2020届二轮复习（文）基础考点第5讲　数学文化作业 练习

第5讲　数学文化

一、选择题

1.我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度).二十四个节气及晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长的变化量相同,周而复始.若冬至晷长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是(　　)

A.五寸 B.二尺五寸

C.三尺五寸 D.四尺五寸

答案　B　设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{an},公差为d,a1=15,a13=135,则15+12d=135,解得d=10.所以a2=15+10=25,所以小暑的晷长是25寸,即二尺五寸,故选B.

2.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入的n,x的值分别为3,3,则输出的v的值为(　　)

A.15 B.16 C.47 D.48

答案　D　执行程序框图,n=3,x=3,v=1,i=2≥0,v=1×3+2=5,i=1≥0,v=5×3+1=16,i=0≥0,v=16×3+0=48,i=-1<0,退出循环,输出v的值为48.故选D.

3.刘徽是一个伟大的数学家,他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的数学遗产,他所提出的割圆术可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点,则此点取自该圆内接正六边形的概率是(　　)

A. B. C. D.

答案　B　如图,在单位圆中作其内接正六边形,则所求概率P===.

4.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为(　　)

A.f B.f

C.f D.f

答案　D　从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于,第一个单音的频率为f,由等比数列的概念可知,这十三个单音的频率构成一个首项为f,公比为的等比数列,记为{an},则第八个单音频率为a8=f()8-1=f,故选D.

5.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式:设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则△ABC的面积S=.若a2sin C=4sin A,(a+c)2=12+b2,则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为(　　)

A. B.2 C.3 D.

答案　A　根据正弦定理及a2sin C=4sin A,得ac=4.

再结合(a+c)2=12+b2,得a2+c2-b2=4,

则S===,故选A.

6.《周易》历来被人们视作儒家群经之首,它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识,是中华人文文化的基础,它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为:把阳爻“”当作数字“1”,把阴爻“”当作数字“0”,则八卦所代表的数表示如下:

依次类推,则六十四卦中的“屯”卦,符号为“”,其表示的十进制数是(　　)

A.33 B.34 C.36 D.35

答案　B　由题意类推,可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100 010,转化为十进制数为0×20+1×21+0×22+0×23+0×24+1×25=34.故选B.

7.我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目:“一百馒头一百僧,大僧三个更无争.小僧三人分一个,大小和尚各几丁?”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法,执行程序框图,则输出的n的值为(　　)

A.20 B.25 C.30 D.35

答案　B　解法一:执行程序框图,n=20,m=80,S=60+≠100;n=21,m=79,S=63+≠100;……;n=25,m=75,S=75+25=100,退出循环.输出n=25.故选B.

解法二:由题意,得且m,n都是整数,解得n=25,m=75,故选B.

8.(2018河北保定一模)2002年国际数学家大会在北京召开,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计而成的.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的边长为2,大正方形的边长为10,直角三角形中较小的锐角为θ,则sin-cos=(　　)

A. B.

C. D.

答案　A　设直角三角形中较短的直角边长为a,则a2+(a+2)2=102,解得a=6,∴sin θ==,

cos θ==,sin-cos=cos θ-cos θ+sin θ=cos θ+sin θ=×+×=.

9.如图所示的程序框图来源于中国古代数学著作《孙子算经》,其中定义[x]表示不超过x的最大整数,例如[0.6]=0,[2]=2,[3.6]=3.执行该程序框图,则输出的a=(　　)

A.9 B.16 C.23 D.30

答案　C　执行程序框图,k=1,a=9,9-3·=0≠2;k=2,a=16,16-3·=1≠2;k=3,a=23,23-3·=2,23-5·=3,满足条件,退出循环,则输出a=23.故选C.

10.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表,它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.其中《方田》章有弧田面积计算问题,术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一.其大意是弧田面积计算公式为:弧田面积=(弦×矢+矢×矢).弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形,公式中的“弦”指的是弧田弦的长,“矢”指的是弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田,其弧田弦AB等于6米,其弧田弧所在圆为圆O,若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米,则cos∠AOB=(　　)

A. B.

C. D.

答案　D　如图,AB=6,设CD=x(x>0),则(6x+x2)=,解得x=1.设OA=y,则(y-1)2+9=y2,解得y=5.

由余弦定理得cos∠AOB==,故选D.

11.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑、白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.定义:图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”.给出下列命题:

①对于任意一个圆O,其“太极函数”有无数个;

②函数f(x)=ln(x2+)可以是某个圆的“太极函数”;

③正弦函数y=sin x可以同时是无数个圆的“太极函数”;

④函数y=f(x)是“太极函数”的充要条件为函数y=f(x)的图象是中心对称图形.

其中正确的命题为(　　)

A.①③ B.①③④

C.②③ D.①④

答案　A　过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分,故对于任意一个圆O,其“太极函数”有无数个,故①正确;

函数f(x)=ln(x2+)的大致图象如图所示,

故其不可能为圆的“太极函数”,故②错误;

将圆的圆心放在正弦函数y=sin x图象的对称中心上,则图象可以将圆的周长和面积等分成两部分,所以正弦函数y=sin x是该圆的“太极函数”,从而正弦函数y=sin x可以同时是无数个圆的“太极函数”,故③正确;

函数y=f(x)的图象是中心对称图形,则y=f(x)是“太极函数”,但函数y=f(x)是“太极函数”时,图象不一定是中心对称图形,如图,故④错误,故选A.

二、填空题

12.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺.莞生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?”意思是:“今有蒲草第1天长高3尺,莞草第1天长高1尺.以后,蒲草每天长高前一天的一半,莞草每天长高前一天的2倍.问第几天蒲草和莞草的高度相同?”根据上述的已知条件,可求得第　　　　天时,蒲草和莞草的高度相同.(结果采取“只入不舍”的原则取整数,相关数据:lg 3≈0.477 1,lg 2≈0.301 0) 

答案　3

解析　由题意得,蒲草的高度组成首项为a1=3,公比为的等比数列{an},设其前n项和为An;莞草的高度组成首项为b1=1,公比为2的等比数列{bn},设其前n项和为Bn,则An=,Bn=,令=,化简得2n+=7(n∈N*),解得2n=6,所以n==1+≈3,即第3天时蒲草和莞草高度相同.

13.(2019山东安丘、诸城、五莲、兰山模拟理)《周髀算经》中有一个问题:从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列,若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺,芒种的日影子长为4.5尺,则冬至的日影子长为　　　　. 

答案　15.5尺

解析　设此等差数列{an}的公差为d,则a1+a4+a7=3a1+9d=37.5,a1+11d=4.5,解得d=-1,a1=15.5.

14.将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P-ABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的体积为　　　　. 

答案　

解析　如图,在长方体中可找到符合题意的三棱锥P-ABC,则球O的直径2R=PC===2,所以R=.故球O的体积V=πR3=.