2020届二轮复习函数问题学案（全国通用）
展开专题三 折线函数问题
折线函数问题是高中数学中分类讨论思想的典型体现．近年来，高考对折线函数的命题常与绝对值综合考查，既考查对绝对值定义、含绝对值函数图像变换的理解，又考查与函数、方程、不等式等综合的运用，着重考查分类讨论思想在解题中运用．
类型一 一次函数中折线函数问题
典例1 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a|＋|x－2a|－3|a|)．若集合{x|f(x－1)－f(x)＞0，x∈R}＝ ，则实数a的取值范围为____________．
【答案】
【解析】∵ {x|f(x－1)－f(x)>0，x∈R}＝ ，∴ f(x－1)－f(x)≤0恒成立，即f(x－1)≤f(x)．
(1) 当a≤0时，当x≥0时，f(x)＝x，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴ 函数f(x)是在R上的解析式为f(x)＝x，而f(x－1)是由f(x)向右平移1个单位，则函数f(x)和f(x－1)的图象有下图关系：
通过图象观察，当a≤0时，f(x－1)≤f(x)恒成立；
(2) 当a>0时，当x≥0时，
∵ 函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴ f(x)在R上的图象为(如下图)：
要使f(x－1)≤f(x)，两图象只要满足：
由图知，只要满足－3a＋1≥3a，即0<a≤时，f(x－1)≤f(x)恒成立．
综上可得，当a≤时，f(x－1)≤f(x)恒成立．
【名师指点】本题考查了集合、分段函数、函数的图象与性质、不等式等内容的综合运用，体现了数形结合思想和分类讨论的思想．本题属于难题．
【举一反三】已知函数f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|100x-1|，则当x=_____时，f(x)取得最小值．
【答案】
【解析】解：f(x)=，f(x)共表示为5050项的和，其最中间两项均为．x=，同时使第1项|x-1|与第5050项的和，第2项与第5049项的和，第3项与第5048项的和，…，第2525项与第2526项的和，取得最小值．故所求的x为．
类型二 二次函数中折线函数问题
典例2已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝|x2－2x＋|.若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是____________．
【答案】－7＜a≤0或a＝2
【解析】由题意得
或x2＋(a－1)x－2a＋2＝(2x2＋ax－2a)或a＝0对任意实数x都成立，所以或
或a＝0，或a＝2，解得－7＜a≤0或a＝2.
类型三 高次函数中折线函数问题
典例3 已知函数f(x)＝若对于t∈R，f(t)≤kt恒成立，则实数k的取值范围是____________．
【答案】
【解析】① 当t≥1时，f(t)＝lnt，即lnt≤kt对于t∈[1，＋∞)恒成立，所以k≥，t∈[1，＋∞)．令g(t)＝，则g′(t)＝，当t∈(1，e)时，g′(t)>0，则g(t)＝在t∈(1，e)时为增函数；当t∈(e，＋∞)时，g′(t)<0，则g(t)＝在t∈(e，＋∞)时为减函数．所以g(t)max＝g(e)＝，所以k≥.
② 当0<t<1时，f(t)＝－t(t－1)2，即－t(t－1)2≤kt对于t∈(0，1)恒成立，所以k≥－(t－1)2，t∈(0，1)，所以k≥0.
③ 当t≤0时，f(t)＝t(t－1)2，即t(t－1)2≤kt对于t∈(－∞，0]恒成立，所以k≤(t－1)2，t∈(－∞，0]，所以k≤1.
综上，≤k≤1.
【名师指点】本题考查了分段函数、利用导数求最值，以及恒成立问题等内容，借助分类讨论使问题得到解决．本题属于难题．
1. 已知函数f(x)＝|lnx|，g(x)＝则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为____________．
【答案】4
【解析】设F(x)＝f(x)＋g(x)＝，利用导数知识画出F(x)的图象，它与直线y＝1，y＝－1的交点各有2个，方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为4.
2．已知直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝－恰有四个不同的交点，则实数k的取值范围为________．
【答案】
【解析】f(x)＝是偶函数，作出图象；y＝kx＋1过定点(0，1)．当k＝0时，显然成立．当直线y＝kx＋1与y＝相切时，设切点(x0，y0)即，斜率k＝.又k＝－， ∴ ＝－，得x0＝4，切点，得k＝－，此时直线与y＝f(x)有四个交点．同理得k另一个值满足条件．
3．若函数f(x)＝x2|x－a|在区间[0，2]上单调递增，则实数a的取值范围是__________．
【答案】(－∞，0]∪[3，＋∞)
【解析】当x≥a时，f(x)＝x3－ax2恒过定点(0，0)，(a，0)．f′(x)＝3x2－2ax＝3x＝0，解得x1＝0，x2＝.当x<a时，f(x)＝－x3＋ax2恒过定点(0，0)，(a，0)，f′(x)＝－3x2＋2ax＝－3x＝0，解得x1＝0，x2＝.若a＝0即a＝0时，f(x)＝x2|x|，当x∈[0，2]时，f(x)＝x3单调递增，符合题意；若a<0即a<0时，a－＝<0，a<.f(x)的图象大致如图：
易知f(x)的增区间为、[0，＋∞)．符合题意．若a>0即a>0时，a－＝>0，a>.f(x)的图象大致如图：
易知f(x)的增区间为、[a，＋∞)．要使f(x)在[0，2]上单调递增，只需≥2，a≥3.综上，a≤0或a≥3.
4. 已知函数f(x)＝|x3－4x|＋ax－2恰有2个零点，则实数a的取值范围为________．
【答案】a<－1或a>1
【解析】0＝＋ax－2，则＝2－ax恰有2个零点，即y＝与y＝2－ax的图象有两个交点．如图，直线y＝2－ax与y＝的图象相切时，设切点为(x0，y0)，则＝3x－4，又y0＝x－4x0，解得x0＝－1，此时k＝－1，而y＝是偶函数，在y轴右侧相切时k＝1.而两个函数的图象若有两个交点，则k<－1或k>1，而k＝－a，则实数a的取值范围为a<－1，或a>1.
5. 函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx－k至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为____________．
【答案】∪(1，＋∞)
【解析】画图，y2＝kx－k过定点(1，0)，找到临界(－0.5，0.5)和(1，0)连线斜率－与临界f′(1)＝1.由图象知实数k的取值范围为∪(1，＋∞)．
6. 已知f(x)是定义在[1，＋∞)上的函数，且f(x)＝则函数y＝2xf(x)－3在区间(1，2 015)上零点的个数为________．
【答案】11
【解析】作出函数f(x)＝的图象，函数y＝2xf(x)－3的零点为方程f(x)＝的解，即零点个数为函数y＝f(x)与函数y＝图象交点个数，通过图象可得零点为·2n－1，n∈N*，令1<·2n－1<2 015，得1≤n≤11.
7. 已知函数f(x)＝，x∈R，则不等式f(x2－2x)＜f(3x－4)的解集是__________．
【答案】(1，2)
【解析】f(x)＝＝f(x)在(－∞，0)上递增，在[0，＋∞)上的值始终为1.而f(x2－2x)＜f(3x－4)，则x2－2x＜0，且x2－2x＜3x－4，解之得1＜x＜2.
8. 若函数f(x)＝ax2＋20x＋14(a>0)对任意实数t，在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1、x2，使得|f(x1)－f(x2)|≥8成立，则实数a的最小值为________．
【答案】8
【解析】f(x)＝a＋14－(a＞0)，由题设知原题可以等价于对任意区间[x1，x2]，x2－x1＝2，函数f(x)在[x1，x2]上的最大值与最小值之差大于等于8，不妨设g(x)＝ax2＋14－，则原题可转化成对任意t∈R，g(x)在[t，t＋2]上最大值与最小值之差大于等于8，
① 当t≥0时，g(x)在[t，t＋2]上递增，
从而gmax(x)－gmin(x)＝g(t＋2)－g(t)＝a[(t＋2)2－t2]≥8，即a(4t＋4)≥8对t≥0恒成立，从而4a≥8a≥2；
② 当t＋2≤0时，g(x)在[t，t＋2]上递减，从而gmax(x)－gmin(x)＝g(t)－g(t＋2)≥8时，对任意t≤－2恒成立，即a(－4t－4)≥8.对任意t≤－2恒成立，从而a(8－4)≥8a≥2；
③ 当t＋1≤0时，g(x)在[t，0]上递减，在[0，t＋2]上递增，且g(t＋2)≥g(t)，从而gmax(x)－gmin(x)＝g(t＋2)－g(0)＝a(t＋2)2≥8，对于任意t≥－1恒成立，从而有a≥8；
④ 同理t＋1≥0时，也有a≥8，综上知a≥8.
9. 设函数f(x)＝(x－a)|x－a|＋b(a、b都是实数)．则下列叙述中，正确的是________．(填序号)
① 对任意实数a、b，函数y＝f(x)在R上是单调函数；
② 存在实数a、b，函数y＝f(x)在R上不是单调函数；
③ 对任意实数a、b，函数y＝f(x)的图象都是中心对称图形；
④ 存在实数a、b，使得函数y＝f(x)的图象不是中心对称图形．
【答案】①③
【解析】由题知f (x)＝示意图如图所示．
因而f (x)满足在R上是增函数且关于点(a，b)中心对称．
10. 在平面直角坐标系中，将从点出发沿纵、横方向到达点的任一路径称为到的一条“折线路径”，所有“折线路径”中长度最小的称为到的“折线距离”．如图所示的路径与路径都是到的“折线路径”．某地有三个居民区分别位于平面内三点，，，现计划在这个平面上某一点处修建一个超市．
（1）请写出点到居民区的“折线距离”的表达式（用表示，不要求证明）；
（2）为了方便居民，请确定点的位置，使其到三个居民区的“折线距离”之和最小．
【答案】（1）（2）26
【解析】解：（1）点到居民区的“折线距离”，．
（2）点到居民区、、的“折线距离”之和为
，
下面分别确定和的值，使最小．
令，，
当时，的最小值为.
当时，最小值为，
答:当点取在时，到三个居民区的“折线距离”之和最小为.
11. 若函数的最小值为3，则实数的值为___________.
【答案】-4或8
【解析】
12. 对于定义在区间D上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意，都有，且对任意∈D，当时，恒成立，则称函数为区间D上的“平底型”函数．
（1）判断函数和是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；
（2）设是（1）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式 对一切R恒成立，求实数的取值范围；
（3）函数是区间上的“平底型”函数，求和值
【答案】（1）是“平底型”函数，不是“平底型”函数（2）（3）m＝1，n＝1
【解析】解：（1）对于函数，当时，．
当或时，恒成立，故是“平底型”函数．
对于函数，当时，；当时，．所以不存在闭区间，使当时，恒成立．故不是“平底型”函数．
（2）若对一切R恒成立，
则．所以．又，则．
则，解得．故实数的范围是．
（3）因为函数是区间上的“平底型”函数，
则存在区间和常数，使得恒成立．
所以恒成立，
即．解得或． 当时，．
当时，，当时，恒成立．
此时，是区间上的“平底型”函数．
当时，．
当时，，当时，．
此时不是区间上的“平底型”函数． 综上，m＝1，n＝1为所求．
