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数学九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试精品课时练习
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这是一份数学九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试精品课时练习，共24页。
考试时间：100分钟；满分：120分
姓名：___________班级：___________学号：___________成绩:___________
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列性质中菱形有矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直
B．对角线互相平分
C．对角线相等
D．既是轴对称图形又是中心对称图形
2．（3分）若菱形的周长为16，则它的边长为（ ）
A．8B．6C．4D．2
3．（3分）边长为1的正方形的对角线为（ ）
A．B．1C．D．2+1
4．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝2∠B，则∠C＝（ ）
A．120°B．100°C．150°D．60°
5．（3分）菱形的两条对角线的分别为60cm和80cm，那么边长是（ ）
A．60cmB．50cmC．40cmD．80cm
6．（3分）下列性质，菱形、矩形和正方形都具有的是（ ）
A．轴对称图形B．对角线平分一组对角
C．对角线相等D．对角线互相垂直
7．（3分）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B点的坐标分别是（ ）
A．（，3）B．（，4）C．（，4）D．（，）
8．（3分）已知矩形OABC，坐标分别为O（0，0），A（0，a），B（b，2），C（3，0），则（ ）
A．a＝3，b＝2B．a＝2，b＝3C．a＝﹣3，b＝﹣2D．a＝﹣2，b＝﹣3
9．（3分）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2＝（ ）
A．16B．17C．18D．19
10．（3分）如图，已知△ABC中，AC＝2，BC＝4，以AB为边向形外作正方形ABMN，若∠ACB的度数发生变化，连接CN，则CN的最大值是（ ）
A．4B．6C．4+2D．2+4
11．（3分）在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC上一点，且EF＝BF+DE，则∠EAF的度数为（ ）
A．30°B．60°C．45°D．小于60°
12．（3分）如图，以正方形ABCD的边AB为一边向内作等边△ABE，连结EC，则∠BEC的度数为（ ）
A．60°B．45°C．75°D．67.5°
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．（4分）如图，长方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F．若AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为 ．
14．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝12cm，则AB＝ cm．
15．（4分）如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，6），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是等腰三角形时，则P点的坐标为 ．
16．（4分）在长方形ABCD中，A（﹣3，2），B（0，2），C（0，4），则点D的坐标是 ．
17．（4分）在正方形ABCD的平面内作等边三角形△ADE，则∠AEB的度数为 ．
18．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在BC上，且BE＝2，BF⊥AE于F，交AC于点G，则AG的值为 ．
三．解答题（共9小题，满分60分）
19．（5分）如图，正方形ABCD及EFGC的面积分别是10和5，求长方形AHGD留下阴影部分的周长和面积．
20．（5分）如图，在矩形ABCD中，M是BC的中点，MA⊥MD．若矩形的周长为48cm，求矩形的面积．
21．（6分）如图，四边形ABCD为正方形，B的坐标（0，4），C的坐标（3，0），A、D在第一象限．
（1）过D作DE⊥x轴，垂足为E，先证明△OBC≌△ECD，再写出点D的坐标；
（2）求点A的坐标．
22．（6分）如图，平行四边形ABCD中，AQ，BN，CN，DQ分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AQ与BN交于点P，CN与DQ交于点M．在不添加其他条件的情况下，试判别四边形MNPQ的形状，并说明理由．
23．（7分）如图，MN∥PQ，直线l分别交MN、PQ于点A、C，同旁内角的平分线AB、CB相交于点B，AD、CD相交于点D．试证明四边形ABCD是矩形．
24．（7分）如图所示，顺次延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，且使BE＝CF＝DG＝AH．
求证：四边形EFGH是正方形．
25．（7分）四边形ABCD是矩形，MN垂直平分对角线BD于O，交AD于M，交BC于N，求证：四边形MBND是菱形．
26．（8分）如图，菱形ABCD中，一射线BE分∠ABC为∠ABE与∠CBE，且∠ABE：∠CBE＝7：3，BE交对角线AC于F，交CD于E，过B作BK⊥AD于K点，交AC于M，且∠DAC＝15°．
（1）求∠DEB的度数；
（2）求证：2CF＝CM+2FB．
27．（9分）如图①，在正方形ABCD中，点E在AC上．
（1）求证：BE＝DE；
（2）你能将上面的命题用文字概括成一个命题吗？
（3）你能用这个命题证下面这道题吗？如图②，点P在正方形ABCD的对角线AC上，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F．求证：EF＝DP．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列性质中菱形有矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直
B．对角线互相平分
C．对角线相等
D．既是轴对称图形又是中心对称图形
【解答】解：菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，
矩形的对角线互相平分、相等，
故菱形具有而矩形不具有的性质是两条对角线互相垂直，
故选：A．
【点评】本题主要考查对矩形的性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地根据矩形和菱形的性质进行判断是解此题的关键．
2．（3分）若菱形的周长为16，则它的边长为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【解答】解：因为菱形的四边相等，周长为16，
∴菱形的边长为4，
故选：C．
【点评】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质就解决问题的关键．
3．（3分）边长为1的正方形的对角线为（ ）
A．B．1C．D．2+1
【解答】解：由勾股定理知，对角线长＝，
故选：A．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，关键是根据勾股定理的运用解答．
4．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝2∠B，则∠C＝（ ）
A．120°B．100°C．150°D．60°
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠A＝∠C，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝2∠B，
∴∠A＝120°，∠B＝60°，
∴∠C＝120°，
故选：A．
【点评】本题考查菱形的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．（3分）菱形的两条对角线的分别为60cm和80cm，那么边长是（ ）
A．60cmB．50cmC．40cmD．80cm
【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为60cm和80cm，
∴该菱形的边长为，
故选：B．
【点评】此题考查了菱形的性质与勾股定理．此题比较简单，注意掌握菱形的面积的求解方法是解此题的关键．
6．（3分）下列性质，菱形、矩形和正方形都具有的是（ ）
A．轴对称图形B．对角线平分一组对角
C．对角线相等D．对角线互相垂直
【解答】解：
A、正确．矩形、菱形、正方形都是轴对称图形．
B、错误．矩形不具有的对角线互相垂直这个性质．
C、错误．菱形不具有的对角线相等这个性质．
D、错误．矩形不具有对角线互相垂直这个性质．
故选：A．
【点评】本题考查矩形、菱形、正方形的性质，记住矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键，属于中考常考题型．
7．（3分）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B点的坐标分别是（ ）
A．（，3）B．（，4）C．（，4）D．（，）
【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H，
∵四边形AOBC是矩形，
∴AC∥OB，AC＝OB，
∴∠CAF＝∠BOE＝∠CHO，
在△ACF和△OBE中，
，
∴△CAF≌△BOE（AAS），
∴BE＝CF＝4﹣1＝3，
∵∠AOD+∠BOE＝∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠AOD＝∠OBE，
∵∠ADO＝∠OEB＝90°，
∴△AOD∽△OBE，
∴＝，
即＝，
∴OE＝，
∴点B（，3），
故选：A．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，构造全等三角形和相似三角形是解题的关键，注意掌握数形结合思想的应用．
8．（3分）已知矩形OABC，坐标分别为O（0，0），A（0，a），B（b，2），C（3，0），则（ ）
A．a＝3，b＝2B．a＝2，b＝3C．a＝﹣3，b＝﹣2D．a＝﹣2，b＝﹣3
【解答】解：因为矩形OABC，坐标分别为O（0，0），A（0，a），B（b，2），C（3，0），
所以a＝2，b＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，关键是根据矩形的性质和坐标特点解答．
9．（3分）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2＝（ ）
A．16B．17C．18D．19
【解答】解：如图，
设正方形S1的边长为x，
∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，
∴AB＝BC，DE＝DC，∠ABC＝∠D＝90°，
∴sin∠CAB＝sin45°＝＝，即AC＝BC，同理可得：BC＝CE＝CD，
∴AC＝BC＝2CD，又AD＝AC+CD＝6，
∴CD＝2，
∴EC2＝22+22，即EC＝2；
∴S1的面积为EC2＝2×2＝8；
∵∠MAO＝∠MOA＝45°，
∴AM＝MO，
∵MO＝MN，
∴AM＝MN，
∴M为AN的中点，
∴S2的边长为3，
∴S2的面积为3×3＝9，
∴S1+S2＝8+9＝17．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质的性质，考查了学生的读图能力和计算能力，题目比较典型，难度适中．
10．（3分）如图，已知△ABC中，AC＝2，BC＝4，以AB为边向形外作正方形ABMN，若∠ACB的度数发生变化，连接CN，则CN的最大值是（ ）
A．4B．6C．4+2D．2+4
【解答】解：∵四边形ABMN为正方形，
∴AB＝AN，∠BAN＝90°，
∴将△ACB绕点A逆时针旋转90°得到△AC′N，如图，
∴∠CAC′＝90°，AC′＝AC＝2，NC′＝BC＝4，
∴△ACC′为等腰直角三角形，
∴CC′＝AC＝2，
∵NC′+CC′≥NC（当且仅当点C′在NC上时，取等号），
∴点C′在NC上时，NC最大，
此时NC＝4+2，
即CN的最大值是4+2．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角．解决本题的关键通过旋转把零散的条件集中到一个三角形中．
11．（3分）在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC上一点，且EF＝BF+DE，则∠EAF的度数为（ ）
A．30°B．60°C．45°D．小于60°
【解答】解：延长FB使得BG＝DE，连接AG，
在△ABG和△ADE中，
，
∴△ABG≌△ADE（SAS），
∴∠DAE＝∠BAG，AE＝AG，
又∵EF＝DE+BF＝FB+BG＝FG，AF＝AF，
在△AFG和△AEF中，
，
∴△AFG≌△AEF（SSS），
∴∠FAG＝∠EAF，
∵∠DAE+∠EAF+∠BAF＝90°
∴∠FAG+∠EAF＝90°，
∴∠EAF＝45°．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证∠EAG＝∠EAF是解题的关键．
12．（3分）如图，以正方形ABCD的边AB为一边向内作等边△ABE，连结EC，则∠BEC的度数为（ ）
A．60°B．45°C．75°D．67.5°
【解答】解：如图，在□ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC．
∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABE＝60°，AB＝BE，
∴∠EBC＝90°﹣60°＝30°，BE＝BC，
∴∠BCE＝∠BEC＝（180°﹣30°）＝75°．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质．根据正方形和等边三角形的性质推知BE＝BC是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．（4分）如图，长方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F．若AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为 3 ．
【解答】解：根据矩形的性质得△OBF≌△ODE，
属于图中阴影部分的面积就是△ADC的面积．
S△ADC＝CD×AD＝×2×3＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了矩形的性质以及三角形的面积公式的运用，解题的关键是把阴影图形的面积补为一个直角三角形的面积．
14．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝12cm，则AB＝ 6 cm．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD＝6，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝6cm，
故答案为6
【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
15．（4分）如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，6），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是等腰三角形时，则P点的坐标为 P1（2，6），P2（5，6），P3（8，6），P4（18，6） ．
【解答】解：当P1O＝OD＝10时，由勾股定理可以求得P1F＝8，P1C＝2，
P2O＝P2D时，作P2E⊥OA，
∴OE＝ED＝5；
当P3D＝OD＝10时，作DF⊥BC，由勾股定理，得P3F＝2，
∴P3C＝8；
当P4D＝OD＝10时，作P4G⊥OA，由勾股定理，得
DG＝8，
∴OG＝18．
∴P1（2，6），P2（5，6），P3（8，6），P4（18，6）；
故答案为：P1（2，6），P2（5，6），P3（8，6），P4（18，6）
【点评】本题考查了矩形的性质，关键是根据坐标与图形的性质，等腰三角形的性质和勾股定理的运用解答．
16．（4分）在长方形ABCD中，A（﹣3，2），B（0，2），C（0，4），则点D的坐标是 （﹣3，4） ．
【解答】解：∵长方形ABCD中，A（﹣3，2），C（0，4），
∴点D的横坐标为﹣3，纵坐标为4，
∴点D的坐标为（﹣3，4）．
故答案为：（﹣3，4）．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质，根据图形确定点D的横坐标与纵坐标是解题的关键．
17．（4分）在正方形ABCD的平面内作等边三角形△ADE，则∠AEB的度数为 75°或15° ．
【解答】解：如图，当点E在正方形内部时，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∵△AED是等边三角形，
∴∠EAD＝60°，AD＝AE＝AB，
∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，
∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣∠BAE）＝75°．
当点E′在正方形外部时，同理可得，∠ABE＝×（180°﹣150°）＝15°，
故答案为：75°或15°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，等边三角形的性质、正方形的性质的知识点的应用，关键是求出∠EAD的度数和证出∠ABE＝∠AEB．
18．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在BC上，且BE＝2，BF⊥AE于F，交AC于点G，则AG的值为 ．
【解答】解：如图，延长BG交CD于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝6，∠ABC＝∠BCM＝90°，
∴AC＝＝＝6，
∵AE⊥BM，
∴∠AFB＝90°，
∴∠ABF+∠BAE＝90°∠ABF+∠CBM＝90°，
∴∠BAE＝∠CBM，
在△ABE和△BCM中，
，
∴△ABE≌△BCM，
∴CM＝BE＝2，
∵CM∥AB，
∴CM：AB＝CG：AG＝2：6＝1：3，
∴AG＝AC＝6×＝．
故答案为．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线等分线段定理、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．
三．解答题（共9小题，满分60分）
19．（5分）如图，正方形ABCD及EFGC的面积分别是10和5，求长方形AHGD留下阴影部分的周长和面积．
【解答】解：∵正方形ABCD及EFGC的面积分别是10和5
∴BC＝，EF＝＝CE
∴BE＝BC﹣CE＝﹣
∴四边形BEFH的周长＝2（BE+EF）＝2（﹣+）＝2
四边形BEFH的面积＝BE×EF＝（）＝5﹣5
【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
20．（5分）如图，在矩形ABCD中，M是BC的中点，MA⊥MD．若矩形的周长为48cm，求矩形的面积．
【解答】解：∠CDM+∠CMD＝90°，∠CMD+∠BMA＝90°，
∴∠CDM＝∠BMA，同理∠DMC＝∠BAM．
∴△DCM∽△MBA．
∴，
∵DC＝AB，BM＝CM，
∴AB＝BM．
又∵（AB+BC）×2＝48，
∴（AB+2AB）×2＝48．
∴AB＝8，BC＝16．
∴矩形ABCD的面积为128．
【点评】本题的关键是利用了三角形相似的判定定理，及相似三角形的性质和矩形的性质．
21．（6分）如图，四边形ABCD为正方形，B的坐标（0，4），C的坐标（3，0），A、D在第一象限．
（1）过D作DE⊥x轴，垂足为E，先证明△OBC≌△ECD，再写出点D的坐标；
（2）求点A的坐标．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴CB＝CD，∠BCD＝90°，
∵∠BCO+∠CBO＝90°，∠BCO+∠DCE＝90°，
∴∠CBO＝∠DCE，
在△OBC和△ECD中
，
∴△OBC≌△ECD（AAS），
∴OC＝DE＝3，OB＝CE＝4，
∴D（7，3）；
（2）解：C点向左平移3个单位，向上平移4个单位得到点D，则D点向左平移3个单位，向上平移4个单位得到点A，
所以A点坐标为（4，7）．
【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了全等三角形的判定方法．
22．（6分）如图，平行四边形ABCD中，AQ，BN，CN，DQ分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AQ与BN交于点P，CN与DQ交于点M．在不添加其他条件的情况下，试判别四边形MNPQ的形状，并说明理由．
【解答】解：四边形MNPQ是矩形，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°．
∵AP，BP分别平分∠DAB，∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°．
∴∠P＝90°，
同理：∠M＝90°，∠PQM＝90°，
∴∠PNM＝90°，
∴四边形MNPQ是矩形．
【点评】此题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，关键是掌握三个角是直角是四边形是矩形．
23．（7分）如图，MN∥PQ，直线l分别交MN、PQ于点A、C，同旁内角的平分线AB、CB相交于点B，AD、CD相交于点D．试证明四边形ABCD是矩形．
【解答】证明：∵MN∥PQ，
∴∠MAC＝∠ACQ、∠ACP＝∠NAC，
∵AB、CD分别平分∠MAC和∠ACQ，
∴∠BAC＝∠MAC、∠DCA＝∠ACQ，
又∵∠MAC＝∠ACQ，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD，
∵AD、CB分别平分∠ACP和∠NAC，
∴∠BCA＝∠ACP、∠DAC＝∠NAC，
又∵∠ACP＝∠NAC，
∴∠BCA＝∠DAC，
∴AD∥CB，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD平行四边形，
∵∠BAC＝∠MAC，∠ACB＝∠ACP，
又∵∠MAC+∠ACP＝180°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形．
24．（7分）如图所示，顺次延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，且使BE＝CF＝DG＝AH．
求证：四边形EFGH是正方形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠EBF＝∠HAE＝∠GDH＝∠FCG，
又∵BE＝CF＝DG＝AH，
∴CG＝DH＝AE＝BF
∴△AEH≌△CGF≌△DHG≌△BFE，
∴EF＝FG＝GH＝HE，∠EFB＝∠HEA，
∴四边形EFGH为菱形，
∵∠EFB+∠FEB＝90°，∠EFB＝∠HEA，
∴∠FEB+∠HEA＝90°，
∴四边形EFGH是正方形．
【点评】本题主要考查了正方形的判定方法：一角是直角的菱形是正方形．
25．（7分）四边形ABCD是矩形，MN垂直平分对角线BD于O，交AD于M，交BC于N，求证：四边形MBND是菱形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠MDO＝∠NBO，
∵MN垂直平分对角线BD，
∴OD＝OB，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，，
∴△MOD≌△NOB（ASA），
∴OM＝ON，
∴四边形MBND是平行四边形，
又∵MN⊥BD，
∴四边形MBND是菱形．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
26．（8分）如图，菱形ABCD中，一射线BE分∠ABC为∠ABE与∠CBE，且∠ABE：∠CBE＝7：3，BE交对角线AC于F，交CD于E，过B作BK⊥AD于K点，交AC于M，且∠DAC＝15°．
（1）求∠DEB的度数；
（2）求证：2CF＝CM+2FB．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAB＝2∠DAC＝2×5°＝30°，
∠ABC＝180°﹣∠DAB＝180°﹣30°＝150°，
∵∠ABE：∠CBE＝7：3，
∴∠ABE＝150°×＝105°，
∴∠DEB＝180°﹣∠ABE＝180°﹣105°＝75°；
（2）证明：∵BK⊥AD，菱形的对边AD∥BC，
∴∠CBM＝∠AKB＝90°，∠BCA＝∠DAC＝15°，
如图，取CM的中点G，连接BG，
则BG＝CG＝CM，
∴∠CBG＝∠BCG＝15°，
∵∠EBG＝∠EBC﹣∠CBG＝（150°﹣105°）﹣15°＝30°，
∠BGM＝∠CBG+∠BCA＝15°+15°＝30°，
∴∠GBF＝∠BMG，
∴FB＝FG，
∵CF＝CG+FG，
∴CF＝CM+FB，
故2CF＝CM+2FB．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边对等角的性质，难点在于（2）根据2倍关系考虑到，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半作出辅助线构造出两个等腰三角形，这也是解决本题的关键．
27．（9分）如图①，在正方形ABCD中，点E在AC上．
（1）求证：BE＝DE；
（2）你能将上面的命题用文字概括成一个命题吗？
（3）你能用这个命题证下面这道题吗？如图②，点P在正方形ABCD的对角线AC上，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F．求证：EF＝DP．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）解：命题：正方形一条对角线上的点到另一对角线的两端点的距离相等；
（3）证明：如图，连接PB，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，∠ABC＝90°，
∴四边形BFPE是矩形，
∴EF＝PB，
由（2）PB＝DP，
∴EF＝DP．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟记正方形的性质得到三角形全等的条件是解题的关键．
考试时间：100分钟；满分：120分
姓名：___________班级：___________学号：___________成绩:___________
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列性质中菱形有矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直
B．对角线互相平分
C．对角线相等
D．既是轴对称图形又是中心对称图形
2．（3分）若菱形的周长为16，则它的边长为（ ）
A．8B．6C．4D．2
3．（3分）边长为1的正方形的对角线为（ ）
A．B．1C．D．2+1
4．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝2∠B，则∠C＝（ ）
A．120°B．100°C．150°D．60°
5．（3分）菱形的两条对角线的分别为60cm和80cm，那么边长是（ ）
A．60cmB．50cmC．40cmD．80cm
6．（3分）下列性质，菱形、矩形和正方形都具有的是（ ）
A．轴对称图形B．对角线平分一组对角
C．对角线相等D．对角线互相垂直
7．（3分）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B点的坐标分别是（ ）
A．（，3）B．（，4）C．（，4）D．（，）
8．（3分）已知矩形OABC，坐标分别为O（0，0），A（0，a），B（b，2），C（3，0），则（ ）
A．a＝3，b＝2B．a＝2，b＝3C．a＝﹣3，b＝﹣2D．a＝﹣2，b＝﹣3
9．（3分）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2＝（ ）
A．16B．17C．18D．19
10．（3分）如图，已知△ABC中，AC＝2，BC＝4，以AB为边向形外作正方形ABMN，若∠ACB的度数发生变化，连接CN，则CN的最大值是（ ）
A．4B．6C．4+2D．2+4
11．（3分）在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC上一点，且EF＝BF+DE，则∠EAF的度数为（ ）
A．30°B．60°C．45°D．小于60°
12．（3分）如图，以正方形ABCD的边AB为一边向内作等边△ABE，连结EC，则∠BEC的度数为（ ）
A．60°B．45°C．75°D．67.5°
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．（4分）如图，长方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F．若AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为 ．
14．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝12cm，则AB＝ cm．
15．（4分）如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，6），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是等腰三角形时，则P点的坐标为 ．
16．（4分）在长方形ABCD中，A（﹣3，2），B（0，2），C（0，4），则点D的坐标是 ．
17．（4分）在正方形ABCD的平面内作等边三角形△ADE，则∠AEB的度数为 ．
18．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在BC上，且BE＝2，BF⊥AE于F，交AC于点G，则AG的值为 ．
三．解答题（共9小题，满分60分）
19．（5分）如图，正方形ABCD及EFGC的面积分别是10和5，求长方形AHGD留下阴影部分的周长和面积．
20．（5分）如图，在矩形ABCD中，M是BC的中点，MA⊥MD．若矩形的周长为48cm，求矩形的面积．
21．（6分）如图，四边形ABCD为正方形，B的坐标（0，4），C的坐标（3，0），A、D在第一象限．
（1）过D作DE⊥x轴，垂足为E，先证明△OBC≌△ECD，再写出点D的坐标；
（2）求点A的坐标．
22．（6分）如图，平行四边形ABCD中，AQ，BN，CN，DQ分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AQ与BN交于点P，CN与DQ交于点M．在不添加其他条件的情况下，试判别四边形MNPQ的形状，并说明理由．
23．（7分）如图，MN∥PQ，直线l分别交MN、PQ于点A、C，同旁内角的平分线AB、CB相交于点B，AD、CD相交于点D．试证明四边形ABCD是矩形．
24．（7分）如图所示，顺次延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，且使BE＝CF＝DG＝AH．
求证：四边形EFGH是正方形．
25．（7分）四边形ABCD是矩形，MN垂直平分对角线BD于O，交AD于M，交BC于N，求证：四边形MBND是菱形．
26．（8分）如图，菱形ABCD中，一射线BE分∠ABC为∠ABE与∠CBE，且∠ABE：∠CBE＝7：3，BE交对角线AC于F，交CD于E，过B作BK⊥AD于K点，交AC于M，且∠DAC＝15°．
（1）求∠DEB的度数；
（2）求证：2CF＝CM+2FB．
27．（9分）如图①，在正方形ABCD中，点E在AC上．
（1）求证：BE＝DE；
（2）你能将上面的命题用文字概括成一个命题吗？
（3）你能用这个命题证下面这道题吗？如图②，点P在正方形ABCD的对角线AC上，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F．求证：EF＝DP．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列性质中菱形有矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直
B．对角线互相平分
C．对角线相等
D．既是轴对称图形又是中心对称图形
【解答】解：菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，
矩形的对角线互相平分、相等，
故菱形具有而矩形不具有的性质是两条对角线互相垂直，
故选：A．
【点评】本题主要考查对矩形的性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地根据矩形和菱形的性质进行判断是解此题的关键．
2．（3分）若菱形的周长为16，则它的边长为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【解答】解：因为菱形的四边相等，周长为16，
∴菱形的边长为4，
故选：C．
【点评】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质就解决问题的关键．
3．（3分）边长为1的正方形的对角线为（ ）
A．B．1C．D．2+1
【解答】解：由勾股定理知，对角线长＝，
故选：A．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，关键是根据勾股定理的运用解答．
4．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝2∠B，则∠C＝（ ）
A．120°B．100°C．150°D．60°
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠A＝∠C，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝2∠B，
∴∠A＝120°，∠B＝60°，
∴∠C＝120°，
故选：A．
【点评】本题考查菱形的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．（3分）菱形的两条对角线的分别为60cm和80cm，那么边长是（ ）
A．60cmB．50cmC．40cmD．80cm
【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为60cm和80cm，
∴该菱形的边长为，
故选：B．
【点评】此题考查了菱形的性质与勾股定理．此题比较简单，注意掌握菱形的面积的求解方法是解此题的关键．
6．（3分）下列性质，菱形、矩形和正方形都具有的是（ ）
A．轴对称图形B．对角线平分一组对角
C．对角线相等D．对角线互相垂直
【解答】解：
A、正确．矩形、菱形、正方形都是轴对称图形．
B、错误．矩形不具有的对角线互相垂直这个性质．
C、错误．菱形不具有的对角线相等这个性质．
D、错误．矩形不具有对角线互相垂直这个性质．
故选：A．
【点评】本题考查矩形、菱形、正方形的性质，记住矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键，属于中考常考题型．
7．（3分）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B点的坐标分别是（ ）
A．（，3）B．（，4）C．（，4）D．（，）
【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H，
∵四边形AOBC是矩形，
∴AC∥OB，AC＝OB，
∴∠CAF＝∠BOE＝∠CHO，
在△ACF和△OBE中，
，
∴△CAF≌△BOE（AAS），
∴BE＝CF＝4﹣1＝3，
∵∠AOD+∠BOE＝∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠AOD＝∠OBE，
∵∠ADO＝∠OEB＝90°，
∴△AOD∽△OBE，
∴＝，
即＝，
∴OE＝，
∴点B（，3），
故选：A．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，构造全等三角形和相似三角形是解题的关键，注意掌握数形结合思想的应用．
8．（3分）已知矩形OABC，坐标分别为O（0，0），A（0，a），B（b，2），C（3，0），则（ ）
A．a＝3，b＝2B．a＝2，b＝3C．a＝﹣3，b＝﹣2D．a＝﹣2，b＝﹣3
【解答】解：因为矩形OABC，坐标分别为O（0，0），A（0，a），B（b，2），C（3，0），
所以a＝2，b＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，关键是根据矩形的性质和坐标特点解答．
9．（3分）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2＝（ ）
A．16B．17C．18D．19
【解答】解：如图，
设正方形S1的边长为x，
∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，
∴AB＝BC，DE＝DC，∠ABC＝∠D＝90°，
∴sin∠CAB＝sin45°＝＝，即AC＝BC，同理可得：BC＝CE＝CD，
∴AC＝BC＝2CD，又AD＝AC+CD＝6，
∴CD＝2，
∴EC2＝22+22，即EC＝2；
∴S1的面积为EC2＝2×2＝8；
∵∠MAO＝∠MOA＝45°，
∴AM＝MO，
∵MO＝MN，
∴AM＝MN，
∴M为AN的中点，
∴S2的边长为3，
∴S2的面积为3×3＝9，
∴S1+S2＝8+9＝17．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质的性质，考查了学生的读图能力和计算能力，题目比较典型，难度适中．
10．（3分）如图，已知△ABC中，AC＝2，BC＝4，以AB为边向形外作正方形ABMN，若∠ACB的度数发生变化，连接CN，则CN的最大值是（ ）
A．4B．6C．4+2D．2+4
【解答】解：∵四边形ABMN为正方形，
∴AB＝AN，∠BAN＝90°，
∴将△ACB绕点A逆时针旋转90°得到△AC′N，如图，
∴∠CAC′＝90°，AC′＝AC＝2，NC′＝BC＝4，
∴△ACC′为等腰直角三角形，
∴CC′＝AC＝2，
∵NC′+CC′≥NC（当且仅当点C′在NC上时，取等号），
∴点C′在NC上时，NC最大，
此时NC＝4+2，
即CN的最大值是4+2．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角．解决本题的关键通过旋转把零散的条件集中到一个三角形中．
11．（3分）在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC上一点，且EF＝BF+DE，则∠EAF的度数为（ ）
A．30°B．60°C．45°D．小于60°
【解答】解：延长FB使得BG＝DE，连接AG，
在△ABG和△ADE中，
，
∴△ABG≌△ADE（SAS），
∴∠DAE＝∠BAG，AE＝AG，
又∵EF＝DE+BF＝FB+BG＝FG，AF＝AF，
在△AFG和△AEF中，
，
∴△AFG≌△AEF（SSS），
∴∠FAG＝∠EAF，
∵∠DAE+∠EAF+∠BAF＝90°
∴∠FAG+∠EAF＝90°，
∴∠EAF＝45°．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证∠EAG＝∠EAF是解题的关键．
12．（3分）如图，以正方形ABCD的边AB为一边向内作等边△ABE，连结EC，则∠BEC的度数为（ ）
A．60°B．45°C．75°D．67.5°
【解答】解：如图，在□ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC．
∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABE＝60°，AB＝BE，
∴∠EBC＝90°﹣60°＝30°，BE＝BC，
∴∠BCE＝∠BEC＝（180°﹣30°）＝75°．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质．根据正方形和等边三角形的性质推知BE＝BC是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．（4分）如图，长方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F．若AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为 3 ．
【解答】解：根据矩形的性质得△OBF≌△ODE，
属于图中阴影部分的面积就是△ADC的面积．
S△ADC＝CD×AD＝×2×3＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了矩形的性质以及三角形的面积公式的运用，解题的关键是把阴影图形的面积补为一个直角三角形的面积．
14．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝12cm，则AB＝ 6 cm．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD＝6，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝6cm，
故答案为6
【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
15．（4分）如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，6），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是等腰三角形时，则P点的坐标为 P1（2，6），P2（5，6），P3（8，6），P4（18，6） ．
【解答】解：当P1O＝OD＝10时，由勾股定理可以求得P1F＝8，P1C＝2，
P2O＝P2D时，作P2E⊥OA，
∴OE＝ED＝5；
当P3D＝OD＝10时，作DF⊥BC，由勾股定理，得P3F＝2，
∴P3C＝8；
当P4D＝OD＝10时，作P4G⊥OA，由勾股定理，得
DG＝8，
∴OG＝18．
∴P1（2，6），P2（5，6），P3（8，6），P4（18，6）；
故答案为：P1（2，6），P2（5，6），P3（8，6），P4（18，6）
【点评】本题考查了矩形的性质，关键是根据坐标与图形的性质，等腰三角形的性质和勾股定理的运用解答．
16．（4分）在长方形ABCD中，A（﹣3，2），B（0，2），C（0，4），则点D的坐标是 （﹣3，4） ．
【解答】解：∵长方形ABCD中，A（﹣3，2），C（0，4），
∴点D的横坐标为﹣3，纵坐标为4，
∴点D的坐标为（﹣3，4）．
故答案为：（﹣3，4）．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质，根据图形确定点D的横坐标与纵坐标是解题的关键．
17．（4分）在正方形ABCD的平面内作等边三角形△ADE，则∠AEB的度数为 75°或15° ．
【解答】解：如图，当点E在正方形内部时，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∵△AED是等边三角形，
∴∠EAD＝60°，AD＝AE＝AB，
∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，
∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣∠BAE）＝75°．
当点E′在正方形外部时，同理可得，∠ABE＝×（180°﹣150°）＝15°，
故答案为：75°或15°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，等边三角形的性质、正方形的性质的知识点的应用，关键是求出∠EAD的度数和证出∠ABE＝∠AEB．
18．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在BC上，且BE＝2，BF⊥AE于F，交AC于点G，则AG的值为 ．
【解答】解：如图，延长BG交CD于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝6，∠ABC＝∠BCM＝90°，
∴AC＝＝＝6，
∵AE⊥BM，
∴∠AFB＝90°，
∴∠ABF+∠BAE＝90°∠ABF+∠CBM＝90°，
∴∠BAE＝∠CBM，
在△ABE和△BCM中，
，
∴△ABE≌△BCM，
∴CM＝BE＝2，
∵CM∥AB，
∴CM：AB＝CG：AG＝2：6＝1：3，
∴AG＝AC＝6×＝．
故答案为．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线等分线段定理、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．
三．解答题（共9小题，满分60分）
19．（5分）如图，正方形ABCD及EFGC的面积分别是10和5，求长方形AHGD留下阴影部分的周长和面积．
【解答】解：∵正方形ABCD及EFGC的面积分别是10和5
∴BC＝，EF＝＝CE
∴BE＝BC﹣CE＝﹣
∴四边形BEFH的周长＝2（BE+EF）＝2（﹣+）＝2
四边形BEFH的面积＝BE×EF＝（）＝5﹣5
【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
20．（5分）如图，在矩形ABCD中，M是BC的中点，MA⊥MD．若矩形的周长为48cm，求矩形的面积．
【解答】解：∠CDM+∠CMD＝90°，∠CMD+∠BMA＝90°，
∴∠CDM＝∠BMA，同理∠DMC＝∠BAM．
∴△DCM∽△MBA．
∴，
∵DC＝AB，BM＝CM，
∴AB＝BM．
又∵（AB+BC）×2＝48，
∴（AB+2AB）×2＝48．
∴AB＝8，BC＝16．
∴矩形ABCD的面积为128．
【点评】本题的关键是利用了三角形相似的判定定理，及相似三角形的性质和矩形的性质．
21．（6分）如图，四边形ABCD为正方形，B的坐标（0，4），C的坐标（3，0），A、D在第一象限．
（1）过D作DE⊥x轴，垂足为E，先证明△OBC≌△ECD，再写出点D的坐标；
（2）求点A的坐标．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴CB＝CD，∠BCD＝90°，
∵∠BCO+∠CBO＝90°，∠BCO+∠DCE＝90°，
∴∠CBO＝∠DCE，
在△OBC和△ECD中
，
∴△OBC≌△ECD（AAS），
∴OC＝DE＝3，OB＝CE＝4，
∴D（7，3）；
（2）解：C点向左平移3个单位，向上平移4个单位得到点D，则D点向左平移3个单位，向上平移4个单位得到点A，
所以A点坐标为（4，7）．
【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了全等三角形的判定方法．
22．（6分）如图，平行四边形ABCD中，AQ，BN，CN，DQ分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AQ与BN交于点P，CN与DQ交于点M．在不添加其他条件的情况下，试判别四边形MNPQ的形状，并说明理由．
【解答】解：四边形MNPQ是矩形，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°．
∵AP，BP分别平分∠DAB，∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°．
∴∠P＝90°，
同理：∠M＝90°，∠PQM＝90°，
∴∠PNM＝90°，
∴四边形MNPQ是矩形．
【点评】此题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，关键是掌握三个角是直角是四边形是矩形．
23．（7分）如图，MN∥PQ，直线l分别交MN、PQ于点A、C，同旁内角的平分线AB、CB相交于点B，AD、CD相交于点D．试证明四边形ABCD是矩形．
【解答】证明：∵MN∥PQ，
∴∠MAC＝∠ACQ、∠ACP＝∠NAC，
∵AB、CD分别平分∠MAC和∠ACQ，
∴∠BAC＝∠MAC、∠DCA＝∠ACQ，
又∵∠MAC＝∠ACQ，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD，
∵AD、CB分别平分∠ACP和∠NAC，
∴∠BCA＝∠ACP、∠DAC＝∠NAC，
又∵∠ACP＝∠NAC，
∴∠BCA＝∠DAC，
∴AD∥CB，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD平行四边形，
∵∠BAC＝∠MAC，∠ACB＝∠ACP，
又∵∠MAC+∠ACP＝180°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形．
24．（7分）如图所示，顺次延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，且使BE＝CF＝DG＝AH．
求证：四边形EFGH是正方形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠EBF＝∠HAE＝∠GDH＝∠FCG，
又∵BE＝CF＝DG＝AH，
∴CG＝DH＝AE＝BF
∴△AEH≌△CGF≌△DHG≌△BFE，
∴EF＝FG＝GH＝HE，∠EFB＝∠HEA，
∴四边形EFGH为菱形，
∵∠EFB+∠FEB＝90°，∠EFB＝∠HEA，
∴∠FEB+∠HEA＝90°，
∴四边形EFGH是正方形．
【点评】本题主要考查了正方形的判定方法：一角是直角的菱形是正方形．
25．（7分）四边形ABCD是矩形，MN垂直平分对角线BD于O，交AD于M，交BC于N，求证：四边形MBND是菱形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠MDO＝∠NBO，
∵MN垂直平分对角线BD，
∴OD＝OB，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，，
∴△MOD≌△NOB（ASA），
∴OM＝ON，
∴四边形MBND是平行四边形，
又∵MN⊥BD，
∴四边形MBND是菱形．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
26．（8分）如图，菱形ABCD中，一射线BE分∠ABC为∠ABE与∠CBE，且∠ABE：∠CBE＝7：3，BE交对角线AC于F，交CD于E，过B作BK⊥AD于K点，交AC于M，且∠DAC＝15°．
（1）求∠DEB的度数；
（2）求证：2CF＝CM+2FB．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAB＝2∠DAC＝2×5°＝30°，
∠ABC＝180°﹣∠DAB＝180°﹣30°＝150°，
∵∠ABE：∠CBE＝7：3，
∴∠ABE＝150°×＝105°，
∴∠DEB＝180°﹣∠ABE＝180°﹣105°＝75°；
（2）证明：∵BK⊥AD，菱形的对边AD∥BC，
∴∠CBM＝∠AKB＝90°，∠BCA＝∠DAC＝15°，
如图，取CM的中点G，连接BG，
则BG＝CG＝CM，
∴∠CBG＝∠BCG＝15°，
∵∠EBG＝∠EBC﹣∠CBG＝（150°﹣105°）﹣15°＝30°，
∠BGM＝∠CBG+∠BCA＝15°+15°＝30°，
∴∠GBF＝∠BMG，
∴FB＝FG，
∵CF＝CG+FG，
∴CF＝CM+FB，
故2CF＝CM+2FB．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边对等角的性质，难点在于（2）根据2倍关系考虑到，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半作出辅助线构造出两个等腰三角形，这也是解决本题的关键．
27．（9分）如图①，在正方形ABCD中，点E在AC上．
（1）求证：BE＝DE；
（2）你能将上面的命题用文字概括成一个命题吗？
（3）你能用这个命题证下面这道题吗？如图②，点P在正方形ABCD的对角线AC上，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F．求证：EF＝DP．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）解：命题：正方形一条对角线上的点到另一对角线的两端点的距离相等；
（3）证明：如图，连接PB，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，∠ABC＝90°，
∴四边形BFPE是矩形，
∴EF＝PB，
由（2）PB＝DP，
∴EF＝DP．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟记正方形的性质得到三角形全等的条件是解题的关键．
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