2020届二轮复习概率与统计综合问题学案（全国通用）

2020届二轮复习 概率与统计综合问题 学案（全国通用）
离散型随机变量的期望和方差
1. 随机变量的分布列
设离散型随机变量ξ的可能取值为
ξ取每一个值的概率，则下表
ξ


…

…
P


…

…
称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列。
离散型随机变量的分布列具有下述性质
（Ⅰ）
（Ⅱ）
2. 期望
若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ


…

…
P


…

…
则称为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望，即分布列中随机变量ξ的一切可能值与对应的概率的乘积的和叫做随机变量ξ的数学期望；反映了离散型随机变量取值的平均水平，是反映随机变量ξ集中趋势的指标（相当于质点分布的重心）；为常量。
期望的一个性质：若，则
3. 方差
当随机变量ξ的分布列为时，

叫做随机变量ξ的均方差，简称方差；的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作，即＝。
与都反映了随机变量ξ关于期望的稳定与波动、集中与离散的程度。越小，稳定性越高，波动性越小；标准差 则反映随机变量ξ的取值与期望值的偏差大小。越小，则ξ与其期望值的偏差越小。
方差的性质：①；② 。
4. 特殊的分布列

0
1



（1）两点分布：
若随机变量X的分布列: 则称X的分布列为两点分布列.
（2）超几何分布：
一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则


0
1







为超几何分布列。
超几何分布的期望：若随机变量ξ服从超几何分布，即且则
（3）二项分布
如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是 ，其中k＝0，1，2，…，n，q＝1－p。
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ
0
1
…
k
…
n
P


…

…

我们称这样的随机变量ξ服从二项分布：记作ξ~B（n，p），
其中n，p为参数，并记
二项分布的期望：若ξ~B（n，p），则
二项分布的方差：若ξ~B（n，p），则
（4）几何分布
设在一次试验中某事件发生的概率为p，又设在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数为ξ，则“ξ＝k”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生，，其中q＝1－p，k＝1，2，3，…。
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ
1
2
3
…
k
…
P
p
qp

…

…
我们称此时的ξ服从几何分布，并记
几何分布的期望：若随机变量ξ服从几何分布，且，则
几何分布的方差：若随机变量ξ服从几何分布，且，则


能力提升类
例1 把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，向量，
①若向量，求当时的概率；
②若向量，又，且时，求向量的坐标。
一点通：①本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是点数对（a，b）共有6×6对，满足条件的事件是得a－2b＝0，即a＝2b，列举出所有满足条件的事件，根据等可能事件的概率得到结果。
②根据所给的条件，列出向量平行和向量的模长的关系式，得到两个关于a，b的方程，根据方程组解出a，b的值，得到要求的概率。
解：①由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是点数对（a，b）共有6×6＝36对，满足条件的事件是得a－2b＝0，即a＝2b，
数对（a，b）只有三对：（1，2）、（2，4）、（3，6），
向量＝（－1，2）、（－2，4）、（－3，6）只有3个，
此时的概率；
②
，
又，
b＝2a，得a2＝4
a＝2，b＝4，
向量
点评：本题考查等可能事件的概率，考查向量的模长和向量平行的充要条件，是一道综合题，题目涉及向量的运算，使得运算过程中数字比较杂，不要在数字上出错。

例2 A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏：当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止。设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数。
（1）求ξ的取值范围；
（2）求ξ的数学期望Eξ
一点通：（1）设出硬币正面出现的次数和出现反面的次数，根据题意列出不等式组，讨论m，n取值不同时，得到的对应的ξ的值，结果ξ的可能取值是5，7，9
（2）ξ表示游戏终止时掷硬币的次数，由第一问知ξ的所有可能取值为：5，7，9。根据独立重复试验的概率公式得到变量对应的概率，算出ξ的数学期望。
解：（1）解法一：设硬币正面朝上的次数为m，反面朝上的次数为n，
①掷硬币的次数少于9次，某人已赢得所有卡片，游戏终止
则由题意得
∴当m＝5，n＝0或m＝0，n＝5时ξ＝5，
当m＝6，n＝1或m＝1，n＝6时ξ＝7，
②掷硬币的次数达9次，游戏终止，ξ＝9
∴ξ的可能取值为5，7，9，
解法二：由题意有
又两位同学都持有奇数张（5张）卡片，
∴ξ不能为偶数
∴ξ＝5，7，9
（2）注意到这里“ξ＝k”包括的三种情形：
，
，

∴
点评：本题考查离散型随机变量的期望，独立重复试验的概率公式，分类讨论思想，利用概率知识解决实际问题的能力。这种题是近几年高考题中经常出现的题型。

综合运用类
例3 某科技公司遇到一个技术难题，紧急成立甲、乙两个攻关小组，按要求各自单独进行为期一个月的技术攻关，同时决定对攻关期满就攻克技术难题的小组给予奖励。已知此技术难题在攻关期满时被甲小组攻克的概率为，被乙小组攻克的概率为。
（1）设为攻关期满时获奖的攻关小组数，求的分布列及；
（2）设为攻关期满时获奖的攻关小组数与没有获奖的攻关小组数之差的平方，记“函数在定义域内单调递减”为事件C，求事件C的概率。
一点通：（1）ξ为攻关期满时获奖的攻关小组数，则ξ的所有可能取值为0，1，2。根据变量结合的事件和相互独立事件同时发生的概率，写出变量的概率，写出分布列。
（2）根据获奖攻关小组数的可能取值为0，1，2，得到相对应没有获奖的攻关小组的取值为2，1，0，得到η的可能取值为0，4。写出函数式，根据函数的单调性得到结果。
解：（1）记“甲攻关小组获奖”为事件A，则，记“乙攻关小组获奖”为事件B，则。
由题意，ξ的所有可能取值为0，1，2。
，


∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P



∴ξ
（2）∵获奖攻关小组数的可能取值为0，1，2，相对应没有获奖的攻关小组的取值为2，1，0。
∴η的可能取值为0，4。
当η＝0时，在定义域内是增函数。
当η＝4时，在定义域内是减函数。
∴。
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，相互独立事件同时发生的概率，函数的单调性，考指数函数的单调性，是一道综合题。

例4 某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品。
（1）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；

（2）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（1）的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；

（3）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示。该工厂有工人40名，可用资金60万元。设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（2）的条件下，x、y为何值时，z＝xEξ＋yEη最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）

一点通：（1）根据两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，故生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙就是求甲、乙两种产品的两道工序的加工结果都为A级的概率。（2）我们要根据题目已知，分别求出随机变量ξ、η的取值，并分析每种取值的概率，即可得到随机变量ξ、η的分布列，进而求出各自的数学期望。（3）由（2）的结论，我们不难得到x，y满足的不等关系，即约束条件和目标函数，用线性规划的方法解决问题。
解：（1）由已知得 P甲＝0.8×0.85＝0.68，P乙＝0.75×0.8＝0.60
（2）随机变量ξ的分布列为：
ξ
5
2.5
P
0.68
0.32
随机变量η的分布列为：
η
2.5
1.5
P
0.6
0.4
∴，

（3）由题设得

目标函数为
即
作出可行域（如图）

作直线 ，
将 向右上方平移至l的位置，
即直线经过可行域上的点M时，
z＝4.2x＋2.1y取最大值，
解方程组 得M（4，4）
∴当x＝y＝4时，z＝xEξ＋yEη取得最大值25.2
点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数。然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解。

思维拓展类
例5 某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班。若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图（例如：ACD算两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为）

（1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；
（2）若记中遇到堵车的次数为随机变量，求。
一点通：（1）因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1可以算出，路线A→C→F→B中遇到堵车的概率，路线A→E→F→B中遇到堵车的概率，再将上述路线的堵车概率进行比较可得结果。
（2）由题意知路线A→C→F→B中遇到的堵车次数X可取值为0，1，2，3。结合变量对应的事件，写出变量的分布列和期望。
解：（1）因为各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线中遇到堵车的概率为

；
同理：路线中遇到堵车的概率为
路线中遇到堵车的概率为
显然要使得由A到B的路线途中发生堵车的事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择。因此选择路线。
（2）路线中遇到堵车的次数可取值为0、1、2、3






点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望问题，相互独立事件同时发生的概率。求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题。

例6 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试。根据一轮测试中两次排序的偏离程度的高低为其评分。
现设，分别以表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述。
（1）写出的可能取值集合；
（2）假设等可能地为1，2，3，4的各种排列，求的分布列；
（3）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，
①试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；
②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由。
一点通：（1）X的可能取值集合为{0、2、4、6、8}，在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个，a2，a4中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数，得到|1－a1|＋|3－a3|与|2－a2|＋|4－a4|的奇偶性相同，可得结论。
（2）可列表或用树状图列出1、2、3、4的一共24种排列，计算每种排列下X的值，算出概率，写出分布列。
（3）算出三轮测试都有X≤2的概率，记做P，算出概率的值和已知量进行比较，得到结论。
解：（1）∵在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个，
∴a2，a4中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数，
∴|1－a1|＋|3－a3|与|2－a2|＋|4－a4|的奇偶性相同，
∴X＝（|1－a1|＋|3－a3|）＋（|2－a2|＋|4－a4|）必为偶数，
X的值非负，且易知其值不大于8，
∴X的可能取值集合为{0、2、4、6、8}
（2）可列表或用树状图列出1、2、3、4的一共24种排列，
X
0 2 4 6 8
P

计算每种排列下X的值，
在等可能的假定下，
得到P（X＝0）＝
P（X＝2）＝
P（X＝4）＝
P（X＝6）＝
P（X＝8）＝
（3）①首先P（X≤2）＝P（X＝0）＋P（X＝2）＝
将三轮测试都有X≤2的概率记做P，由上述结果和独立性假设得
P＝
②由于P＝，是一个很小的概率，
这表明，如果仅凭随机猜测，则得到三轮测试都有X≤2的结果的可能性很小，
∴我们认为该品酒师确实有良好的酒味鉴别功能，而不是靠随机猜测。
点评：本题主要考查分布列和期望的简单应用，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，应注意解题格式。


应用概率与统计知识解决的题型主要分两大类：一类是应用随机变量的概念，特别是离散型随机变量分布列及期望与方差的基础知识，讨论随机变量的取值范围，取相应值的概率及期望、方差的求解计算；另一类主要是如何抽取样本及如何用样本去估计总体。


袋中装有2个红球和4个黑球，从袋中取出3个球，设取出的黑球个数为，求的分布列。
错解：服从超几何分布


（答题时间：45分钟）
一、选择题：
1. 在抽查某产品尺寸的过程中，将其中的尺寸分成若干组，[a，b]是其中一组，抽查出的个体数在该组上的频率为，该组上的直方图的高为，则|a－b|等于（ ）
A. hm B. C. D. 与m，n无关
2. 把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，向量＝（a，b），＝（1，－2），则向量与向量垂直的概率是（ ）
A. B. C. D.
3. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9。已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的期望为2，则＋的最小值为（ ）
A. B. C. D.

二、填空题：
1. 已知数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为a，则数据3x1＋2，3x2＋2，3x3＋2，…，3xn＋2的平均数是_____。
2. 在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等差数列{an}，已知，且样本容量为400，则小长方形面积最大的一组的频数为________。
3. 某社区对居民进行上海世博会知晓情况的分层抽样调查。已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、1600人、1400人。若在老年人中的抽样人数是70，则在中年人中的抽样人数应该是 。
4. 某次知识竞赛的规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 。

三、解答题：
1. 投到某杂志社的稿件，先由两位初审专家进行评审。若能通过两位初审专家的评审，
则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评
审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录
用。设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3，
各专家独立评审。
（I）求投到该杂志社的1篇稿件被录用的概率；
（II）记表示投到该杂志社的4篇稿件中被录用的篇数，求的分布列及期望。
2. 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。
（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；
（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。





一、选择题
1. C
解析：频率分布的直方图中，＝高度，∴|a－b|＝。
2. B
解析：掷骰子是独立事件，∵·＝a－2b＝0，所以a＝2b，a＝2，4，6，b＝1，2，3，所求概率为。
3. D
解析：由题意可得：，解这个方程组需要用一些技巧，因为不需直接求出x、y，只需求出｜x－y｜，设x＝10＋t，y＝10－t，｜x－y｜＝2|t|＝4。
4. D
解析：由题意得3a＋2b＝2，其中0＜a＜，0＜b＜1，所以＋＝（＋）＝3＋＋＋≥＋2＝（当且仅当a＝2b＝时取等号）。

二、填空题
1. 3a＋2
2. 160
解析：直方图中，所有矩形面积之和为1，等差数列的公差为a1，等差数列各项之和为10a1＝1，所以a1＝0.1，最大的矩形为0.4，频数为400×0.4＝160
3. 80
解析：由题意可知抽取的比例为，故中年人中应抽取的人数为。
4. 0.128
解析：恰好回答四道题，且连续答对两道停止答题，则尽可能是第一道答对，第二道答错，三、四道答对或者是前两道答错，后两道答对的情况，所以有：
，因此所求概率为0.128

三、解答题
1. 解：（Ⅰ）记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；
B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；
C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；
D表示事件：稿件被录用。
则 D＝A＋B·C，


＝
＝
＝0.25＋0.5×0.3
＝0.40
（Ⅱ），其分布列为：





期望
2. 解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，－3，且
P（X＝10）＝0.8×0.9＝0.72， P（X＝5）＝0.2×0.9＝0.18，
P（X＝2）＝0.8×0.1＝0.08， P（X＝－3）＝0.2×0.1＝0.02。
由此得X的分布列为：
X
10
5
2
－3
P
0.72
0.18
0.08
0.02
（2）设生产的4件甲产品中一等品有件，则二等品有件。
由题设知，解得，
又，得或。
所求概率为
答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。