2020届二轮复习条件概率教案（全国通用）
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1． 离散型随机变量及其分布列
⑴离散型随机变量
如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量来表示，并且是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母表示．
如果随机变量的所有可能的取值都能一一列举出来，则称为离散型随机变量．
⑵离散型随机变量的分布列
将离散型随机变量所有可能的取值与该取值对应的概率列表表示：
… | … | |||||
… | … |
我们称这个表为离散型随机变量的概率分布，或称为离散型随机变量的分布列．
2．几类典型的随机分布
⑴两点分布
如果随机变量的分布列为
其中，，则称离散型随机变量服从参数为的二点分布．
二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为，不合格记为，已知产品的合格率为，随机变量为任意抽取一件产品得到的结果，则的分布列满足二点分布．
两点分布又称分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布．
⑵超几何分布
一般地，设有总数为件的两类物品，其中一类有件，从所有物品中任取件，这件中所含这类物品件数是一个离散型随机变量，它取值为时的概率为
，为和中较小的一个．
我们称离散型随机变量的这种形式的概率分布为超几何分布，也称服从参数为，，的超几何分布．在超几何分布中，只要知道，和，就可以根据公式求出取不同值时的概率，从而列出的分布列．
⑶二项分布
1．独立重复试验
如果每次试验，只考虑有两个可能的结果及，并且事件发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为次独立重复试验．次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为．
2．二项分布
若将事件发生的次数设为，事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率是，其中．于是得到的分布列
… | … | |||||
… | … |
由于表中的第二行恰好是二项展开式
各对应项的值，所以称这样的散型随机变量服从参数为，的二项分布，
记作．
二项分布的均值与方差：
若离散型随机变量服从参数为和的二项分布，则
，．
⑷正态分布
1． 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，
直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量，则这条曲线称为的概率密度曲线．
曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是，而随机变量落在指定的两个数之间的概率就是对应的曲边梯形的面积．
2．正态分布
⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．
服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．
正态变量概率密度曲线的函数表达式为，，其中，是参数，且，．
式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为、标准差为的正态分布通常记作．
正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．
⑵标准正态分布：我们把数学期望为，标准差为的正态分布叫做标准正态分布．
⑶重要结论：
①正态变量在区间，，内，取值的概率分别是，，．
②正态变量在内的取值的概率为，在区间之外的取值的概率是，故正态变量的取值几乎都在距三倍标准差之内，这就是正态分布的原则．
⑷若，为其概率密度函数，则称为概率分布函数，特别的，，称为标准正态分布函数．
．
标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．
分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．
3．离散型随机变量的期望与方差
1．离散型随机变量的数学期望
定义：一般地，设一个离散型随机变量所有可能的取的值是，，…，，这些值对应的概率是，，…，，则，叫做这个离散型随机变量的均值或数学期望（简称期望）．
离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．
2．离散型随机变量的方差
一般地，设一个离散型随机变量所有可能取的值是，，…，，这些值对应的概率是，，…，，则叫做这个离散型随机变量的方差．
离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．
的算术平方根叫做离散型随机变量的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．
3．为随机变量，为常数，则；
4． 典型分布的期望与方差：
⑴二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为，在次二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为．
⑵二项分布：若离散型随机变量服从参数为和的二项分布，则，．
⑶超几何分布：若离散型随机变量服从参数为的超几何分布，
则，．
4．事件的独立性
如果事件是否发生对事件发生的概率没有影响，即，
这时，我们称两个事件，相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．
如果事件，，…，相互独立，那么这个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即，并且上式中任意多个事件换成其对立事件后等式仍成立．
5．条件概率
对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号“”来表示．把由事件与的交（或积），记做（或）．
【例1】 把一枚硬币抛掷两次，事件“第一次出现正面”，事件“第二次出现反面”，
则．
【考点】条件概率
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】．
【答案】；
【例2】 抛掷一颗骰子两次，在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下，则第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为 ．
【考点】条件概率
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】设第一次掷得向上一面点数是偶数的事件为，第二次掷得向上一面点数是偶数的事件为，则，所求概率为．
【答案】；
【例3】 掷两枚均匀的骰子，记“点数不同”，“至少有一个是点”，求与．
【考点】条件概率
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】法一：
由题意得：；；
（在第一次或第二次得到点）；
故；．
法二：
掷两枚骰子的所有基本事件有：，
且每个基本事件发生的概率相同．
两次点数不同包含个基本事件，其中至少含有一个点的有个，
故；
在含有的个基本事件中，两个点数不同的情况包含其中的个，故．
【例4】 设某种动物活到岁以上的概率为，活到岁以上的概率为，求现龄为岁的这种动物能活到岁以上的概率．
【考点】条件概率
【难度】2星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】设这种动物活到岁以上的事件为，活到岁以上的事件为，则，且，故在事件发生的条件下发生的概率为．
【例5】 某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率是，既刮风又下雨的概率是，设“刮风”，“下雨”，求．
【考点】条件概率
【难度】2星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】由题意知：，，；
；．
【例6】 设某批产品有是废品，而合格品中的是一等品，任取一件产品是一等品的概率是 ．
【考点】条件概率
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】设“任取一件产品为一等品”，“任取一件产品为合格品”，所求概率为．
【答案】；
【例7】 甲、乙两班共有70名同学，其中女同学40名．设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率?
【考点】条件概率
【难度】2星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】设A表示事件“碰到甲班同学”，B表示事件“碰到女同学”，问题即为求．
，，由公式得
当然直接求的话，就是．
【例8】 在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】条件概率
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】法一：用条件概率考虑，二次都摸出红球的概率为，第一次摸出红球的概率为，故所求的概率为；
法二：第一次摸出红球后还剩下个红球和个白球，故再次摸出红球的概率为．
【答案】C；
【例9】 从个整数中，任取一数，已知取出的—数是不大于的数，求它是2或3的倍数的概率．
【考点】条件概率
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】用A表示“取出的数”，B表示“取出的数是2或3的倍数”，问题即为求．不大于的数中2或3的倍数共有个（表示不超过的最大整数），于是，而，因此由公式．直接求的话就是．
【例10】 袋中装有个白球，个黑球，一次取出个球，发现都是同一种颜色的，问这种颜色是黑色的概率是多少?
【考点】条件概率
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】设A表示“取出个球是同一种颜色”，B表示“个球的颜色是黑色的”，
问题即为求．
，，
因此由公式．
直接求的话就是．
【例11】 一袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回）
⑴已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；
⑵已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率；
⑶已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的是白球的概率．
【考点】条件概率
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】设A表示事件“第一次取出的是黑球”，B表示事件“第二次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是白球”则．．
⑴问题即求条件概率，，所以．
⑵．
⑶问题即求概率，，
所以，
从结果可以看出．
【例12】 有两箱同类零件，第一箱内装50件，其中10件是一等品；第二箱内装30件，其中18件是一等品．现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求：
⑴先取出的零件是一等品的概率；
⑵在先取出的零件是一等品的条件下后取出的仍然是一等品的概率．（保留三位有效数字）
【考点】条件概率
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴两个箱子被挑到的概率都是，两个箱子先取出的是一等品的概率分别为
，故先取出的是一等品的概率为．
⑵设表示“第一次取出的是一等品”，表示“第二次取出的是一等品”，问题即为求．
两个箱子“两次抽到的都是一等品”的概率分别为：
因此．
故由公式．
【例13】 设有来自三个地区的各名、名和名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份．随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份，
⑴求先抽到的一份是女生表的概率．
⑵己知后抽到的一份是男生表，求先抽到的是女生的概率．
【考点】条件概率
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴三个地区的报名表被抽到的概率都是，三个地区的报名表第一个被抽到的是女生的概率分别为，因此先抽到的一份是女生表的概率为：；
⑵设表示“第二次抽到的是男生表”，B表示“第一次抽到的是女生表”，问题即为求．
三个地区“先后抽出的是女生表和男生表”的概率分别为：
．
于是．
类似于⑴．
因此由公式．
【例14】 一辆飞机场的交通车载有25名乘客途经9个站，每位乘客都等可能在这9站中任意一站下车（且不受其他乘客下车与否的影响），交通车只在有乘客下车时才停车，求交通车在第站停车的概率以及在第站不停车的条件下在第站停车的概率，并判断“第站停车”与“第站停车”两个事件是否独立．
【考点】条件概率
【难度】5星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】不妨记事件：交通车在第站停车（）
我们考虑事件的对立情形，即所有25名乘客都在其余的8个站下车，
其概率为．于是．
在第站不停车的条件下在第站停车的概率
而，
代入有
由，说明事件与不独立，于是事件与不独立．
【例15】 在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2 道题，求：
⑴1次抽到理科题的概率；
⑵1次和第2次都抽到理科题的概率；
⑶第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
【考点】条件概率
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】设第1次抽到理科题为事件，第2次抽到理科题为事件，则第1次和第2次都抽到理科题为事件．
⑴5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为．
根据分步乘法计数原理， ．于是
．
⑵因 ，所以
．
⑶解法 1 ：由⑴⑵可得，在第 1 次抽到理科题的条件下，
第 2 次抽到理科题的概率．
解法2： 因为，，所以
．
【例16】 一张储蓄卡的密码共位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
⑴任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率；
⑵如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．
【考点】条件概率
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】设第次按对密码为事件， ，则表示不超过2次就按对密码．
⑴因为事件与事件互斥，由概率的加法公式得
．
⑵用B 表示最后一位按偶数的事件，则
．
【例17】 由以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：被诊断者有癌症，试验反应为阳性的概率为0．95；被诊断者没有癌症，试验反应为阴性的概率为0．95现对自然人群进行普查，设被试验的人群中患有癌症的概率为0．005，求：已知试验反应为阳性，该被诊断者确有癌症的概率．
【考点】条件概率
【难度】5星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】设表示“患有癌症”，表示“没有癌症”，表示“试验反应为阳性”，则由条件得
，，，
由此
于是有
．
