2019-2020学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团七年级（下）期末数学试卷 解析版

2019-2020学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1．（3分）3的平方根是（　　）
A．3或﹣3 B．3 C． D．或﹣
2．（3分）下列方程是二元一次方程的是（　　）
A．+＝5 B．xy＝2 C．+y＝1 D．x2+x﹣2＝0
3．（3分）若m＞n，则下列不等式正确的是（　　）
A．m﹣2＜n﹣2 B． C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n
4．（3分）△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC的形状是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
5．（3分）已知三角形三边长为2，3，x，则x的取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x＜5 C．1＜x＜5 D．﹣1＜x＜5
6．（3分）如图，直线l1∥l2，∠1＝35°，∠2＝80°，则∠3等于（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°
7．（3分）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，已知AB＝DE，AC＝DF，添加下列条件还不能判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A．∠ABC＝∠DEF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．BC＝EF
8．（3分）已知且3x﹣2y＝0，则a的值为（　　）
A．2 B．0 C．﹣4 D．5
9．（3分）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问人数，物价各几何？意思是：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，物品的价格为y元，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，一副直角三角板图示放置，点C在DF的延长线上，点A在边EF上，AB∥CD，∠ACB＝∠EDF＝90°，则∠CAF＝（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°
11．（3分）如图，△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝8，DE＝3，则△BCE的面积等于（　　）

A．11 B．8 C．12 D．3
12．（3分）对于任意△ABC（见示意图）．若AD是△ABC的边BC上的中线，∠ADB、∠ADC的角平分线分别交AB、AC于点E、F，连接EF，那么EF、BE、CF之间的数量关系正确的是（　　）

A．BE+CF＞EF B．BE+CF≥EF C．BE+CF＜EF D．BE+CF＝EF
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．（3分）在实数，，3.14159，﹣π，，中，无理数有　 　个．
14．（3分）已知方程4x+3y＝12，用x的代数式表示y为　 　．
15．（3分）如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED＝40°，则∠A的度数是　 　．

16．（3分）若不等式组无解，则a的取值范围是　 　．
17．（3分）如图，由一个正六边形和一个正五边形组成的图形中∠α的度数是　 　．

18．（3分）如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中正确的是　 　．（填序号）
①AC＝AF②CH＝CE③∠ACD＝∠B④CE＝EB

三、解答题（共66分）
19．（6分）解二元一次方程组：
（1）
（2）
20．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（1）；
（2）．
21．（8分）如图，点A，B，C，D在同一直线上，AE∥DF，CE∥BF，AE＝FD．求证：AB＝CD．下面是推理过程，请将下列过程填写完整：
证明：∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，（　 　）．
∵CE∥BF，
∴∠ECA＝∠FBD，
又∵AE＝DF，
∴△AEC≌△DFB （　 　），
∴AC＝DB，
∴AC﹣　 　＝DB﹣　 　，（　 　）
∴AB＝CD．

22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．

23．（9分）某校七年级（6）班对半学期考试成绩优秀的学生进行奖励，颁发奖品，班主任安排生活委员到某文具店购买甲、乙两种奖品，若买甲种奖品20个，乙种奖品10个，共用110元，买甲种奖品30个比买乙种奖品20个少花10元．
（1）求甲、乙两种的单价各是多少元；
（2）因奖品数量的需要和班费的限制，现要求本次购买甲种奖品的数量是乙种奖品的数量的2倍还少10个，而且购买这两种奖品的总金额只能在280元到320元之间，请问有几种购买方案？哪种方案最省钱？最省钱为多少？
24．（9分）把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连结BE、AD，且AD的延长线交BE于点F．
（1）求证：AF⊥BE；
（2）若BD＝2，AE＝8，求EC，AC的长．

25．（10分）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，DF⊥AB，DM⊥AC，AF＝10cm，AC＝14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．
（1）求证：△AFD≌△AMD；
（2）当t取何值时，△DFE与△DMG全等；
（3）在（2）的前提下，若，△AED的面积为28cm2，求△BDF的面积．

26．（10分）我们定义：如图1，在四边形ABCD中，若AD＝BC，且∠ADB+∠BCA＝180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形．
（1）如图2，在等腰△ABE中，∠EAB＝∠EBA，若四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：△ABD≌△BAC；
（2）如图2，在（1）的条件下，若∠ABD＝∠BAC＝20°，求∠AEB的度数；
（3）如图3，在非等腰△ABE中（AE≠BE），若四边形ABCD仍是互补等对边四边形，求证∠ABD＝∠BAC＝∠AEB．


2019-2020学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1．【解答】解：3的平方根是±．
故选：D．
2．【解答】解：A、该方程属于二元一次方程，故本选项符合题意．
B、该方程的最高次数是2，属于二元二次方程，故本选项不符合题意．
C、该方程是分式方程，故本选项不符合题意．
D、该方程是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：A．
3．【解答】解：A、将m＞n两边都减2得：m﹣2＞n﹣2，此选项错误；
B、将m＞n两边都除以4得：＞，此选项正确；
C、将m＞n两边都乘以6得：6m＞6n，此选项错误；
D、将m＞n两边都乘以﹣8，得：﹣8m＜﹣8n，此选项错误；
故选：B．
4．【解答】解：∵在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x．
∵∠A+∠B+∠C＝180°，即x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，
∴∠C＝3x＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故选：A．
5．【解答】解：由三角形三边关系可知，3﹣2＜x＜3+2，
∴1＜x＜5，
故选：C．
6．【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠1＝∠4＝35°．
∵∠2＝∠5＝80°，
又∵∠3+∠5+∠4＝180°，
∴∠3＝180°﹣∠5﹣∠4
＝180°﹣80°﹣35°
＝65°．
故选：C．

7．【解答】解：已知AB＝DE，AC＝DF，添加的一个条件是∠ABC＝∠DEF，根据条件不可以证明△ABC≌△DEF，故选项A符合题意；
已知AB＝DE，AC＝DF，添加的一个条件是∠A＝∠D，根据SAS可以证明△ABC≌△DEF，故选项B不符合题意；
已知AB＝DE，AC＝DF，添加的一个条件是EB＝CF，可得得到BC＝EF，根据SSS可以证明△ABC≌△DEF，故选项C不符合题意；
已知AB＝DE，AC＝DF，添加的一个条件是BC＝EF，根据SSS可以证明△ABC≌△DEF，故选项D不符合题意；
故选：A．
8．【解答】解：原方程组可整理得：，
①﹣②得：5y＝5a，
解得：y＝a，
把y＝a代入①得：
x+a＝a，
解得：x＝0，
即方程组的解为：，
把代入3x﹣2y＝0得：
﹣2a＝0，
解得：a＝0，
故选：B．
9．【解答】解：依题意，得：．
故选：A．
10．【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝30°，
∵∠AFD＝∠CAF+∠ACF＝45°，
∴∠CAF＝45°﹣30°＝15°，
故选：B．
11．【解答】解：过E作EF⊥BC于F，
∵CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，DE＝3，
∴EF＝DE＝3，
∴△BCE的面积S＝＝，
故选：C．
12．【解答】证明：
延长ED到H，使DE＝DH，连接CH，FH，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∵DE、DF分别为∠ADB和∠ADC的平分线，
∴∠1＝∠4＝∠ADB，∠3＝∠5＝∠ADC，
∴∠1+∠3＝∠4+∠5＝∠ADB+∠ADC＝×180°＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠3+∠2＝90°，
即∠EDF＝∠FDH，
在△EFD和△HFD中，
，
∴△EFD≌△HFD（SAS），
∴EF＝FH，
在△BDE和△CDH中，
，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE＝CH，
在△CFH中，由三角形三边关系定理得：CF+CH＞FH，
∵CH＝BE，FH＝EF，
∴BE+CF＞EF．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．【解答】解：∵＝2，＝2，
∴在实数，，3.14159，﹣π，，中，无理数有、﹣π．无理数有2个，
故答案为：2．
14．【解答】解：4x+3y＝12，
解得：y＝．
故答案为：y＝．
15．【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BED＝40°．
∵BE⊥AF，
∴∠AEB＝90°，
∴∠A＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝180°﹣90°﹣40°＝50°．
故答案为：50°．
16．【解答】解：∵不等式组无解，
∴a的取值范围是a≥1．
故答案为：a≥1．
17．【解答】解：如图，
由题意得：∠1＝360°÷6＝60°，∠2＝360°÷5＝72°，
则∠α＝180°﹣60°﹣72°＝48°．
故答案为：48°．

18．【解答】解：①∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠C＝90°，EF⊥AB，
∴CE＝FE，
∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HL），
∴AC＝AF，
∴①正确；
③∵CD是斜边AB上的高，∠ACB＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴③正确；
②∵∠CHE＝∠CAE+ACD，∠CEA＝∠BAE+∠B，∠ACD＝∠B，
∴∠CHE＝∠CEA，
∴CH＝CE，
∴②正确；
④在Rt△BFE中，BE＞EF，而EF＝CE，
∴④错误；
故答案为：①②③．
三、解答题（共66分）
19．【解答】解：（1），
①+②得：3x＝3，
解得：x＝1，
把x＝1代入②得：y＝4，
则方程组的解为：；
（2）方程②两边同时乘以12得：3（x﹣3）﹣4（y﹣3）＝1，
化简，得：3x﹣4y＝﹣2③，
①+③，得：4x＝12，解得：x＝3，
将x＝3代入①，得：3+4y＝14，
解得：y＝，
则原方程组的解为．
20．【解答】解：（1），
∵解不等式①得：x≥3，
解不等式②得：x＜4，
∴不等式组的解集是3≤x＜4，
在数轴上表示为：；

（2），
∵解不等式①得：x＞﹣3，
解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集是﹣3＜x≤2，
在数轴上表示为：．
21．【解答】证明：∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D（两直线平行，内错角相等），
∵CE∥BF，
∴∠ECA＝∠FBD，
在△AEC和△DFB中

∴△AEC≌△DFB（AAS），
∴AC＝DB，
∴AC﹣BC＝DB﹣BC（等式的性质），
∴AB＝CD，
故答案为：两直线平行，内错角相等，AAS，BC，BC，等式的性质．
22．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，
∴∠CBD＝130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE＝∠CBD＝65°；

（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，
∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°．
∵DF∥BE，
∴∠F＝∠CEB＝25°．
23．【解答】解：（1）设甲种奖品的单价是x元，一种奖品的单价是y元．
根据题意得：
解得：x＝3，y＝5．
答：甲种奖品的单价为3元，乙种奖品的单价是5元．
（2）设购买乙种奖品的数量为a个，则购买甲种奖品的数量为（2a﹣10）个．
根据题意得
解得：≤a≤31．
∵a只能取正整数，
∴a＝29，30，31．
∴有3中购买方案．
方案①：购买乙种奖品29个，购买甲种奖品48个；
方案②：购买乙种奖品30个，购买甲种奖品50个；
方案③：购买乙种奖品31个，购买甲种奖品52个．
方案①最省钱．
∵3×48+5×29＝289元；3×50+5×30＝3009元；3×52+5×31＝311元，
∴方案①最省钱．
24．【解答】证明：（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ECD＝∠BCA＝0°，CE＝CD，BC＝AC，
∴在△ECB和△DCA中，
，
∴△ECB≌△DCA（SAS），
∴∠BEC＝∠ADC，
又∠ADC+∠DAC＝90°，
∴∠BEC+∠DAC＝90°，
∴∠AFE＝90°，
即AF⊥BE．
（2）解：∵AE＝8，
∴EC+AC＝8①，
∵DB＝2，
∴BC﹣DC＝2．
∵BC＝AC，EC＝DC，
∴AC﹣EC＝2②，
∴由①、②得：EC＝3，AC＝5．
25．【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，
∴DF＝DM，
在Rt△AFD和Rt△AMD中，
∵，
∴Rt△AFD≌Rt△AMD（HL）；
（2）解：①当0＜t＜4时，点G在线段CM上，点E在线段AF上．
EF＝10﹣2t，MG＝4﹣t
∴10﹣2t＝4﹣t，
∴t＝6（不合题意，舍去）；
②当4＜t＜5时，点G在线段AM上，点E在线段AF上．
EF＝10﹣2t，MG＝t﹣4，
∴10﹣2t＝t﹣4，
∴t＝；
综上，t＝．
综上所述当t＝时，△DFE与△DMG全等．
（3）解：∵t＝，
∴AE＝2t＝（cm），
∵DF＝DM，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝BD：CD＝119：126，
∵AC＝14cm，
∴AB＝（cm），
∴BF＝AB﹣AF＝﹣10＝（cm），
∵S△ADE：S△BDF＝AE：BF＝，S△AED＝28cm2，
∴S△BDF＝（cm2）．

26．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是互补等对边四边形，
∴AD＝BC，
在△ABD和△BAC中，
，
∴△ABD≌△BAC（SAS）；
（2）解：∵四边形ABCD是互补等对边四边形，
∴∠ADB+∠BCA＝180°，
又由（1）知△ABD≌△BAC，
∴∠ADB＝∠BCA，
∴∠ADB＝∠BCA＝90°，
∵∠ABD＝∠BAC＝20°，
∴∠EAB＝∠EBA＝90°﹣20°＝70°，
∴∠AEB＝180°﹣70°﹣70°＝40°；
（3）如图所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，

∵四边形ABCD是互补等对边四边形，
∴AD＝BC，∠ADB+∠BCA＝180°，
又∠ADB+ADG＝180°，
∴∠BCA＝∠ADC，
又∵AG⊥BD，BF⊥AC，
∴∠AGD＝∠BFC＝90°，
在△AGD和△BFC中，
，
∴△AGD≌△BFC（AAS），
∴AG＝BF，
在Rt△ABG和Rt△BAF中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△BAF（HL），
∴∠ABD＝∠BAF，
∵∠ADB+∠BCA＝180°，
∴∠EDB+∠ECA＝180°，
∴∠AEB+∠DHC＝180°，
∵∠DHC+∠BHC＝180°，
∴∠AEB＝∠BHC．
∵∠BHC＝∠BAC+∠ABD，∠ABD＝∠BAC，
∴∠ABD＝∠BAC＝∠AEB．