北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试单元测试课时训练

这是一份北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试单元测试课时训练，共17页。

满分：120分


姓名：___________班级：___________考号：___________





一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）


1．菱形具有而一般矩形不具有的性质是（ ）


A．对边相等B．对角线相等


C．对角线互相平分D．对角线互相垂直


2．要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个拟定方案中，正确的方案是（ ）


A．测量对角线是否相互平分


B．测量两组对边是否分别相等


C．测量对角线是否互相垂直


D．测量其中三个角是否是直角


3．已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，补充下列四个条件，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（ ）


A．AB＝BDB．AC＝BDC．∠DAB＝90°D．∠AOB＝90°


4．四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD＝30°，BD＝2，则菱形ABCD的面积为（ ）





A．2B．4C．4D．8


5．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（ ）





A．4B．8C．D．6


6．E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠AEB的度数是（ ）





A．55°B．60°C．65°D．75°


7．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AB于点E，若AC＝8cm，BD＝6cm，则DE＝（ ）





A．5cmB．2cmC． cmD． cm


8．在长方形MNPQ中，三点的坐标分别是M（0，0），N（4，0），P（4，2），则Q点的坐标为（ ）


A．（2，0）B．（0，2）C．（0，4）D．（4，0）


9．如图，四边形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，边长分别为a，b，c；A，B，N，E，F五点在同一直线上，则c＝（ ）





A．a+bB．C．D．a2+b2


10．矩形ABCD中，AD＝3，AB＝9，点E、F同时分别从点A、C出发沿AB、CD方向以每秒1个单位的速度运动，当四边形EBFD为菱形时，两点运动的时间为（ ）





A．4秒B．5秒C．6秒D．6秒


二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）


11．矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是 ．


12．已知菱形ABCD的周长为12，则边BC＝ ．


13．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，请你添加一个适当的条件 ，使ABCD成为正方形．





14．如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝8m，∠ABC＝60°，则DE＝ m．





15．如图所示，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（6，10），则点C的坐标为 ．





16．如图，在Rt△CDE中，∠DCE＝90°，分别以CD，DE为边在Rt△CDE外部作正方形ABCD和正方形DEFG，若S△ADG＝，S正方形ABCD＝6，则S正方形DEFG＝ ．





三．解答题（共8小题，满分66分）


17．（7分）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，DG＝2．求证：四边形EFGH为正方形．





18．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB，CD边上的点，且∠ADE＝∠CBF．当BD⊥EF时，求证：四边形EBFD是菱形．





19．（8分）如图，在正方形ABCD中，AE，DF相交于点O且AF＝BE．


（1）求证：∠BAE＝∠ADF；


（2）若∠BAE＝30°，AF＝2，求OD的长．





20．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．


（1）求证：四边形OCED是矩形；


（2）若CE＝1，菱形ABCD的周长是4，求菱形ABCD的面积．





21．（8分）如图，在矩形ABCD中，直线l经过对角线AC的中点O（直线l不与线段AC重合），与AB、CD交于点E、F．


（1）求证：BE＝DF；


（2）当直线l⊥AC时，若AD＝4，AB＝6，求CF的长．





22．（8分）如图（1），正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．


（1）求证：OE＝OF；


（2）如图（2）若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM交DB的延长线于点F，其他条件不变，结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．





23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．


（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；


（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；


（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．





24．（10分）已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合）．连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH．在EF上取一点G，使∠ECG＝∠DAH．


（1）若点F在边CD上，如图1，


①求证：CH⊥CG．


②求证：△GFC是等腰三角形．


（2）取DF中点M，连接MG．若MG＝3，正方形边长为4，则BE＝ ．
















































































参考答案


一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）


1．解：菱形具有的性质：四边相等，对边平行，对角相等，邻角互补，对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；


矩形具有的性质：四个角都是直角，对边平行且相等，对角线互相平分且相等．


∴菱形具有而一般矩形不具有的性质是对角线互相垂直；


故选：D．


2．解：∵三个角是直角的四边形是矩形，


∴在下面四个拟定方案中，正确的方案是D，


故选：D．


3．解：A、AB＝BD，不能判定平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；


B、AC＝BD，则平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项B不符合题意；


C、∠DAB＝90°，则平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项B不符合题意；


D、∠AOB＝90°，则AC⊥BD，


∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；


故选：D．


4．解：∵四边形ABCD是菱形，


∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD＝1，AC⊥BD，


在Rt△OCD中，


∵∠ACD＝30°，


∴CD＝2OD＝2，


∴OC＝＝＝，


∴AC＝2OC＝2，


∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×2×2＝2．


故选：A．


5．解：∵四边形ABCD是菱形，


∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，


∴AC＝12，


∵DH⊥AB，


∴∠BHD＝90°，


∴OH＝BD，


∵菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝×12×BD＝48，


∴BD＝8，


∴OH＝BD＝4；


故选：A．


6．解：∵E为正方形ABCD内一点，且△EDC是等边三角形，


∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∠EBC＝60°，AB＝BE＝BC，


∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝30°，


∴∠AEB＝∠BAE＝（180°﹣30°）＝75°，


故选：D．


7．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8cm，BD＝6cm，


∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×6×8＝24，


∵四边形ABCD是菱形，


∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4cm，OB＝OD＝3cm，


∴在直角三角形AOB中，AB＝＝＝5cm，


∴DH＝＝cm．


故选：C．


8．解：如图，


根据图形易知Q点的坐标是（0，2）．


故选：B．


9．解：∵四边形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，


∴∠CNH＝90°，BC＝a，NE＝c，HE＝b．


∵∠BCN+∠CNB＝90°，∠CNB+∠HNE＝90°，


∴∠BCN＝HNE．


又∵∠CBN＝∠HEN＝90°，CN＝NH＝c


∴△CBN≌△NEH．


∴NE＝CB＝a．


在Rt△NEH中，∵NH＝，


∴c＝．


故选：C．


10．解：设t秒时四边形EBFD为菱形，


此时DE＝DF＝FB＝BE，


则AE＝t，DF＝9﹣t，


根据勾股定理得：32+t2＝（9﹣t）2，


解得：t＝4，


故选：A．


二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）


11．解：因为矩形的对角线互相平分且相等，


菱形的对角线互相平分且垂直且平分每一组对角，


正方形的对角线具有矩形和菱形所有的性质，


所有矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是对角线互相平分．


故答案为：对角线互相平分．


12．解：∵菱形ABCD的周长为12，


∴AB＝BC＝CD＝AD＝3；


故答案为：3．


13．解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，


∴▱ABCD是菱形，


当∠BAD＝90°时，▱ABCD为正方形．


故答案为：∠BAD＝90°．


14．解：∵立柱BC、DE垂直于横梁AC，


∴BC∥DE，


∴AE：CE＝AD：BD，


∵D是AB中点，


∴AD＝BD，


∴AE＝CE，


∴DE是△ABC的中位线，


∴DE＝BC，


在Rt△ABC中，BC＝AB＝4，


∴DE＝2．


故答案为：2．


15．解：∵四边形OABC是菱形，


∴A、C关于直线OB对称，


∵A（6，10），


∴C（6，﹣10），


故答案为：（6，﹣10）．


16．解：如图所示，过G作GH⊥AD，交AD的延长线于H，则∠H＝90°，


又∵∠DCE＝90°，


∴∠H＝∠DCE，


∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，


∴∠ADC＝∠CDH＝∠EDG＝90°，DG＝DE，


∴∠GDH＝∠EDC，


∴△DGH≌△DEC（AAS），


∴GH＝CE，


∵S正方形ABCD＝6，


∴CD＝，


∵S△ADG＝，


∴AD×GH＝，


又∵AD＝CD，


∴CD×CE＝，即×CE＝，


∴CE＝2，


∴Rt△CDE中，DE＝＝＝，


∴S正方形DEFG＝DE2＝10，


故答案为：10．





三．解答题（共8小题，满分66分）


17．解：∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，


∴∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，又AH＝DG＝2，


∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），


∴∠DHG＝∠HEA，


∵∠AHE+∠HEA＝90°，


∴∠AHE+∠DHG＝90°，


∴∠EHG＝90°，


∴四边形HEFG为正方形．


18．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，


∴AD＝CB，∠A＝∠C，AB∥CD，AB＝CD，


在△ADE和△CBF中，，


∴△ADE≌△CBF（ASA），


∴AE＝CF，


∴AB﹣AE＝CD﹣CF，


即BE＝DF，


又∵BE∥DF，


∴四边形EBFD是平行四边形，


∵BD⊥EF，


∴四边形EBFD是菱形．


19．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，


∴∠B＝∠DAB＝90°，AB＝AD，


又∵AF＝BE，


在△ABE与△DAF中，


∴△ABE≌△DAF（SAS），


∴∠BAE＝∠ADF；


（2）解：∵△ABE≌△DAF，


∴∠BAE＝∠ODA，


∴∠DAO+∠ODA＝90°，


∴∠AOD＝90°，


∵∠BAE＝30°，AF＝2，


∴OF＝AF＝1，DF＝2AF＝4，


∴OD＝DF﹣OF＝3．


20．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，


∴AC⊥BD，


∴∠COD＝90°．


∵CE∥OD，DE∥OC，


∴四边形OCED是平行四边形，


又∠COD＝90°，


∴平行四边形OCED是矩形；


（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，


∵四边形ABCD是菱形，


∴AB＝AD＝CD＝BC，


∵菱形ABCD的周长是4，


∴CD＝，


∴OC＝＝2，


∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，


∴菱形ABCD的面积为：AC•BD＝×4×2＝4．


21．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，


∴AB∥CD，AB＝CD，


∴∠EAO＝∠FCO，


∵对角线AC的中点为O，


∴OA＝OC，


在△AEO和△CFO中，，


∴△AEO≌△CFO（ASA），


∴EA＝FC，


∴AB﹣AE＝CD﹣CF，


∴BE＝DF；


（2）解：连接AF、CE，如图所示：


∵EA＝FC，EA∥FC，


∴四边形AFCE为平行四边形，


∵EF⊥AC，


∴▱AFCE为菱形，


∴AF＝CF，


设AF＝CF＝x，


∵四边形ABCD是矩形，


∴∠D＝90°，


在Rt△ADF中，由勾股定理得：x2＝42+（6﹣x）2，


解得：x＝，


即CF＝．





22．解：（1）∵四边形ABCD是正方形．


∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．


又∵AM⊥BE，


∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，


∴∠MEA＝∠AFO．


在△BOE和△AOF中，


∵，


∴△BOE≌△AOF．


∴OE＝OF．


（2）OE＝OF成立．


∵四边形ABCD是正方形，


∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．


又∵AM⊥BE，


∴∠F+∠MBF＝90°，


∠E+∠OBE＝90°，


又∵∠MBF＝∠OBE，


∴∠F＝∠E．


在△BOE和△AOF中，


∵，


∴△BOE≌△AOF．


∴OE＝OF．


23．解：（1）由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝6﹣t


在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，


当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，


∴t＝6﹣t，得t＝3


故当t＝3s时，四边形ABQP为矩形．


（2）由（1）可知，四边形AQCP为平行四边形


∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形


即时，四边形AQCP为菱形，解得t＝，


故当t＝s时，四边形AQCP为菱形．


（3）当t＝时，AQ＝，CQ＝，


则周长为：4AQ＝4×＝15cm


面积为：．


24．（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，


∴∠ADB＝∠CDB＝45°，DA＝DC，


在△DAH和△DCH中，


，


∴△DAH≌△DCH（SAS），


∴∠DAH＝∠DCH．


∵∠ECG＝∠DAH，


∴∠ECG＝∠DCH．


∵∠ECG+∠FCG＝∠FCE＝90°，


∴∠DCH+∠FCG＝90°，


∴CH⊥CG；


②∵在Rt△ADF中，∠DFA+∠DAF＝90°，


由①得∠DCH+∠FCG＝90°，∠DAH＝∠DCH；


∴∠DFA＝∠FCG，


又∵∠DFA＝∠CFG，


∴∠CFG＝∠FCG，


∴GF＝GC，


∴△GFC是等腰三角形；


（2））①如图，当点F在线段CD上时，连接DE．





∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，


∴∠GCE＝∠GEC，


∴EG＝GC＝FG，


∵FG＝GE，FM＝MD，


∴DE＝2MG＝6，


在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，


∴BE＝BC+CE＝4+2．


②如图，当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．





同法可知GM是△DEC的中位线，


∴DE＝2GM＝6，


在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，


∴BE＝BC﹣CE＝4﹣3＝1．


综上所述，BE的长为 4+或1．





题号
一
二
三
总分
得分