2020届二轮复习(文)不等式选讲作业 练习
展开专题限时集训(十六) 选修4－5 不等式选讲
(建议用时：40分钟)
1．(2019·咸阳三模)设函数f(x)＝|2x－4|＋1.
(1)求不等式f(x)≥x＋3的解集；
(2)关于x的不等式f(x)－2|x＋2|≥a在实数范围内有解，求实数a的取值范围．
[解] (1)f(x)≥x＋3，即|2x－4|＋1≥x＋3，
则2|x－2|≥x＋2，
当x≥2时，解得x≥6，
当x<2时，解得x≤，
所以原不等式的解集为∪[6，＋∞)．
(2)由不等式f(x)－2|x＋2|≥a在实数范围内有解可得：a≤2|x－2|－2|x＋2|＋1在实数范围内有解，
令g(x)＝2|x－2|－2|x＋2|＋1，则a≤g(x)min，
因为g(x)＝2|x－2|－2|x＋2|＋1≥2|(x－2)－(x＋2)|＋1＝9，
所以a≤g(x)min＝9，即a∈(－∞，9]．
2．(2019·郑州二模)设函数f(x)＝|ax＋1|＋|x－a|(a>0)，g(x)＝x2－x.
(1)当a＝1时，求不等式g(x)≥f(x)的解集；
(2)已知f(x)≥2恒成立，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝1时，g(x)≥f(x)⇔
或或
解得x≤－1或x≥3，
所以原不等式的解集为{x|x≤－1或x≥3}．
(2)f(x)＝
当0<a≤1时，f(x)min＝f(a)＝a2＋1≥2，a＝1；
当a>1时，f(x)min＝f＝a＋＞2，a>1，
综上，a的取值范围是[1，＋∞)．
3．(2019·潍坊二模)已知函数f(x)＝|ax－2|，不等式f(x)≤4的解集为{x|－2≤x≤6}．
(1)求实数a的值；
(2)设g(x)＝f(x)＋f(x＋3)，若存在x∈R，使g(x)－tx≤2成立，求实数t的取值范围．
[解] (1)由|ax－2|≤4得－4≤ax－2≤4，即－2≤ax≤6，
当a>0时，－≤x≤，所以解得a＝1；
当a<0时，≤x≤－，所以无解，
所以实数a的值为1.
(2)由已知g(x)＝f(x)＋f(x＋3)＝|x＋1|＋|x－2|＝
不等式g(x)－tx≤2，即g(x)≤tx＋2，
由题意知y＝g(x)的图象有一部分在直线y＝tx＋2的下方，作出对应图象：
由图可知，当t<0时，t≤kEM；当t>0时，t≥kFM，
又因为kEM＝－1，kFM＝，
所以t≤－1或t≥，
即t∈(－∞，－1]∪.
4．(2019·全国卷Ⅲ)设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.
(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；
(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，证明：a≤－3或a≥－1.
[解] (1)因为[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2
＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)·(z＋1)＋(z＋1)(x－1)]
≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]，
所以由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥，
当且仅当x＝，y＝－，z＝－时等号成立．
所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值为.
(2)证明：因为[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2
＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(z－a)(x－2)]
≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]，
所以由已知得(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥，
当且仅当x＝，y＝，z＝时等号成立．
所以(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2的最小值为.
由题设知≥，解得a≤－3或a≥－1.
题号 | 内容 | 押题依据 |
1 | 绝对值不等式的解法、不等式的证明 | 本题考查考生绝对值不等式的解法及用分析法证明不等式问题，考查了逻辑推理、数学运算等核心素养 |
2 | 绝对值不等式的解法与绝对值有关的函数最值问题 | 本题考查了绝对值不等式的解法及函数最值问题，考查分类讨论思想、转化思想及数学运算等核心素养 |
【押题1】 已知函数f(x)＝|x＋|－|2x＋|＋，M为不等式f(x)<0的解集．
(1)求M；
(2)证明：当m，n∈M时，|mn＋2|>|m＋n|.
[解] (1)∵f(x)<0，∴|x＋|－|2x＋|＋<0.
当x<－时，不等式可化为－x－＋(2x＋)＋<0，解得x<－，∴x<－；
当－≤x≤－时，不等式可化为x＋＋(2x＋)＋<0，解得x<－，无解；
当x>－时，不等式可化为x＋－(2x＋)＋<0，解得x>，∴x>.
综上所述，M＝{x|x<－或x>}．
(2)要证|mn＋2|>|m＋n|，即证|mn＋2|2>2|m＋n|2，
即证m2n2－2m2－2n2＋4>0，即证(m2－2)(n2－2)>0.
由(1)知，M＝{x|x<－或x>}，且m，n∈M，∴m2>2，n2>2，
∴(m2－2)(n2－2)>0成立，故|mn＋2|>|m＋n|得证．
【押题2】 设函数f(x)＝|ax＋1|.
(1)当a＝1时，解不等式f(x)＋2x>2；
(2)当a>1时，设g(x)＝f(x)＋|x＋1|，若g(x)的最小值为，求实数a的值．
[解] (1)当a＝1时，f(x)＋2x>2，即|x＋1|>2－2x，所以或解得x>，
故原不等式的解集为.
(2)当a>1时，－1<－，
g(x)＝f(x)＋|x＋1|＝
由于函数g(x)在上递减，在上递增，则g(x)min＝g＝1－，从而1－＝，得a＝2.
