2020届二轮复习平面向量中范围、最值等综合问题学案（全国通用）
展开专题03 平面向量中范围、最值等综合问题
一．方法综述
平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查生的思维品质和习潜能，能综合考察生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．
二．解题策略
类型一 与向量的模有关的最值问题
【例1】【2018河北定州中模拟】设向量满足， ， ，则的最大值等于（ ）
A. 4 B. 2 C. D. 1
【答案】A
【指点迷津】由已知条件得四点共圆是解题关键，从而转化为求外接圆直径处理.
【举一反三】
1、【2018辽宁沈阳东北育才模拟】在中， ，点是边上的动点，且,,，则当取得最大值时， 的值为（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】D
2、【2018湖南长沙市长郡中模拟】已知向量满足： ，且，若，其中， 且，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】，且，当时， ， ，又且，当且仅当时取“=”， 的最小值是，故答案为.*
3、【2018浙东北联盟联考】已知向量，满足， ，若，则的最大值为_________，最小值为__________．
【答案】 4
【解析】设， ，即， ，由二次函数性质可得， ， ，最大值为，最小值为，故答案为， .*
类型二 与向量夹角有关的范围问题
【例2】已知向量与的夹角为，时取得最小值，当时，夹角的取值范围为________________.
【分析】将表示为变量的二次函数，转化为求二次函数的最小值问题，当时，取最小值，由已知条件，得关于夹角的不等式，解不等式得解．
【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解．
【举一反三】
1、非零向量满足=，，则的夹角的最小值是 ．
【答案】
【解析】由题意得，，整理得，即
，，夹角的最小值为*
2、已知向量=（－2，－1），=（λ，1），则与的夹角θ为钝角时，λ的取值范围为（ ）
A. B. C. 且λ≠2 D. 无法确定
【答案】C
【解析】∵与的夹角θ为钝角，∴=－2λ－1＜0，解得λ＞，
又当λ=2时，满足向量∥，且反向，此时向量的夹角为180°，
不是钝角，故λ的取值范围为λ＞，且λ≠2.故选C.
类型三 与向量投影有关的最值问题
【例3】设， ， ，且，则在上的投影的取值范围( )
A. B. C. D.
【答案】D
当时，
当
故当时， 取得最小值为，即
当时， ，即
综上所述故答案选
【指点迷津】由已知求得及，代入投影公式，对分类后利用二次函数求最值，在分类讨论时需要讨论完整，不要漏掉哪种情况，讨论完可以检查下是否把整个实数全部取完。*
【举一反三】
1、已知的外接圆的圆心为，半径为2，且，则向量在向量方向上的投影为( )
A. 3 B. C. -3 D.
【答案】B
本题选择B选项.
2、【2018福建省闽侯第六中模拟】设， 且， 则在上的投影的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
法2：不妨设为坐标原点， ， ，则，也就是.而在上的投影为.令，如果，则，所以也就是，所以；当时， ；当时， ，所以也就是，所以.*
综上， 的取值范围为.
类型四 与平面向量数量积有关的最值问题
【例4】【2018广州华南师范大附中模拟】如图，半径为1的扇形中， ， 是弧上的一点，且满足， 分别是线段上的动点，则的最大值为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【指点迷津】平面向量数量积的求法有：①定义法；②坐标法；③转化法；其中坐标法是同们最容易忽视的解题方法，要倍加注视，若有垂直或者容易出现垂直的背景可建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.
【举一反三】
1、【2018福建莆田市第二十四中模拟】已知正方形的边长为，点是边上的动点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2、【2018浙江镇海中模拟】在平面内， ，动点， 满足， ，则的最大值是
A. 3 B. 4 C. 8 D. 16
【答案】D
【解析】由，*
得.
所以是等边三角形，设的边长为，则，得.
以BC为x轴,以BC的中垂线为y轴建立坐标系,
则，
由，得点P满足： .
则为PC的中点，*
设，则，满足： ，
整理得： ，即点M在以为圆心，1为半径的圆上，
则的最大值是圆心到B的距离加半径： .
故选B.
3、【2008云南大理市云南师范大附属中模拟】已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（ ）
A. -1 B. -2 C. -3 D. -4
【答案】C
类型五 平面向量系数的取值范围问题【例5】【2018辽宁沈阳市四校协作体联考】在矩形中， 动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=，
设点P的坐标为（cosθ+1， sinθ+2），
∵，
∴（cosθ+1， sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），
∴cosθ+1=λ， sinθ+2=2μ，*
∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，
∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，
∴1≤λ+μ≤3，
故λ+μ的最大值为3，
故选：A
【指点迷津】（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；*
（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题；
（3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
