2020届二轮复习导数与函数、不等式综合问题学案（全国通用）
展开1. 导数的定义：
2. 导数的几何意义：
（1）函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率；
（2）函数在点处的导数，就是物体的运动方程在时刻时的瞬时速度；
3. 要熟记求导公式、导数的运算法则、复合函数的导数等。尤其注意：和。
4. 求函数单调区间的步骤：
（1）确定f（x）的定义域
（2）求f（x）的导数
（3）令y′>0（y′<0），解出相应的x的范围。当y′>0时，f（x）在相应区间上是增函数；当y′<0时，f（x）在相应区间上是减函数
5. 求极值常按如下步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程＝0的根及导数不存在的点，这些根或点也称为可能极值点；
④通过列表法，检查在可能极值点的左右两侧的符号，确定极值点。
6. 设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，求f（x）在[a，b]上的最大（小）值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
7. 最值（或极值）点必在下列各种点之中：导数等于零的点、导数不存在的点、端点。
能力提升类
例1 已知函数其中
（Ⅰ）当时，求曲线处的切线的斜率；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值。
一点通：
（Ⅰ）把a＝0代入f（x）中化简得到f（x）的解析式，求出f '（x），因为曲线的切点为（1，f（1）），所以把x＝1代入f '（x）中求出切线的斜率，把x＝1代入f（x）中求出f（1）的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；
（Ⅱ）令f '（x）＝0求出x的值为x＝－2a和x＝a－2，分两种情况讨论：①当－2a＜a－2时和②当－2a＞a－2时，讨论f '（x）的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最值。
答案：（I）
（II）
以下分两种情况讨论。
（1）＞，则＜。当变化时，的变化情况如下表：
| ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
| ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：
| ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
| ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
点评：本题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。
综合运用类
例2 已知函数（），其中。
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围。
一点通：
（Ⅰ）将a的值代入后对函数f（x）进行求导，当导函数大于0时求原函数的单调递增区间，当导函数小于0时求原函数的单调递减区间。
（Ⅱ）根据函数f（x）仅在x＝0处有极值说明f '（x）＝0仅有x＝0一个根，从而得到答案。
（Ⅲ）根据函数f（x）的单调性求出最大值，然后令最大值小于等于1恒成立，从而求出b的取值范围。
答案：
（Ⅰ）。
当时，。
令，解得，，。
当变化时，，的变化情况如下表：
0 | 2 | ||||||
－ | 0 | ＋ | 0 | － | 0 | ＋ | |
↘ | 极小值 | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
所以在，内是增函数，在，内是减函数。
（Ⅱ），显然不是方程的根。
为使仅在处有极值，必须成立，即有。
解此不等式，得。这时，是唯一的极值。
因此满足条件的的取值范围是。
（Ⅲ）由条件，可知，从而恒成立。
当时，；当时，。
因此函数在上的最大值是与两者中的较大者。
为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，在上恒成立。
所以，因此满足条件的的取值范围是。
点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力。
例3 已知函数
（I）求在区间上的最大值
（II）是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。
一点通：
（I）本题考查的是定函数与动区间的问题，是一元二次函数中一动一定的问题，解题时要针对二次函数的对称轴与区间的关系进行讨论，即对称轴在区间上，或是在区间的左边或右边。
（II）遇到关于两个函数的图象的交点个数的问题时，一般是构造新函数，将题目转化为研究函数的零点问题，通过导数得到函数的最值，把函数的最值同0进行比较，得到结果。
答案：
（I）
当即时，在上单调递增，
当即时，
当时，在上单调递减，
综上，
（II）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
因为
所以，
当时，是增函数；
当时，是减函数；
当时，是增函数；
当或时，
于是，
当充分接近0时，当充分大时，
因此，要使的图象与轴的正半轴有三个不同的交点，必须且只须
即
所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为
点评：本题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。
思维拓展类
例4 设函数，，其中，a、b为常数，已知曲线与在点（2，0）处有相同的切线。
（I）求a、b的值，并写出切线的方程；
（II）若方程有三个互不相同的实根0、、，其中，且对任意的，恒成立，求实数m的取值范围。
一点通：
（I）利用曲线y＝f（x）与y＝g（x）在点（2，0）处有相同的切线l，可得f（2）＝g（2）＝0，f '（2）＝g '（2）＝1。即为关于a、b的方程，解方程即可。
（II）把方程f（x）＋g（x）＝mx有三个互不相同的实根转化为、是的两相异实根。求出实数m的取值范围以及、与实数m的关系，再把f（x）＋g（x）＜m（x－1）恒成立问题转化为求函数f（x）＋g（x）－mx在x∈[、]上的最大值问题，综合在一起即可求出实数m的取值范围。
答案：
（I），由于曲线与在点（2，0）处有相同的切线l，故有，由此解得：；
切线的方程：
（II）由（I）得，依题意得：方程有三个互不相等的根，故是方程的两个相异实根，所以；
又对任意的，恒成立，特别地，取时，
成立，即，由韦达定理知：
，故，对任意的，有
，则：
；又
所以函数在上的最大值为0，于是当时对任意的，恒成立；综上：的取值范围是。
点评：本题主要考查函数，导数，不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想。
利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式。
利用导数解决不等式恒成立问题
不等式恒成立问题，一般都会涉及求参数范围，往往把变量分离后可以转化为m>f（x） （或m<f（x））恒成立，于是m大于f（x）的最大值（或m小于f（x）的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为求函数最值问题。因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法。
此外，无论是证明不等式，还是解不等式，只要在解题过程中需要用到函数的单调性或最值，我们都可以用导数作工具来解决。这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现。
已知曲线上的点P（0，0），求过点P的切线方程。
错解：因为，所以函数在x＝0处不可导，因此过P点的切线不存在。
正解：由切线的定义，时割线的极限位置为y轴，因此过P点的切线为x＝0
（答题时间：45分钟）
一、选择题
1. 设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝＋2x＋b（b为常数），则f（－1）＝
A. 3 B. 1 C. －1 D. －3
2. 由曲线y＝，y＝围成的封闭图形的面积为[
A. B. C. D.
3. 函数的零点所在的一个区间是
A. （－2，－1） B. （－1，0） C. （0，1） D. （1，2）
4. 曲线在点（－1，－1）处的切线方程为
A. y＝2x＋1 B. y＝2x－1 C. y＝－2x－3 D. y＝－2x－2
5. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记时刻五角星露出水面部分的图形面积为（），则导函数的图像大致为
A. B. C. D.
二、解答题：
1. 设a≥0，f （x）＝x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）。
（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1。
2. 已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在＝－1处取得最小值m－1（m）。设函数
（1）若曲线上的点P到点Q（0，2）的距离的最小值为，求m的值；
（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点。
3. 已知是函数的一个极值点。
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若直线与函数的图像有3个交点，求的取值范围。
一、选择题
1. D
因为为定义在R上的奇函数，所以有，解得，所以
当时，，即，故选D
2. A
由题意得：所求封闭图形的面积为，故选A。
3. B
因为，，所以选B
4. A
，所以，故切线方程为。
5. A
二、解答题：
1. （Ⅰ）解：根据求导法则有，
故，
于是，
列表如下：
2 | |||
0 | |||
↘ | 极小值 | ↗ |
故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值。
（Ⅱ）证明：由知，的极小值。
于是由上表知，对一切，恒有。
从而当时，恒有，故在内单调增加。
所以当时，，即。
故当时，恒有。
2. 解：（1）设，则；
又的图像与直线平行 ，
又在处取得极小值，，
，；
，设
则
，
（2）由，
得
当时，方程有一解，函数有一零点；
当时，方程有两解，若，，
函数有两个零点：；若，
，函数有两个零点：；
当时，方程有一解，，函数有一零点
3. 解：（Ⅰ）因为，
所以。因此。
当时，，
由此可知，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，当时，是函数的一个极值点。
于是，。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，，
。
当时，，
当时，，
所以的单调增区间是，的单调减区间是。
（Ⅲ）与的图象有个交点；等价于有个实数根；即有个实数根；此时，函数的图象与轴有个不同交点，
令，
则，
令，解得或，，随的变化情况列表如下：
0 | 0 | ||||
↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
为极大值，为极小值。
由表可得的示意图：
为使的图象与轴有3个不同交点，必须的极大值大于零，极小值小于零。即可化为 解得
∴。
