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2019-2020学年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团七年级（下）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1．（3分）下列选项中是无理数的是（ ）
A．﹣1 B．2.5 C．π D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（1，﹣2）向上平移3个单位长度，得到点P'的坐标为（ ）
A．（4，﹣2） B．（﹣2，﹣2） C．（1，1） D．（1，﹣5）
3．（3分）若方程2x+yn﹣1＝1是关于x，y的二元一次方程，则n的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（3分）下列不等式变形不正确的是（ ）
A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＜b，则a﹣1＜b﹣1
C．若a＞b，则3a＞3b D．若a＜b，则﹣a＜﹣b
5．（3分）今年某市有3万名学生参加了关于“你喜爱的一项体育运动”的问卷调查，从中抽取2000名学生的调查结果进行统计分析，以下说法错误的是（ ）
A．3万名学生的问卷调查结果是总体
B．2000名学生的问卷调查结果是样本
C．每一名学生的问卷调查结果是个体
D．2000名学生是样本容量
6．（3分）在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，则另一个锐角的度数是（ ）
A．25° B．55° C．65° D．75°
7．（3分）如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBA C．∠C＝∠D D．BC＝AD
8．（3分）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问人数，物价各几何？意思是：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，物品的价格为y元，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，已知CD和BE是△ABC的角平分线，∠A＝60°，则∠BOC＝（ ）
A．60° B．100° C．120° D．150°
10．（3分）如图，已知△ABD≌△ACE，下列说法错误的是（ ）
A．∠B＝∠C B．EB＝DC C．AD＝DC D．△EFB≌△DFC
11．（3分）已知△ABC为等腰三角形，△ABC的周长为16，中一条边长为4，则另外两边的长为（ ）
A．4，4 B．6，6 C．4，8 D．6，6或4，8
12．（3分）已知关于x的方程3x﹣1＝2x﹣a的解是负数，则点M（﹣2，a）在哪个象限（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）16的平方根是 ．
14．（3分）五边形的内角和是 °．
15．（3分）已知点P（﹣3，2），则P到y轴的距离是 ．
16．（3分）如图，若∠A＝30°，∠ACD＝105°，则∠EBC＝ °．
17．（3分）已知|2x﹣y﹣2|+（x+2y﹣6）2＝0，则x﹣y＝ ．
18．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF＝70°，下列说法正确的是 ．（填写正确的序号）
①DF＝BE，②△ADF≌△ABE，③FA平分∠DFE，④AE平分∠FAB，⑤BE+DF＝EF，⑥CF+CE＞FD+EB．
三、解答题（本大题共8小题）
19．（6分）计算：（）2+|1﹣|﹣﹣．
20．（6分）解下列不等式组，并将解集表示在数轴上．
21．（8分）疫情期间，“线上教学”为我们提供了学习的渠道．某学校随机抽取部分学生就“你是否喜欢线上教学”进行了问卷调查，调查选项为：A．非常喜欢，B．比较喜欢，C．一般，D．不喜欢，学校将调查结果统计后绘制成如下条形统计图和扇形统计图．
（1）本次参与调查的学生有 人；
（2）在扇形统计图中，扇形D的圆心角度数为 度；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该学校有3000人，根据调查结果，估计该校选择“B．比较喜欢”的人数．
22．（8分）如图，在△ABC中AD、AE、AF分别为△ABC的高、角平分线和中线，已知△AFC的面积为10，AD＝4，∠DAE＝20°，∠C＝30°．
（1）求BC的长度；
（2）求∠B的度数．
23．（9分）如图，已知AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，BH＝EG，AH＝DG，∠C＝∠F．
（1）求证：△ABH≌△DEG；
（2）求证：CE＝FB．
24．（9分）某商店从工厂购进甲、乙两种产品进行销售，购进5件甲产品和10件乙产品需要成本550元，购进3件甲产品和2件乙产品需要成本210元．销售时，每件甲产品售价为80元，每件乙产品售价为50元．
（1）分别求每件甲产品和每件乙产品的成本价；
（2）若商店从工厂购进甲、乙两种产品共100件，购进时总成本不超过4250元，且全部销售完以后利润不低于2600元，请问有哪几种购进方案？哪种方案的利润最大？最大利润是多少？
25．（10分）我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”．
如A：x＜0，B：x＜1，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”．
（1）若关于x的不等式A：x+2＞1，B：x＞3，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”；
（2）已知关于x的不等式C：，D：2x﹣（3﹣x）＜3，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围；
（3）已知2m+n＝k，m﹣n＝3，m≥，n＜﹣1，且k为整数，关于x的不等式P：kx+6＞x+4，Q：6（2x﹣1）≤4x+2，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
26．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐为（2，0），点D的坐标为（0，﹣2），在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝45°，BC∥x轴交y轴于点M．
（1）求∠OAD和∠ODA的度数；
（2）如图2，在图1的基础上，以点B为一锐角顶点作Rt△BOE，∠BOE＝90°，OE交AC于点P，求证：OB＝OP；
（3）在第（2）问的条件下，若点B的标为（﹣2，﹣4），求四边形BOPC的面积．
2019-2020学年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1．（3分）下列选项中是无理数的是（ ）
A．﹣1 B．2.5 C．π D．
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合各选项进行判断即可．
【解答】解：﹣1，2.5，＝3是有理数，π是无理数．
故选：C．
2．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（1，﹣2）向上平移3个单位长度，得到点P'的坐标为（ ）
A．（4，﹣2） B．（﹣2，﹣2） C．（1，1） D．（1，﹣5）
【分析】根据平移规律解决问题即可．
【解答】解：将点P（1，﹣2）向上平移3个单位长度，得到点P′的坐标是（1，﹣2+3），即（1，1）．
故选：C．
3．（3分）若方程2x+yn﹣1＝1是关于x，y的二元一次方程，则n的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】利用二元一次方程的定义判断即可．
【解答】解：∵方程2x+yn﹣1＝1是关于x，y的二元一次方程，
∴n﹣1＝1，
解得：n＝2，
故选：C．
4．（3分）下列不等式变形不正确的是（ ）
A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＜b，则a﹣1＜b﹣1
C．若a＞b，则3a＞3b D．若a＜b，则﹣a＜﹣b
【分析】根据不等式的3个性质找到变形正确的选项即可．
【解答】解：A、由a＞b，得a+c＞b+c，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、由a＜b，得a﹣1＜b﹣1，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、由a＞b，得3a＞3b，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、由a＜b，得﹣a＞﹣b，原变形不正确，故此选项符合题意；
故选：D．
5．（3分）今年某市有3万名学生参加了关于“你喜爱的一项体育运动”的问卷调查，从中抽取2000名学生的调查结果进行统计分析，以下说法错误的是（ ）
A．3万名学生的问卷调查结果是总体
B．2000名学生的问卷调查结果是样本
C．每一名学生的问卷调查结果是个体
D．2000名学生是样本容量
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：A．3万名学生的问卷调查结果是总体，说法正确，故本选项不合题意；
B．2000名学生的问卷调查结果是样本，说法正确，故本选项不合题意；
C．每一名学生的问卷调查结果是个体，说法正确，故本选项不合题意；
D．2000是样本容量，所以原说法错误，故本选项符合题意．
故选：D．
6．（3分）在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，则另一个锐角的度数是（ ）
A．25° B．55° C．65° D．75°
【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，
∴另一个锐角的度数是90°﹣25°＝65°．
故选：C．
7．（3分）如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBA C．∠C＝∠D D．BC＝AD
【分析】根据全等三角形的判定：SAS，AAS，ASA，可得答案．
【解答】解：由题意，得∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，
A、∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，AC＝BD，（SSA）三角形不全等，故A错误；
B、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（ASA），故B正确；
C、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（AAS），故C正确；
D、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（SAS），故D正确；
故选：A．
8．（3分）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问人数，物价各几何？意思是：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，物品的价格为y元，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意，得：．
故选：A．
9．（3分）如图，已知CD和BE是△ABC的角平分线，∠A＝60°，则∠BOC＝（ ）
A．60° B．100° C．120° D．150°
【分析】想办法求出∠OBC+∠OCB即可解决问题．
【解答】解：∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∵CD和BE是△ABC的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°，
故选：C．
10．（3分）如图，已知△ABD≌△ACE，下列说法错误的是（ ）
A．∠B＝∠C B．EB＝DC C．AD＝DC D．△EFB≌△DFC
【分析】根据全等三角形的性质即可判断A，根据等量减等量还是等量即可判断B，没有判断AD＝DC的条件即可判断C，根据全等三角形判定方法即可判断D．
【解答】解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠B＝∠C，AB＝AC，AE＝AD，
∴AB﹣AE＝AC﹣AD，
∴BE＝CD，
在△EFB和△DFC中
∴△EFB≌△DFC（AAS），
无法证得AD＝DC，
∴正确的说法是A、B、D，错误的说法是C．
故选：C．
11．（3分）已知△ABC为等腰三角形，△ABC的周长为16，中一条边长为4，则另外两边的长为（ ）
A．4，4 B．6，6 C．4，8 D．6，6或4，8
【分析】由于没有明确已知的边长是底还是腰，所以要分类讨论，最后要根据三角形三边关系定理来判断所求的解是否符号要求．
【解答】解：当4为底时，腰长为：（16﹣4）÷2＝6；4，6，6能构成三角形；
当4为腰时，底长为：16﹣4×2＝8；4+4＝8，不能构成三角形；
所以另外两边的长分别是6，6，
故选：B．
12．（3分）已知关于x的方程3x﹣1＝2x﹣a的解是负数，则点M（﹣2，a）在哪个象限（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】解方程得出x＝1﹣a，根据解为负数得出a＞1，从而得出答案．
【解答】解：解方程3x﹣1＝2x﹣a，得：x＝1﹣a，
根据题意知，1﹣a＜0，
解得a＞1，
∴点M（﹣2，a）在第二象限，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）16的平方根是 ±4 ．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是±4．
故答案为：±4．
14．（3分）五边形的内角和是 540 °．
【分析】根据多边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入计算即可．
【解答】解：（5﹣2）•180°
＝540°，
故答案为：540°．
15．（3分）已知点P（﹣3，2），则P到y轴的距离是 3 ．
【分析】根据到y轴的距离是横坐标的绝对值可得答案．
【解答】解：点P（﹣3，2），则P到y轴的距离是3，
故答案为：3．
16．（3分）如图，若∠A＝30°，∠ACD＝105°，则∠EBC＝ 105 °．
【分析】利用三角形的外角的性质求解即可．
【解答】解：∵∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴105°＝30°+∠ABC，
∴∠ABC＝75°，
∴∠EBC＝180°﹣∠ABC＝105°，
故答案为105．
17．（3分）已知|2x﹣y﹣2|+（x+2y﹣6）2＝0，则x﹣y＝ 0 ．
【分析】根据题意利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：∵|2x﹣y﹣2|+（x+2y﹣6）2＝0，
∴2x﹣y﹣2＝0且x+2y﹣6＝0，
联立得：，
解得：，
则x﹣y＝2﹣2＝0．
故答案为：0．
18．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF＝70°，下列说法正确的是 ③⑤⑥ ．（填写正确的序号）
①DF＝BE，②△ADF≌△ABE，③FA平分∠DFE，④AE平分∠FAB，⑤BE+DF＝EF，⑥CF+CE＞FD+EB．
【分析】延长EB到G，使BG＝DF，连接AG，根据全等三角形的判定定理求出△ADF≌△ABG，根据全等三角形的性质得出AF＝AG，∠G＝∠DFA，∠DAF＝∠BAG，求出∠FAE＝∠EAG＝70°，根据全等三角形的判定定理得出△FAE≌△GAE，根据全等三角形的性质得出∠FEA＝∠GEA，∠G＝∠EFA，EF＝EG，再进行判断即可．
【解答】解：延长EB到G，使BG＝DF，连接AG，
∵AB⊥CB，AD⊥CD，
∴∠D＝∠ABG＝90°，
在△ADF和△ABG中
，
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AF＝AG，∠G＝∠DFA，∠DAF＝∠BAG，
∵∠EAF＝70°，∠DAB＝140°，
∴∠DAF+∠EAB＝∠DAB﹣∠FAE＝140°﹣70°＝70°，
∴∠EAG＝∠EAB+∠BAG＝∠EAB+∠FAD＝70°，
∴∠FAE＝∠EAG＝70°，
在△FAE和△GAE中
，
∴△FAE≌△GAE（SAS），
∴∠FEA＝∠GEA，∠G＝∠EFA，EF＝EG，
∴EF＝EB+DF，∠FAE≠∠EAB，故⑤正确，④错误；
∴∠G＝∠EFA＝∠DFA，即AF平分∠DFE，故③正确；
∵CF+CE＞EF，EF＝DF+BE，
∴CF+CE＞DF+BE，故⑥正确；
根据已知不能推出△ADF≌△ABE，故①错误，②错误；
故答案为：③⑤⑥．
三、解答题（本大题共8小题）
19．（6分）计算：（）2+|1﹣|﹣﹣．
【分析】原式利用平方根、立方根性质，绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝3+﹣1﹣（﹣2）﹣2
＝3+﹣1+2﹣2
＝2+．
20．（6分）解下列不等式组，并将解集表示在数轴上．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣3（x﹣1）≥1，得：x≤1，
解不等式＞x﹣1，得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
21．（8分）疫情期间，“线上教学”为我们提供了学习的渠道．某学校随机抽取部分学生就“你是否喜欢线上教学”进行了问卷调查，调查选项为：A．非常喜欢，B．比较喜欢，C．一般，D．不喜欢，学校将调查结果统计后绘制成如下条形统计图和扇形统计图．
（1）本次参与调查的学生有 40 人；
（2）在扇形统计图中，扇形D的圆心角度数为 36 度；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该学校有3000人，根据调查结果，估计该校选择“B．比较喜欢”的人数．
【分析】（1）根据非常喜欢的认识是12人，占总数的30%即可求出答案；
（2）360°乘以不喜欢占的百分比，即可求出圆心角；
（3）求出C的人数，即可补全条形统计图；
（4）根据题意列出算式，再求出即可．
【解答】解：（1）12÷30%＝40（人），
即本次参与调查的学生有40人，
故答案为：40；
（2）360°×＝36°，
即在扇形统计图中，扇形D的圆心角度数为36°，
故答案为：36；
（3）如图所示，；
（4）3000×＝1050（人），
答：若该学校有3000人，根据调查结果，估计该校选择“B．比较喜欢”的人数是1050人．
22．（8分）如图，在△ABC中AD、AE、AF分别为△ABC的高、角平分线和中线，已知△AFC的面积为10，AD＝4，∠DAE＝20°，∠C＝30°．
（1）求BC的长度；
（2）求∠B的度数．
【分析】（1）求出△ABF和△ACF的面积相等，根据三角形的面积求出BF，再求出BC即可；
（2）求出∠AED的度数，根据三角形的外角性质求出∠CAE，根据角平行线的定义求出∠BAC，根据三角形内角和定理求出∠B即可．
【解答】解：（1）∵AF是△ABC的中线，
∴BC＝2BF＝2CF，BF＝CF，
∴△ABF和△ACF的面积相等，
∵△AFC的面积为10，
∴∠ABF的面积为10，
∵AD＝4，
∴＝10，
∴BF＝5，
∴BC＝2BF＝10；
（2）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DAE＝20°，
∴∠AED＝180°﹣90°﹣20°＝70°，
∵∠C＝30°，
∴∠CAE＝∠AED﹣∠C＝40°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAC＝2∠CAE＝80°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣30°＝70°．
23．（9分）如图，已知AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，BH＝EG，AH＝DG，∠C＝∠F．
（1）求证：△ABH≌△DEG；
（2）求证：CE＝FB．
【分析】（1）由HL可证明△ABH≌△DEG；
（2）证明△ABC≌△DEF（AAS）．得出BC＝EF，则可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠DEG＝∠ABH＝90°，
在Rt△ABH和Rt△DEG中，
∵，
∴Rt△ABH≌Rt△DEG（HL）．
（2）∵Rt△ABH≌Rt△DEG（HL）．
∴AB＝DE，
在△ABC和△DEF中，
∵，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
∴BC＝EF，
∴CE＝FB．
24．（9分）某商店从工厂购进甲、乙两种产品进行销售，购进5件甲产品和10件乙产品需要成本550元，购进3件甲产品和2件乙产品需要成本210元．销售时，每件甲产品售价为80元，每件乙产品售价为50元．
（1）分别求每件甲产品和每件乙产品的成本价；
（2）若商店从工厂购进甲、乙两种产品共100件，购进时总成本不超过4250元，且全部销售完以后利润不低于2600元，请问有哪几种购进方案？哪种方案的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设每件甲产品的成本价为x元，每件乙产品的成本价为y元，根据“购进5件甲产品和10件乙产品需要成本550元，购进3件甲产品和2件乙产品需要成本210元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m件甲产品，则购进（100﹣m）件乙产品，根据购进时总成本不超过4250元且全部销售完以后利润不低于2600元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出各购进方案，设总利润为w元，根据总利润＝单件利润×销售数量（购进数量），即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设每件甲产品的成本价为x元，每件乙产品的成本价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：每件甲产品的成本价为50元，每件乙产品的成本价为30元．
（2）设购进m件甲产品，则购进（100﹣m）件乙产品，
依题意，得：，
解得：60≤m≤62．
又∵m为正整数，
∴m可以取60，61，62，
∴共有3种购进方案，方案1：购进60件甲产品，40件乙产品；方案2：购进61件甲产品，39件乙产品；方案3：购进62件甲产品，38件乙产品．
设总利润为w元，则w＝（80﹣50）m+（50﹣30）（100﹣m）＝10m+2000，
∵k＝10＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝62时，w取得最大值，最大值＝10×62+2000＝2620．
即购进62件甲产品，38件乙产品时，利润最大，最大利润为2620元．
25．（10分）我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”．
如A：x＜0，B：x＜1，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”．
（1）若关于x的不等式A：x+2＞1，B：x＞3，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”；
（2）已知关于x的不等式C：，D：2x﹣（3﹣x）＜3，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围；
（3）已知2m+n＝k，m﹣n＝3，m≥，n＜﹣1，且k为整数，关于x的不等式P：kx+6＞x+4，Q：6（2x﹣1）≤4x+2，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据“雅含”关系的定义即可判断；
（2）根据“雅含”关系的定义得出＜2，解不等式即可；
（3）首先解关于m、n的方程组即可求得m、n的值，然后根据m≥，n＜﹣1，且k为整数即可得到一个关于k的范围，从而求得k的整数值；
【解答】解：（1）不等式A：x+2＞1的解集为x＞﹣1，
A与B存在“雅含”关系，B是A的“子式”；
（2）∵不等式C：的解集为x＜，不等式D：2x﹣（3﹣x）＜3的解集为x＜2，且C是D的“子式”，
∴＜2，
解得a＜1；
（3）由求得，
∵m≥，n＜﹣1，
∴，
解得﹣1.5≤k＜3，
∵k为整数，
∴k的值为﹣1，0，1，2；
不等式P：kx+6＞x+4整理得，（k﹣1）x＞﹣2；不等式Q：6（2x﹣1）≤4x+2的解集为x≤1，
∵P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，
∴不等式P：kx+6＞x+4的解集为x＜，
∴k﹣1＜0，且＞1，
解得﹣1＜k＜1，
∴k＝0．
26．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐为（2，0），点D的坐标为（0，﹣2），在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝45°，BC∥x轴交y轴于点M．
（1）求∠OAD和∠ODA的度数；
（2）如图2，在图1的基础上，以点B为一锐角顶点作Rt△BOE，∠BOE＝90°，OE交AC于点P，求证：OB＝OP；
（3）在第（2）问的条件下，若点B的标为（﹣2，﹣4），求四边形BOPC的面积．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可求解；
（2）由“ASA”可证△ODB≌△OAP，可得BO＝OP；
（3）过点P作PF⊥x轴于点F，延长FP交BC于N，过点A作AQ⊥BC于Q，由“AAS”可证△OBM≌△OPF，可得PF＝BM＝2，OF＝OM＝4，由面积和差关系可求四边形BOPC的面积．
【解答】解：（1）∵点A的坐为（2，0），点D的坐标为（0，﹣2），
∴OA＝OD，
∵∠AOD＝90°，
∴∠OAD＝∠ODA＝45°；
（2）∵∠BOE＝∠AOD＝90°，
∴∠BOD＝∠AOP，
∵∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝90°，AB＝AC，
∵∠OAD＝∠ODA＝45°，
∴∠ODB＝135°＝∠OAP，
在△ODB和△OAP中，
，
∴△ODB≌△OAP（ASA），
∴BO＝OP；
（3）如图，过点P作PF⊥x轴于点F，延长FP交BC于N，过点A作AQ⊥BC于Q，
∵BC∥x轴，AQ⊥BC，PF⊥x轴，
∴AQ⊥x轴，PN⊥BC，∠AOM＝∠BMO＝90°，
∴点Q横坐标为2，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AQ⊥BC，
∴BQ＝QC，
∵点B的标为（﹣2，﹣4），
∴BM＝2，OM＝4，BQ＝4＝QC，
∵PF⊥x轴，
∴∠OFP＝∠OMB＝90°，
在△OBM和△OPF中，
，
∴△OBM≌△OPF（AAS），
∴PF＝BM＝2，OF＝OM＝4，
∵BC∥x轴，AQ⊥x轴，NF⊥x轴，
∴OM＝AQ＝FN＝4，
∴PN＝2，
∵∠PNC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠ACB＝∠CPN＝45°，
∴CN＝PN＝2，
∵四边形BOPC的面积＝S△OBM+S梯形OMNP+S△PNC，
∴四边形BOPC的面积＝×2×4+×4×（2+4）+×2×2＝18．
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1．（3分）下列选项中是无理数的是（ ）
A．﹣1 B．2.5 C．π D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（1，﹣2）向上平移3个单位长度，得到点P'的坐标为（ ）
A．（4，﹣2） B．（﹣2，﹣2） C．（1，1） D．（1，﹣5）
3．（3分）若方程2x+yn﹣1＝1是关于x，y的二元一次方程，则n的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（3分）下列不等式变形不正确的是（ ）
A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＜b，则a﹣1＜b﹣1
C．若a＞b，则3a＞3b D．若a＜b，则﹣a＜﹣b
5．（3分）今年某市有3万名学生参加了关于“你喜爱的一项体育运动”的问卷调查，从中抽取2000名学生的调查结果进行统计分析，以下说法错误的是（ ）
A．3万名学生的问卷调查结果是总体
B．2000名学生的问卷调查结果是样本
C．每一名学生的问卷调查结果是个体
D．2000名学生是样本容量
6．（3分）在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，则另一个锐角的度数是（ ）
A．25° B．55° C．65° D．75°
7．（3分）如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBA C．∠C＝∠D D．BC＝AD
8．（3分）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问人数，物价各几何？意思是：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，物品的价格为y元，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，已知CD和BE是△ABC的角平分线，∠A＝60°，则∠BOC＝（ ）
A．60° B．100° C．120° D．150°
10．（3分）如图，已知△ABD≌△ACE，下列说法错误的是（ ）
A．∠B＝∠C B．EB＝DC C．AD＝DC D．△EFB≌△DFC
11．（3分）已知△ABC为等腰三角形，△ABC的周长为16，中一条边长为4，则另外两边的长为（ ）
A．4，4 B．6，6 C．4，8 D．6，6或4，8
12．（3分）已知关于x的方程3x﹣1＝2x﹣a的解是负数，则点M（﹣2，a）在哪个象限（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）16的平方根是 ．
14．（3分）五边形的内角和是 °．
15．（3分）已知点P（﹣3，2），则P到y轴的距离是 ．
16．（3分）如图，若∠A＝30°，∠ACD＝105°，则∠EBC＝ °．
17．（3分）已知|2x﹣y﹣2|+（x+2y﹣6）2＝0，则x﹣y＝ ．
18．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF＝70°，下列说法正确的是 ．（填写正确的序号）
①DF＝BE，②△ADF≌△ABE，③FA平分∠DFE，④AE平分∠FAB，⑤BE+DF＝EF，⑥CF+CE＞FD+EB．
三、解答题（本大题共8小题）
19．（6分）计算：（）2+|1﹣|﹣﹣．
20．（6分）解下列不等式组，并将解集表示在数轴上．
21．（8分）疫情期间，“线上教学”为我们提供了学习的渠道．某学校随机抽取部分学生就“你是否喜欢线上教学”进行了问卷调查，调查选项为：A．非常喜欢，B．比较喜欢，C．一般，D．不喜欢，学校将调查结果统计后绘制成如下条形统计图和扇形统计图．
（1）本次参与调查的学生有 人；
（2）在扇形统计图中，扇形D的圆心角度数为 度；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该学校有3000人，根据调查结果，估计该校选择“B．比较喜欢”的人数．
22．（8分）如图，在△ABC中AD、AE、AF分别为△ABC的高、角平分线和中线，已知△AFC的面积为10，AD＝4，∠DAE＝20°，∠C＝30°．
（1）求BC的长度；
（2）求∠B的度数．
23．（9分）如图，已知AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，BH＝EG，AH＝DG，∠C＝∠F．
（1）求证：△ABH≌△DEG；
（2）求证：CE＝FB．
24．（9分）某商店从工厂购进甲、乙两种产品进行销售，购进5件甲产品和10件乙产品需要成本550元，购进3件甲产品和2件乙产品需要成本210元．销售时，每件甲产品售价为80元，每件乙产品售价为50元．
（1）分别求每件甲产品和每件乙产品的成本价；
（2）若商店从工厂购进甲、乙两种产品共100件，购进时总成本不超过4250元，且全部销售完以后利润不低于2600元，请问有哪几种购进方案？哪种方案的利润最大？最大利润是多少？
25．（10分）我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”．
如A：x＜0，B：x＜1，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”．
（1）若关于x的不等式A：x+2＞1，B：x＞3，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”；
（2）已知关于x的不等式C：，D：2x﹣（3﹣x）＜3，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围；
（3）已知2m+n＝k，m﹣n＝3，m≥，n＜﹣1，且k为整数，关于x的不等式P：kx+6＞x+4，Q：6（2x﹣1）≤4x+2，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
26．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐为（2，0），点D的坐标为（0，﹣2），在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝45°，BC∥x轴交y轴于点M．
（1）求∠OAD和∠ODA的度数；
（2）如图2，在图1的基础上，以点B为一锐角顶点作Rt△BOE，∠BOE＝90°，OE交AC于点P，求证：OB＝OP；
（3）在第（2）问的条件下，若点B的标为（﹣2，﹣4），求四边形BOPC的面积．
2019-2020学年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1．（3分）下列选项中是无理数的是（ ）
A．﹣1 B．2.5 C．π D．
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合各选项进行判断即可．
【解答】解：﹣1，2.5，＝3是有理数，π是无理数．
故选：C．
2．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（1，﹣2）向上平移3个单位长度，得到点P'的坐标为（ ）
A．（4，﹣2） B．（﹣2，﹣2） C．（1，1） D．（1，﹣5）
【分析】根据平移规律解决问题即可．
【解答】解：将点P（1，﹣2）向上平移3个单位长度，得到点P′的坐标是（1，﹣2+3），即（1，1）．
故选：C．
3．（3分）若方程2x+yn﹣1＝1是关于x，y的二元一次方程，则n的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】利用二元一次方程的定义判断即可．
【解答】解：∵方程2x+yn﹣1＝1是关于x，y的二元一次方程，
∴n﹣1＝1，
解得：n＝2，
故选：C．
4．（3分）下列不等式变形不正确的是（ ）
A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＜b，则a﹣1＜b﹣1
C．若a＞b，则3a＞3b D．若a＜b，则﹣a＜﹣b
【分析】根据不等式的3个性质找到变形正确的选项即可．
【解答】解：A、由a＞b，得a+c＞b+c，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、由a＜b，得a﹣1＜b﹣1，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、由a＞b，得3a＞3b，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、由a＜b，得﹣a＞﹣b，原变形不正确，故此选项符合题意；
故选：D．
5．（3分）今年某市有3万名学生参加了关于“你喜爱的一项体育运动”的问卷调查，从中抽取2000名学生的调查结果进行统计分析，以下说法错误的是（ ）
A．3万名学生的问卷调查结果是总体
B．2000名学生的问卷调查结果是样本
C．每一名学生的问卷调查结果是个体
D．2000名学生是样本容量
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：A．3万名学生的问卷调查结果是总体，说法正确，故本选项不合题意；
B．2000名学生的问卷调查结果是样本，说法正确，故本选项不合题意；
C．每一名学生的问卷调查结果是个体，说法正确，故本选项不合题意；
D．2000是样本容量，所以原说法错误，故本选项符合题意．
故选：D．
6．（3分）在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，则另一个锐角的度数是（ ）
A．25° B．55° C．65° D．75°
【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，
∴另一个锐角的度数是90°﹣25°＝65°．
故选：C．
7．（3分）如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBA C．∠C＝∠D D．BC＝AD
【分析】根据全等三角形的判定：SAS，AAS，ASA，可得答案．
【解答】解：由题意，得∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，
A、∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，AC＝BD，（SSA）三角形不全等，故A错误；
B、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（ASA），故B正确；
C、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（AAS），故C正确；
D、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（SAS），故D正确；
故选：A．
8．（3分）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问人数，物价各几何？意思是：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，物品的价格为y元，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意，得：．
故选：A．
9．（3分）如图，已知CD和BE是△ABC的角平分线，∠A＝60°，则∠BOC＝（ ）
A．60° B．100° C．120° D．150°
【分析】想办法求出∠OBC+∠OCB即可解决问题．
【解答】解：∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∵CD和BE是△ABC的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°，
故选：C．
10．（3分）如图，已知△ABD≌△ACE，下列说法错误的是（ ）
A．∠B＝∠C B．EB＝DC C．AD＝DC D．△EFB≌△DFC
【分析】根据全等三角形的性质即可判断A，根据等量减等量还是等量即可判断B，没有判断AD＝DC的条件即可判断C，根据全等三角形判定方法即可判断D．
【解答】解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠B＝∠C，AB＝AC，AE＝AD，
∴AB﹣AE＝AC﹣AD，
∴BE＝CD，
在△EFB和△DFC中
∴△EFB≌△DFC（AAS），
无法证得AD＝DC，
∴正确的说法是A、B、D，错误的说法是C．
故选：C．
11．（3分）已知△ABC为等腰三角形，△ABC的周长为16，中一条边长为4，则另外两边的长为（ ）
A．4，4 B．6，6 C．4，8 D．6，6或4，8
【分析】由于没有明确已知的边长是底还是腰，所以要分类讨论，最后要根据三角形三边关系定理来判断所求的解是否符号要求．
【解答】解：当4为底时，腰长为：（16﹣4）÷2＝6；4，6，6能构成三角形；
当4为腰时，底长为：16﹣4×2＝8；4+4＝8，不能构成三角形；
所以另外两边的长分别是6，6，
故选：B．
12．（3分）已知关于x的方程3x﹣1＝2x﹣a的解是负数，则点M（﹣2，a）在哪个象限（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】解方程得出x＝1﹣a，根据解为负数得出a＞1，从而得出答案．
【解答】解：解方程3x﹣1＝2x﹣a，得：x＝1﹣a，
根据题意知，1﹣a＜0，
解得a＞1，
∴点M（﹣2，a）在第二象限，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）16的平方根是 ±4 ．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是±4．
故答案为：±4．
14．（3分）五边形的内角和是 540 °．
【分析】根据多边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入计算即可．
【解答】解：（5﹣2）•180°
＝540°，
故答案为：540°．
15．（3分）已知点P（﹣3，2），则P到y轴的距离是 3 ．
【分析】根据到y轴的距离是横坐标的绝对值可得答案．
【解答】解：点P（﹣3，2），则P到y轴的距离是3，
故答案为：3．
16．（3分）如图，若∠A＝30°，∠ACD＝105°，则∠EBC＝ 105 °．
【分析】利用三角形的外角的性质求解即可．
【解答】解：∵∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴105°＝30°+∠ABC，
∴∠ABC＝75°，
∴∠EBC＝180°﹣∠ABC＝105°，
故答案为105．
17．（3分）已知|2x﹣y﹣2|+（x+2y﹣6）2＝0，则x﹣y＝ 0 ．
【分析】根据题意利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：∵|2x﹣y﹣2|+（x+2y﹣6）2＝0，
∴2x﹣y﹣2＝0且x+2y﹣6＝0，
联立得：，
解得：，
则x﹣y＝2﹣2＝0．
故答案为：0．
18．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF＝70°，下列说法正确的是 ③⑤⑥ ．（填写正确的序号）
①DF＝BE，②△ADF≌△ABE，③FA平分∠DFE，④AE平分∠FAB，⑤BE+DF＝EF，⑥CF+CE＞FD+EB．
【分析】延长EB到G，使BG＝DF，连接AG，根据全等三角形的判定定理求出△ADF≌△ABG，根据全等三角形的性质得出AF＝AG，∠G＝∠DFA，∠DAF＝∠BAG，求出∠FAE＝∠EAG＝70°，根据全等三角形的判定定理得出△FAE≌△GAE，根据全等三角形的性质得出∠FEA＝∠GEA，∠G＝∠EFA，EF＝EG，再进行判断即可．
【解答】解：延长EB到G，使BG＝DF，连接AG，
∵AB⊥CB，AD⊥CD，
∴∠D＝∠ABG＝90°，
在△ADF和△ABG中
，
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AF＝AG，∠G＝∠DFA，∠DAF＝∠BAG，
∵∠EAF＝70°，∠DAB＝140°，
∴∠DAF+∠EAB＝∠DAB﹣∠FAE＝140°﹣70°＝70°，
∴∠EAG＝∠EAB+∠BAG＝∠EAB+∠FAD＝70°，
∴∠FAE＝∠EAG＝70°，
在△FAE和△GAE中
，
∴△FAE≌△GAE（SAS），
∴∠FEA＝∠GEA，∠G＝∠EFA，EF＝EG，
∴EF＝EB+DF，∠FAE≠∠EAB，故⑤正确，④错误；
∴∠G＝∠EFA＝∠DFA，即AF平分∠DFE，故③正确；
∵CF+CE＞EF，EF＝DF+BE，
∴CF+CE＞DF+BE，故⑥正确；
根据已知不能推出△ADF≌△ABE，故①错误，②错误；
故答案为：③⑤⑥．
三、解答题（本大题共8小题）
19．（6分）计算：（）2+|1﹣|﹣﹣．
【分析】原式利用平方根、立方根性质，绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝3+﹣1﹣（﹣2）﹣2
＝3+﹣1+2﹣2
＝2+．
20．（6分）解下列不等式组，并将解集表示在数轴上．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣3（x﹣1）≥1，得：x≤1，
解不等式＞x﹣1，得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
21．（8分）疫情期间，“线上教学”为我们提供了学习的渠道．某学校随机抽取部分学生就“你是否喜欢线上教学”进行了问卷调查，调查选项为：A．非常喜欢，B．比较喜欢，C．一般，D．不喜欢，学校将调查结果统计后绘制成如下条形统计图和扇形统计图．
（1）本次参与调查的学生有 40 人；
（2）在扇形统计图中，扇形D的圆心角度数为 36 度；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该学校有3000人，根据调查结果，估计该校选择“B．比较喜欢”的人数．
【分析】（1）根据非常喜欢的认识是12人，占总数的30%即可求出答案；
（2）360°乘以不喜欢占的百分比，即可求出圆心角；
（3）求出C的人数，即可补全条形统计图；
（4）根据题意列出算式，再求出即可．
【解答】解：（1）12÷30%＝40（人），
即本次参与调查的学生有40人，
故答案为：40；
（2）360°×＝36°，
即在扇形统计图中，扇形D的圆心角度数为36°，
故答案为：36；
（3）如图所示，；
（4）3000×＝1050（人），
答：若该学校有3000人，根据调查结果，估计该校选择“B．比较喜欢”的人数是1050人．
22．（8分）如图，在△ABC中AD、AE、AF分别为△ABC的高、角平分线和中线，已知△AFC的面积为10，AD＝4，∠DAE＝20°，∠C＝30°．
（1）求BC的长度；
（2）求∠B的度数．
【分析】（1）求出△ABF和△ACF的面积相等，根据三角形的面积求出BF，再求出BC即可；
（2）求出∠AED的度数，根据三角形的外角性质求出∠CAE，根据角平行线的定义求出∠BAC，根据三角形内角和定理求出∠B即可．
【解答】解：（1）∵AF是△ABC的中线，
∴BC＝2BF＝2CF，BF＝CF，
∴△ABF和△ACF的面积相等，
∵△AFC的面积为10，
∴∠ABF的面积为10，
∵AD＝4，
∴＝10，
∴BF＝5，
∴BC＝2BF＝10；
（2）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DAE＝20°，
∴∠AED＝180°﹣90°﹣20°＝70°，
∵∠C＝30°，
∴∠CAE＝∠AED﹣∠C＝40°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAC＝2∠CAE＝80°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣30°＝70°．
23．（9分）如图，已知AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，BH＝EG，AH＝DG，∠C＝∠F．
（1）求证：△ABH≌△DEG；
（2）求证：CE＝FB．
【分析】（1）由HL可证明△ABH≌△DEG；
（2）证明△ABC≌△DEF（AAS）．得出BC＝EF，则可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠DEG＝∠ABH＝90°，
在Rt△ABH和Rt△DEG中，
∵，
∴Rt△ABH≌Rt△DEG（HL）．
（2）∵Rt△ABH≌Rt△DEG（HL）．
∴AB＝DE，
在△ABC和△DEF中，
∵，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
∴BC＝EF，
∴CE＝FB．
24．（9分）某商店从工厂购进甲、乙两种产品进行销售，购进5件甲产品和10件乙产品需要成本550元，购进3件甲产品和2件乙产品需要成本210元．销售时，每件甲产品售价为80元，每件乙产品售价为50元．
（1）分别求每件甲产品和每件乙产品的成本价；
（2）若商店从工厂购进甲、乙两种产品共100件，购进时总成本不超过4250元，且全部销售完以后利润不低于2600元，请问有哪几种购进方案？哪种方案的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设每件甲产品的成本价为x元，每件乙产品的成本价为y元，根据“购进5件甲产品和10件乙产品需要成本550元，购进3件甲产品和2件乙产品需要成本210元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m件甲产品，则购进（100﹣m）件乙产品，根据购进时总成本不超过4250元且全部销售完以后利润不低于2600元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出各购进方案，设总利润为w元，根据总利润＝单件利润×销售数量（购进数量），即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设每件甲产品的成本价为x元，每件乙产品的成本价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：每件甲产品的成本价为50元，每件乙产品的成本价为30元．
（2）设购进m件甲产品，则购进（100﹣m）件乙产品，
依题意，得：，
解得：60≤m≤62．
又∵m为正整数，
∴m可以取60，61，62，
∴共有3种购进方案，方案1：购进60件甲产品，40件乙产品；方案2：购进61件甲产品，39件乙产品；方案3：购进62件甲产品，38件乙产品．
设总利润为w元，则w＝（80﹣50）m+（50﹣30）（100﹣m）＝10m+2000，
∵k＝10＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝62时，w取得最大值，最大值＝10×62+2000＝2620．
即购进62件甲产品，38件乙产品时，利润最大，最大利润为2620元．
25．（10分）我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”．
如A：x＜0，B：x＜1，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”．
（1）若关于x的不等式A：x+2＞1，B：x＞3，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”；
（2）已知关于x的不等式C：，D：2x﹣（3﹣x）＜3，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围；
（3）已知2m+n＝k，m﹣n＝3，m≥，n＜﹣1，且k为整数，关于x的不等式P：kx+6＞x+4，Q：6（2x﹣1）≤4x+2，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据“雅含”关系的定义即可判断；
（2）根据“雅含”关系的定义得出＜2，解不等式即可；
（3）首先解关于m、n的方程组即可求得m、n的值，然后根据m≥，n＜﹣1，且k为整数即可得到一个关于k的范围，从而求得k的整数值；
【解答】解：（1）不等式A：x+2＞1的解集为x＞﹣1，
A与B存在“雅含”关系，B是A的“子式”；
（2）∵不等式C：的解集为x＜，不等式D：2x﹣（3﹣x）＜3的解集为x＜2，且C是D的“子式”，
∴＜2，
解得a＜1；
（3）由求得，
∵m≥，n＜﹣1，
∴，
解得﹣1.5≤k＜3，
∵k为整数，
∴k的值为﹣1，0，1，2；
不等式P：kx+6＞x+4整理得，（k﹣1）x＞﹣2；不等式Q：6（2x﹣1）≤4x+2的解集为x≤1，
∵P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，
∴不等式P：kx+6＞x+4的解集为x＜，
∴k﹣1＜0，且＞1，
解得﹣1＜k＜1，
∴k＝0．
26．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐为（2，0），点D的坐标为（0，﹣2），在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝45°，BC∥x轴交y轴于点M．
（1）求∠OAD和∠ODA的度数；
（2）如图2，在图1的基础上，以点B为一锐角顶点作Rt△BOE，∠BOE＝90°，OE交AC于点P，求证：OB＝OP；
（3）在第（2）问的条件下，若点B的标为（﹣2，﹣4），求四边形BOPC的面积．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可求解；
（2）由“ASA”可证△ODB≌△OAP，可得BO＝OP；
（3）过点P作PF⊥x轴于点F，延长FP交BC于N，过点A作AQ⊥BC于Q，由“AAS”可证△OBM≌△OPF，可得PF＝BM＝2，OF＝OM＝4，由面积和差关系可求四边形BOPC的面积．
【解答】解：（1）∵点A的坐为（2，0），点D的坐标为（0，﹣2），
∴OA＝OD，
∵∠AOD＝90°，
∴∠OAD＝∠ODA＝45°；
（2）∵∠BOE＝∠AOD＝90°，
∴∠BOD＝∠AOP，
∵∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝90°，AB＝AC，
∵∠OAD＝∠ODA＝45°，
∴∠ODB＝135°＝∠OAP，
在△ODB和△OAP中，
，
∴△ODB≌△OAP（ASA），
∴BO＝OP；
（3）如图，过点P作PF⊥x轴于点F，延长FP交BC于N，过点A作AQ⊥BC于Q，
∵BC∥x轴，AQ⊥BC，PF⊥x轴，
∴AQ⊥x轴，PN⊥BC，∠AOM＝∠BMO＝90°，
∴点Q横坐标为2，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AQ⊥BC，
∴BQ＝QC，
∵点B的标为（﹣2，﹣4），
∴BM＝2，OM＝4，BQ＝4＝QC，
∵PF⊥x轴，
∴∠OFP＝∠OMB＝90°，
在△OBM和△OPF中，
，
∴△OBM≌△OPF（AAS），
∴PF＝BM＝2，OF＝OM＝4，
∵BC∥x轴，AQ⊥x轴，NF⊥x轴，
∴OM＝AQ＝FN＝4，
∴PN＝2，
∵∠PNC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠ACB＝∠CPN＝45°，
∴CN＝PN＝2，
∵四边形BOPC的面积＝S△OBM+S梯形OMNP+S△PNC，
∴四边形BOPC的面积＝×2×4+×4×（2+4）+×2×2＝18．
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