2020届二轮复习空间图形与平面图形综合问题学案（全国通用）

2020届二轮复习  空间图形与平面图形综合问题  学案（全国通用）

空间向量的常用方法：

（一）证明线面关系

1. 证明直线和平面平行

已知直线和平面的法向量，则∥

2. 证明两个平面平行

已知两个不重合平面，法向量分别为，则∥

3. 证明两直线垂直

已知直线。，则

4. 证明直线和平面垂直

已知直线，且A、B，平面的法向量为，则

5. 证明两个平面垂直

已知两个平面，两个平面的法向量分别为，则

（二）求空间角

1. 求两异面直线所成的角

已知两异面直线，，则异面直线所成的角的余弦值为：

2. 利用法向量求点到面的距离定理：设是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，其中，则点B到平面的距离为。

3. 直线与平面所成的角的正弦值（为平面的法向量）。

4. 利用法向量求二面角的平面角定理：设分别是二面角中平面的法向量，则所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（方向相同，则为补角，方向相反，则为其夹角）。二面角的平面角的余弦值（为平面，的法向量）。

能力提升类

例1  （1）如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为      

一点通：根据半圆的三等分点，得到三个弧对应的角度是60°，根据直径所对的圆周角是直角得到直角三角形的有关长度，算出要求的线段的长度。

答案：∵A，E是半圆周上的两个三等分点。

∴弧EC是一个60°的弧，

∴∠EBC=30°，则CE=2，

连接BA，则BA=2，

∴在含有30°角的直角三角形中，BD=1，

点评：本题考查与圆有关的比例线段，圆周角定理，含有30°角的直角三角形的有关运算，是一道基础题。

（2）如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆O于A，B两点，且PB＝7，C是圆O上一点，使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝       

一点通：根据同弧所对的圆周角与弦切角相等，得到∠C＝∠BAP，根据所给的两个角相等，得到两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例，得到比例式，代入已知的长度，求出结果。

答案：

∵∠BAC=∠APB，

∠C=∠BAP，

∴△PAB~△ACB，

点评：本题考查圆的切线的性质的应用，同弧所对的圆周角等于弦切角，三角形相似的判断和性质，是一道综合题。

例2  如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点。

（Ⅰ）求与底面所成角的大小；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求二面角的余弦值。

一点通：求线面角的关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法  求二面角的大小也可应用面积射影法，比较好的方法是向量法 

答案：法一：（I）取DC的中点O，由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC。

又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O。

连结OA，则OA是PA在底面上的射影。∴∠PAO就是PA与底面所成的角。

∵∠ADC＝60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，从而求得OA＝OP＝。

∴∠PAO＝45°。∴PA与底面ABCD所成角的大小为45°。              

（II）由底面ABCD为菱形且∠ADC＝60°，DC＝2，DO＝1，有OA⊥DC。

建立空间直角坐标系如图，

则， 。

由M为PB中点，∴。

∴。

∴，

。

∴PA⊥DM，PA⊥DC。 ∴PA⊥平面DMC。 

（III）。令平面BMC的法向量，

则，从而x＋z＝0；  ……①， ，从而。 ……②

由①、②，取x＝−1，则。∴可取。

由（II）知平面CDM的法向量可取，

∴。 ∴所求二面角的余弦值为－

法二：（Ⅰ）方法同上                              

（Ⅱ）取的中点，连接，由（Ⅰ）知，在菱形中，由于，

则，又，则，即，

又在中，中位线，，则，

则四边形为平行四边形，所以，在中，，

则，故而，

则

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，则为二面角的平面角，

在中，易得，

，

，故所求二面角的余弦值为

点评：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强用平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角，是常用的方法。

例3  如图所示：边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE＝，ED//AF且∠DAF＝90°。

    （1）求BD和面BEF所成的角的余弦值；

    （2）线段EF上是否存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，若存在，求EP与PF的比值；若不存在，说明理由。

一点通：1. 先假设存在，再去推理，下结论；2. 运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算。

答案：（1）因为AC、AD、AB两两垂直，建立如图坐标系，

则B（2，0，0），D（0，0，2），E（1，1，2），F（2，2，0），

则

设平面BEF的法向量，则可取，

∴向量所成的角的余弦值为

，

即BD和面BEF所成的角的余弦值为。

    （2）假设线段EF上存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，不妨设EP与PF的比值为m，则P点坐标为

则向量向量

所以。

    点评：本题考查了线线关系，线面关系及其相关计算，本题采用探索、开放的设问方式，对学生灵活运用知识解题提出了较高要求。

综合运用类

例4  已知正方形  、分别是、的中点，将沿折起，如图所示，记二面角的大小为 

（I）证明平面；

（II）若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论，并求角的余弦值 

一点通：充分发挥空间想像能力，重点抓住不变的位置和数量关系，借助模型图得出结论，并给出证明。

答案：（I）EF分别为正方形ABCD的边AB、CD的中点，

EB//FD，且EB＝FD，四边形EBFD为平行四边形  BF//ED。

，平面 

（II）如下图，点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，过点A作AG垂直于平面BCDE，垂足为G，连结GC，GD 

ACD为正三角形，AC＝AD。

CG＝GD。

G在CD的垂直平分线上， 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，

过G作GH垂直ED于H，连结AH，则，所以为二面角A－DE－C的平面角  即。

设原正方体的边长为2a，连结AF，在折后图的AEF中，AF＝，EF＝2AE＝2a，即AEF为直角三角形， 。

，在RtADE中， 。

，。  

点评：在平面图形翻折成空间图形这类折叠问题中，一般来说，位于同一平面内的几何元素的相对位置和数量关系不变；位于两个不同平面内的元素，其位置和数量关系要发生变化，翻折问题常用的添辅助线的方法是作棱的垂线。关键是要抓不变的量。

思维拓展类

例5  如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD＝2a，，点E是SD上的点，且

（Ⅰ）求证：对任意的，都有

（Ⅱ）设二面角C—AE—D的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值        

一点通：解法一：（几何法）（Ⅰ）因为SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂线定理只要证AC⊥BD即可。

（Ⅱ）先找出θ和，因为由SD⊥平面ABCD知，∠DBE＝，二面角C－AE－D的平面角可由三垂线定理法作出。

再用λ表示出tanθ和tan，代入tanθ•tan＝1，解方程即可。

解法二：（向量法）因为DA、DC、DS两两垂直，故可建立空间直角坐标系，由向量法求解。

（Ⅰ）写出向量和的坐标，只要数量积为0即可。

（Ⅱ）分别求出平面ACE的法向量、平面ABCD与平面ADE的一个法向量，由夹角公式求出cosθ和sin，再由tanθ•tan＝1求解即可。

答案：

解法一：

（Ⅰ）如图1，连接BE、BD，由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD。

    SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，AC⊥BE

（Ⅱ）如图1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE＝，

    SD⊥平面ABCD，CD平面ABCD，SD⊥CD。

    又底面ABCD是正方形， CD⊥AD，而SDAD＝D，CD⊥平面SAD。

连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DE⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，

故∠CDF是二面角C－AE－D的平面角，即∠CDF＝。

在Rt△BDE中，BD＝2a，DE＝

在Rt△ADE中，

从而

在中，。                  

由，得。

由，解得，即为所求

解法二：

（Ⅰ）以D为原点，的方向分别作x，y，z轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系，则

    D（0，0，0），A（，0，0），B（，，0），C（0，，0），E（0，0，），

    ，                 

    即。

（Ⅱ）由（I）得。

设平面ACE的法向量为n＝（x，y，z），则由得

。

    易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为

。

    。                  

    0<，，

    。

    由于，解得，即为所求。

点评：本题考查空间线线垂直的证明、空间垂直之间的相互转化、空间角的求解，考查逻辑推理能力和运算能力。

1. 两条异面直线所成的角

求法：①先通过其中一条直线或两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；②通过两条异面直线的方向向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成的角的范围是，向量所成的角的范围是，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。

2. 直线和平面所成的角

求法：①“一找二证三求”，三步都必须清楚地写出来。②向量法，先求直线的方向向量与平面的法向量所成的角，则所要求的角为或。

3. 平面与平面所成的角

求法：①“一找二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再证明找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后通过解三角形来求。②通过射影面积来求（在其中一个平面内找出一个三角形，然后找这个三角形在另外一个平面内的射影，那么这个三角形的射影面积与原三角形的面积之比即为cos，注意到我们要求的角为或π－）；③向量法，先求两个平面的法向量所成的角为，那么这两个平面所成的二面角的平面角为或π－。

用向量来求两条异面直线所成的角时，若求出cosα＝x（x<0），则这两条异面直线所成的角的余弦值为－x。

求二面角时，先去判断这个二面角的平面角是钝角还是锐角，然后再根据我们所作出的判断去取舍。

（答题时间：45分钟）

一、选择题

1. P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三点的距离分别是，，，则P到A点的距离是              （  ）

A. 1    Ｂ. 2   Ｃ.  Ｄ. 4

2. 命题：①空间直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c  

②非零向量，若∥，∥则∥ 

③平面α、β、γ，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ 

④空间直线a、b、c，若有a⊥b，b⊥c，则a∥c

⑤直线a、c与平面β，若a⊥β，c⊥β，则a∥c   其中所有真命题的序号是（   ）

    A. ①②③   B. ①③⑤    C. ①②⑤   D. ②③⑤

3. 一正四棱锥的高为2，侧棱与底面所成的角为45°，则这一正四棱锥的斜高等于（    ）

 A. 2   B. 2     C. 4    D. 2

4. 以正方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机地取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为 （    ）

A.       B.     C.     D.

5. 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜，记三种盖法的屋顶面积分别为P1、P2、P3。若屋顶斜面与水平面所成的角都是，则（    ）

A. P3＞P2＞P1     B. P3＞P2＝P1          C. P3＝P2＞P1        D. P3＝P2＝P1

6. 在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 （    ）

A. 30°     B. 45°    C. 60°     D. 90°

二、填空题：

1. 在三棱锥P—ABC中，底面是边长为2 cm的正三角形，PA＝PB＝3 cm，转动点P时，三棱锥的最大体积为      。

2. 将边长为3的正四面体以各顶点为顶点各截去（使截面平行于底面）边长为1的小正四面体，所得几何体的表面积为____________。

3. 如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点。现将沿折起，使平面平面。在平面内过点作，为垂足。设，则的取值范围是             。

4. 若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是          。

三、解答题：

1. 已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC＝AD ＝CD＝DE＝2a，AB＝a，F为CD的中点。

    （Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；

    （Ⅱ）求异面直线AC，BE所成角的余弦值；

    （Ⅲ）求面ACD和面BCE所成二面角的大小。

2. 如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，，的中点，，。

    （I）设是的中点，证明：FG∥平面；

    （II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离。

一、选择题

1. A

设AB＝a，BC＝b，PA＝h，则a2＋h2＝5， b2＋h2＝13， a2＋b2＋h2＝17，∴h＝1。

2. C

由传递性知①②正确；由线面垂直性质知⑤正确；由空间直角坐标系中三坐标平面关系否定③；三坐标轴关系否定④。

3. B

由已知得底面对角线的一半为2，所以底面边长的一半等于2，由勾股定理得斜高为。

4. A

此题可以分解成五个小问题：

（1）由正方体的八个顶点可以组成个三角形；

（2）正方体八个顶点中四点共面有12个平面；

（3）在上述12个平面中每个四边形中共面的三角形有个；

（4）从56个三角形中任取两个三角形共面的概率；

（5）从56个三角形中任取两个三角形不共面的概率，利用对立事件的概率公式，得故选A。

5. D

6. C

取BC的中点E，则面，，因此与平面所成角即为，设，则，，即有。

二、填空题：

1. cm3。

点P到面ABC的距离最大时体积最大，此时面PAB⊥面ABC，

高PD＝2cm。V＝

2.

原四个顶点截去后，剩下的截面为边长为1的正三角形，而原四面体的四个侧面变为边长为1的正六边形，其表面积为

3.

4. 18 

该几何体由两个长方体组成，下面的长方体的体积为cm3，上面的长方体的体积为cm3，因此其几何体的体积为18 cm3。

三、解答题：

1. （Ⅰ）证明：∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD

∴DE⊥AF。

又∵AC＝AD＝C，F为CD中点

∴AF⊥CD，

∴AF⊥面CDE

∴AF⊥平面CDE 

    解：（Ⅱ）∵

取DE中点M，连结AM、CM，则四边形AMEB为平行四边形，

AM//BE，则∠CAM为AC与BE所成的角。在△ACM中，AC＝2a，

由余弦定理得：

∴异面直线AC、BE所成的角的余弦值为。

    （Ⅲ）延长DA、EB交于点G，连结CG。

    因为AB//DE，AB＝DE，所以A为GD中点。又因为F为CD中点，所以CG//AF。

因为AF⊥平面CDE，所以CG⊥平面CDE。

故∠DCE为面ACD和面BCE所成二面角的平面角，易求∠DCE＝45°

2. 证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，。 

则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，，得，又直线不在平面内，因此有平面

（II）设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为。