2020届二轮复习不等式选讲教案（全国通用）

2020届二轮复习 不等式选讲 教案（全国通用）
一、含有绝对值不等式的解法
1.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
(1)若c>0，则|ax＋b|≤c等价于－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c等价于ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的值解出即可.
(2)若c<0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.
2.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解.
(1)零点分区间法的一般步骤
①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；
②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；
③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；
④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集.
(2)利用绝对值的几何意义
由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|0)或|x－a|－|x－b|>c(c>0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观.
3.|f(x)|>g(x)，|f(x)|0)型不等式的解法
(1)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x).
(2)|f(x)| 二、不等式的证明
1.证明不等式的常用结论
(1)绝对值的三角不等式
定理1：若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0，等号成立.
定理2：设a，b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.
推论1：||a|－|b||≤|a＋b|.
推论2：||a|－|b||≤|a－b|.
(2)三个正数的算术—几何平均不等式：如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c时等号成立.
(3)基本不等式(基本不等式的推广)：对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即≥，并且仅当a1＝a2＝…＝an时等号成立.
(4)一般形式的柯西不等式
设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)·(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，并且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立.
2.证明不等式的常用方法
(1)比较法
一般步骤：作差—变形—判断—结论.为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以判断其正负.
(2)综合法
利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法.即“由因导果”的方法. 学_=科网
(3)分析法
证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法.即“执果索因”的方法.
(4)反证法和放缩法
①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法.
②证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫作放缩法.

高频考点一　解绝对值不等式
例1．（2018年全国Ⅱ卷理数） [选修4－5：不等式选讲]
设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）,(2)
【解析】（1）当时，

可得的解集为．
（2）等价于．
而，且当时等号成立．故等价于．
由可得或，所以的取值范围是．
【变式探究】【2017课标1，理】已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.

（2）当时， .
所以的解集包含，等价于当时.
又在的学科&网最小值必为与之一，所以且，得.
所以的取值范围为.
【变式探究】已知函数.
（I）在答题卡第（24）题图中画出的图像；
（II）求不等式的解集．

【答案】（I）见解析（II）
【解析】⑴如图所示：

⑵
,当,,解得或,
当,,解得或
或
当,,解得或,或
综上,或或,,解集为
【变式探究】不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________．
解析　原不等式等价于
或
或
解得x≥2或x≤－3.
故原不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}．
答案　{x|x≤－3或x≥2}
高频考点二　不等式的证明
例2．【2017课标II，理23】已知。证明：
（1）；
（2）。
【答案】(1)证明略；(2)证明略。
【解析】（1）

（2）因为

所以，因此a+b≤2.
【变式探究】【2016高考新课标2理数】选修4—5：不等式选讲
已知函数，为不等式的解集．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明：当时，．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】（I）
当时，由得解得；
当时， ；
当时，由得解得.
所以的解集.
（II）由（I）知，当时，，
从而，
因此
【变式探究】设a、b、c、d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：
(1)若ab＞cd，则＋＞＋；
(2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．
证明　(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，
由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(＋)2＞(＋)2.
因此＋＞＋.[来源:]
(2)①若|a－b|＜|c－d|，
则(a－b)2＜(c－d)2，
即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.
因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.
由(1)得＋＞＋.
②若＋＞＋，则(＋)2＞(＋)2，即a＋b＋2＞c＋d＋2.
因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是
(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.
因此|a－b|＜|c－d|.
综上，＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．
【变式探究】已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}．
(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A；
(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.证明：若an
1. （2018年全国I卷理数）[选修4–5：不等式选讲]
已知.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时不等式成立，求的取值范围.
【答案】（1）．
（2）．
【解析】[来源:]
（1）当时，，即
故不等式的解集为．
（2）当时成立等价于当时成立．
若，则当时；
若，的解集为，所以，故．
综上，的取值范围为．
2. （2018年全国Ⅱ卷理数） [选修4－5：不等式选讲]
设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）,(2)
【解析】（1）当时，

可得的解集为．
（2）等价于．
而，且当时等号成立．故等价于．
由可得或，所以的取值范围是．
3. （2018年全国Ⅲ卷理数） [选修4—5：不等式选讲]
设函数．
（1）画出的图像；
（2）当，，求的最小值．

【答案】（1）见解析
（2）5
【解析】（1）的图像如图所示．

（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为5。
4. （2018年江苏卷）[选修4—5：不等式选讲]学-科网
若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求的最小值．
【答案】4
【解析】证明：由柯西不等式，得．
因为，所以，
当且仅当时，不等式取等号，此时，
所以的最小值为4．
1.【2017课标II，理23】已知。证明：
（1）；
（2）。
【答案】(1)证明略；(2)证明略。
【解析】（1）

（2）因为

所以，因此a+b≤2.
2.【2017课标1，理】已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）当时，不等式等价于.①
当时，①式化为，无解；
当时，①式化为，从而；
当时，①式化为，从而.
所以的解集为.
（2）当时， .
所以的解集包含，等价于当时.
又在的学科&网最小值必为与之一，所以且，得.
所以的取值范围为.
1.【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）,选修4—5：不等式选讲
已知函数.
（I）在答题卡第（24）题图中画出的图像；
（II）求不等式的解集．

【答案】（I）见解析（II）
【解析】⑴如图所示：

⑵
,当,,解得或,
当,,解得或
或
当,,解得或,或
综上,或或,,解集为
2.【2016高考新课标2理数】选修4—5：不等式选讲
已知函数，为不等式的解集．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明：当时，．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】（I）
当时，由得解得；
当时， ；
当时，由得解得.
所以的解集.
（II）由（I）知，当时，，
从而，
因此
3. 【2016高考新课标3理数】选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（I）当时，求不等式的解集；
（II）设函数．当时，，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
（Ⅰ）当时，.
解不等式得.
因此的解集为.
（Ⅱ）当时，


，
当时等号成立，所以当时，等价于
. ①
当时，①等价于，无解.
当时，①等价于，解得.
所以的取值范围是.
1．(2015·陕西，24)已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．
(1)求实数a，b的值；
(2)求＋的最大值．

2．(2015·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
解　(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－10，解得 当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为
.
(2)由题设可得，
f(x)＝
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，
△ABC的面积为(a＋1)2.
由题设得(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞)．
1.【2014高考安徽卷理第9题】若函数的最小值为3，则实数的值为（ ）
A.5或8 B.或5 C.或 D.或8
【答案】D
【解析】由题意，①当时，即，，则当时，，解得或（舍）；②当时，即，，则当时，，解得（舍）或；③当时，即，，此时，不满足题意，所以或，故选D.
2. 【2014陕西高考理第15题】设，且，则的最小值为
【答案】
【解析】由柯西不等式得：，所以，得
所以，故答案为。
3. 【2014高考广东卷理第9题】不等式的解集为 .
【答案】.
【解析】令，则，
（1）当时，由得，解得，此时有；
（2）当时，，此时不等式无解；
（3）当时，由得，解得，此时有；
综上所述，不等式的解集为.
4. 【2014高考湖南卷第13题】若关于的不等式的解集为，则________.
【答案】-3
【解析】因为等式的解集为,所以为方程的根,
即,故填.
5. 【2014江西高考理第11题】对任意,的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，当且仅当
时取等号，所以的最小值为，选C.
6. 【2014重庆高考理第16题】若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】令，其图象如下所示（图中的实线部分）

由图可知：
由题意得：，解这得:
所以答案应填：
7. 【2014高考福建理第21（3）题】已知定义在R上的函数的最小值为.
（I）求的值；
（II）若为正实数，且，求证：.
【答案】（I）;（II）参考解析
【解析】（I）因为,当且仅当时,等号成立,所以的最小值等于3,即.
（II）由（I）知,又因为是正数,所以
,即.
9. 【2014高考江苏第21题】已知，证明
【答案】证明见解析.
【解析】
∵，∴, ,
∴.

10. 【2014高考江苏第21B题】已知矩阵，向量，是实数，若，求的值.
【答案】
【解析】
由题意得，解得.∴.
11. 【2014高考辽宁理第24题】设函数，，记的解集为M，的解集为N.
（Ⅰ）求M；
(Ⅱ)当时，证明：.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】
（1）
当时，由得，故；
当时，由得，故；[来源:学_科_网]
所以的解集为.
（2）由得解得，因此，故.
当时，，于是

.
12. 【2014高考全国1第24题】若，且.
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）不存在．
【解析】（I）由，得，且当时取等号．故，且当时取等号．所以的最小值为．
（II）由（I）知，．由于，从而不存在，使得．
13. 【2014高考全国2第24题】设函数=
（Ⅰ）证明：2；
（Ⅱ）若，求的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.[来源:]
（2）因为，所以
，解得：.
（2013·新课标I理）（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)=x+3.
（Ⅰ）当a=-2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；
（Ⅱ）设a＞－1，且当x∈[－，)时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围.
【答案】

当时，令，，做出函数图像可知，当时，，故原不等式的解集为；
（2）依题意，原不等式化为，故对都成立，故，故，故的取值范围是.
【解析】（1）构造函数，作出函数图像，观察可知结论；（2）利用分离参数法进行求解.
（2013·陕西理）A. (不等式选做题) 已知a, b, m, n均为正数, 且a＋b＝1, mn＝2, 则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为 .
【答案】2
【解析】 由柯西不等式可得

（2）（不等式选做题）在实数范围内，不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】因此解集为.
（2013·福建理）(3).(本小题满分7分) 选修4-5：不等式选讲
设不等式的解集为A,且
（Ⅰ）求的值
（Ⅱ）求函数的最小值
【答案】（Ⅰ）因为，且，所以，且
解得，又因为，所以
（Ⅱ）因为
当且仅当，即时取得等号，所以的最小值为
【解析】 不等式选讲如果如此题只考查绝对值不等式就算比较容易的题目，注意绝对值的三角不等式即可，当然也可通过讨论去掉绝对值号，当然还要注意均值和柯西不等式的应用。
（2013·辽宁理）24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
（I）
（II）

【答案】（I）解法一：当a=2时，，利用几何意义可知表示数x到2与4的距离之和大于等于4，又2
和4之间的距离为2，即数x可以2和4为标准分别向左或者向右移1各单位。故不等式的解集为：
。

（II）令
由，又知
所以
【解析】第一问的解法一主要运用了绝对值的几何意义，这种方法比较直观简单，解法二主要运用绝对值的意义进行分类讨论解决；第二问主要是含有字母a,以a作为依据分为三段来解决，最后于所给的解集相等进而求得a的值。
（2013·新课标Ⅱ理）（24）（本小题满分10分）选修4——5；不等式选讲
设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：
（Ⅰ）ab+bc+ac；
（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）由，，得：
，由题设得，即
，所以
，即.
（Ⅱ）因为，，，
所以，即，
所以.学科+网