2020届二轮复习函数及表示教案（全国通用）
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类型一：映射的概念
例1．以下对应中，从集合A到集合B的映射有 ；其中 是函数 。
（1） （2） （3） （4）
解析：（1）、（2）、（4）是映射，（1）、（2）是函数。
点评：1.判断是否映射的方法：先看集合A中的每个元素是否在集合B中都有象；再看集合A中的每个元素的象是否唯一；
2.函数是非空数集到非空数集的特殊映射，函数一定是映射，映射不一定是函数.
举一反三：
【变式】设集合A=R，集合B=R＋，则从集合A到集合B的映射只可能是（ ）
A 、 B、
C、 D 、
【答案】C；
解析：A、B、D中元素没有象。
例2. 已知在映射的作用下的像是，求在作用下的像和在 作用下的原像。
解析：，
所以在作用下的像是；
或
所以在作用下的原像是.
点评：弄清题意，明白已知是什么，求的又是什么是本题的关键.
举一反三：
【变式】在映射，，且，则与A中的元素对应的B中的元素为（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A；
解析：
类型二：函数的概念
例3．下列各组函数中表示同一函数的是 。
（1），； （2）；
（3）； （4）。
解析：表示同一函数的是（1）、（3）。
其中第（2）组的定义域不同，第（4）组的对应法则不同。
点评：对应法则相同与函数的解析式相同是不一样的。对应法则是函数的核心，如（1）、（3）的对应法则是相同的。
举一反三：
【变式】下面各组函数中为相同函数的是（ ）
A、， B、，
C、， D、，
【答案】C；
解析：A中两函数的定义域不同，的定义域不含；B中两函数的定义域也不同，的定义域为，而的定义域为R；D中的对应法则不同。
例4．已知是一次函数，且满足，求
解析：由题可设，
所以
化简得
所以 所以
点评：换元法是常用的求解析式法，注意新元的范围，最后要给出函数的定义域；也可以用配凑的方法；除以之外，若已知函数类型，还可以利用待定系数法求函数解析式。
举一反三：
【变式】 已知函数分别由下表给出：
则满足的的值是 .
【答案】2；
解析：∵；
；
.
∴中.
类型三：函数的定义域
例5．求下列函数的定义域
⑴； ⑵；
解析：（1）由得，
所以函数的定义域为：。
（2）由得，
所以函数的定义域为：。
点评：求具体函数的定义域往往转化为解不等式组,此时要细心，首先要找齐约束条件，借助数轴时要注意端点值或边界值。
举一反三：
【变式】已知函数的定义域是R，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】由的定义域是R，则恒成立，
当时，显然成立；
当时，；
当时，，
综上，选C。
【变式3】若的定义域为，求的定义域。
【答案】；
解析：本题的实质是求在时的值域。
令，当时，。
故的定义域为。
例6．已知的定义域为，求的定义域.
解析：∵中,
∴中，即，解得或
∴所求定义域是.
点评：有关复合函数的定义域问题，要明确：
（1）定义域是指单一的自变量的取值范围.如本题中的定义域为即；而的定义域，同样只指中的单一的自变量的取值范围.
（2）在同一法则之下，括号内的整体范围是一致的。如本题中，应是函数的自变量的范围，同时也是括号内的整体范围；而要求解的的定义域是中的取值范围，此处的取值范围已不是中的的取值范围；但中的与中的的整体范围是相同的，可以此为桥梁求解。
举一反三：
【变式】设函数，则函数的定义域是 。
【答案】由函数知，所以
类型四：分段函数
例7．已知函数，求：
（1）的值；（2）的定义域、值域。
解析：
（1）∵， ∴
∴
（2）的定义域为，即
当时，；
当时，；
当时，；
综上可得的值域为。
点评：分段函数分段讨论，先局部后整体；结果应当要并。
举一反三：
【变式】设，，则 ， .
【答案】：。
解析：，；
，.
