2020届二轮复习 复数 教案（全国通用）

2020届二轮复习  复数  教案（全国通用）

类型一：复数的有关概念

【例1】为何实数时，复数分别是

(1)  实数； (2) 纯虚数；  (3)零.

【思路点拨】利用复数的有关概念易求得。

【答案】：

   (1)当即或时，复数是实数；

   (2) 当即当时，复数是纯虚数；

 　(3)当即时，复数是零。

【总结升华】

复习中，概念一定要结合意义落实到位，对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样；对一些概念的等价表达式要熟知。比如：

()；是纯虚数（）；

举一反三：

【变式1】设,（）,且是纯虚数，求、应满足的条件。

【答案】设()，则即

∴即

∴,消去参数即得：.

【例2】设复数满足（i是虚数单位），则的实部是_________

【思路点拨】利用待定系数法，结合复数运算可求。

【答案】1.

【解析】设，则，所以，复数的实部是1.

【总结升华】本题考查的是复数的运算，解题的关键是设出复数的代数形式，然后运算求得复数，找出实部.

举一反三：

【变式】已知复数满足且,则复数（  ）

A.必为纯虚数　　　         B.是虚数但不一定是纯虚数

C.必为实数　　　        　 D.可能是实数也可能是虚数

【答案】

[法1] 设（），有,.

则，故应选C。

[法2] ∵,∴.

[法3]  ∵，∴ .

类型二：复数相等

【例3】复数z1＝＋(10-a2)i，z2＝

若是实数，求实数a的值.

【思路点拨】是实数，将化简成a+bi形式可得。

【解析】

∵是实数，

∴a2＋2a-15＝0，解得a＝-5或a＝3.

又(a＋5)(a-1)≠0，∴a≠-5且a≠1，故a＝3.

【总结升华】两个复数相等，a+bi=c+di.

举一反三：

【变式】若(x－i)i＝y＋2i，x、y∈R，则复数

x＋yi＝(　　)

A．－2＋i       B．2＋i

C．1－2i       D．1＋2i

【答案】B

【解析】由题意得，xi＋1＝y＋2i，故x＝2，y＝1，

即x＋yi＝2＋i.

【例4】已知集合M=｛（a+3）+（b2-1）i, 8｝,集合N=｛3，（a2-1）+(b+2)｝同时满足M∩NM，M∩N≠Φ，求整数a,b

【思路点拨】先判断两集合元素的关系，再列方程组，进而解方程组，最后检验结果是否符合条件。

【解答】

…………………………①

或…………………………………………②

或…………………………③

由①得a=-3,b=±2,经检验，a=-3,b=-2不合题意，舍去。∴a=-3，b=2

由②得a=±3, b=-2.又a=-3,b=-2不合题意，∴a=3,b=-2;

由③得,此方程组无整数解。

综合①②③得a=-3，b=2或a=3,b=-2。

【总结升华】利用复数相等可实现复数问题实数问题的转化。解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式。

举一反三：

【变式】已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.

【解析】设z2=a+2i(a∈R)，由已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i,得z1=2-i，又已知z1·z2=(2-i)·(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i是实数，则虚部4-a=0，即a=4，则复数z2=4+2i.

【例5】实数m分别取什么数值时？复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i

(1)与复数2－12i相等；

(2)与复数12＋16i互为共轭复数；

(3)对应的点在x轴上方．

【思路点拨】利用复数相等定义。

【解析】(1)根据复数相等的充要条件得

解之得m＝－1.

(2)根据共轭复数的定义得

解之得m＝1.

(3)根据复数z对应点在x轴上方可得m2－2m－15＞0，

解之得m＜－3或m＞5.

【总结升华】利用复数相等可实现复数问题实数问题的转化。解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式。对于复数z，如果没有给出代数形式，可设z= a+bi(a,b∈R)。

举一反三：

【变式】若a、b∈R，i为纯虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则(　　)

A．a＝1，b＝1       B．a＝－1，b＝1

C．a＝1，b＝－1      D．a＝－1，b＝－1

【答案】C

【解析】由(a＋i)i＝b＋i，得－1＋ai＝b＋i，根据两复数相等的充要条件得a＝1，b＝－1.

类型三：复数的代数形式的四则运算

【例6】计算：计算

【思路点拨】复数除法通常上下同乘分母的共轭复数。

【解析】

【总结升华】复数除法关键是把分母实数化，通常上下同乘分母的共轭复数，利用进行运算。

举一反三：

【变式】

【答案】：原式=

【例7】

【解析】原式= 

【总结升华】复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求z时要注意是把z看作一个整体还是设为代数形式应用方程思想；当z是实数或纯虚数时注意常见结论的应用.

举一反三：

【变式高清视频复数例题3】已知复数z1，满足(z1－2)(1＋i)＝1－i，复数z2的虚部为2，

且z1·z2是实数，求z2.

【思路点拨】利用复数的乘除运算求z1，再设z2＝a＋2i(a∈R)，

利用z1·z2是实数，求a.

【解析】由(z1－2)(1＋i)＝1－i，得z1－2＝＝－i，即z1＝2－i.

设z2＝a＋2i(a∈R)，

∴z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.

∵z1·z2∈R.  ∴a＝4. 

∴z2＝4＋2i.

【例8】已知z1，z2为复数，(3＋i)z1为实数，且|z2|＝求z2.

【思路点拨】可不设代数形式利用整体代换的思想求解.

z1＝z2(2＋i)，(3＋i)z1＝z2(2＋i)(3＋i)＝z2(5＋5i)∈R，

∵|z2|＝

∴|z2(5＋5i)|＝50，

∴z2(5＋5i)＝±50，

【总结升华】1、(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.

(2)记住以下结论，可提高运算速度：

①(1±i)2=±2i；

⑤i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈N).

2、复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟透i的特点及熟练应用运算技巧。

举一反三：

【变式1】复数z＝的共轭复数是（    ）        

（A）2+i   （B）2－i        （C）－1+i       （D）－1－i

【解析】选D  ，故的共轭复数为.

【变式2】若复数满足（为虚数单位），则为

（A）    （B）     （C）     （D）

【解析】选.A        因为，所以

.

类型三：复数的几何意义

【例9】已知复数()，若所对应的点在第四象限，求的取值范围.

【思路点拨】 在复平面内以点表示复数（），所对应的点在第四象限等价于的实部大于零而虚部小于零。

【解析】∵

∴ ，解得.

∴的取值范围为.

【总结升华】每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。

举一反三：

【变式1】已知是复数，和均为实数，且复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围。

【答案】：设()

∴，由题意得，

，由题意得，

∴

∵，

根据已知条件有，解得，

∴实数的取值范围是.

【变式2】集合，，为虚数单位，R，则为        （  ）

（A）（0，1）  （B），    （C），    （D），

【解析】选C.

，所以；

因为，所以，即，又因为，R，所以，即；所以，故选C.

类型四：化复数问题为实数问题

【例10】设，求满足且的复数.

【思路点拨】设（）代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得、的两个方程。

【解析】设（），则

∴即，∴或

（1）当时，，∴，∴或

当不合题意舍去，∴时

（2）当时，

又∵，∴

由，解得，，∴

综上，或

【总结升华】

复数定义：“形如（）的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这样，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实；设出复数的代数形式，把复数问题转化为实数问题来研究是解决复数问题的常用方法。

举一反三：

【变式1】设复数满足则＝（  ）。

      A、0          B、1            C、           D、2

【答案】：设（），则即

    ∴，解得,∴，∴  ，故选C。

【变式2】已知复数，求实数使

【答案】：∵, ∴

    ∵, ∴，解得或

【变式3】令,求使方程成立的复数.

【答案】：令()，则原方程化为:

即，

∴ ，解之有或(舍去）

∴当时，复数.

【例11】求使关于的方程至少有一个实根的实数.

【思路点拨】 根的判别式只适用实系数的一元二次方程，虚系数有实根用两复数相等，化虚为实。

【解析】设为方程的一个实根，则有

即

∴，解得.

【总结升华】设出实根，化虚为实，再利用两复数相等。

举一反三：

【变式】已知方程有实根，求实数.

【答案】：设实根为, 则

,即

∴ ，解得

∴ 为所求.

【变式2】已知，方程的两根为、，求.

【答案】：∵，∴ 方程的实系数一元二次方程可以用来判定方程有无实根。

    (1)当，即时，方程的根、为实数根，

    由韦达定理

    又∵

    ∴

       ①当时，,

       ②当时，.

    (2)当,即时，方程的根、为虚根。

【例12】已知，对于任意均有成立，试求实数的取值范围。

【思路点拨】求出及，利用问题转化为时不等式恒成立问题。

【解析】∵，∴

∴对恒成立。

当，即时，不等式成立；

当时，，解得

综上，实数的取值范围：.

【总结升华】本题利用复数的性质求模之后，转化为求含参数的二次不等式的参数取值范围。

举一反三：

【变式1】已知, (), 且，求的取值范围.

【答案】：∵,.

∴, 解之得.

【变式2】已知：。求实数.

【答案】：

  　　　 即 或.

【变式3】设是虚数，是实数，且.

（1）求的值及的实部的取值范围；

（2）设，求证：为纯虚数；

（3）求的最小值。

【答案】：

（1）解：设（，)，则

∵是实数， ∴

∵，∴，即，

∵即

∴的实部的取值范围是：.

（2）证明：

∵，， ∴为纯虚数.

（3）解：

∵， ∴

∴

（当且仅当即时，上式取等号）

∴的最小值1.