2020届二轮复习导数的应用教案（全国通用）

【例1】已知函数,求导函数,并确定的单调区间.

所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

在上单调递减．

当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．

当，即时，，所以函数在上单调递减，在上单调递减．

【点评】（1）求函数的单调区间，必须优先考虑函数的定义域，然后解不等式＞（＜)0（不要带

等号），最后求二者的交集，把它写成区间.（2）注意分类讨论的思想.

【反馈检测1】已知函数

【例2】已知函数.

（1）求函数的极值；

（2）若对于任意的，若函数在区间上有最值，求实数的取值范围.

（2），

∴，

∵在区间上有最值，

∴在区间上有极值，即方程在上有一个或两个不等实根，又，∴

则题意知：对任意，恒成立，∴

，因为，∴，

对任意，恒成立

∴，∵，∴

∴.     

【点评】（1）考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，体现了对分类讨论和化归转化数思想的考查，特别是问题（2）的设置很好的考查生对题意的理解与转化，创造性的分析问题、解决问题的能力和计算能力．函数在开区间内有最值等价于函数在该区间内有极值，故可转化为方程在上有一个或两个不等实根，通过数形结合，转化为恒成立，利用分离参数得解. #

【反馈检测2】设函数（），其中．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；

（Ⅲ）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立．

【例3】            已知函数.

（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若对所有都有，求实数的取值范围.

【解析】（Ⅰ）的定义域为，  的导数.    令，解得；令，解得.从而在单调递减，在单调递增.所以，当时，取得最小值. 

故是上的增函数，   所以 的最小值是，所以的取值范围是. 

【点评】（1）如果是开区间，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值.（2）分离参数法是处理参数问题常用的方法，注意灵活运用.

【反馈检测3】已知函数

(Ⅰ)当时, 求的最大值;

(Ⅱ) 设, 是图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数，使得恒成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.

【例4】求证下列不等式

（1）

（2）

（3）

（2）原式   令  

∴    ∴    

     因为    ∴

（3）令  

因为     ∴

∴

【方法点评】证明函数不等式，一般先要构造函数，再利用导数研究函数的单调性、最值和极值等来解答.

【反馈检测4】设，．

（Ⅰ）令，讨论在内的单调性并求极值；

（Ⅱ）求证：当时，恒有．

【例5 】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.

（Ⅰ）求的值及的表达式；

（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值.

【点评】（1）本题主要考察函数、导数等基础知识，同时考查运用数知识解决实际问题的能力.（2）理解函数f（x）的含义并求出函数的表达式是此题的关键点.

【反馈检测5】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米.

（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

高中数常见题型解法归纳及反馈检测第19讲：

导数的应用参考答案

【反馈检测1答案】时，在上也是增函数；时，在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.

此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在

上单调递增.

【反馈检测2答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）证明见解析. #

【反馈检测2详细解析】（Ⅰ）解：当时，，得，且

，．

所以，曲线在点处的切线方程是，整理得．

（1）若，当变化时，的正负如下表：

因此，函数在处取得极小值，且；

函数在处取得极大值，且．

（2）若，当变化时，的正负如下表：

因此，函数在处取得极小值，且；

函数在处取得极大值，且．

（Ⅲ）证明：由，得，当时，，．

由（Ⅱ）知，在上是减函数，要使，

只要    即　　①

设，则函数在上的最大值为．

要使①式恒成立，必须，即或．

所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立．

【反馈检测3答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 存在符合条件.

(Ⅱ)答: 存在符合条件.

解:  因为=,不妨设任意不同两点，其中

则 ,由 知: 1+.

因为，所以1+，

故存在符合条件.

【反馈检测4答案】（Ⅰ）在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值；（Ⅱ）证明见解析.

【反馈检测4详细解析】（Ⅰ）解：根据求导法则有，

故，于是，

列表如下：

故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值

．

【反馈检测5答案】（1）从甲地到乙地要耗油升；（2）当汽车以千米/小时的速度匀速行驶时，耗油量最少，为升.

【变式演练5详细解析】（1）若千米/小时，每小时耗油量为升/小时. 共耗油

升.所以，从甲地到乙地要耗油升.

（2）设当汽车以千米/小时的速度匀速行驶时耗油量最少，，耗油量为升.

则， ，

令，解得，.

列表：

所以，当汽车以千米/小时的速度匀速行驶时，耗油量最少，为升.