2020届二轮复习函数的值域学案（全国通用）
展开2020届二轮复习 函数的值域 学案
一．知识点
1．函数的值域的定义
在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
2．确定函数的值域的原则
①当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；
②当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；
③当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；
④当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。
3．求函数值域的方法
①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；
②二次函数法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域；
③反函数法：将求函数的值域转化为求它的反函数的定义域；
④判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；
⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；
⑥不等式法：利用平均不等式求值域；
⑦图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域；
⑧求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域；
⑨几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。
二．应用举例
例1．求下列函数的值域
①
②
③
解：①配方法[2，4] ②换元法： ③三角换元法：
形如：的函数可令，则转化为关于t的二次函数求值。
形如含有的结构的函数，可用三角换元令x=acosθ求解。
例2．求下列函数的值域
① ②
解:①反函数法或分离常数法： ②判别式法：
形如：可用反函数法或分离常数法求；
形如：可用判别式法求。
例3．求下列函数的值域
① ②
解:①不等式法： ②用的单调性：
可转化为各项为正，并和或积为定值时，可考虑用不等式法求值域，但要注意“=”问题；
形可化为用它在上递减，在上递增，求值域。
练习：求值域① ②
例4．求下列函数的值域
① ② ③
形如：可转化为斜率或用三角函数有界性求解；
形如②的题目可转化为距离求解；
形如③的高次函数可用导数求解。
变式一：例5．P12书例3
变式二：例6．已知函数的定义域为R，值域为[0，2]，求m,n的值。
M=n=51
三．小结
1．熟练掌握求函数值域的几种方法，并能灵活选用；
2．求值域时要务必注意定义域的制约；
3．含字母参数或参数区间的一类值域问题要进行合理分类讨论；
4．用不等式求值域时要注意“=”的成立条件。
四．作业
P12优化设计与补充试卷。
（备例）．甲乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元，
①把全程运输成本y元表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域，
②为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
分析：全程成本=每小时成本×时间 每小时成本=可变成本+固定成本 实际问题注意定义域
解：①由题意，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程成本为：
① 由题意知S、a、b、v都为正数，故有，当且仅当时“=”成立。
若时，全程运输成本最小；
若当v∈(0, c]时有
∴当且仅当v=c时“=”成立即v=c时全程运输成本最小;
综上所述：当时，全程运输成本最小；当时v=c时全程运输成本最小。
