2020届二轮复习小题考法——空间点、线、面的位置关系课时作业（全国通用）

课时跟踪检测（七）小题考法——空间点、线、面的位置关系
A组——10＋7提速练
一、选择题
1．(2018·浙江高考)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)
A．m∥l　　　　　　　 　B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
解析：选C　∵α∩β＝l，∴l⊂β.
∵n⊥β，∴n⊥l.
2．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有(　　)
A．0条 B．1条
C．2条 D．0条或2条
解析：选C　因为平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形，所以该三棱锥中与平面α平行的棱有2条，故选C.
3．已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β.有下列命题：
①若α∥β，则m，n可能平行，也可能异面；
②若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；
③若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β.
其中真命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B　对于①，直线m，n可能平行，也可能异面，故①是真命题；对于②，直线m，n同时垂直于公共棱，不能推出两个平面垂直，故②是假命题；对于③，当直线n∥l时，不能推出两个平面垂直，故③是假命题．故真命题的个数为1.故选B.
4.如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝AB，E，F分别为BC，BB1的中点，M，N分别为AA1，A1C1的中点，则直线MN与EF所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　如图，连接AC1，C1B，CB1，
设C1B与CB1交于点O，取AB的中点D，连接CD，OD，
则MN∥AC1∥OD，EF∥CB1，
那么∠DOC即直线MN与EF所成的角，
设AA1＝AB＝a，则AC1＝CB1＝a，
于是OD＝OC＝，又CD＝，
于是△OCD为正三角形，∠DOC＝60°，
故直线MN与EF所成角的余弦值为.
5．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是(　　)
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
解析：选B　画出一个长方体ABCD ­A1B1C1D1.对于A，C1D1∥平面ABB1A1，C1D1∥平面ABCD，但平面ABB1A1与平面ABCD相交；对于C，BB1⊥平面ABCD，BB1∥平面ADD1A1，但平面ABCD与平面ADD1A1相交；对于D，平面ABB1A1⊥平面ABCD，CD∥平面ABB1A1，但CD⊂平面ABCD.
6．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ACD⊥平面ABC，若点N是BD上的动点，当线段ON最短时，二面角N­AC­B的余弦值为(　　)

A．0 B.
C. D.
解析：选C　易知OB＝OD，所以当N为BD的中点时，线段ON最短，因为AC⊥OB，AC⊥OD，所以AC⊥平面BOD，所以ON⊥AC，所以∠BON即二面角N­AC­B的平面角．因为平面ACD⊥平面ABC，OD⊥AC，所以OD⊥OB，所以△BOD为等腰直角三角形，所以∠BON＝45°，所以二面角N­AC­B的余弦值为.
7.(2018·温州模拟)在四面体ABCD中，二面角A­BC­D为60°，点P为直线BC上一动点，记直线PA与平面BCD所成角为θ，则(　　)
A．θ的最大值为60°
B．θ的最小值为60°
C．θ的最大值为30°
D．θ的最小值为30°
解析：选A　过A作AM⊥BC，AO⊥平面BCD，垂足为O，连接OM，
则∠AMO为二面角A­BC­D的平面角，∴∠AMO＝60°，
在直线BC上任取一点P，连接OP，AP，则∠APO为直线AP与平面BCD所成的角，即∠APO＝θ，
∵AP≥AM，AM·sin 60°＝AO，AP·sin θ＝AO，
∴sin θ≤sin 60°，即θ的最大值为60°.
故选A.
8.(2019届高三·镇海中学期中)如图，四边形ABCD，AB＝BD＝DA＝2，BC＝CD＝，现将△ABD沿BD折起，当二面角A­BD­C的大小在时，直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　取BD的中点O，连接AO，CO，由AB＝DA，BC＝CD，知AO⊥BD，CO⊥BD，分别以OB，OC所在直线为x，y轴，过O作平面BCD的垂线，垂线所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则B(1,0,0)，C(0,1,0)，D(－1，0,0)，
设二面角A­BD­C的平面角为θ，
则动点A(0，cos θ，sin θ)，
从而有＝(－1，cos θ，sin θ)，＝(－1，－1,0)，
设直线AB与CD所成的角为α，
则cos α＝＝，
∵θ∈，∴cos θ∈，
∴|1－cos θ|∈，故cos α∈，故选B.
9.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点，P为底面ABCD内一动点，设PD1，PE与底面ABCD所成的角分别为θ1，θ2(θ1，θ2均不为0)．若θ1＝θ2，则动点P的轨迹为(　　)
A．直线的一部分 B．圆的一部分
C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分

解析：选B　建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的边长为2，则A(2,0,0)，E(2,0,1)，D1(0,0,2)，P(x，y,0)，＝(0,0,1)，＝(2－x，－y，1)，＝(－x，－y,2)．
由θ1＝θ2，得cos θ1＝cos θ2，即＝，代入数据，得＝，整理，得2＋y2＝(0≤x≤2,0≤y≤2)，即动点P的轨迹为圆的一部分．
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足＝λ的实数λ的值有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选C　因为线段D1Q与OP互相平分，所以四点O，Q，P，D1共面，且四边形OQPD1为平行四边形．
若P在线段C1D1上时，点Q一定在线段ON上运动，只有当P为线段C1D1的中点时，点Q与点N重合，此时λ＝1，符合题意；
若P在线段C1B1与线段B1A1上时，在平面ABCD找不到符合条件的点Q；
若P在线段D1A1上时，点Q在直线OM上运动，只有当P为线段D1A1的中点时，点Q与点M重合，此时λ＝0符合题意，所以符合条件的λ值有2个，故选C.
二、填空题
11．α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β＝EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF.现有下列条件：①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.
其中能成为增加条件的序号是________．
解析：由题意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面．
①中，∵AC⊥β，EF⊂β，∴AC⊥EF，
又∵AB⊥α，EF⊂α，
∴AB⊥EF，∵AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABCD，
又∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正确；
②不能得到BD⊥EF，故②错误；
③中，由AC与CD在β内的射影在同一条直线上可知平面ABCD⊥β，又AB⊥α，AB⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥α.∵平面ABCD⊥α，平面ABCD⊥β，α∩β＝EF，∴EF⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴BD⊥EF，故③正确；
④中，由①知，若BD⊥EF，则EF⊥平面ABCD，则EF⊥AC，故④错误，故填①③.
答案：①③
12.如图，已知平面α，β，且α∩β＝AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足．那么直线AB与平面PCD的位置关系为________，若PC＝PD＝1，CD＝，则平面α与平面β的位置关系为________．
解析：因为PC⊥α，AB⊂α，所以PC⊥AB，同理，PD⊥AB，又PC∩PD＝P，所以AB⊥平面PCD，设AB与平面PCD的交点为H，连接CH，DH(图略)，因为AB⊥平面PCD，所以AB⊥CH，AB⊥DH，所以∠CHD为二面角αABβ的平面角，又PC＝PD＝1，CD＝，所以CD2＝PC2＋PD2＝2，即∠CPD＝90°，在平面PCHD中，∠PCH＝∠PDH＝∠CPD＝90°，所以∠CHD＝90°，所以α⊥β.
答案：AB⊥平面PCD　α⊥β
13.如图所示的三棱锥P­ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝，D是BC的中点，且△ADC是边长为2的正三角形，则二面角P­AB­C的大小为________．
解析：由已知条件，D是BC的中点，∴CD＝BD＝2，
又△ADC是正三角形，∴AD＝CD＝BD＝2，
∴D是△ABC的外心且又在BC上，
∴△ABC是以∠BAC为直角的三角形，即AB⊥AC，
又PC⊥平面ABC，∴PA⊥AB.
∴∠PAC即为二面角P­AB­C的平面角，
在Rt△PAC中，tan∠PAC＝＝，
∴∠PAC＝30°.
答案：30°
14.(2018·台州一模)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝1，AC＝CD＝DA＝2，动点M在边DC上(不同于D点)，P为边AB上任意一点，沿AM将△ADM翻折成△AD′M，当平面AD′M⊥平面ABC时，线段PD′长度的最小值为________．

解析：设D′在平面ABCD上的射影为H，显然当∠AMD最小值时，H到直线AB的距离最小，故折痕为AC时，H为AC的中点，此时D′H＝DH＝，此时，H到直线AB的最小距离为h＝BC＝，
∴PD′的最小距离为＝.
答案：
15.如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BCD＝90°，且BC＝CD＝3.将△ABC沿BC边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若点M在△BCD的内部(含边界)，则点M的轨迹的最大长度等于________；在翻折过程中，当点M位于线段BD上时，直线AB和CD所成的角的余弦值等于________．
解析：当平面ABC⊥平面BCD时，点A在平面BCD上的射影为BC上的点M，因为AB＝AC，所以BM＝MC，当点A在平面BCD上的射影M′在BD上时，因为BC＝CD＝3，所以∠DBC＝30°，所以由∠BCD＝90°得BM′＝M′D，则点M的轨迹的最大长度等于CD＝.当M位于BD上时，将其补为四棱锥，由已知条件得AM′⊥平面BCDE，BM′＝EM′，所以AB＝AE＝，又因为∠EBA为直线AB和CD所成的角，所以cos∠EBA＝＝.
答案：　
16．(2019届高三·浙江名校高三联考)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)，若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为________．
解析：如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系A-xyz，则E，G，令D(0，b,0)，F(a,0，0)，0 则＝，＝，
∵⊥，∴·＝0，
∴a＋b－＝0，
即a＝1－2b，而0 ∴DF＝＝＝＝ ，
∴当b＝时，DF取得最小值，又0 ∴DF<1，故DF的取值范围是.
答案：
17.(2018·浙江新高考模拟)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝1，P是棱AB上任一点，若平面B1DP和平面AA1D1D所成的角为θ，则tan θ的最小值为________．
解析：当P与A或B重合时，易得θ＝，tan θ＝1.当P异于A，B时，延长B1P，A1A交于点Q，连接QD，则DQ为平面B1DP与平面AA1D1D的交线．由PA⊥平面AA1D1D，得PA⊥DQ，过A作AH⊥QD于点H，连接PH，所以DQ⊥平面PHA，所以PH⊥DQ，所以∠PHA为平面B1DP与平面AA1D1D所成的角，即∠PHA＝θ，设PA＝x(0 答案：
B组——能力小题保分练
1．平面α过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　)
A. B.
C. D.

解析：选A　如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1的上方接一个同等大小的正方体ABCD­A2B2C2D2，则过A与平面CB1D1平行的是平面AB2D2，即平面α就是平面AB2D2，平面AB2D2∩平面ABB1A1＝AB2，即直线n就是直线AB2，由面面平行的性质定理知直线m平行于直线B2D2，故m，n所成的角就等于AB2与B2D2所成的角，在等边三角形AB2D2中，∠AB2D2＝60°，故其正弦值为.
2.如图，已知平面α⊥β，α∩β＝l.A，B是直线l上的两点，C，D是平面β内的两点，且DA⊥l，CB⊥l，AD＝3，AB＝6，CB＝6.P是平面α上的一动点，且直线PD，PC与平面α所成角相等，则二面角P­BC­D的余弦值的最小值是(　　)
A． B．
C． D．1
解析：选C　∵α⊥β，α∩β＝l，DA⊥l，CB⊥l，DA⊂β，CB⊂β，∴DA⊥α，CB⊥α，∴∠DAP＝∠CBP＝90°.又PD，PC与平面α所成角相等，∴∠DPA＝∠CPB.∴Rt△DPA∽Rt△CPB，∴＝＝，∴PB＝2PA.∵AB⊥BC，∴∠PBA是二面角P­BC­D的平面角．设PA＝t，则PB＝2t，在△PAB中， 由余弦定理得cos∠PBA＝＝＝＝，而t＋≥2＝4，
∴当t＝2时，cos∠PBA有最小值＝，故选C.
3.(2019届高三·杭州七校联考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，点F在斜边AB上，且AB＝4AF，点M在线段BC上运动，D，E是平面ABC同一侧的两点，AD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，AD＝3，AC＝BE＝4.当点M运动到线段BC的中点时，异面直线CF与EM所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　取BF的中点N，连接MN，EN，
因为M，N分别为BC，BF的中点，
所以MN∥CF，且MN＝CF，
所以∠EMN为异面直线CF与EM所成的角．
因为AC＝4，∠BAC＝60°，∠ACB＝90°，
所以BC＝4，BM＝2，
所以EM＝＝＝2.
因为AC＝4，∠BAC＝60°，∠ACB＝90°，
所以AB＝8，所以AF＝AB＝2，BF＝AB ＝6，
所以BN＝3，
所以EN＝＝＝5.
在△ACF中，由余弦定理得CF＝2，所以MN＝.
在△EMN中，由余弦定理可得cos∠EMN＝＝＝，
所以异面直线CF与EM所成角的余弦值为.
4.在三棱锥P-ABC中，△ABC≌△PBC，AC⊥BC，AB＝2BC.设PB与平面ABC所成的角为α，PC与平面PAB所成的角为β，则(　　)
A．α≤且sin β ≤
B．α≤且sin β<
C．α≤且β≥
D．α≤且β<
解析：选B　依题可设AB＝2BC＝2a，由题意，可得AB＝PB＝2a，AC＝CP＝a.过点C作CH⊥平面PAB，连接HB，HP，如图，则PC与平面PAB所成的角β＝∠CPH，且CH sin θ＝d××a×a，解得d＝asin θ，则sin α＝＝≤，所以α≤.故选B.
5．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A1-BD-A的大小为，若空间有一条直线l与直线CC1所成角为，则直线l与平面A1BD所成角的取值范围为____________．
解析：如图所示，过点A作AO⊥BD，连接A1O，则BD⊥A1O，则∠AOA1为二面角，所以∠AOA1＝，因为CC1∥AA1，取角A1AO的角平分线AM，此时AM即为直线l，过点A做AP⊥A1O，即AP⊥平面A1BD，此时直线l与平面A1BD所成角的最大角是∠AMA1＝∠MAO＋∠MOA＝＋＝，另外一种情况是∠A1AN＝，AN∩OP＝N，此时直线AN为直线l，则直线AN与平面A1BD所成最小角为∠ANP＝∠PA1A－∠A1AN＝－＝，所以直线l与平面A1BD所成角的取值范围是.
　　
答案：
6．(2018·温州模拟)如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面α分别与直线BC，AD相交于点G，H，则下列结论正确的是________．
①对于任意的平面α，都有直线GF，EH，BD相交于同一点；
②存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；
③对于任意的平面α，都有S△EFG＝S△EFH；
④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，几何体AC­EGFH的体积是一个定值．
解析：对①，G，H分别为相应线段中点时，三线平行，故①错．对②，三线相交时，交点会在BD上，作图可知②错．对③，如图1，取BD，AC的中点I，J，则BC，AD都与平面EIFJ平行，故A，H到平面EIFJ的距离相等，B，G到平面EIFJ的距离相等，而E为AB的中点，故A，B到平面EIFJ的距离相等，从而G，H到平面EIFJ的距离相等．连接GH交EF于K，则K为GH的中点，从而G，H到EF的距离相等，故两三角形的面积相等，③正确．

图1

图2
对④，如图2，当H为D时，G为C，此时几何体的体积为三棱锥A­CDE的体积，为四面体体积的一半．当如图2所示时，只需证VC­EFG＝VD­EFH，由③可得，只需证C，D到截面的距离相等，因为F为CD的中点，所以C，D到截面的距离相等，故④正确．
答案：③④