2020届二轮复习小题考法——不等式课时作业（全国通用）

课时跟踪检测（二十） 小题考法——不等式
A组——10＋7提速练
一、选择题
1．在R上定义运算：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x－b)＞0的解集是(2,3)，则a＋b＝(　　)
A．1　　　　　　　　　 　B．2
C．4 D．8
解析：选C　由题知(x－a)⊗(x－b)＝(x－a)[1－(x－b)]＞0，即(x－a)[x－(b＋1)]＜0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x－a)[x－(b＋1)]＝0的两根之和等于5，即a＋b＋1＝5，故a＋b＝4.
2．已知正数a，b的等比中项是2，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C　由正数a，b的等比中项是2，可得ab＝4，又m＝b＋，n＝a＋，所以m＋n＝a＋b＋＋＝a＋b＋＝(a＋b)≥×2＝5，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故m＋n的最小值为5.
3．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最大值为(　　)
A．5 B．6
C. D．7
解析：选C　作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图易知，当直线z＝x＋2y经过直线x－y＝－1与x＋y＝4的交点，即时，z取得最大值，zmax＝＋2×＝，故选C.
4．(2018·全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件则z＝x－y的取值范围是(　　)
A．[－3,0] B．[－3,2]
C．[0,2] D．[0,3]
解析：选B　作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：y＝x，平移直线l0，当直线z＝x－y过点A(2,0)时，z取得最大值2，当直线z＝x－y过点B(0,3)时，z取得最小值－3，所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]．
5．(2018·全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是(　　)
A．－15 B．－9
C．1 D．9
解析：选A　作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．

易求得可行域的顶点A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，当直线z＝2x＋y过点B(－6，－3)时，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15.
6．设不等式组所表示的区域面积为S.若S≤1，则m的取值范围为(　　)
A．(－∞，－2] B．[－2,0]
C．(0,2] D．[2，＋∞)
解析：选A　如图，当x＋y＝1与y＝mx交点为(－1,2)时，不等式组所表示的区域面积为1，此时m＝－2，若S≤1，则m≤－2，故选A.
7．已知实数x，y满足若z＝x＋2y的最小值为－4，则实数a＝(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选B　作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，

当直线z＝x＋2y经过点C时，z取得最小值－4，所以－a＋2×＝－4，解得a＝2，故选B.
8．(2019届高三·浙江六校协作体联考)已知函数f(x)＝ax3＋bx2－x(a>0，b>0)在x＝1处取得极小值，则＋的最小值为(　　)
A．4 B．5
C．9 D．10
解析：选C　由f(x)＝ax3＋bx2－x(a>0，b>0)，得f′(x)＝ax2＋bx－1，则f′(1)＝a＋b－1＝0，∴a＋b＝1，∴＋＝·(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立，故选C.
9．(2018·衢州二中交流卷)若实数x，y满足|[x]|＋|y|≤1([x]表示不超过x的最大整数)，则的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　因为|[x]|≤1－|y|≤1，所以－1≤[x]≤1，再根据[x]的具体值进行分类：
①当[x]＝－1，即－1≤x<0时，y＝0；
②当[x]＝0，即0≤x<1时，|y|≤1，即－1≤y≤1；
③当[x]＝1，即1≤x<2时，y＝0.
在平面直角坐标系内作出可行域，如图所示．
＝1＋，其几何意义为可行域内的点(x，y)与点(－2，－2)所确定的直线的斜率加1.而由图可知，点(－1，0)与点(－2，－2)所确定的直线的斜率最大，最大值为＝2；点(1，－1)与点(－2，－2)所确定的直线的斜率最小，最小值为＝，又由图知取不到最小值，所以∈，故选A.
10．(2018·天津高考)已知函数f(x)＝设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C．[－2，2] D.
解析：选A　法一：根据题意，作出f(x)的大致图象，如图所示．
当x≤1时，若要f(x)≥恒成立，结合图象，只需x2－x＋3≥－，即x2－＋3＋a≥0，故对于方程x2－＋3＋a＝0，Δ＝2－4(3＋a)≤0，解得a≥－；当x>1时，若要f(x)≥恒成立，结合图象，只需x＋≥＋a，即＋≥a.又＋≥2，当且仅当＝，即x＝2时等号成立，所以a≤2.综上，a的取值范围是.
法二：关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立等价于－f(x)≤a＋≤f(x)，
即－f(x)－≤a≤f(x)－在R上恒成立，
令g(x)＝－f(x)－.
当x≤1时，g(x)＝－(x2－x＋3)－＝－x2＋－3
＝－2－，
当x＝时，g(x)max＝－；
当x>1时，g(x)＝－－＝－≤－2，
当且仅当＝，且x>1，即x＝时，“＝”成立，
故g(x)max＝－2.
综上，g(x)max＝－.
令h(x)＝f(x)－，
当x≤1时，h(x)＝x2－x＋3－＝x2－＋3
＝2＋，
当x＝时，h(x)min＝；
当x>1时，h(x)＝x＋－＝＋≥2，
当且仅当＝，且x>1，即x＝2时，“＝”成立，
故h(x)min＝2.综上，h(x)min＝2.
故a的取值范围为.
二、填空题
11．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋ 解析：由题可知，1＝＋≥2＝，即≥4，于是有m2－3m>x＋≥≥4，故m2－3m>4，化简得(m＋1)(m－4)>0，解得m<－1或m>4，即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．
答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)
12．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是________________．
解析：由题意得，f(1)＝3，所以f(x)>f(1)，即f(x)>3.当x<0时，x＋6>3，解得－33，解得x>3或0≤x<1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．
答案：(－3,1)∪(3，＋∞)
13．(2018·绍兴一中调研)已知实数x，y满足则由不等式组确定的可行域的面积为________，z＝2x－y的最大值为________．


解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，所以可行域的面积为1，因为目标函数z＝2x－y的斜率为2，所以过点A(3,0)时取到最大值6.
答案：1　6
14．(2018·杭州二中调研)已知x>3y>0或x<3y<0，则(x－2y)2＋的最小值是________．
解析：(x－2y)2＋≥(x－2y)2＋＝(x－2y)2＋≥8，当4y＝x，x－2y＝±2时取等号．
答案：8
15．如果实数x，y满足条件且z＝的最小值为，则正数a的值为________．
解析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可知当x＝1，y＝1时，z取最小值，即＝，所以a＝1.
答案：1
16．(2018·绍兴质量调测)已知正实数x，y满足xy＋2x＋3y＝42，则xy＋5x＋4y的最小值为________．
解析：由题知，xy＋5x＋4y＝(xy＋2x＋3y)＋3x＋y＝42＋3x＋y，
而(x＋3)(y＋2)＝48，因此144＝(3x＋9)(y＋2)≤2，因此3x＋y≥13，当且仅当3x＋9＝y＋2，即时取等号．故xy＋5x＋4y＝42＋3x＋y≥55，则xy＋5x＋4y的最小值为55.
答案：55
17．若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)(a≠0)恒成立，则实数x的取值范围是________．
解析：不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)(a≠0)恒成立，即|2＋x|＋|2－x|≤恒成立，故|2＋x|＋|2－x|≤min.因为≥＝＝4，当且仅当(2a＋b)(2a－b)≥0，即2|a|≥|b|时等号成立，所以的最小值为4，所以|2＋x|＋|2－x|≤4，解得－2≤x≤2.故实数x的取值范围为[－2，2]．
答案：[－2,2]
B组——能力小题保分练
1．已知x，y满足则z＝8－x·y的最小值为(　　)
A．1 B.
C. D.
解析：选D　作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z＝8－x·y＝2－3x－y，欲使z最小，只需使－3x－y最小即可．由图知当x＝1，y＝2时，－3x－y的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x－y最小，最小值为.故选D.
2．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为6，则＋的最小值为(　　)
A．1 B．3
C．2 D．4
解析：选B　依题意画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
∵a>0，b>0，
∴当直线z＝ax＋by经过点(2,4)时，z取得最大值6，
∴2a＋4b＝6，即a＋2b＝3.
∴＋＝(a＋2b)×＝＋＋≥3，当且仅当a＝b＝1时等号成立，∴＋的最小值为3.故选B.
3．设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为an(n∈N*)，若m>＋＋…＋对于任意的正整数恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　不等式组表示的平面区域为直线x＝0，y＝0，y＝－nx＋3n围成的直角三角形(不含直角边)，区域内横坐标为1的整点有2n个，横坐标为2的整点有n个，所以an＝3n，所以＝＝，所以＋＋…＋＝＝，数列为单调递增数列，故当n趋近于无穷大时，趋近于，所以m≥.故选A.
4．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导函数为f′(x)．若∀x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立，则的最大值为(　　)
A.＋2 B.－2
C．2＋2 D．2－2
解析：选B　由题意得f′(x)＝2ax＋b，由f(x)≥f′(x)在R上恒成立，得ax2＋(b－2a)x＋c－b≥0在R上恒成立，则a>0且Δ≤0，可得b2≤4ac－4a2，则≤＝，又4ac－4a2≥0，∴4·－4≥0，∴－1≥0，令t＝－1，则t≥0.当t>0时，≤＝≤＝－2，当t＝0时，＝0<－2，故的最大值为－2，故选B.

5．(2019届高三·浙江新高考联盟联考)过P(－1,1)的光线经x轴上点A反射后，经过不等式组所表示的平面区域内某点(记为B)，则|PA|＋|AB|的取值范围是________．
解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，点P关于x轴的对称点为P1(－1，－1)，|PA|＋|AB|＝|P1B|，过点P1作直线x＋y－2＝0的垂线，则|PA|＋|AB|＝|P1B|的最小值为＝2.由得B0(2,3)，则|PA|＋|AB|＝|P1B|的最大值为|P1B0|＝＝5.
故2≤|PA|＋|AB|≤5.
答案：[2，5]
6．(2018·浙江“七彩阳光”联盟期中)设实数x，y满足不等式组且目标函数z＝3x＋y的最大值为15，则实数m＝________；设min{a，b}＝则z＝min{x＋y＋2,2x＋y}的取值范围是________．
解析：因为直线x＋y－3＝0与x－3y＋5＝0交于点A(1，2)，而直线x＋my－1＝0过点(1,0)，则当m>0时，不等式组不能构成可行域．当m＝0时，可行域为点A(1,2)，不符合题意．当－>，即－3 构成的可行域是以A(1,2)，B，C为顶点的三角形区域(含边界)，过点C时，目标函数z＝3x＋y有最大值，由＝15，得m＝
－1.当0<－≤，即m≤－3时，不等式组构成的可行域是一个开放区域，此时，目标函数z＝3x＋y没有最大值．综合得m＝－1.
此时，可行域是以A(1,2)，B(2,1)，C(4,3)为顶点的三角形区域(含边界)．
而z＝min{x＋y＋2,2x＋y}＝直线x＝2把可行域分成以A(1,2)，B(2,1)，D为顶点的三角形区域，和以B(2,1)，C(4,3)，D为顶点的三角形区域．故只要求z＝2x＋y在三角形ABD区域上的范围，z＝x＋y＋2在三角形BCD区域上的范围即可．
当平行直线系2x＋y＝z在三角形ABD区域内运动时，z＝2x＋y∈.
当平行直线系x＋y＋2＝z在三角形BCD区域内运动时，z＝x＋y＋2∈[5,9]．
从而有z＝min{x＋y＋2,2x＋y}的取值范围是[4,9]．
答案：－1　[4,9]