分别为f(x)＝k1x，g(x)＝k2eq \r(x).
由已知得f(1)＝eq \f(1,8)＝k1，g(1)＝eq \f(1,2)＝k2，
所以f(x)＝eq \f(1,8)x(x≥0)，g(x)＝eq \f(1,2)eq \r(x)(x≥0)．
(2)设投资债券类产品为x万元，则投资股票类产品为(20－x)万元，依题意得
y＝f(x)＋g(20－x)＝eq \f(1,8)x＋eq \f(1,2)eq \r(20－x)(0≤x≤20)．
令t＝eq \r(20－x)(0≤t≤2eq \r(5))，
则y＝eq \f(20－t2,8)＋eq \f(1,2)t＝－eq \f(1,8)(t－2)2＋3，
所以当t＝2，即x＝16时，收益最大，即投资债券16万元，投资股票4万元时获得最大收益，最大收益为3万元．
解决此类问题的过程
[跟进训练]
某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现，此商品的销售单价x(元)与日销售量y件之间有如下关系(见表)：
(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？
[解] (1)根据题干中所给表作图，如图，点(30,60)、(40,30)、(45,15)、(50,0)在同一条直线上，设此直线为y＝kx＋b，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(50k＋b＝0，,45k＋b＝15，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－3，,b＝150.))
∴y＝－3x＋150(30≤x≤50)．
经检验，点(30,60)、(40,30)也在此直线上，故所求函数关系式为y＝－3x＋150(30≤x≤50)．
(2)依题意有P＝y(x－30)
＝(－3x＋150)(x－30)
＝－3(x－40)2＋300，
∴当x＝40时，P有最大值300.
故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润.
1．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t(时)的函数表达式是( )
A．x＝60t＋50t(0≤t≤6.5)
B．x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60t0≤t≤2.5,1502.5＜t≤3.5,150－50t3.5＜t≤6.5))
C．x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60t0≤t≤2.5,150－50tt＞3.5))
D．x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60t0≤t≤2.5,1502.5＜t≤3.5,150－50t－3.53.5＜t≤6.5))
D [根据题意，函数为分段函数，求出每一段上的解析式即可．]
2．甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图．
甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只．
乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个．
请你根据提供的信息说明：
(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；
(2)第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由；
(3)第几年的养殖规模最大？最大养殖量是多少？
[解] (1)由题图可知，直线y甲＝kx＋b经过(1,1)和(6,2)，可求得k＝0.2，b＝0.8.
所以y甲＝0.2(x＋4)．
同理可得y乙＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x＋\f(17,2))).
当x＝2时，y甲＝1.2，y乙＝26，
故第2年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只)．
(2)规模缩小了．原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只．
(3)设第x年规模最大，即求y甲·y乙＝0.2(x＋4)·4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x＋\f(17,2)))＝－0.8x2＋3.6x＋27.2的最大值．
函数图像的对称轴为x＝－eq \f(3.6,2×－0.8)＝2.25，
因为x∈N＋，∴当x＝2时，y甲·y乙＝31.2最大，
即第二年规模最大，为31.2万只．
[教师用书独具]
走近数学建模
实际问题一直是数学发展的重要源泉，解决实际问题也一直是数学价值的重要体现．下面我们来看数学史上一个极具影响的数学建模实例．
实际问题
普莱格尔河穿过美丽的哥尼斯堡城(现为俄罗斯的加里宁格勒)．普莱格尔河有两个支流，在城市中心汇成大河，中间是岛区，在河上有七座桥，如图(1)．
图(1)
岛上有古老的哥尼斯堡大学、知名的大教堂，居民经常到河岸和桥上散步．在18世纪初的一天，有人突发奇想：如何才能走过这七座桥，而每座桥都只能经过一次，最后又回到原来的出发点？人们开始沉迷于这个问题，在桥上来来回回不知走了多少次，却始终不得其解，这就是著名的哥尼斯堡七桥问题(Seven Bridges f Königsberg)．
实际问题的数学表述
七桥问题引起了数学家欧拉(Lénard Euler,1707－1783)的极大兴趣．他想：经过这么多人的努力都没有找到一次不重复走完七座桥的路径，会不会根本不存在这样的走法？
首先，欧拉想到的是穷举法，就是把所有的走法都一一列出来，再一个一个验证．但是，他很快发现这样做太麻烦了，因为对七座桥的不同走法就有5 000多种，并且这种方法不具有通用性．
经过反复思考，欧拉想到：岛的形状、大小，以及桥的长短、宽窄并不影响结果，重要的是陆地、桥与岛这三者之间的位置关系．不妨把图中被河隔开的4块陆地看作4个点，连接陆地的7座桥看作7条线，就得到如图(2)的图形．实际问题中的陆地、
图(2)
河流和桥梁景观就不见了，七桥问题就变成能否一笔画出此图形的问题．这就是欧拉对七桥问题建立起来的数学模型．
数学问题的解决
欧拉注意到，如果这样的图形能一笔画成，那么除去起点和终点外，其他的点都是“经过点”．“经过点”的特征是：只要从一条线进入这个点，就要从另一条线离开这个点．有进无出，只能是终点；有出无进，只能是起点．若以某一点为端点的线有偶数条，则称该点为偶点；否则称为奇点．显然“经过点”是偶点．如果起点和终点是同一个点，那么这个点也是偶点．
一笔画定理 一个由点和线组成的图形能一笔画完，必须符合以下两个条件：
(1)图形是连在一起的，即是连通图形；
(2)图形中的奇点个数为0或2.1.理解几种常见函数模型的概念及性质．(难点)
2.会分析具体的实际问题，建模解决实际问题．(重点、难点)
1.通过几种函数模型的学习，培养数学抽象的素养.
2.理解几种函数模型的应用，培养数学建模的素养.
加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(公里)
2021年11月16日
12
32 000
2021年11月21日
48
32 600
x/万吨
8.4
7.6
y/元
0.8
1.2
t/天
1
2
C/天
0.11
0.12
t/天
1
2
3
x/万吨
9.462
9.328
9.198
销售单价x(元)
…
30
40
45
50
…
日销售量y(件)
…
60
30
15
0
…
牛顿(1642～1727)是英国著名的物理学家、数学家和天文学家，是17世纪最伟大的科学巨匠．然而，对于一些在自然科学上一知半解的人来说，牛顿的赫赫有名与其说来自他的科学发现，毋宁说是来自于那个妇孺皆知的苹果落地的传说．傍晚，一个腋下夹着一本书的年轻人走进花园，坐在一棵树下，开始埋头读他的书．正在他翻动书页时，他头顶上的树枝被风吹得晃动了起来．突然，“啪”的一声，一只历史上最著名的苹果落了下来，恰好打在了这位青年的头上．这位青年不是别人，正是牛顿．据说，牛顿当时正在苦苦思索着一个问题：是什么力量使月球保持在环绕地球运行的轨道上，又是什么力量使行星保持在其环绕太阳运行的轨道上？掉下来的苹果打断了他的思索，“为什么这只苹果会坠落到地上呢？”牛顿转而考虑起这个使他感到困惑不解的问题．有人说他正是从这一问题的思考中找到了答案，并提出了万有引力定律．
问题 (1)你认为牛顿是从“苹果从树上落下”这一问题的思考中很容易地提出了万有引力吗？
(2)你能想象一下牛顿发现万有引力的过程吗？
知识点 数学建模
1．数学建模的概念
对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题就是数学建模．
2．数学建模过程
在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题．
1.某车主每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油的情况：
(注：“累计里程”是汽车出厂后行驶的总路程)
则16日－21日这段时间内汽车每百公里的平均油耗为( )
A．6升 B．8升 C．10升 D．12升
B [由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600公里，所以该车每100公里平均耗油量为48÷6＝8(升)，故选B．]
2.某家具的标价为132元，若降价以九折出售 (即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是________元．
108 [设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.]
类型1 建模过程描述与介绍
(1)发现问题
当市面上的苹果比较多时，苹果的价格就会降低．这时，如果将苹果利用一定的技术手段进行保鲜存储，等到市面上的苹果变少、价格上升之后再出售，则同样多的苹果就可以获得比较高的销售收入．不过，需要注意的是，保鲜存储是有成本的，而且成本会随着时间的延长而增大．
(2)提出问题
针对上述这种日常生活中的现象，我们可以探讨的问题很多．例如，为什么会发生这些现象？什么情况下不会发生这样的现象？能够利用哪些技术手段进行保鲜存储？哪种保鲜存储的成本最低？等等．
(3)用数学观点对问题分析
①类似的这些问题，因为不仅仅涉及量的关系，所以如果只用数学手段研究，将是十分困难的．
②上述现象中，涉及了量的增大与减少的问题，这可以用数学符号和语言进行描述．
(4)用数学知识描述问题，建立模型
①定性描述，确立初步模型
设市面上苹果的量为x万吨，苹果的单价为y元．上述现象说明，y会随着x的增大而减少，且y也会随着x的减少而增大——也就是说，如果y是x的函数并记作y＝f(x)的话，f(x)是减函数．
同样地，如果设保鲜存储的时间为t天，单位数量的保鲜存储成本为C元，且C是t的函数并记作C＝g(t)的话，g(t)是一个增函数．
由于市面上的苹果的量x会随着时间t的变化而变化，因此可以认为x是t的函数，并记作x＝h(t)．
从上面这些描述不难看出，在第t天出售苹果时，单位数量的苹果所获得的收益z元可以用t表示出来，即z＝y－C＝f(x)－g(t)＝f(h(t))－g(t)．
此时，如果f(x)，g(t)，h(t)都是已知的，则能得到z与t的具体关系式．有了关系式之后，就能解决如下问题：z是否有最大值？如果z有最大值，那么t为多少时z取最大值？
②合理假设，确立模型
怎样才能确定上述f(x)，g(t)，h(t)呢？这可以通过合理假设来完成．
例如，为了简单起见，我们可以假设f(x)和g(t)都是一次函数，且f(x)＝k1x＋l1，g(t)＝k2t＋l2；
并假设h(t)是一个二次函数，且h(t)＝at2＋bt＋c.
则有z＝f(h(t))－g(t)＝k1at2＋(k1b－k2)t＋k1c＋l1－l2，其中k1＜0，k2＞0，a≠0.
③收集数据确定参数
上述各参数可以通过收集实际数据来确定．例如，如果我们收集到了如下实际数据．
利用待定系数法，根据前面的假设就可以确定出
y＝f(x)＝－0.5x＋5，
C＝g(t)＝0.01t＋0.1，
x＝h(t)＝0.002t2－0.14t＋9.6，
因此z＝－0.001t2＋0.06t＋0.1.
④问题解决与总结
注意到上式可以改写成z＝－0.001(t－30)2＋1，所以此时在t＝30时，z取最大值1.也就是说，在上述情况下，保鲜存储30天时，单位商品所获得的利润最大，为1元．
以上我们用叙述的方式，让大家经历了一个简单的数学建模全过程．
在实际的数学建模过程中，为了向别人介绍数学建模的成果，给别人提供参考，我们还需要将建模结果整理成论文的形式．一般来说，数学建模论文的结构可以按照建模过程来确定．
类型2 数学建模—建立函数模型解决实际问题
【例】 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；
(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
[解] (1)设两类产品的收益与投资额的函数分别为f(x)＝k1x，g(x)＝k2eq \r(x).
由已知得f(1)＝eq \f(1,8)＝k1，g(1)＝eq \f(1,2)＝k2，
所以f(x)＝eq \f(1,8)x(x≥0)，g(x)＝eq \f(1,2)eq \r(x)(x≥0)．
(2)设投资债券类产品为x万元，则投资股票类产品为(20－x)万元，依题意得
y＝f(x)＋g(20－x)＝eq \f(1,8)x＋eq \f(1,2)eq \r(20－x)(0≤x≤20)．
令t＝eq \r(20－x)(0≤t≤2eq \r(5))，
则y＝eq \f(20－t2,8)＋eq \f(1,2)t＝－eq \f(1,8)(t－2)2＋3，
所以当t＝2，即x＝16时，收益最大，即投资债券16万元，投资股票4万元时获得最大收益，最大收益为3万元．
解决此类问题的过程
[跟进训练]
某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现，此商品的销售单价x(元)与日销售量y件之间有如下关系(见表)：
(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？
[解] (1)根据题干中所给表作图，如图，点(30,60)、(40,30)、(45,15)、(50,0)在同一条直线上，设此直线为y＝kx＋b，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(50k＋b＝0，,45k＋b＝15，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－3，,b＝150.))
∴y＝－3x＋150(30≤x≤50)．
经检验，点(30,60)、(40,30)也在此直线上，故所求函数关系式为y＝－3x＋150(30≤x≤50)．
(2)依题意有P＝y(x－30)
＝(－3x＋150)(x－30)
＝－3(x－40)2＋300，
∴当x＝40时，P有最大值300.
故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润.
1．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t(时)的函数表达式是( )
A．x＝60t＋50t(0≤t≤6.5)
B．x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60t0≤t≤2.5,1502.5＜t≤3.5,150－50t3.5＜t≤6.5))
C．x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60t0≤t≤2.5,150－50tt＞3.5))
D．x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60t0≤t≤2.5,1502.5＜t≤3.5,150－50t－3.53.5＜t≤6.5))
D [根据题意，函数为分段函数，求出每一段上的解析式即可．]
2．甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图．
甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只．
乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个．
请你根据提供的信息说明：
(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；
(2)第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由；
(3)第几年的养殖规模最大？最大养殖量是多少？
[解] (1)由题图可知，直线y甲＝kx＋b经过(1,1)和(6,2)，可求得k＝0.2，b＝0.8.
所以y甲＝0.2(x＋4)．
同理可得y乙＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x＋\f(17,2))).
当x＝2时，y甲＝1.2，y乙＝26，
故第2年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只)．
(2)规模缩小了．原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只．
(3)设第x年规模最大，即求y甲·y乙＝0.2(x＋4)·4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x＋\f(17,2)))＝－0.8x2＋3.6x＋27.2的最大值．
函数图像的对称轴为x＝－eq \f(3.6,2×－0.8)＝2.25，
因为x∈N＋，∴当x＝2时，y甲·y乙＝31.2最大，
即第二年规模最大，为31.2万只．
[教师用书独具]
走近数学建模
实际问题一直是数学发展的重要源泉，解决实际问题也一直是数学价值的重要体现．下面我们来看数学史上一个极具影响的数学建模实例．
实际问题
普莱格尔河穿过美丽的哥尼斯堡城(现为俄罗斯的加里宁格勒)．普莱格尔河有两个支流，在城市中心汇成大河，中间是岛区，在河上有七座桥，如图(1)．
图(1)
岛上有古老的哥尼斯堡大学、知名的大教堂，居民经常到河岸和桥上散步．在18世纪初的一天，有人突发奇想：如何才能走过这七座桥，而每座桥都只能经过一次，最后又回到原来的出发点？人们开始沉迷于这个问题，在桥上来来回回不知走了多少次，却始终不得其解，这就是著名的哥尼斯堡七桥问题(Seven Bridges f Königsberg)．
实际问题的数学表述
七桥问题引起了数学家欧拉(Lénard Euler,1707－1783)的极大兴趣．他想：经过这么多人的努力都没有找到一次不重复走完七座桥的路径，会不会根本不存在这样的走法？
首先，欧拉想到的是穷举法，就是把所有的走法都一一列出来，再一个一个验证．但是，他很快发现这样做太麻烦了，因为对七座桥的不同走法就有5 000多种，并且这种方法不具有通用性．
经过反复思考，欧拉想到：岛的形状、大小，以及桥的长短、宽窄并不影响结果，重要的是陆地、桥与岛这三者之间的位置关系．不妨把图中被河隔开的4块陆地看作4个点，连接陆地的7座桥看作7条线，就得到如图(2)的图形．实际问题中的陆地、
图(2)
河流和桥梁景观就不见了，七桥问题就变成能否一笔画出此图形的问题．这就是欧拉对七桥问题建立起来的数学模型．
数学问题的解决
欧拉注意到，如果这样的图形能一笔画成，那么除去起点和终点外，其他的点都是“经过点”．“经过点”的特征是：只要从一条线进入这个点，就要从另一条线离开这个点．有进无出，只能是终点；有出无进，只能是起点．若以某一点为端点的线有偶数条，则称该点为偶点；否则称为奇点．显然“经过点”是偶点．如果起点和终点是同一个点，那么这个点也是偶点．
一笔画定理 一个由点和线组成的图形能一笔画完，必须符合以下两个条件：
(1)图形是连在一起的，即是连通图形；
(2)图形中的奇点个数为0或2.1.理解几种常见函数模型的概念及性质．(难点)
2.会分析具体的实际问题，建模解决实际问题．(重点、难点)
1.通过几种函数模型的学习，培养数学抽象的素养.
2.理解几种函数模型的应用，培养数学建模的素养.
加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(公里)
2021年11月16日
12
32 000
2021年11月21日
48
32 600
x/万吨
8.4
7.6
y/元
0.8
1.2
t/天
1
2
C/天
0.11
0.12
t/天
1
2
3
x/万吨
9.462
9.328
9.198
销售单价x(元)
…
30
40
45
50
…
日销售量y(件)
…
60
30
15
0
…
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