2020届二轮复习（理）专题七第2讲不等式选讲学案

第2讲　不等式选讲
「考情研析」　　　　不等式选讲主要考查平均值不等式的应用，绝对值三角不等式的理解及应用、含绝对值不等式的解法、含参不等式解法和恒成立问题以及不等式的证明方法(比较法、综合法、分析法、放缩法)及它们的应用．其中绝对值不等式的解法及证明方法的应用是重点．难度不大，分值10分，一般会出现在选考部分第二题的位置.
核心知识回顾
1.绝对值的三角不等式
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
2．|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
(1)|ax＋b|≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c.
(2)|ax＋b|≥c(c>0)⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
(1)利用绝对值不等式几何意义求解，体现数形结合思想．
(2)利用“零点分段法”求解，体现分类讨论思想．
(3)通过构建函数，利用函数图象求解，体现函数与方程思想．
4．证明不等式的基本方法
(1)比较法；(2)综合法；(3)分析法；
(4)反证法；(5)放缩法．
5．二维形式的柯西不等式
若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．
热点考向探究
考向1 绝对值不等式的解法及应用
角度1　绝对值不等式的解法
例1　(2019·乌鲁木齐高三第二次质量检测)已知函数f(x)＝2|x＋1|－|x－a|，a∈R.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；
(2)若关于x的不等式f(x) 解　(1)当a＝1时，f(x)＝2|x＋1|－|x－1|，
当x＜－1时，由f(x)＜0得－2(x＋1)＋(x－1)＜0，即－x－3＜0，得x＞－3，此时－3＜x＜－1，
当－1≤x≤1，由f(x)＜0得2(x＋1)＋(x－1)＜0，
即3x＋1＜0，得x＜－，此时－1≤x＜－，
当x＞1时，由f(x)＜0得2(x＋1)－(x－1)＜0，
即x＋3＜0，得x＜－3，此时无解，
综上，不等式的解集为.
(2)∵f(x)＜x⇔2|x＋2|－x＜|x－a|有解，等价于函数y＝2|x＋2|－x的图象上存在点在函数y＝|x－a|的图象下方，

由函数y＝2|x＋2|－x与函数y＝|x－a|的图象可知，a＞0或a＜－4.

解绝对值不等式的步骤和方法
(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤
①求零点．
②划区间、去绝对值号．③分别解去掉绝对值的不等式．
④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．
(2)用图象法求解不等式
用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．
(3)用绝对值不等式的几何意义求解．

(1)解关于x的不等式x|x＋4|＋3<0；
(2)关于x的不等式|x|＋2|x－9| 解　(1)原不等式等价于或
解得x<－2－或－3 所以原不等式的解集是(－∞，－2－)∪(－3，－1)．
(2)令f(x)＝|x|＋2|x－9|，则关于x的不等式
|x|＋2|x－9|f(x)min.
f(x)＝所以f(x)的最小值为9.
所以a>9，即实数a的取值范围为(9，＋∞)．
角度2　绝对值不等式恒成立(或存在性)问题
例2　(2019·德阳市高三第二次诊断)已知函数f(x)＝|x－a|－|x＋2|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≤－x的解集；
(2)若f(x)≤a2＋1恒成立，求a的取值范围．
解　(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|－|x＋2|，
即f(x)＝不等式f(x)≤－x即为或或
即有x≤－3或－1≤x＜1或1≤x≤3，得x≤－3或－1≤x≤3，
所以不等式的解集为{x|x≤－3或－1≤x≤3}．
(2)因为|x－a|－|x＋2|≤|x－a－x－2|＝|a＋2|，
所以f(x)≤|a＋2|，
若f(x)≤a2＋1恒成立，则|a＋2|≤a2＋1，
即或
解得a≤或a≥，


解答含参数的绝对值不等式应熟记的几个转化
f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a；f(x)a有解⇔f(x)max>a；f(x)a无解⇔f(x)max≤a；f(x)
(2019·宣城市高三第二次调研)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝2x＋1.
(1)解关于x的不等式g(x)≥|x－1|；
(2)如果对∀x∈R，不等式|g(x)|－c≥|x－1|恒成立，求实数c的取值范围．
解　(1)由题意可得，g(x)＝2x－1，
所以g(x)≥|x－1|即2x－1≥|x－1|.
①当x≥1时，2x－1≥x－1，解得x≥0，所以x≥1；
②当x<1时，2x－1≥1－x，解得x≥，所以≤x<1.

考向2 绝对值不等式的证明
例3　已知a>0，b>0，函数f(x)＝|x＋a|－|x－b|.
(1)当a＝1，b＝1时，解关于x的不等式f(x)>1；
(2)若函数f(x)的最大值为2，求证：＋≥2.
解　(1)当a＝1，b＝1时，
f(x)＝|x＋1|－|x－1|＝
①当x≥1时，f(x)＝2>1，不等式恒成立，
此时不等式的解集为{x|x≥1}；
②当－1≤x<1时，f(x)＝2x>1，所以x>，
此时不等式的解集为；
③当x<－1时，f(x)＝－2>1，不等式不成立，此时无解．
综上所述，不等式f(x)>1的解集为.
(2)证法一：由绝对值三角不等式可得
|x＋a|－|x－b|≤|a＋b|，a>0，b>0，∴a＋b＝2，
∴＋＝(a＋b)＝≥2，
当且仅当a＝b＝1时，等号成立．
证法二：∵a>0，b>0，∴－a<0 ∴函数f(x)＝|x＋a|－|x－b|
＝|x－(－a)|－|x－b|＝
结合图象易得函数f(x)的最大值为a＋b，∴a＋b＝2.
∴＋＝(a＋b)＝≥2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．

不等式证明的常用方法
(1)不等式的证明常利用综合法、分析法、基本不等式和柯西不等式等，要根据题目特点灵活选用方法．
(2)证明含绝对值的不等式主要有以下三种方法：
①利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．
②利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．
③转化为函数问题，利用数形结合进行证明．

(2019·延安市高考模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|，x∈R.
(1)解不等式f(x)<|x|＋1；
(2)若对x，y∈R，有|x－y－1|≤，|2y＋1|≤，求证：f(x)≤.
解　(1)因为f(x)<|x|＋1，所以|2x－1|<|x|＋1，
即或或
解得≤x<2或0 所以不等式的解集为{x|0 (2)证明：因为|x－y－1|≤，|2y＋1|≤，
所以f(x)＝|2x－1|＝|2(x－y－1)＋(2y＋1)|≤|2(x－y－1)|＋|2y＋1|≤2×＋＝.
考向3 柯西不等式的应用
例4　已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求证：
(1)＋＋≤ ；
(2)＋＋≥.
证明　(1)由柯西不等式得(＋＋)2＝(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)[()2＋()2＋()2]＝3，当且仅当＝＝，即a＝b＝c＝时等号成立，∴＋＋≤ .
(2)证法一：∵＋(3a＋1)≥2＝4，
∴≥3－3a.同理得≥3－3b，≥3－3c，
以上三式相加得，4≥9－3(a＋b＋c)＝6，
∴＋＋≥.
证法二：由柯西不等式得
[(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)]≥＋·＋·2＝9，
又a＋b＋c＝1，∴6≥9，
∴＋＋≥.

柯西不等式的应用方法
(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．
(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a＋a＋…＋a)≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．

(2019·南通市高三下学期模拟)已知a，b，c均为正数，且a＋2b＋4c＝3，求＋＋的最小值，并指出取得最小值时a，b，c的值．
解　因为a＋2b＋4c＝3，所以(a＋1)＋2(b＋1)＋4(c＋1)＝10，
因为a，b，c为正数，所以由柯西不等式得，[(a＋1)＋2(b＋1)＋4(c＋1)]·＋＋≥(1＋＋2)2，
当且仅当(a＋1)2＝2(b＋1)2＝4(c＋1)2等式成立，
所以＋＋≥，
所以＋＋的最小值是，
此时a＝，b＝，c＝.
真题押题
『真题模拟』
1．(2019·哈尔滨市第六中学高三第二次模拟)设函数f(x)＝|2x－1|＋2|x＋1|－a.
(1)当a＝4时，求不等式f(x)>0的解集；
(2)若函数f(x)的定义域为R，求a的取值范围．
解　(1)当a＝4时，f(x)＞0为|2x－1|＋2|x＋1|>4，
当x≤－1时，1－2x－2x－2>4⇒x<－；
当－14，无解；
当x≥时，2x－1＋2x＋2>4⇒x>.
综上，f(x)>0的解集为（－∞，－）∪（，＋∞）.
(2)由题意得|2x－1|＋2|x＋1|>a恒成立，a<(|2x－1|＋2|x＋1|)min.
|2x－1|＋2|x＋1|＝|2x－1|＋|2x＋2|≥|(2x－1)－(2x＋2)|＝3，∴a<3.
2．(2019·赤峰市高三模拟)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，g(x)＝x2－2x－1.
(1)若m，n∈R，不等式f(m)≥g(n)恒成立，求实数n的取值范围；
(2)设a>0，b>0，且a＋b＝2，求证：＋≤2.
解　(1)由f(m)＝|m－1|＋|m＋1|≥|(m－1)－(m＋1)|＝2，
∴f(m)min＝2，∴n2－2n－1≤2，∴－1≤n≤3，所以n的取值范围是[－1,3]．
(2)证明：由(1)可知，2≥2，
∴(＋)2＝a＋b＋2＋2≤4＋(a＋1)＋(b＋1)＝8，∴＋≤2，
当且仅当a＝b＝1时等号成立，
∴＋≤2.
3．(2019·全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.
证明：(1)＋＋≤a2＋b2＋c2；
(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
证明　(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋.
当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．
所以＋＋≤a2＋b2＋c2.
(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，
故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3
≥3＝3(a＋b)(b＋c)(c＋a)
≥3×(2)×(2)×(2)＝24.
当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．
所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
『金版押题』
4．已知函数f(x)＝|2x－3|－|x＋1|.
(1)若不等式f(x)≤a的解集是空集，求实数a的取值范围；
(2)若存在x0∈R，使得2f(x0)≤－t2＋4|t|成立，求实数t的取值范围．
解　(1)f(x)＝|2x－3|－|x＋1|

＝
y＝f(x)的图象如图所示，
易得f(x)min＝－.
∵不等式f(x)≤a的解集是空集，
∴a的取值范围为.
(2)∃x0∈R，使得2f(x0)≤－t2＋4|t|成立，
即2f(x)min≤－t2＋4|t|，由(1)知f(x)min＝－，
∴t2－4|t|－5≤0，解得－5≤t≤5，∴t的取值范围为[－5,5]．
配套作业
1．(2019·西安八校高三联考)已知a，b均为实数，且|3a＋4b|＝10.
(1)求a2＋b2的最小值；
(2)若|x＋3|－|x－2|≤a2＋b2对任意的a，b∈R恒成立，求实数x的取值范围．
解　(1)因为102＝(3a＋4b)2≤(32＋42)(a2＋b2)＝25(a2＋b2)，所以a2＋b2≥4，当且仅当＝，
即或时取等号，即a2＋b2的最小值为4.
(2)由(1)知|x＋3|－|x－2|≤a2＋b2对任意的a，b∈R恒成立⇔|x＋3|－|x－2|≤4⇔或或⇔x<－3或－3≤x≤⇔x≤，所以实数x的取值范围为（－∞，].
2．已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|.
(1)当a＝3时，求不等式f(x)≥2的解集；
(2)若f(x)≥5－x对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
解　(1)当a＝3时，即求解|2x－3|＋|x－1|≥2，
①当x≥时，2x－3＋x－1≥2，∴x≥2；
②当1 ③当x≤1时，3－2x＋1－x≥2，∴3x≤2，∴x≤.
综上，解集为.
(2)f(x)≥5－x恒成立，即|2x－a|≥5－x－|x－1|恒成立，令g(x)＝5－x－|x－1|＝
则函数图象如图．∴≥3，∴a≥6.

3．已知函数f(x)＝|x－5|－|x－2|.
(1)若∃x∈R，使得f(x)≤m成立，求m的范围；
(2)求不等式x2－8x＋15＋f(x)≤0的解集．
解　(1)f(x)＝|x－5|－|x－2|＝其对应图象如图所示．易知f(x)min＝－3，

∴m≥－3，即m的取值范围为[－3，＋∞)．
(2)x2－8x＋15＋f(x)＝
①x≤2，x2－8x＋18≤0，解集为∅.
②2 ③x≥5，x2－8x＋12≤0,5≤x≤6.
综上所述，不等式的解集为{x|5－≤x≤6}．
4．(1)解不等式：|2x－1|－|x|<1；
(2)设f(x)＝x2－x＋1，实数a满足|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．
解　(1)当x<0时，原不等式可化为－2x＋x<0，
解得x>0，所以x不存在；
当0≤x<时，原不等式可化为－2x－x<0，
解得x>0，所以0 当≤x时，原不等式可化为2x－1－x<1，
解得x<2，所以≤x<2.
综上，原不等式的解集为{x|0 (2)证明：因为|f(x)－f(a)|＝|x2－x－a2＋a|＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|＝|x－a＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|<1＋|2a|＋1＝2(|a|＋1)，
所以|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．
5．(2019·益阳市高三4月模拟)已知f(x)＝|2x＋1|－|ax－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≤2的解集；
(2)当x∈(－，0)时，不等式f(x)>2x成立，求a的取值范围．
解　(1)当a＝1时，
f(x)＝|2x＋1|－|x－1|＝
由f(x)≤2，得或或
解得x∈∅或－≤x≤或－4≤x<－，


6．已知函数f(x)＝|x－m|，m<0.
(1)当m＝－1时，解不等式f(x)＋f(－x)≥2－x；
(2)若不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，求m的取值范围．
解　(1)当m＝－1时，f(x)＋f(－x)＝|x＋1|＋|x－1|，
设F(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝
当x<－1时，－2x≥2－x，解得x≤－2；
当－1≤x<1时，2≥2－x，解得0≤x<1；
当x≥1时，2x≥2－x，解得x≥1.
综上，原不等式的解集为{x|x≤－2或x≥0}．
(2)f(x)＋f(2x)＝|x－m|＋|2x－m|，m<0.
设g(x)＝f(x)＋f(2x)，
当x≤m时，g(x)＝m－x＋m－2x＝2m－3x，则g(x)≥－m；
当m 当x≥时，g(x)＝x－m＋2x－m＝3x－2m，则g(x)≥－.
则g(x)的值域为，
由题知不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，则1>－，解得m>－2，由于m<0，故m的取值范围是(－2，0)．
7．(2019·宝鸡市高考模拟)已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋3|.
(1)求不等式f(x)≤2的解集；
(2)若不等式f(x) 解　(1)由f(x)＝|x－2|－|x＋3|≤2可化为：
或
或
解得x∈∅或－≤x≤2或x>2，

(2)因为|f(x)|＝||x－2|－|x＋3||≤|x－2－x－3|＝5，
所以－5≤f(x)≤5，即f(x)min＝－5；
要使不等式f(x) 从而a2＋6a＋5>0，解得a<－5或a>－1，
所以a的取值范围为(－∞，－5)∪(－1，＋∞)．
8．(2019·太原市高三模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|＋2|x＋1|.
(1)求不等式f(x)≤5的解集；
(2)若存在实数x0，使得f(x0)≤5＋m－m2成立的m的最大值为M，且实数a，b满足a3＋b3＝M，证明：0 解　(1)∵f(x)＝|2x－1|＋2|x＋1|≤5，
∴x－＋|x＋1|≤，
由绝对值的几何意义可得x＝－和x＝1时上述不等式中的等号成立，

∴3≤5＋m－m2，∴－1≤m≤2，∴M＝2，∴a3＋b3＝2，
∵2＝a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，a2－ab＋b2≥0，
∴a＋b>0，
∵2ab≤a2＋b2，∴4ab≤(a＋b)2，∴ab≤，
∵2＝a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝(a＋b)[(a＋b)2－3ab]≥(a＋b)3，∴a＋b≤2，∴0