2020届二轮复习（文）基础考点第3讲　不等式作业 练习

第3讲　不等式

一、选择题

1.(2019河北石家庄质检)已知a>0>b,则下列不等式一定成立的是(　　)

A.a2<-ab B.|a|<|b|

C.> D.>

答案　C　解法一:当a=1,b=-1时,满足a>0>b,此时a2=-ab,|a|=|b|,<,∴A,B,D不一定成立.

∵a>0>b,∴b-a<0,ab<0,∴-=>0,∴> 一定成立,故选C.

解法二:∵a>0>b,∴>0>,∴>一定成立,故选C.

2.已知a∈R,不等式≥1的解集为p,且-2∉p,则a的取值范围是(　　)

A.(-3,+∞) B.(-3,2)

C.(-∞,2)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪[2,+∞)

答案　D　∵-2∉p,∴<1或-2+a=0,解得a≥2或a<-3.

3.若关于x的不等式x2+2ax+1≥0在[0,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围是(　　)

A.(0,+∞) B.[-1,+∞)

C.[-1,1] D.[0,+∞)

答案　B　解法一:当x=0时,不等式为1≥0恒成立;

当x>0时,x2+2ax+1≥0⇒2ax≥-(x2+1)⇒2a≥-,又-≤-2,当且仅当x=1时取等号,所以2a≥-2⇒a≥-1,所以实数a的取值范围是[-1,+∞).

解法二:设f(x)=x2+2ax+1,函数图象的对称轴为直线x=-a.

当-a≤0,即a≥0时, f(0)=1>0,所以当x∈[0,+∞)时, f(x)≥0恒成立;当-a>0,即a<0时,要使f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,需f(-a)=a2-2a2+1=-a2+1≥0,得-1≤a<0.

综上,实数a的取值范围是[-1,+∞).

4.已知函数f(x)=若不等式f(x)+1≥0在R上恒成立,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,0) B.[-2,2]

C.(-∞,2] D.[0,2]

答案　C　由f(x)≥-1在R上恒成立,可得当x≤0时,2x-1≥-1,即2x≥0,显然成立;又x>0时,x2-ax≥-1,即a≤=x+,由x+≥2=2,可得a≤2,当且仅当x=1时,取得最小值2,综上可得,实数a的取值范围是(-∞,2].

5.(2019湖南长沙统一模拟)若a>0,b>0,a+b=ab,则a+b的最小值为(　　)

A.2 B.4 C.6 D.8

答案　B　解法一:由于a+b=ab≤,因此a+b≥4或a+b≤0(舍去),当且仅当a=b=2时取等号,故选B.

解法二:由题意,得+=1,所以a+b=(a+b)·=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=2时取等号,故选B.

解法三:由题意知a=(b>1),所以a+b=+b=2+b-1+≥2+2=4,当且仅当a=b=2时取等号,故选B.

6.(2019河南郑州第二次质量预测)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=的最大值为(　　)

A. B. C.3 D.4

答案　C　作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,目标函数z=,设u=3x+y,欲求z=的最大值,等价于求u=3x+y的最小值.u=3x+y可化为y=-3x+u,该直线的纵截距为u,作出直线y=-3x并平移,当直线y=-3x+u经过点B(-1,2)时,纵截距u取得最小值umin=3×(-1)+2=-1.所以z=的最大值zmax==3.故选C.

7.若<<0,给出下列不等式:①<;②|a|+b>0;③a->b-;④ln a2>ln b2.其中正确的不等式的序号是(　　)

A.①④ B.②③ C.①③ D.②④

答案　C　解法一:因为<<0,所以可取a=-1,b=-2.显然|a|+b=1-2=-1<0,所以②错误;因为

ln a2=ln(-1)2=0,ln b2=ln(-2)2=ln 4>0,所以④错误,综上所述,可排除A、B、D,故选C.

解法二:由<<0,可知b<a<0.

①中,因为a+b<0,ab>0,所以<,故①正确;

②中,因为b<a<0,所以-b>-a>0,故-b>|a|,即|a|+b<0,故②错误;

③中,因为b<a<0,又<<0,所以->->0,所以a->b-,故③正确;

④中,因为b<a<0,根据y=x2在(-∞,0)上为减函数,可得b2>a2>0,而y=ln x在定义域(0,+∞)上为增函数,所以ln b2>ln a2,故④错误.

综上所述,知①③正确.

8.若实数x,y满足不等式组目标函数z=kx-y的最大值为6,最小值为0,则实数k的值为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案　B　作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.

则A(1,2),B(1,-1),C(3,0),

因为目标函数z=kx-y的最小值为0,

所以目标函数z=kx-y的最小值只可能在A或B处取得,

所以若在A处取得,则k-2=0,得k=2,此时,z=2x-y在C点有最大值,zmax=2×3-0=6,符合题意;

若在B处取得,则k+1=0,得k=-1,此时,z=-x-y,

在B点取得最大值,zmax=-1-(-1)=0≠6,不符合题意,故选B.

9.某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为(　　)

A.15万元 B.16万元 C.17万元 D.18万元

答案　D　设生产甲产品x吨,乙产品y吨,获得的利润为z万元,由题意可知

z=3x+4y,作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,直线z=3x+4y过点M时取得最大值,

由得∴M(2,3),

故z=3x+4y的最大值为18,故选D.

10.(2019河南洛阳统考)如果点P(x,y)满足点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的取值范围是(　　)

A.[-1,-1] B.[-1,+1]

C.[-1,5] D.[-1,5]

答案　D　作出点P满足的线性约束条件表示的平面区域(如图中阴影部分所示),因为点Q所在圆的圆心为M(0,-2),所以|PM|取得最小值的最优解为(-1,0),取得最大值的最优解为(0,2),所以|PM|的最小值为,最大值为4,又圆M的半径为1,所以|PQ|的取值范围是[-1,5],故选D.

11.(2019河南洛阳尖子生第二次联考)已知实数x,y满足若z=|2x-2y-1|,则z的取值范围是(　　)

A. B.[0,5]

C.[0,5) D.

答案　C　解法一:由题意,作出可行域,如图中阴影部分所示.

令t=2x-2y-1,则z=|t|.

t=2x-2y-1可变形为y=x-t-,作出直线y=x,并平移,当直线经过点A时,t取得最小值,所以tmin=2×-2×-1=-;当直线y=x向右下方平移,并接近点C(2,-1)时,t的值趋近于2×2-2×(-1)-1=5.所以z的取值范围是[0,5),故选C.

解法二:令t=2x-2y-1,则z=|t|.易知t=2x-2y-1的最值在可行域的顶点处取得.易得A,B,C(2,-1)为可行域的顶点,分别将A,B,C三点的坐标代入t=2x-2y-1,对应的t的值为-,0,5,又可行域不包含点B,C,所以z的取值范围是[0,5),故选C.

12.若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+-n2-<0有解,则实数n的取值范围是(　　)

A. B.∪(1,+∞)

C.(1,+∞) D.

答案　B　因为不等式x+-n2-<0有解,

所以<n2+,

因为x>0,y>0,且+=1,

所以x+==++≥+2=,

当且仅当=,即x=,y=5时取等号,

所以=,

故n2+->0,解得n<-或n>1,

所以实数n的取值范围是∪(1,+∞).

二、填空题

13.(2019河南洛阳统考)已知x>0,y>0,且+=1,则xy+x+y的最小值为　　　　. 

答案　7+4

解析　∵+=1,∴2x+y=xy,∴xy+x+y=3x+2y,

∵3x+2y=(3x+2y)=7++,且x>0,y>0,

∴3x+2y≥7+4,当且仅当=时,xy+x+y取最小值7+4.

14.(2019江西七校第一次联考)设x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值为　　　　. 

答案　8

解析　解法一:作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,作出直线2x-y=0并平移,当直线经过点A(5,2)时,z取得最大值,即zmax=2×5-2=8.

解法二:易知目标函数的最值在可行域的顶点处取得,由得A(5,2),此时z=8;由得B(3,4),此时z=2;由得C(2,1),此时z=3.综上,z的最大值为8.

15.(2019河南郑州第一次质量预测)不等式x(sin θ-cos2θ+1)≥-3对任意θ∈R恒成立,则实数x的取值范围是　　　　. 

答案　

解析　sin θ-cos2θ+1=sin2θ+sin θ,令sin θ=t,t∈[-1,1],则x(sin θ-cos2θ+1)≥-3对任意θ∈R恒成立,可转化为f(t)=xt2+xt+3≥0对t∈[-1,1]恒成立,又f(0)=3>0,所以或或解得-≤x<0或x=0或0<x≤12,所以实数x的取值范围是.

16.设x>0,y>0,且=,则当x+取最小值时,x2+=　　　　. 

答案　12

解析　∵x>0,y>0,∴当x+取最小值时,取得最小值,∵=x2++,=,∴x2+=+,=+≥2=16,∴x+≥4,当且仅当=,即x=2y时取等号,∴当x+取最小值时,x=2y,x2++=16,即x2++=16,∴x2+=16-4=12.