2020年（秋季）北师大版九年级上册第一次月考模拟训练卷 word版，含解析

2020年（秋季）北师大版九年级上册第一次月考模拟训练卷
（考查范围：九年级上册第1~2章 难度：0.60）
满分120分 时间90分钟
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列方程中，是一元二次方程是（　　）
A．2x+3y＝4 B．x2＝0 C．x2﹣2x+1＞0 D．＝x+2
2．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线相互垂直 C．对角线相互平分 D．对角互补
3．已知平行四边形ABCD，下列条件中，能判定这个平行四边形为菱形的是（　　）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AC⊥BD
4．一元二次方程x2﹣6x+1＝0配方后变形正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝35 B．（x﹣3）2＝8 C．（x+3）2＝8 D．（x+3）2＝35
5．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.6km，则M，C两点间的距离为（　　）

A．0.8km B．1.2km C．1.3km D．5.2km
6．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD＝3，∠AOD＝60°，则AB的长为（　　）

A．3 B．2 C．3 D．6
7．若x1，x2为方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根，则x1+x2的值是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1
8．三角形两边的长是6和8，第三边满足方程x2﹣24x+140＝0，则三角形周长为（　　）
A．24 B．28 C．24或28 D．以上都不对
9．如图，某小区规划在一个长40m、宽26m的长方形场地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为144m2，那么通道的宽x应该满足的方程为（　　）

A．（40+2x）（26+x）＝40×26 B．（40﹣x）（26﹣2x）＝144×6
C．144×6+40x+2×26x+2x2＝40×26 D．（40﹣2x）（26﹣x）＝144×6
10．如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN，EF，M，N，E，F分别在边AB，CD，AD，BC上．小明认为：若MN＝EF，则MN⊥EF；小亮认为：若MN⊥EF，则MN＝EF．你认为（　　）

A．仅小明对 B．仅小亮对 C．两人都对 D．两人都不对
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．一元二次方程x2﹣9＝0的解是　 　．
12．已知菱形的边长是5cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为　 　cm2．
13．若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k＝0的一个根是2，则另一个根是　 　．
14．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
15．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为　 　．

16．若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为　 　．
17．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点P为AD边上的一点，过点P分别作PE⊥AC于点E，作PF⊥BD于点F．若PE+PF＝5，则正方形ABCD的面积为　 　．

三．解答题（共8小题，满分62分）
18．（6分）用公式法解方程：x2+4x﹣5＝0．

19．（6分）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点O，连接EF．
求证：四边形ABEF是菱形．


20．（6分）为深化疫情防控国际合作、共同应对全球公共卫生危机，我国有序开展医疗物资出口工作.2020年3月，国内某企业口罩出口订单额为1000万元，2020年5月该企业口罩出口订单额为1440万元．求该企业2020年3月到5月口罩出口订单额的月平均增长率．

21．（8分）已知关于x一元二次方程x2+2mx+m2﹣m﹣1＝0
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若方程两根分别为x1、x2，且x12﹣x22＝0，求m的值．

22．（8分）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE＝AC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝3，AD＝2，求四边形BCED的周长．



23．（8分）如图，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DAF；
（2）若AF＝1，四边形ABED的面积为6，求EF的长．



24．（10分）阅读，我们可以用换元法解简单的高次方程，解方程x4﹣3x2+2＝0时，可设y＝x2，则原方程可比为y2+3y+2＝0，解之得y1＝2，y2＝1，当y1＝2时，则x2＝2，即x1＝，x2＝﹣；当y2＝1时，即x2＝1，则x1＝1，x2＝﹣1，故原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝1，x4＝﹣1，仿照上面完成下面解答：
（1）已知方程（2x2+1）2+2x2﹣3＝0，设y＝2x2+1，则原方程可化为　 　；
（2）仿照上述解法解方程：（x2﹣2x）2﹣3x2+6x＝0．


25．（10分）已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF．
（1）若DG＝2，求证四边形EFGH为正方形；
（2）若DG＝6，求△FCG的面积；
（3）当DG为何值时，△FCG的面积最小．






















参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程；
B、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
C、含有不等号，不是一元二次方程；
D、含有分式，不是一元二次方程．
故选：B．
2．解：∵矩形具有的性质：对角线互相平分且相等，对角相等；菱形具有的性质：对角线互相垂直平分，对角相等；
∴矩形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．
故选：A．
3．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C；故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD1矩形；故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意；
故选：D．
4．解：∵x2﹣6x+1＝0，
∴x2﹣6x＝﹣1，
⇒x2﹣6x+9＝﹣1+9，
∴（x﹣3）2＝8．
故选：B．
5．解：在Rt△ACB中，点M是AB的中点，
∴CM＝AB＝×2.6＝1.3（km），
故选：C．
6．解：∵四边形AABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，OA＝OD＝OB，
∵∠AOD＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA＝OD＝AD＝3，
∴BD＝2OD＝6，
∴AB＝＝3．
故选：C．
7．解：∵x1，x2为方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣＝3．
故选：C．
8．解：解方程x2﹣24x+140＝0得：x1＝10，x2＝14，
当三边为6、8、10时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长为6+8+10＝24，
当三边为6、8、14时，6+8＝14，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，
即三角形的周长是24，
故选：A．
9．解：设道路的宽为xm，由题意得：
（40﹣2x）（26﹣x）＝144×6．
故选：D．
10．解：①若MN＝EF，则必有MN⊥EF，这句话是正确的．
如图，∵EF＝MN，MH＝EG，
∴Rt△MHN≌Rt△EGF（HL），
∴∠EFG＝∠MNH，
又∵∠EFG＝∠ELM，
∴∠NMH+∠MNH＝∠NMH+∠EFG＝∠NMH+∠ELM＝90°，
∴∠MOL＝90°，
即MN⊥EF，但EF不仅仅是这一种情况，如将第一个图中的线段EF沿直线EG折叠过去，得到的EF′就是反例，此时有MN＝EF′，但是MN与EF′肯定不垂直，因此小明的观点是错误的；
②若MN⊥EF，则MN＝EF这句话是对的；
分别把MN和EF平移，如图，
∠AMN＝∠AGD＝∠BFE＝∠DHC，
MN＝GD＝AD÷sin∠AGD，
EF＝HC＝CD÷sin∠DHC，
因此MN＝EF．
故选：B．


二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．解：∵x2﹣9＝0，
∴x2＝9，
解得：x1＝3，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝3，x2＝﹣3．
12．解：如图：
在菱形ABCD中，AB＝5cm，BD＝8cm，
∵对角线互相垂直平分，
∴∠AOB＝90°，BO＝4cm，
在RT△AOB中，AO＝＝3cm，
∴AC＝2AO＝6cm．
∴S菱形＝×8cm×6cm＝24cm2．
故答案为：24．

13．解：把x＝2代入x2+（k+3）x+k＝0得到：
22+（k+3）×2+k＝0，
解得k＝﹣．
设方程的另一根为t，则
2t＝﹣，
解得t＝﹣．
故答案是：﹣．
14．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k＜5且k≠1．
故答案为：k＜5且k≠1．
15．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，
∴AO＝12，OD＝5，AC⊥BD，
∴AD＝AB＝＝13，
∵DH⊥AB，
∴AO×BD＝DH×AB，
∴12×10＝13×DH，
∴DH＝，
∴BH＝＝．
故答案为：．
16．解：方程x2﹣7x+12＝0，即（x﹣3）（x﹣4）＝0，
则x﹣3＝0，x﹣4＝0，
解得：x1＝3，x2＝4．
则矩形ABCD的对角线长是：＝5．
故答案是：5．
17．解：∵在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝BO＝DO，∠EAP＝45°，
∵PE⊥AC，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴PE＝AE，
∵PF⊥BD，
∴四边形OEPF是矩形，
∴PF＝OE，
∴PE+PF＝AE+OE＝OA＝5，
∴S△AOD＝，
∴S正方形ABCD＝4×＝50．
故答案为：50．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．解：x2+4x﹣5＝0，
∵a＝1，b＝4，c＝﹣5，
∴△＝b2﹣4ac＝42﹣4×1×（﹣5）＝36，
则x＝＝，
解得x1＝﹣5，x2＝1．
19．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBE，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠FBE，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF，
同理AB＝BE，
∴AF＝BE，
∵AB＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴四边形ABEF是菱形．
20．解：设该企业2020年3月到5月口罩出口订单额的月平均增长率为x，
依题意，得：1000（1+x）2＝1440，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该企业2020年3月到5月口罩出口订单额的月平均增长率为20%．
21．解：（1）∵△＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣m﹣1）
＝4m2﹣3m2+4m+4
＝m2+4m+4
＝（m+2）2≥0，
∴方程总有实数根；
（2）由题意知，x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2﹣m﹣1，
∵x12﹣x22＝0，
∴（x1+x2）（x1﹣x2）＝0，
∴x1+x2＝0或x1﹣x2＝0，
当x1+x2＝0，则x1+x2＝﹣2m＝0，解得m＝0，原方程变形为x2﹣1＝0，此方程有实数根，符合题意；
当x1﹣x2＝0，则△＝（m+2）2＝0，解得m＝﹣2；
综上，m＝﹣2或m＝0．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BC，
∵CE∥BD，
∴四边形BCED是平行四边形，
∴CE＝BD．
∵CE＝AC，
∴AC＝BD．
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝2，∠DAB＝90°，
∴BD＝＝＝，
由（1）得：四边形BCED是平行四边形，
∴DE＝BC＝2，CE＝BD＝，
∴四边形BCED的周长为2（BC+BD）＝2×（2+）＝4+2．
23．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∵DF⊥AG，BE⊥AG，
∴∠BAE+∠DAF＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（AAS）．
（2）设EF＝x，则AE＝DF＝x+1，
∵S四边形ABED＝2S△ABE+S△DEF＝6
∴2××（x+1）×1+×x×（x+1）＝6，
整理得：x2+3x﹣10＝0，
解得x＝2或﹣5（舍弃），
∴EF＝2．

24．解：（1）设y＝2x2+1，
则原方程左边＝（2x2+1）2+（2x2+1）﹣4＝y2+y﹣4．
∴原方程可化为y2+y﹣4＝0．
故答案为：y2+y﹣4＝0．
（2）设x2﹣2x＝y，
则原式左边＝（x2﹣2x）2﹣3（x2﹣2x）＝y2﹣3y；
∴y2﹣3y＝0，
∴y（y﹣3）＝0，
∴y＝0或3．
当y＝0时，则x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
∴x＝2或0；
当y＝3时，则x2﹣2x＝3，
∴x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3．
故方程的解为x＝3或x＝2或x＝0或x＝﹣1．
25．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，
∴∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，又AH＝DG＝2，
∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），
∴∠DHG＝∠HEA，
∵∠AHE+∠HEA＝90°，
∴∠AHE+∠DHG＝90°，
∴∠EHG＝90°，
∴四边形HEFG为正方形；
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠MGE，
∵HE∥GF，
∴∠HEG＝∠FGE，
∴∠AEH＝∠MGF，
在△AHE和△MFG中，∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，
∴△AHE≌△MFG，
∴FM＝HA＝2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，
因此；
（3）设DG＝x，则由第（2）小题得，S△FCG＝7﹣x，在△AHE中，AE≤AB＝7，
∴HE2≤53，
∴x2+16≤53，
∴x≤，
∴S△FCG的最小值为，此时DG＝，
∴当DG＝时，△FCG的面积最小为（）．