北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试优秀课时作业

这是一份北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试优秀课时作业，共16页。

（满分120分 时间100分钟）


班级:__________姓名:__________学号:__________成绩:__________


一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）


1．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）


A．对边平行且相等


B．对角线互相平分


C．每条对角线平分一组对角


D．对角互补


2．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.6km，则M，C两点间的距离为（ ）





A．0.8kmB．1.2kmC．1.3kmD．5.2km


3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOB＝60°，BD＝8cm，则CD的长度为（ ）





A．3cmB．4cmC．8cmD．6cm


4．如图，▱ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，点E．F在BD上，且BE═DF，连接AE，EC，CF，FA，下列条件能判定四边形AECF为矩形的是（ ）





A．BE＝EOB．EO＝ACC．AC⊥BED．AE＝AF


5．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，，∠ABE＝30°，则DE的长为（ ）





A．1B．C．D．2


6．平行四边形的两条相邻的边长为a、b，且满足a2﹣ab＝ab﹣b2，则此四边形一定是（ ）


A．矩形B．正方形C．菱形D．无法确定


7．如图，正方形ABCD的边长为8，E为AB上一点，若EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，则EF+EG＝（ ）





A．4B．8C．8D．4


8．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则A、C两点间的距离是（ ）





A．4B．C．D．2


9．如图菱形ABCD的两条对角线AC＝80cm，BD＝60cm，那么菱形的边长是（ ）





A．60cmB．50cmC．40cmD．80cm


10．如图，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，则正方形EFGH的边长为（ ）





A．6B．8C．10D．12


二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）


11．在菱形ABCD中，对角线AC＝4cm，BD＝7cm，则菱形的面积为 cm2．


12．如图，在▱ABCD中，AB＝AD，要使四边形ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是 ．（只写出一个即可）





13．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝2∠BCD，BD＝2，则AC＝ ．





14．矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，M、N分别为BC、CD的中点，则MN的长为 ．


15．如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC的延长线上，且CE＝BD，联结AE交BD于点F，如果∠E＝15°，那么∠AFB的度数为 ．





16．如图，E为正方形ABCD内部一点，且AE＝3，BE＝4，∠E＝90°，则阴影部分的面积为 ．





17．如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：


①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；


②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；


③在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形；


④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．


以上结论正确的有 （把所有正确结论的序号都填上）．





三．解答题（共8小题，满分62分）


18．（6分）如图，AE∥BF，BD平分∠ABC交AE于点D，点C在BF上且BC＝AB，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．





19．（6分）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．求证：四边形OCED是矩形．





20．（6分）如图，矩形ABCD中，点E是BC边上一点．且DE＝AD．过点A作AF⊥DE交DE于点F．求证：AB＝AF．





21．（8分）如图5，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝2．


（1）求菱形ABCD的周长；


（2）若AC＝2，求菱形ABCD的面积．





22．（8分）如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，点E，F分别是垂足．


（1）求证：AP＝PC；


（2）若∠BAP＝60°，PD＝，求PC的长．





23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AD边上一点，过点B作BF∥EC，交AD的延长线于点F，连接BE，CF．


（1）求证：△BDF≌△CDE．


（2）若DE＝BC，求证：四边形BECF是正方形．





24．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝BC，在边AB上截取BE，使得BE＝BC，连接CE，作DF⊥EC于点F，连接BF并延长交AD于点G，连接DE．


（1）求证：DE平分∠AEC；


（2）若AD＝，求出DG的长．





25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．


（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；


（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；


（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．






































参考答案


一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）


1．解：A、菱形、平行四边形的对边平行且相等，故A选项不符合题意；


B、菱形的对角线互相垂直平分、平行四边形的对角线互相平分，故B选项不符合题意；


C、菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；平行四边形的对角线互相平分，故C选项符合题意；


D、菱形、平行四边形的对角相等，故D选项不符合题意．


故选：C．


2．解：在Rt△ACB中，点M是AB的中点，


∴CM＝AB＝×2.6＝1.3（km），


故选：C．


3．解：∵四边形ABD是矩形，


∴BD＝AC，OA＝OC，OB＝OD，


∵BD＝8cm，


∴OD＝4cm，


∵∠DOC＝∠AOB＝60°，


∴△DOC是等边三角形，


∴CD＝OD＝4cm，


故选：B．


4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，


∴OA＝OC＝AC，OB＝OD，


∵BE＝DF，


∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，


∴四边形AECF是平行四边形，


A、BE＝EO时，不能判定四边形AECF为矩形；故选项A不符合题意；


B、EO＝AC时，EF＝AC，


∴四边形AECF为矩形；故选项B符合题意；


C、AC⊥BE时，四边形AECF为菱形；故选项C不符合题意；


D、AE＝AF时，四边形AECF为菱形；故选项D不符合题意；


故选：B．


5．解：∵四边形ABCD是矩形，


∴AB＝CD＝，∠A＝∠D＝90°，


∵∠ABE＝30°，


∴∠AEB＝60°，


∴∠BED＝120°，


∵EC平分∠BED，


∴∠DEC＝60°，


∴∠DCE＝30°，


∴CD＝DE＝，


∴DE＝1，


故选：A．


6．解：由a2﹣ab＝ab﹣b2，得（a﹣b）2＝0，则a＝b．


根据邻边相等的平行四边形是菱形得到：此四边形一定是菱形．


故选：C．


7．解：连接EO





∵四边形ABCD为正方形


∴AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO且AC＝BD＝8，


∴AO＝CO＝BO＝4，


∵S△ABO＝S△AEO+S△BEO


∴16＝×AO×EF+×BO×EG，


∴EF+EG＝4，


故选：D．


8．解：在矩形OABC中，


OB＝AC，


∵B（1，3），


∴OB＝＝，


故选：C．


9．解：设AC、BD交于点O，如图所示：


∵菱形ABCD的两条对角线AC＝80cm，BD＝60cm，


∴AC⊥BD，BO＝OD＝BD＝30cm，OA＝OC＝AC＝40cm，


∴AB＝＝＝50（cm）；


故选：B．





10．解：由图可得，S△AEH+S△BFE+S△CGF+S△DHG＝S△HJE+S△EKF+S△FLG+S△GIH，


设S△AEH+S△BFE+S△CGF+S△DHG＝S△HJE+S△EKF+S△FLG+S△GIH＝x，


则S正方形EFGH＝S正方形ABCD﹣x＝S正方形IJKL+x，


即196﹣x＝4+x，


解得x＝96，


∴S正方形EFGH＝196﹣96＝100，


∴正方形EFGH的边长为10，


故选：C．


二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）


11．解：如图所示：


∵菱形ABCD中，对角线AC＝4cm，BD＝7cm，


∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×4×7＝14（cm2）；


故答案为：14．





12．解：条件为∠ABC＝90°或AC＝BD，


理由是：∵在▱ABCD中，AB＝AD，


∴四边形ABCD是菱形，


∵∠ABC＝90°或AC＝BD，


∴四边形ABCD是正方形，


故答案为：∠ABC＝90°或AC＝BD．


13．解：设AC与BD交于点O，如图所示：


∵四边形ABCD是菱形，


∴OB＝OD＝BD＝，AC⊥BD，∠BCO＝∠BCD，AB∥CD，


∴∠ABC+∠BCD＝180°，


∵∠ABC＝2∠BCD，


∴∠BCD＝60°，


∴∠BCO＝∠BCD＝30°，


∴OC＝OB＝×＝3，


∴AC＝2OC＝6；


故答案为：6．





14．解：连接BD，如图：


∵四边形ABCD是矩形，


∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，∠C＝90°，


∴BD＝＝＝5，


∵M、N分别为BC、CD的中点，


∴MN是△BCD的中位线，


∴MN＝BD＝2.5；


故答案为：2.5．





15．解：连接AC交BD于点O，如图所示：


∵四边形ABCD是矩形，


∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，


∴OB＝OC，


∴∠OBC＝∠OCB，


∵CE＝BD，


∴AC＝CE，


∴∠CAE＝∠E＝15°，


∴∠OBC＝∠OCB＝∠CAE+∠E＝30°，


∴∠AFB＝∠OBC+∠E＝30°+15°＝45°；


故答案为：45°．





16．解：∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AE＝3，BE＝4，由勾股定理得：AB＝＝＝5，


∴正方形的面积是5×5＝25，


∵△AEB的面积是AE•BE＝×3×4＝6，


∴阴影部分的面积是25﹣6＝19，


故答案是：19．


17．解：如图，连接DH，HM．


由题可得，AM＝BE，


∴AB＝EM＝AD，


∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，


∴EM＝AD，∠AHE＝90°，∠MEH＝∠DAH＝45°＝∠EAH，


∴EH＝AH，


∴△MEH≌△DAH（SAS），


∴∠MHE＝∠DHA，MH＝DH，


∴∠MHD＝∠AHE＝90°，△DHM是等腰直角三角形，


∴DM＝2HM，故②正确；


当∠DHC＝60°时，∠ADH＝60°﹣45°＝15°，


∴∠ADM＝45°﹣15°＝30°，


∴Rt△ADM中，DM＝2AM，


即DM＝2BE，故①正确；


∵CD∥EM，EC∥DM，


∴四边形CEMD是平行四边形，


∵DM＞AD，AD＝CD，


∴DM＞CD，


∴四边形CEMD不可能是菱形，故③错误，


∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，


∴∠AHM＜∠BAC＝45°，


∴∠CHM＞135°，故④正确；


由上可得正确结论的序号为①②④．


故答案为①②④．





三．解答题（共8小题，满分62分）


18．证明：∵AE∥BF，


∴∠ADB＝∠DBC，


∵BD平分∠ABC，


∴∠DBC＝∠ABD，


∴∠ADB＝∠ABD，


∴AB＝AD，


又∵AB＝BC，


∴AD＝BC，


∵AE∥BF，即AD∥BC，


∴四边形ABCD为平行四边形，


又∵AB＝AD，


∴四边形ABCD为菱形．


19．证明：∵CE∥OD，DE∥AC，


∴四边形OCED是平行四边形，


∵四边形ABCD是菱形，


∴AC⊥BD，


∴∠DOC＝90°，


∴四边形OCED是矩形．


20．解：∵AD＝AE，


∴∠DAE＝∠AED，


在矩形ABCD中，


AD∥BC，


∴∠DAE＝∠AEB，


∴∠AED＝∠AEB，


∵AF⊥DE，AB⊥BC，


∴EA是平分∠BEF，


∴AB＝AF．


21．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，


∴BC＝CD＝AD＝AB＝2，


∴菱形ABCD的周长＝4AB＝8；


（2）∵四边形ABCD是菱形，


∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝1，


∴OB＝＝＝，


∴BD＝2OB＝2，


∴形ABCD的面积＝AC×BD＝×2×2＝2．


22．（1）证明：∵ABCD是正方形，


∴∠C＝90°，


∵PE⊥CD，PF⊥BC，


∴四边形PFCE是矩形，


∴EF＝PC，


在△ABP和△CBP中，


，


∴△ABP≌△CBP（SAS），


∴AP＝CP；


（2）解：∵由（1）知△ABP≌△CBP，


∴∠BAP＝∠BCP＝60°，


∴∠PCE＝30°，


∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，


∴∠PDE＝45°，


∵PE⊥CD，


∴DE＝PE，


∵PD＝，


∴PE＝1，


∴PC＝2PE＝2．


23．（1）证明：∵AD是BC边上的中线，AB＝AC，


∴BD＝CD，


∵BF∥EC，


∴∠DBF＝∠DCE，


∵∠BDF＝∠CDE，


∴△BDF≌△CDE（ASA）；


（2）证明：∵△BDF≌△CDE，


∴BF＝CE，DE＝DF，


∵BF∥CE，


∴四边形BECF是平行四边形，


∵AB＝AC，AD是中线，


∴四边形BECF是菱形，


∵DE＝BC，DE＝DF＝EF，


∴EF＝BC，


∴四边形BECF是正方形．


24．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，


∴AB＝CD，AB∥DC，∠ABC＝90°，


∵BC＝BE，


∴CE＝BC，


∵AB＝BC，


∴CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，


∵AB∥CD，


∴∠CDE＝∠AED，


∴∠AED＝∠DEC，


∴DE平分∠AEC；


（2）∵BC＝BE，∠CBE＝90°，


∴∠BCE＝∠BEC＝45°，


∵CD∥AB，


∴∠DCE＝∠BEC＝45°，


∵DF⊥CE，


∴∠CDF＝45°，


∴DF＝CF，


∴CD＝DF，


∵AB＝CD，AB＝，BC＝BE，


∴BE＝DF＝CF＝BC，


∵∠ADC＝90°，


∴∠FDG＝45°，


∴∠BEF＝∠EDF，


∵BC＝CF，∠BCF＝45°，


∴∠CBF＝∠CFB＝67.5°，


∴∠EBF＝90°﹣67.5°＝22.5°，


∠DFG＝180°﹣67.5°﹣90°＝22.5°，


∴∠EBF＝∠DFG，


在△DFG和△EBF中，





∴△DFG≌△EBF（ASA），


∴DG＝EF，


∵EF＝CE﹣CF＝AB﹣BC＝，


∴DG＝2．


25．解：（1）由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝6﹣t


在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，


当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，


∴t＝6﹣t，得t＝3


故当t＝3s时，四边形ABQP为矩形．


（2）由（1）可知，四边形AQCP为平行四边形


∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形


即时，四边形AQCP为菱形，解得t＝，


故当t＝s时，四边形AQCP为菱形．


（3）当t＝时，AQ＝，CQ＝，


则周长为：4AQ＝4×＝15cm


面积为：．