2020届二轮复习空间点线面的位置关系教案（全国通用）

2020届二轮复习  空间点线面的位置关系   教案（全国通用）

类型一、异面直线的判定

例1如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点。问：

（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由。

【解析】（1）不是异面直线。理由：连接MN、A1C1、AC。∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN// A1C1，又∵A1A CC1，∴A1ACC1为平行四边形。∴A1C1//AC，得到MN//AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线。

（2）是异面直线。证明如下：

∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面。假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B平面α，CC1平面α，∴D1、B、C、C1∈α，∴与ABCD-A1B1C1D1是正方体矛盾。∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线。

【点评】（1）易证MN//AC，∴AM与CN不异面。（2）由图易判断D1B和CC1是异面直线，证明时常用反证法。

举一反三：

【变式】已知E，F分别是正方体的棱和棱上的点，且，求证：四边形是平行四边形

【证明】由可以证得≌

所以   又可以由正方体的性质证明

所以四边形是平行四边形

类型二、平面的基本性质及平行公理的应用

例2如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=900，BCAD，BEFA，G、H分别为FA、FD的中点。

（1）证明：四边形BCHG是平行四边形；

（2）C、D、F、E四点是否共面？为什么？

【解析】（1）

（2）方法一：

方法二：如图，延长FE，DC分别与AB交于点M，，∵BEAF，∴B为MA中点。∵BCAD，∴B为中点，∴M与重合，即FE与DC交于点M（），∴C、D、F、E四点共面。

【点评】（1）G、H为中点GHAD，又BCAD GHBC；（2）方法一：证明D点在EF、GJ确定的平面内。方法二：延长FE、DC分别与AB交于M，，可证M与 重合，从而FE与DC相交。

类型三、异面直线所成的角

例3空间四边形ABCD中，AB=CD且AB与CD所成的角为300，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小。

【答案】取AC的中点G，连接EG、FG，则EG//AB，GF//CD，且由AB=CD知EG=FG，∴∠GEF（或它的补角）为EF与AB所成的角，∠ＥＧＦ（或它的补角）为ＡＢ与ＣＤ所成的角。

∵ＡＢ与CD所成的角为300，∴∠ＥＧＦ=300或1500。由EG=FG知ΔEFG为等腰三角形，当∠ＥＧＦ=300时，∠GEF=750；当∠ＥＧＦ=1500时，∠GEF=150。故EF与AB所成的角为150或750。

【解析】要求EF与AB所成的角，可经过某一点作两条直线的平行线，考虑到E、F为中点，故可过E或F作AB的平行线。取AC的中点，平移AB、CD，使已知角和所求的角在一个三角形中求解。

【点评】（1）求异面直线所成的角，关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交。平移直线的方法有：①直接平移②中位线平移③补形平移；

（2）求异面直线所成角的步骤：

①作：通过作平行线，得到相交直线；

②证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；

③求：通过解三角形，求出该角。

类型四、点共线、线共点、线共面问题

例4．正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于O，AC、BD交于点M．

求证：点C1、O、M共线．

【证明】

A1A∥CC1确定平面A1C

A1C面A1C        O∈面A1C

O∈A1C

面BC1D∩直线A1C＝O   O∈面BC1D

O在面A1C与平面BC1D的交线C1M上

∴C1、O、M共线

举一反三：

【高清课堂：空间点线面的位置关系例2】

【变式】如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K。求证：M、N、K三点共线。

【证明】 因为M∈PQ平面PQR，M∈BC平面BCD，又因为M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，即M在平面PQR与平面BCD的交线l上。

同理可证：N、K也在l上，所以M、N、K三点共线。