2020届二轮复习复数教案（全国通用）

2020届二轮复习  复数   教案（全国通用）

类型一：复数的有关概念

【例1】设复数，试求实数取何值时，复数分别满足：

(1)是纯虚数； (2)对应的点位于复平面的第二象限。

【思路点拨】利用复数的有关概念易求得。

【答案】

(1)当即时，复数是纯虚数；

(2)当即或时，复数对应的点位于复平面的第二象限.【总结升华】

复习中，概念一定要结合意义落实到位，对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样；对一些概念的等价表达式要熟知。比如：

()；是纯虚数（）；

举一反三：

【变式1高清视频例题1】复数为纯虚数，则实数a为(　　)．

A．2     B．－2    C．－     D.

【答案】A

【解析】，

由纯虚数的概念知：＝0，∴a＝2.

【变式2】求当实数取何值时，复数分别是：

（1）实数；   （2）虚数；   （3）纯虚数。

【解析】

（1）当即或时，复数为实数；

（2）当即且时，复数为虚数；

（3）当即时，复数为纯虚数.

【变式2】已知复数满足且,则复数（  ）

A.必为纯虚数　　　         B.是虚数但不一定是纯虚数

C.必为实数　　　        　 D.可能是实数也可能是虚数

【答案】

[法1] 设（），有,.

则，故应选C。

[法2] ∵,∴.

[法3]  ∵，∴ .

类型二：复数相等

【例2】已知集合M=｛（a+3）+（b2-1）i, 8｝,集合N=｛3，（a2-1）+(b+2)｝同时满足M∩NM，M∩N≠Φ，求整数a,b

【思路点拨】先判断两集合元素的关系，再列方程组，进而解方程组，最后检验结果是否符合条件。

【解答】

…………………………①

或…………………………………………②

或…………………………③

由①得a=-3,b=±2,经检验，a=-3,b=-2不合题意，舍去。∴a=-3，b=2

由②得a=±3, b=-2.又a=-3,b=-2不合题意，∴a=3,b=-2;

由③得,此方程组无整数解。

综合①②③得a=-3，b=2或a=3,b=-2。

【总结升华】

1、a+bi=c+di.

2、利用复数相等可实现复数问题实数问题的转化。解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式。

注：对于复数z，如果没有给出代数形式，可设z= a+bi(a,b∈R)。

举一反三：

【变式】已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.

【解析】设z2=a+2i(a∈R)，由已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i,得z1=2-i，又已知z1·z2=(2-i)·(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i是实数，则虚部4-a=0，即a=4，则复数z2=4+2i.

类型三：复数的代数形式的四则运算

【例3】计算：

【思路点拨】复数除法通常上下同乘分母的共轭复数。

【解析】

【总结升华】复数除法关键是把分母实数化，通常上下同乘分母的共轭复数，利用进行运算。

举一反三：

【变式1】

【答案】：原式=

【变式2】复数(     )

.     B.    C.   D.

【解析】选C  解法一：

解法二：验证法 验证每个选项与1-2i的积，正好等于5i的便是答案.

【例4】已知z1，z2为复数，(3＋i)z1为实数，且|z2|＝求z2.

【思路点拨】可不设代数形式利用整体代换的思想求解.

z1＝z2(2＋i)，(3＋i)z1＝z2(2＋i)(3＋i)＝z2(5＋5i)∈R，

∵|z2|＝

∴|z2(5＋5i)|＝50，

∴z2(5＋5i)＝±50，

【总结升华】1、(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.

(2)记住以下结论，可提高运算速度：

①(1±i)2=±2i；

⑤i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈N).

2、复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟透i的特点及熟练应用运算技巧。

举一反三：

【变式1】设，（为虚数单位），则的值为    

【解析】因为，

所以

【答案】8

【变式2】设i为虚数单位，则复数

A.     B.    C.     D.

【解析】选D. .

类型三：复数的几何意义

【例5】已知复数()，若所对应的点在第四象限，求的取值范围.

【思路点拨】 在复平面内以点表示复数（），所对应的点在第四象限等价于的实部大于零而虚部小于零。

【解析】∵

∴ ，解得.

∴的取值范围为.

【总结升华】每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。

举一反三：

【变式1】若所对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（    ）

A.          B.          C.          D.

【答案】：∵所对应的点在第二象限

∴且，且

∴，故选D

【变式2高清视频复数例题2】在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)．

A．4＋8i  B．8＋2i  C．2＋4i  D．4＋i

【答案】C

【解析】复数6＋5i对应的点为A(6,5)，复数－2＋3i对应的点为

B(－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB的中点C(2,4)，故点C

对应的复数为2＋4i.

类型四：化复数问题为实数问题

【例6】已知互为共轭复数，且,求.

【思路点拨】设（）代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得、的两个方程。

【解析】设（），则, 代入原等式得：

∴，解得：或或或，

∴ 或 或 或。

【总结升华】

复数定义：“形如（）的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这样，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实；设出复数的代数形式，把复数问题转化为实数问题来研究是解决复数问题的常用方法。

举一反三：

【变式1】已知复数，求实数使

【答案】：∵, ∴

    ∵, ∴，解得或

【变式2】令,求使方程成立的复数.

【答案】：令()，则原方程化为:

即，

∴ ，解之有或(舍去）

∴当时，复数.

【例8】求使关于的方程至少有一个实根的实数.

【思路点拨】 根的判别式只适用实系数的一元二次方程，虚系数有实根用两复数相等，化虚为实。

【解析】设为方程的一个实根，则有

即

∴，解得.

【总结升华】设出实根，化虚为实，再利用两复数相等。

举一反三：

【变式】已知方程有实根，求实数.

【答案】：设实根为, 则

,即

∴ ，解得

∴ 为所求.

【变式2】已知，方程的两根为、，求.

【答案】：∵，∴ 方程的实系数一元二次方程可以用来判定方程有无实根。

    (1)当，即时，方程的根、为实数根，

    由韦达定理

    又∵

    ∴

       ①当时，,

       ②当时，.

    (2)当,即时，方程的根、为虚根。