2020届二轮复习函数与指数函数学案（全国通用）
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指数与指数函数
一．基础知识
1．幂的有关概念
(1)正整数指数幂
(2)零指数幂
(3)负整数指数幂
(4)正分数指数幂；
(5)负分数指数幂
(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
2．有理数指数幂的性质
3．根式的内容
（1）根式的定义:一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，叫做根式，
叫做根指数，叫被开方数。
(2)根式的性质: ①当是奇数，则；当是偶数，则
②负数没有偶次方根，
③零的任何次方根都是零
4指数函数y=ax
名称 指数函数
一般形式 y=ax (a>0且a≠1)定义域 (-∞,+ ∞)
值域 (0,+ ∞)过定点 （０，1）
图象
单调性 a> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数
０＜a<1, 在(-∞,+∞)上为减函数
值分布 当y>1 当0<y<1
0<y<1 y>1
5.记住常见指数函数的图形及相互关系
二、题型剖析
1．指数化简和运算
例1．计算下列各式
①
②
思维分析：式子中既有分数指数、又有根式，可先把根式化成分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算。在指数式运算中，注重运算顺序和灵活运用乘法公式。
解：（1）原式=
（2）原式=
练习：计算
（1） 答案：
（2） 答案：45
2．条件求值证明问题
例2．已知，求下列各式的值
（1） （2）
思维分析：如何合理运算已知条件，熟练掌握乘法公式及方程的观点处理问题。
解：（1）两边平方得
（2）原式=
练习：设的值。 答案：2
设
3指数函数的图象
例3．（书P22例1）
变式一:若直线y=2a与函数的图象有两个公共点,则a的取值范围是()
变式二（福建卷）函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列
结论正确的是 （ D ）
A． B．
C D．
练习: 书P22双基2,3.4.
4.指数函数的性质
例4（书P23例2）
5．综合应用
例5（书P23例3）
变式一:、函数y=a2x+2ax-1(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值为14，求a的值。
参考答案:
三、小结
1．指数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据幂的运算法则及性质加以解决，要注意运用方程的观点处理问题。
2．指数函数的图象的熟记和性质的灵活应用是关键。
四、作业 优化设计
备例1.已知函数
①证明：f(x)是奇函数，并求f(x)的单调区间，
②分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值，
由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的x都成立的一个等式。
解：（1）函数f(x)的定义域为，关于原点对称，又
∴f(x)是奇函数
设
f(x)在(0,+∞)上单调递增，
又∵f(x)是奇函数，∴f(x)在(-∞，0)上也单调递增。
（2）计算得f(4)-5f(2)g(2)=0，f(9)-5f(3)g(3)=0，由此概括出对所有不等于零的实数x的： f(x2)-5f(x)g(x)=0.
备用题（变式5）已知过原点O的一条直线与函数的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平等线与函数的图象交于C、D两点，证明点C、D和原点O在同一直线。
