2020届二轮复习三角函数与向量综合问题学案（全国通用）
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（一）三角函数
1. 弧长公式：。扇形面积公式：
2. 三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y），P与原点的距离为r，则；；。
3. 三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）
4. 三角函数线
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT。
5. 同角三角函数
6. 三角公式
（1）诱导公式
公式一 公式二
公式三 公式四 公式五
（2）角与角之间的互换
公式一 公式二
7. 正弦、余弦、正切图象的性质：
| |||
定义域 | R | R | |
值域 | R | ||
周期性 | |||
奇偶性 | 奇函数 | 偶函数 | 奇函数 |
单调性 | 上为增函数； 上为减函数（） | 上为增函数 上为减函数（） | 上为增函数（） |
8. 正、余弦定理
正弦定理：，其中是三角形外接圆半径。
余弦定理：
由此可得：，，。
三角形面积公式：。
（二）平面向量
重要定理、公式
1. 平面向量的基本定理
e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内的任一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2。
2. 两个向量平行的充要条件
a∥ba＝λb（b≠0）x1y2－x2y1＝0。
3. 两个向量垂直的充要条件
a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0。
能力提升类
例1 已知，为的最小正周期，，求的值。
一点通：根据余弦函数的周期性求得函数的最小正周期，即的值，进而根据a•b=m，求得，进而利用二倍角公式和诱导公式化简整理后，把的值代入即可。
答案：因为为的最小正周期，故。因为，
又，故。
由于，所以
。
点评：合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期得到与题设条件或待求结论相关的式子，找准时机代入求值或化简。
例2 已知向量＝（cosα,sinα），＝（cosβ,sinβ），|－|＝。
（Ⅰ）求cos（α－β）的值；（Ⅱ）若－＜β＜0＜α＜，且sinβ＝－，求sinα的值。
一点通：利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第（Ⅰ）小题；而第（Ⅱ）小题则可变角α＝（α－β）＋β，然后求sin（α－β）与cosβ即可。
答案：（Ⅰ）∵|－|＝，∴2－2·＋2＝，
将向量＝（cosα,sinα），＝（cosβ,sinβ）代入上式得
12－2（cosαcosβ＋sinαsinβ）＋12＝，∴cos（α－β）＝。
（Ⅱ）∵－＜β＜0＜α＜，∴0＜α－β＜π，
由cos（α－β）＝，得sin（α－β）＝，
又sinβ＝－，∴cosβ＝，
∴sinα＝sin［（α－β）＋β］＝sin（α－β）cosβ＋cos（α－β）sinβ＝。
点评：本题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本关系。本题解答中要注意两点：（1）化|－|为向量运算|－|2＝（－）2；（2）注意解α－β的范围。整个解答过程体现了方程的思想及转化的思想。
综合运用类
例3 已知向量，，定义函数。
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）在中，角为锐角，且，，，求边的长。
一点通：（Ⅰ）先根据向量的减法运算求出，根据题中的新定义及平面向量的数量积的运算法则表示出，然后利用二倍角的正弦函数公式及两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，然后利用周期公式即可求出的最小正周期；
（Ⅱ）根据，由第一问求出的的解析式，根据的范围，利用特殊角的三角函数值求出的度数，再根据的度数求出的度数，由已知的，及的值，利用正弦定理即可求出的值。
答案：（Ⅰ）
∴；
（Ⅱ）由得，
∴且，
∴，解得，
又∵，∴，
在中，由正弦定理得：，
∴。
点评：此题综合考查了三角函数的恒等变换，正弦定理及平面向量的数量积运算。函数周期的求法是把函数化为一个角的三角函数，然后利用周期公式求出。熟练掌握三角函数公式及平面向量的运算法则是解本题的关键。
思维拓展类
例4 如图，在中，，是边上一点，，则
一点通：利用平面向量的基本定理求解。
答案：
，
点评：本题利用解三角形的方法计算复杂，不易求解，若利用平面向量基本定理的重要结论，则可使问题简化，先选取作为基底，其他向量都可以用进行线性表示。所以复习中应强化用平面向量解决平面几何问题的意识。
例5 设,满足,求函数在上的最大值和最小值。
一点通：利用二倍角公式化简函数，然后由求出a的值，进一步化简为，再根据的范围求出的范围，利用单调性求出函数的最大值和最小值。
答案：
由
因此
当为增函数，
当为减函数，
所以在上的最大值为。
又因为
故上的最小值为
点评：本题考查三角函数的化简，二倍角公式的应用，三角函数的求值，函数的单调性、最值，考查计算能力。
例6 已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间。
一点通：（Ⅰ）先用两角和公式对函数的表达式化简得，利用偶函数的性质即求得，进而求出的表达式，把代入即可。
（Ⅱ）根据三角函数图象的变化可得函数的解析式，再根据余弦函数的单调性求得函数的单调区间。
答案：（Ⅰ）
∵为偶函数，
∴对恒成立，
∴。
即，
整理得。
∵，且，所以。
又∵，故=。
∴。
由题意得，所以。
故。
∴。
（Ⅱ）将的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象。
∴。
当，
即时，单调递减，
因此的单调递减区间为。
点评：本题主要考查了三角函数的恒等变换和三角函数图象的应用。
例7 已知向量=（2，2），向量与向量的夹角为，且·=－2，
（1）求向量；
（2）若，其中A、C是△ABC的内角，若ABC的三内角A、B、C依次成等差数列，试求|+|的取值范围。
答案：（1）设=（x,y），则
∴解得
（2）。
∴
∴
=1+
∴ ∴
点评：本题是向量与解三角形的综合问题，注意向量的坐标用于表达三角形的内角。
1. 辅助角公式中辅助角的确定：
（其中角所在的象限由a, b的符号确定，角的值由确定）在求最值、化简时起着重要作用。
如：若方程有实数解，则的取值范围是___________。
（[－2,2]）
2. 向量中一些常用的结论：
在中，①若，则其重心的坐标为
。
②为的重心，特别地为的重心；
③为的垂心；
④向量所在直线过的内心（是的角平分线所在直线）。
判断命题“的夹角为锐角的充要条件是”的真假。
答：假命题
（答题时间：45分钟）
一、选择题
1. 设＝（,sin），＝（cos,），且∥，则锐角为 （ ）
A. 30 B. 45 C. 60 D. 75
2. 设0≤θ≤2π时，已知两个向量＝（cosθ，sinθ），＝（2＋sinθ，2－cosθ），则向量长度的最大值是 （ ）
A. B. C. 3 D. 2
3. 若向量＝（cos,sin），＝（cos,sin），则与一定满足 （ ）
A. 与的夹角等于－ B. ⊥
C. ∥ D. （＋）⊥（－）
4. 将函数y＝2sin2x－的图象按向量（，）平移后得到的图象对应的解析式是（ ）
A. 2cos2x B. －2cos2x C. 2sin2x D. －2sin2x
二、填空题：
1. 已知在△OAB（O为原点）中，＝（2cos，2sin），＝（5cos，5sin），若·＝－5，则S△AOB的值为_____________。
2. 已知向量＝（1，1），向量与向量的夹角为，且·＝－1。则向量＝_______。
三、解答题：
1. 如图，函数（其中）的图象与轴交于点（0，1）。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设是图象上的最高点，M、N是图象与轴的交点，求与的夹角。
2. 已知向量向量与向量夹角为，且。若向量与向量=（1，0）的夹角为，求|2+|的值。
3. 已知向量m=（sinA,cosA）,n=，m·n＝1，且A为锐角。
（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数的值域。
一、选择题
1. B 由平行的充要条件得×－sincos＝0，sin2＝1，2＝90，＝45。
2. C ||＝＝≤3。
3. D ＋＝（cos＋cos,sin＋sin），－＝（cos＋cos,sin－sin），∴（＋）·（－）＝cos2－cos2＋sin2－sin2＝0，∴（＋）⊥（－）。
4. D y＝2sin2x－→y＝2sin2（x＋）－＋，即y＝－2sin2x。
二、填空题：
1. ·＝－510coscos＋10sinsin＝－510cos（－）＝－5cos（－）＝－，
∴sin∠AOB＝，又||＝2，||＝5，∴S△AOB＝×2×5×＝。
2. （－1，0）或（0，－1）
设＝（x，y），由·＝－1，有x＋y＝－1 ①，由与的夹角为，有·＝||·||cos，∴||＝1，则x2＋y2＝1 ②，由①②解得或
∴即＝（－1，0）或＝（0，－1）。
三、解答题：
1. 解：（I）因为函数图象过点，所以即
因为，所以。
（II）由函数及其图象，得
所以从而
，故。
2. 解：由垂直知
∴
3. 解：（Ⅰ）由题意得，
由A为锐角得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
所以。
因为x∈R，所以，因此，当时，f（x）有最大值。
当sinx=－1时，f（x）有最小值－3，所以所求函数f（x）的值域是。
