2020届二轮复习不等式选讲课时作业（全国通用） 练习

第2讲　不等式选讲

1．(2019·昆明市质量检测)已知函数f(x)＝|2x－1|.

(1)解不等式f(x)＋f(x＋1)≥4；

(2)当x≠0，x∈R时，证明：f(－x)＋f()≥4.

解：(1)不等式f(x)＋f(x＋1)≥4等价于|2x－1|＋|2x＋1|≥4，

等价于或或，

解得x≤－1或x≥1，

所以原不等式的解集是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．

(2)证明：当x≠0，x∈R时，f(－x)＋f()＝|－2x－1|＋|－1|，

因为|－2x－1|＋|－1|≥|2x＋|＝2|x|＋≥4，当且仅当

，即x＝±1时等号成立，所以f(－x)＋f()≥4.

2．(2019·武汉市调研测试)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.

(1)求不等式f(x)≥3的解集；

(2)若直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象所围成的多边形面积为，求实数a的值．

解：(1)由题意知f(x)＝，由f(x)≥3可知：

①当x≥1时，3x≥3，即x≥1；

②当－<x<1时，x＋2≥3，即x≥1，与－<x<1矛盾，舍去；

③当x≤－时，－3x≥3，即x≤－1.

综上可知不等式f(x)≥3的解集为{x|x≤－1或x≥1}．

(2)画出函数y＝f(x)的图象，如图所示，其中A(－，)，B(1，3)，可知直线AB的斜率kAB＝1，知直线y＝x＋a与直线AB平行，若要围成多边形，则a>2.

易得直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象交于C(，)，D(－，)两点，

则|CD|＝·|＋|＝a，

平行线AB与CD间的距离d＝＝，|AB|＝，

所以梯形ABCD的面积S＝·＝·(a－2)＝(a>2)，

即(a＋2)(a－2)＝12，所以a＝4，

故所求实数a的值为4.

3．(2019·南昌市第一次模拟测试)已知函数f(x)＝|x＋m2|＋|x－2m－3|.

(1)求证：f(x)≥2；

(2)若不等式f(2)≤16恒成立，求实数m的取值范围．

解：(1)证明：因为f(x)＝|x＋m2|＋|x－2m－3|≥|(x＋m2)－(x－2m－3)|，所以f(x)≥|m2＋2m＋3|＝(m＋1)2＋2≥2.

(2)由已知，得f(2)＝m2＋2＋|2m＋1|，

①当m≥－时，f(2)≤16等价于m2＋2m＋3≤16，即(m＋1)2≤14，

解得－－1≤m≤－1，所以－≤m≤－1；

②当m<－时，f(2)≤16等价于m2－2m＋1≤16，

解得－3≤m≤5，所以－3≤m<－.

综上，实数m的取值范围是[－3，－1]．

4．(2019·江西八所重点中学联考)已知不等式|ax－1|≤|x＋3|的解集为{x|x≥－1}．

(1)求实数a的值；

(2)求＋的最大值．

解：(1)|ax－1|≤|x＋3|的解集为{x|x≥－1}，即(1－a2)x2＋(2a＋6)x＋8≥0的解集为{x|x≥－1}，当1－a2≠0时，不符合题意，舍去．

当1－a2＝0，即a＝±1时，

x＝－1为方程(2a＋6)x＋8＝0的一解，经检验a＝－1不符合题意，舍去，a＝1符合题意．

综上，a＝1.

(2)(＋)2＝16＋2＝16＋2，当t＝＝4时，(＋)2有最大值32.又＋≥0，所以＋的最大值为4.

5．(2019·石家庄市模拟(一))设函数f(x)＝|1－x|－|x＋3|.

(1)求不等式f(x)≤1的解集；

(2)若函数f(x)的最大值为m，正实数p，q满足p＋2q＝m，求＋的最小值．

解：(1)不等式可化为

或或，解得x≥－，

所以f(x)≤1的解集为{x|x≥－}．

(2)法一：因为|1－x|－|x＋3|≤|1－x＋x＋3|＝4，

所以m＝4，p＋2q＝4，所以(p＋2)＋2q＝6，

＋＝(＋)(p＋2＋2q)＝(4＋＋)≥(4＋2)＝，

当且仅当p＋2＝2q＝3，即时取“＝”，

所以＋的最小值为.

法二：因为|1－x|－|x＋3|≤|1－x＋x＋3|＝4，

所以m＝4，p＋2q＝4，所以p＝4－2q，q∈(0，2)，

＋＝＋＝＝＝，

因为q∈(0，2)，所以当q＝时，＋取得最小值.

6．(2019·成都第一次诊断性检测)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|＋1|.

(1)求不等式f(x)－3<0的解集；

(2)若关于x的方程f(x)－m2－2m－＝0无实数解，求实数m的取值范围．

解：(1)由题意，知f(x)＝|2x－1|＋|＋1|＝

由f(x)－3<0，可得或

或，解得－<x<.

所以原不等式的解集为(－，)．

(2)由(1)知，函数f(x)的值域为[，＋∞)．

若关于x的方程f(x)－＝m2＋2m无实数解，则m2＋2m<0，

解得－2<m<0.

所以实数m的取值范围为(－2，0)．

7．已知f(x)＝2|x|＋|x－1|.

(1)解关于x的不等式f(x)>4；

(2)对于任意正数m，n，求使得不等式f(x)≤＋＋2nm恒成立的x的取值集合M.

解：(1)当x≤0时，不等式化为－2x＋1－x>4，所以x<－1；

当0<x<1时，不等式化为2x＋1－x>4，解得x>3，无解；

当x≥1时，不等式化为2x＋x－1>4，所以x>，

综上，不等式f(x)>4的解集为(－∞，－1)∪(，＋∞)．

(2)因为＋＋2mn≥＋2mn≥4，当且仅当m＝n＝1时“＝”成立，

所以2|x|＋|x－1|≤4，由(1)知x的取值集合M为[－1，]．

8．(2019·沈阳市质量监测(一))设a>b>0，且ab＝2，记的最小值为M.

(1)求M的值，并写出此时a，b的值；

(2)解关于x的不等式：|3x＋3|＋|x－2|>M.

解：(1)因为a>b>0，所以a－b>0，>0，

根据基本不等式有＝＝a－b＋≥4，

当且仅当，即时取等号，所以M的值为4，此时a＝＋1，b＝－1.

(2)当x≤－1时，原不等式等价于－(3x＋3)＋(2－x)>4，解得x<－；

当－1<x<2时，原不等式等价于(3x＋3)＋(2－x)>4，解得－<x<2；

当x≥2时，原不等式等价于(3x＋3)＋(x－2)>4，解得x≥2.

综上所述，原不等式的解集为(－∞，－)∪(－，＋∞)．